信号分析3-信号时域分析69

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二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t

x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
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运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
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对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，

2 f (n )
N
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SIGNALS AND SYSTEMS
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1.1.4能量信号与功率信号
1.能量信号 能量信号的归一化能量为有限值，归一化功率为零。即满 足 0 W ，P 0 。
2.功率信号 功率信号的归一化功率为有限值，归一化能量为无限大。 即满足 W ， 0 P 。一般，周期信号为功率信号。
t
cos Ω t
Im f t Ae
t
sin Ω t
Re 的波形相似，只是相位相差 f t 信号 Re f t 的波形与 。 两者均为实信号，而且是频率相同，幅值随时间变化的正( 2 余)弦振荡信号。
Re f t 0 Im f t 0
f (t )
A
f (n)
A N
-T
-T/2
0 -A (a)
T/2
T t
-N
0
N
2N
n
(b)
图1-5周期信号
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1.1.3周期信号与非周期信号
2.非周期信号: 不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。 周期分别为T1 、T 2 的2个信号相加产生的信号 f t ，其周期 最小公倍数 T 0 为：
N
W 0
所以该信号为能量信号。
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1.1.5 实信号与复信号
1.实信号 在各时刻 t （或 n ）上的信号幅值为实数的信号为实信号。 例如，单边指数信号，正、余弦信号等。实信号是可以物 理实现的。 2.复信号 函数(或序列)值为复数的信号称为复信号，最常用的是复 指数信号。连续时间的复指数信号通常表示为：

第二章连续信号的时域分析所谓信号的时域分析，指的是整个分析过程都在时间域内进行，分析过程中所有的信号都用以时间t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示。

本章首先介绍几个典型的连续时间信号，以及对这些信号的基本运算。

此外，连续信号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算，本章将详细介绍卷积积分的定义及其运算方法。

2.1 基本要求1．基本要求♦了解基本的连续信号及其相关参数和描述；♦了解信号的基本运算；♦掌握阶跃信号和冲激信号的定义、性质及作用；♦掌握卷积积分的定义、性质及计算。

2．重点和难点♦冲激信号的定义及性质♦含有阶跃和冲激函数的信号的求导和求积分运算♦卷积积分的计算2.2 知识要点1．基本的连续信号了解正弦信号、实指数信号、复简谐信号、门信号及抽样函数信号的函数表达式、时间波形及其相关参数。

2．信号的基本运算从数学意义上看，系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算。

一个复杂的运算可以分解为一些基本运算的组合。

本章主要了解信号的加减乘除运算、翻转平移和尺度变换、微积分等几种基本的运算。

所有运算既可以利用信号的时间函数表达式进行，也可以在时间波形图上进行运算。

注意与数学上相关运算的区别。

这里强调，作为信号基本运算之一的积分运算，运算结果得到的是一个新的以t 为自变量的函数，具体表示符号和定义为⎰∞--=tf t fττd )()()1( （2-1）3．阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号是对实际系统中的某类信号进行理想近似后得到的两个特殊信号，这两种信号用于描述一类特殊的物理现象，对于信号特性和系统性能的分析，起着十分重要的作用。

阶跃信号和冲激信号的时间波形如图2-1所示。

在信号与系统的分析过程中，经常利用阶跃函数将分段信号的时间函数表达式统一为一个解析表达式，以简化信号的运算。

利用阶跃函数还可以方便地表示因果、非因果信号等。

由于阶跃函数和冲激函数是两个特殊的函数，因此在进行求导和求积分等运算时，必须根据其定义和性质对函数表达式进行分析，以便化为普通函数的运算。

因此，有

T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x

自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T

T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)

2.2.2 自相关(self-correlation)分析