3.2 勾股定理的逆应用 日日清

勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理 知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。

（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。

知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。

（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。

例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。

求证∠EFA=90°。

【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。

例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。

【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。

数学 八年级上册 SK
第
勾股定理
3
章
3.2 勾股定理的逆定理
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3.2 勾股定理的逆定理
探究与应用
探 活动1 探索并应用勾股定理的逆定理,体会“数”与
究
“形”的内在联系
与
应 [思考探究]
用 1.写出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”
的逆命题.
解:如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么
是钝角三角形;如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形.
探 究
[概括新知]
与 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+
应
用 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探 归纳 勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别
究
与
勾股定理
勾股定理的逆定理
应 用
在Rt△ABC中,∠C=90°, 在△ABC中,BC=a,AC=b, 条件
例2 C [解析] A项,82+52≠172,不能构成直角三角形,故不 是勾股数,不符合题意; B项,1.5,2,2.5不都是正整数,故不是勾股数,不符合题意; C项,52+122=132,且5,12,13都是正整数,故是勾股数,符合题 意; D项,32+42≠62,不能构成直角三角形,故不是勾股数,不符合 题意. 故选C.
根据勾股定理,可得A'B'2=a2+b2.
因为AB2=a2+b2,
所以A'B'2=AB2,所以A'B'=AB.
根据“SSS”,可证△ABC≌△A'B'C'.
于是,∠C=∠C'=90°,

勾股定理的逆定理简介勾股定理是几何学中的一个著名定理，描述了直角三角形两条边的平方和等于斜边的平方。

然而，我们是否能找到一个定理，通过斜边和一条直角边，来确定另一条直角边的长度呢？这就是勾股定理的逆定理。

内容勾股定理的逆定理是指，如果已知一个直角三角形的斜边和一条直角边的长度，那么可以通过这些已知量来确定另一条直角边的长度。

具体地说，如果已知直角三角形的斜边长度为c，一条直角边的长度为a，我们可以通过逆定理得到另一条直角边的长度b。

逆定理的表达式为：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]这个逆定理的实质是利用了勾股定理中的平方关系，通过对已知量做平方运算来求解未知量的平方。

当然，在实际问题中，我们通常更关心未知量的具体值，所以最后需要对其开方来得到实际的长度。

例题 1我们来看一个例子，假设已知一个直角三角形的斜边长度为5，一条直角边的长度为3，那么我们可以使用逆定理来求解另一条直角边的长度。

根据逆定理的表达式，我们有：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]所以，这个直角三角形的另一条直角边的长度为4。

例题 2再来看一个例子，已知一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边的长度为5，那么我们可以使用逆定理来求解另一条直角边的长度。

根据逆定理的表达式，我们有：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]所以，这个直角三角形的另一条直角边的长度为12。

总结勾股定理的逆定理是一种通过已知的斜边和一条直角边来确定另一条直角边长度的方法。

它利用了勾股定理中的平方关系，通过对已知量做平方运算来求解未知量的平方，并最后开方得到实际的长度。

使用逆定理时需要注意的是，已知的斜边和直角边必须是直角三角形的两条边，且要遵循勾股定理的条件。

勾股定理的逆应用：实际应用情况1. 应用背景勾股定理是数学中的一条基本定理，被广泛应用于几何学和物理学等领域。

它描述了直角三角形中三边之间的关系，即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆应用是指通过已知三边长度来判断一个三角形是否为直角三角形，或者通过已知三边长度来求解三角形的内角。

这种逆应用在实际应用中具有广泛的应用场景，如测量、建筑、导航等领域。

2. 应用过程勾股定理的逆应用可以通过以下几个步骤来实现：步骤1：收集已知信息根据实际情况，收集已知的三边长度信息。

这些信息可以通过测量得到，也可以通过其他途径获得，如地图、测绘数据等。

步骤2：判断是否为直角三角形利用勾股定理的逆应用，可以通过已知的三边长度来判断一个三角形是否为直角三角形。

根据勾股定理，如果一个三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，则该三角形为直角三角形。

步骤3：求解三角形的内角如果已知三边长度，且判断该三角形为直角三角形，可以利用勾股定理的逆应用来求解三角形的内角。

根据勾股定理，直角三角形的两个直角边与斜边之间的关系可以用来求解三角形的内角。

步骤4：应用效果通过勾股定理的逆应用，可以判断一个三角形是否为直角三角形，并且可以求解三角形的内角。

这些信息在实际应用中具有重要的意义，可以用于测量、建筑、导航等领域。

3. 应用效果勾股定理的逆应用在实际应用中具有广泛的应用效果，以下是几个典型的应用场景：测量在测量领域，勾股定理的逆应用可以用来判断一个三角形是否为直角三角形，并且可以通过已知的三边长度来求解三角形的内角。

例如，在建筑测量中，可以利用勾股定理的逆应用来确定建筑物的直角位置，从而确保建筑物的准确度和稳定性。

导航在导航领域，勾股定理的逆应用可以用来判断船只或飞机的航向是否为直角，从而帮助导航员确定正确的航线。

例如，航海中的航向角可以通过勾股定理的逆应用来求解，以确保船只沿着正确的航线行驶。

建筑设计在建筑设计中，勾股定理的逆应用可以用来确定建筑物的角度和比例。