数字信号处理实验报告
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数字信号处理报告IIR数字滤波器上海理工大学教师：苏湛组员：王世豪徐骞刘新2016.1.4一、实验简介Butterworth 和Chebyshev 低通滤波器方法：1) 根据性能参数，先设计一个模拟滤波器，按照一定的算法转换为满足预定指标的数字滤波器。
利用模拟原型滤波器的逼近算法和特性。
2）计算机辅助设计，从统计概念出发，对所要提取的有用信号从时域进行估计，在统计指标最优的意义下，使得估计值最优逼近有用信号，减弱或消除噪声。
1）Butterworth 低通滤波器 1 幅频特性：21|()|1()a NcH j Ω=Ω+Ω，其中N 为滤波器的阶数，c Ω为通带截止频率。
在Ω=0处，有最大值|(0)|1a H =；2）在通带截止频率c Ω=Ω处，不同阶次的幅频量值都相同，即为|()|0.707|(0)|a a H j H Ω=；3）阶数N 增加时，通带幅频特性变平，阻带衰减更快，逐渐趋近于理想滤波器的幅频特性。
幅频特性通常用衰减函数1020log |()/(0)|a a H j H α=-Ω描述。
分贝（dB ） 2 极点一共有2N 个，并且以圆点为对称中心成对的出现。
21()22k j N k c s eππ-+=Ω k=1,2,…,N系统函数：122()()()()N a c N KH s K s s s s s s ==Ω--- …3 通带衰减函数p α、阻带衰减函数s α 和系统幅频特性20log |()|a H j -Ω的关系：10p 20log |()|a p H j α-Ω≤Ω≤Ω p Ω为通带截止频率 10s 20log |()|a s H j α-Ω≥Ω≥Ω s Ω为阻带截止频率4 阶数N 0.10.11010log [(101)/(101)]2log (/)p s p s N αα----≥ΩΩ5 通带截止频率c Ω 0.10.11/21/2(101)(101)ps psc NNαα--ΩΩΩ==--确定了滤波器的阶数N 和通带截止频率c Ω，就可以求出系统的极点，从而求出系统函数()a H s ，这样就完成了Butterworth 低通滤波器的设计。
通常这是在给定技术指标,,,p s p s ααΩΩ的前提下进行的。
例题： 设计一个Butterworth 低通滤波器，要求频率小于20rad/s 范围内幅频响应衰减不大于2dB ，频率大于30rad/s 的幅频响应的衰减不小于10dB 。
解：该滤波器的技术指标为：p Ω=20rad/s, p α=2dB, s Ω=30rad/s,s α=10dB代入阶数N 的计算公式可得：0.120.1101010log [(101)/(101)]2log (20/30)N -⨯-⨯--≥=3.371取满足以上条件的最小整数N=4。
2）Chebyshev 低通滤波器Chebyshev 滤波器最主要的特点是引入了Chebyshev 多项式。
这是其特殊幅频特性的数学基础。
1 Chebyshev 多项式：11cos(cos )||1()()||1N N C ch Nch --⎧⎫ΩΩ≤⎪⎪Ω=⎨⎬ΩΩ>⎪⎪⎩⎭，Ω为信号的模拟角频率。
由此多项式可以得出如下特性： 1）||1Ω≤时，()N C Ω在-1和1之间波动； 2）Ω=1时，()N C Ω=1；3）Ω=0时，若N 为奇数，则()N C Ω=0；若N 为偶数，则()N C Ω等于1或-1；4）||1Ω>时，()N C Ω随Ω单调增大，N 越大，()N C Ω得增幅越大。
2 幅频特性：221|()|1()a N H j C εΩ=+Ω 3 系统函数：1()()a N k k KH s s s ==-∏=()KD s 4 极点分布：2N 个极点k k k s j σ=+Ω成对分布在椭圆22112211111((),())k k a sh sh b ch ch a b N N σεε--Ω+=== 的圆周上。
12111sin()()2k k sh sh N N πσε--= ， 12111cos()()2k k ch ch N N πε--Ω= 21/2(0)/(1)K D ε=+5 通带波动函数：21020log 1/1δε=-+6 波纹系数：0.1101δε=-7 阶数：0.110.11(101)/(101)(/)s s c ch N ch αδ----≥ΩΩ例题：设计一个Chebyshev 低通滤波器，技术指标为：通带波动δ=1dB ，截止频率0.2c πΩ=，阻带衰减函数16s dB α=，阻带边界频率为0.3s πΩ=。
解：对频率进行归一化处理 0.3/1.s c πΩ=Ω=波纹系数 0.11010.5088δε=-=，代入N 的求解公式，求得0.110.11(101)/(101) 3.321(/)s s c ch N ch αδ----≥=ΩΩ 取N=4。
2）概念1.脉冲响应不变法：脉冲响应不变法是一种将模拟滤波器转化为数字滤波器的基本方法。
它利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同的角度出发。
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n) 模仿模拟滤波器的冲击响应ha(t), 使h(n)正好等于ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT)T 为采样周期。
3）基本思想2.双线性变换法：在将模拟滤波器H(s)转换为数字滤波器H(z)时，不是直接从s 域到z 域，而实现将非带限的H(s)映射为代限的H(s ’),再通过脉冲响应不变法将s ’域映射到z 域，即H(s)->H(s ’)->H(z).4）对比3.脉冲响应不变法及双线性变换法优缺点脉冲响应不变法的优点：1，模拟频率到数字频率的转换时线性的；2，数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。
缺点：会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器双线性变换法优点：克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠缺点：时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真5）IIR数字滤波器的特点1、封闭函数IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。
2、IIR数字滤波器采用递归型结构IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。
IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。
由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。
3、借助成熟的模拟滤波器的成果IIR 数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。
在设计一个IIR 数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。
4、需加相位校准网络IIR 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。
6）Matlab 运行结果如图00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-40-35-30-25-20-15-10-5二、实验设计1.实验讨论根据所要设计滤波器的参数去确定一个模拟滤波器的传输函数，然后再根据这个传输函数，通过双线性变换、或脉冲响应不变法来进行数字滤波器的设计。
它的设计比较复杂，复杂在于它的模拟滤波器传输函数H（s）的确定。
这一点我们可以让软件来实现。
然后，我们说一下它的具体实现步骤：首先你要先确定你需要一个什么样的滤波器，巴特沃斯型，切比雪夫型，还是其它什么型的滤波器。
当你选定一个型号后，你就可以根据设计参数和这个滤波器的计算公式来确定其阶数、传输函数的表达式。
通常这个过程中还存在预扭曲的问题（这只是双线性变换法所需要注意的问题，脉冲响应不变法不存在这种问题）。
确定H（S）后，就可以通过双线性变换得到其数字域的差分方程。
2.实验目的在理论学习的基础上，掌握不同IIR滤波器的性质、特点，并通过实验学习如何设计各种常用的IIR滤波器，以便在实际工作中能根据具体情况使用IIR滤波器。
3.设计流程模拟原型低通→模拟带通滤波器→数字带通滤波器4.实验原理根据模拟带通滤波器的上、下截频确定变换式中的参数B和w0B=wpu-wpl=0.3142;w02=wpl*wpu=1.5629;确定原型低通滤波器的通带截频wp、阻带截频wswp1=(wpu^2-w0^2)/((wpu-wpl)*wpu))=1.0000wp2=(wpl^2-w0^2)/((wpu-wpl)*wpl))==-1.0000ws1=((wsu^2-w0^2)/((wpu-wpl)*wsu))=1.8750ws2=((wsl^2-w0^2)/((wpu-wpl)*wsl))=-2.1875原型低通滤波器的通带截频wp=1rad/s,但变换后的阻带截频|ws1|和|ws2|通常不等，只有选择其中较小者作为原型滤波器的阻带截频ws,相应的模拟带通滤波器在阻带衰减才能满足设计，即ws=min{|ws1||ws2|}=1.8750设计技术指标wp=1rad/s,Ap=3dB,ws=1.8750rad/s,As=10dB的原型低通滤波器HL (s)N≥lg((1000.1As-1)/(1000.1Ap-1))/2lg(ws)=1.0936N=2，Butterworth低通滤波器的wc为wc=1/(100.1Ap-1)1/2N=1.0012由N和wc可得所设计的原型低通滤波器函数HL(s)=1.0024---------------------s^2 + 1.416 s + 1.0024利用复频率变换获得模拟带通滤波器的系统函数为HBS(s)=0.09893 s^2 + 1.237e-016 s - 4.437e-017----------------------------------------------s^4 + 0.4448 s^3 + 4.984 s^2 + 1.087 s + 5.967利用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器HBS(z)=6.939e-018 z^3 + 0.02237 z^2 - 0.07855 z + 0.02793-------------------------------------------------z^4 - 0.03108 z^3 + 1.562 z^2 - 0.01985 z + 0.6409 三、程序代码clear;wpu=0.55*pi;wpl=0.45*pi; wsu=0.6*pi;wsl=0.4*pi;B=0.55*pi-0.45*pi;w0=(wpl*wpu)^0.5; %根据模拟带通滤波器的上、下截频确定变换式中的参数B和w0.wp1=abs((wpu^2-w0^2)/((wpu-wpl)*wpu))wp2=abs((wpl^2-w0^2)/((wpu-wpl)*wpl))ws1=abs((wsu^2-w0^2)/((wpu-wpl)*wsu))ws2=abs((wsl^2-w0^2)/((wpu-wpl)*wsl))wp=min(wp1,wp2)ws=min(ws1,ws2)%确定原型低通滤波器的通带截频wp、阻带截频ws.//通带截频一般相等，阻带截频一般不等。
