九年级数学上册第四章图形的相似1成比例线段如何利用线段的比值求比例式的值？素材北师大版剖析

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。

截得的线段成比例。

三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明六、利用相似三角形测高1、利用阳光下的影子2、利用标杆3、利用镜子的反射七、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

八、图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：CABD CABDE E D BACDE ∥BC∠B ∠AED∠B ∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型母子型AC ∥BD∠B ∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．AD B C。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。

将“形”的问题转化为“数”的问题。

2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。

比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。

（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。

（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。

（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。

在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。

5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。

如何利用线段的比值求比例式的值？难易度：★★★★★关键词：线段的比-比例式的值答案：解决此类问题的方法是：引进一个参数k，把线段比中的字母用含k的式子表示，再代入比例式求值。

【举一反三】典题：已知a：b：c=2:3：5,求的值.思路导引：由a：b:c=2:3:5，设a=2k，b=3k,c=5k，再将a、b、c代入求值。

标准答案:解：根据题意,设a=2k,b=3k,c=5k，则===1。

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