pde_intro

ODE PDE
二次型
二次型：
2 2 D (ξ1 , ξ2 ) = aξ1 + 2bξ1 ξ2 + c ξ2 = (ξ1 , ξ2 )
a b b c
ξ1 ξ2
矩阵
a b b c
有两个特征值λ1 , λ2 。我们知道
λ1 > λ2 > 0 or λ1 < λ2 < 0 有定型的（正定或者负定） λ1 > 0 > λ2 > 0 or λ1 < 0 < λ2 亏格为1 λ1 或者λ2 有一个是0的情况，称为退化型
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关于偏微分方程
ODE PDE
一阶ODE
我们知道下面的方程
du (t ) = F (t ) dt
t
解可以表达为 u (t ) = u (0) +
F (s)ds
0
所以自然的，初值问题为 du (t ) = F (t ), u (t = 0) = u0 dt
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关于偏微分方程
ODE PDE
泊松方程装备第一类边界条件(Dirichlet边界条件) ∆u = f , x ∈ Ω u = 0, on ∂ Ω 或者第二类边界条件(Neumann 边界条件) ∂u = 0, on ∂ Ω ∂n 或者第三类边界条件(混合边界条件) au + b ∂u = 0, on ∂ Ω ∂n
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关于偏微分方程
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ODE PDE
偏微分方程(PDE)的分类
偏微分方程（PDE）分类有很多种，这里我们先从一种最常用的 开始，后面我们遇到具体的数学模型时，我们再涉及其他分 类。PDE的分类主要是针对其主部，也就是最高阶导数部分，这 和ODE一致。为简单我们只看2D的情形。
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关于偏微分方程
方程形式完全变了。假设u (y1 , y2 ) = u1 (y1 ) ∗ u2 (y2 ), 则上面的方 程则退化成一个一阶方程 4∂y1 u1 (y1 )∂y2 u2 (y2 ) = f (y1 , y2 ) 按上面ODE的理解，我们的边值只要一个条件就够了。
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ODE PDE
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关于偏微分方程
ODE PDE
小结
一个观察 最高阶导数是k阶的ODE，我们需要k个边界条件。
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ODE PDE
偏微分方程(PDE)
一个认识 从ODE到PDE，问题复杂了很多。有人认为PDE可以看成无 数ODE的组合。这是一个错误的看法。已经有反例证 明PDE和ODE有本质的区别。但是，这并不能妨碍我们使用一 些ODE的认识去理解PDE。
ODE PDE
偏微分方程的边值条件
热方程装备第一类边界条件(Dirichlet边界条件)
∂t u − ∆u = f , x ∈ Ω
0 u = 0, on ∂ Ω
u (t = 0) = u ,
或者第二类边界条件(Neumann 边界条件) ∂u = 0, on ∂ Ω ∂n 或者第三类边界条件(混合边界条件) au + b ∂u = 0, on ∂ Ω ∂n
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ODE PDE
偏微分方程的边值条件
波方程(固定壁条件)
2 ∂t u − ∆u = f , x ∈ Ω ∂ u = 0, on ∂ Ω
u (t = 0) = u0 , ∂t u (t = 0) = u1 ∂n
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关于偏微分方程
u = 0, on ∂ Ω
第一个方程是传输方程，属于双曲方程类。所以对密度ρ只需要 初值.第二个方程属于抛物类，（主要看主部），边值条件使用 第一类边界条件
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关于偏微分方程
二阶ODE
作为边值问题的完整的描述： 方程： d 2 u (t ) = G(u (t ), u (t ), t ) d 2t 空间：t ∈ [0, T ]
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ODE PDE
二阶ODE
可能出现的边值条件 u (t = 0) = u0 , u (t = T ) = u1 ; u (t = 0) = u0 , u (t = T ) = u1 u (t = 0) = u0 , u (t = T ) = u1 (au + bu )(t = 0) = u0 , (cu + du )(t = T ) = u1 甚至可以 au (t = 0) + bu (t = T ) = g1 , cu (t = 0) + du (t = T ) = g2 ,
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ODE PDE
二阶ODE
作为初值问题的完整的描述： 方程： d 2 u (t ) = G(u (t ), u (t ), t ) d 2t 空间：t ∈ [0, ∞) 初值： u (t = 0) = u0 , u (t = 0) = v0
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关于偏微分方程
ODE PDE
ODE
∂t ρ + div (ρu ) = 0, x ∈ Ω ρ∂ u + ρu · ∇u + ∇P (ρ) − µ∆u − (µ + λ)∇divu = 0 t u (t = 0) = u0 , rho(t = 0) = ρ0
v (t = 0) = v , u (t = 0) = u 0 0
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关于偏微分方程
ODE PDE
二阶ODE
偏微分方程，按边界条件，大体可以分为三类 初值问题也称为Cauchy 问题。我们知道，对当前的状态是 可以通过各种计量手段测量出来的，模拟的目的是希望已知 现在的状态预测未来的状态发展。我们已知的当前的状态就 是初值 边值问题如果我们遇到一个黑匣子不知道内部的信息，但是 知道边界的信息，我们希望通过边界的信息计算出内部的运 行状态。这个空间边界的信息就是边值。这样的求解问题， 就是边值问题 其他，如反问题，混合问题，等等，需要具体问题具体分析 的那些问题
2 2 2∂y u (y1 , y2 ) + 2∂y u (y1 , y2 ) = f (y1 , y2 ) 1 2
体现了一种不变性.这成为张量场的不变性，即Laplacian作为一 个标量场满足张量性质。
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双曲方程
2 − ∂ 2 。使用 双曲方程体现了完全不同的性质，我们考察 = ∂x x2 1 新坐标y1 = x1 − x2 ,y2 = x1 + x2 ,在新坐标(y1 , y2 )下，方程形式 为 4∂y1 ∂y2 u (y1 , y2 ) = f (y1 , y2 )
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ODE PDE
椭圆方程
我们首先考察椭圆方程，以拉普拉斯方程为例。椭圆算子通常在 实际工程中，是由于扩散或者耗散引起的。借助于热方程，热会 从温度高的地方向温度低的地方扩散，在没有外源的情况下，会 最终趋向一个平衡。方程本身体现了一种对称性。例 如∆u (x1 , x2 ) = f , 如果我们使用新坐 标y1 = x1 − x2 ,y2 = x1 + x2 ,在新坐标(y1 , y2 )下，方程形式为
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ODE PDE
2D 的二阶算子分类
一个2D的二阶算子: 2 + 2b (x , y )∂ ∂ + c (x , y )∂ 2 D (x , y ) = a(x , y )∂x x y y 我们用i ξ1 → ∂x 、i ξ2 <→ ∂y , 则算子D (x , y )化为如下的关于ξ1 , ξ2 的二次型:
PDE
从上面的简单分析我们看到方程不同的类型体现了不同的性质， 边值的要求也完全不一样。所以，在给定边界条件事，除了结合 实际物理的直观外，也要考察方程的型。幸运的是，无论从物理 还是方程分类出发，结论都是一致的。这就是数学物理的魅力。
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ODE PDE
偏微分方程的边值条件
2 2 D (x , y , ξ1 , ξ2 ) = −a(x , y )ξ1 − 2b(x , y )ξ1 ξ2 − c (x , y )ξ2
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ODE PDE
2D 的二阶算子分类
我们对应(ξ1 , ξ2 )二次型对D作如下分类： D (x , y , ξ1 , ξ2 )有定型，称为椭圆型（Elliptic) D (x , y , ξ1 , ξ2 )亏格为1，称为双曲型（Hyperbolic) D (x , y , ξ1 , ξ2 )退化，称为退化型（Hyperbolic) 抛物方程是一种退化型椭圆方程。对一个椭圆算子D，我们 称∂t + D 是抛物算子。
一阶ODE
更一般的
du (t ) = G(u (t ), t ), u (t = 0) = u0 dt
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ODE PDE
二阶ODE
二阶
d 2 u (t ) = G(u (t ), u (t ), t ) d 2t
u (t ) = v
可以化为
v (t ) = G (u , v , t )
ODE PDE
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2016年1月
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关于偏微分方程
ODE PDE
Outline
1
ODE
2
PDE
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常微分方程(Ordinary Differential Equation)