同济大学线性代数期末试卷1

复习题一、单项选择题1. 设A 是5×3矩阵，且B 是3×2矩阵，C 是2×2矩阵，则矩阵运算可行的是( )A.ACB.ABCC.BCAD.BAC2. 设A 是n 阶方阵(n>1)，线性方程组AX=b 仅有一个解，则A 的秩为（ ）A.nB.1C.0D.不存在3. 设A 是n 阶方阵，则|A|=0的充要条件是（ ）A.A 中有两行（两列）元素对应成比例B.A 为奇异矩阵C. A 中有一行元素全为零D. A 中任一行为其余行的线性组合4. 已知二次型f=X T AX 对应的矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--210121011,则A 是（ ）A. 负定矩阵B.正定矩阵C. 既正定矩阵又负定矩阵D. 以上都不是5.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e dc b a ,B=(0,0,1),则乘积BA=( ) A.(a,b,c) B.(d,e,f) C.(g,h,i) D.(a,b,1)6. 设A,B 是两个n 阶方阵，且k>0，则以下正确的是( )A.|A-B| = |A| - |B|B.|kA|=k n |A|C.|kA|=k|A|D.|A+k|=|A|+k7. 设A 是n 阶方阵，且|A|=0,则A 一定是（ ）A 降秩矩阵 .B. 满秩矩阵 C.可逆矩阵 D. 非奇异矩阵8. 若A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200110001,则A 的秩R(A)=( )A. -1B. 2C.3D.-29.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e dc b a ,B=(1,0,0),则BA=( ) A.(a,b,c) B.(d,e,f) C.(g,h,i) D.(a,b,1)10. 行列式方程224132513232213211x x --=0有（ ）个根 A.1 B.2 C.3 D.4 二、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1. 若A,B,C 均为n 阶方阵，且由AB=AC,可以推出B=C,则A 应是什么矩阵？为什么？2.设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200034012,求1-A3.设⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-=+-020*********321321x x x x x x x x x λ当参数λ为何值时，齐次线性方程组有非零解4. D=1641421111-这是什么行列式？求行列式D 的值，5. 设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200034012 B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛340230002/1求 ⎢AB ⎥6. 设A 是n 阶方阵,满足条件A 2=A,|A|≠0求|A|7.设A 为2阶方阵，|A|=1/3,求|3A|8. 已知α=(2,0,-1,5)T ，β=(2,0,2,1)T ，求两个向量的内积以及将β单位化9.设向量α=(1,0,-3)T ，β=(-3,0,t)T 线性相关，求参数t10. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ12y 相似, 求x , y三、综合题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）1.已知A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--143125,B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--102023,求BA T2. 用行初等变换，求下列向量组的秩、写出它的一个极大无关组及将其余向量由该极大无关组线性表示，T T T )1,1,0,3(,)1,2,1,1(,)2,1,1,2(321-=-==ααα3.用行初等变换，求矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---153121132的逆矩阵A -14.设实对称阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400031013，求可逆阵P(不必正交)，使Λ=-AP P 1为对角阵5.求解非齐次线性方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x6. 判断下列向量组的线性相关性T T T )1,3,2(,)1,2,1(,)1,1,4(321-=-=-=ααα7.求解非齐次线性方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2223120432143214321x x x x x x x x x x x x8.设实对称阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100，求正交阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵9. 已知A 的特征值为1，2，3，求|A|，A 的迹与|A 2+A+3E|.四、证明题（本大题共1小题，共10分）1.设A 是n 阶非奇异阵,满足条件A 2=A,证明|A|=12.若实方阵A 满足A 2-2A-4I=O,,证明:A+I 为可逆阵（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。

2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。

四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。

答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。