数学分析试题(二年级第一学期)_3

数学分析试题（二年级第一学期）2一 叙述题（每小题10分，共30分） 1． 叙述二重积分的概念。

2． 叙述Gauss 公式的内容。

3． 叙述Riemann 引理。

二 计算题（每小题10分，共50分）1．求球面50222=++z y x 与锥面222z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。

2．求平面0=z ，圆柱面x y x 222=+，锥面22y x z +=所围成的曲顶柱体的体积。

3．计算三重积分⎰⎰⎰++=Vdxdydz z y x I )(。

其中 10,10 ,10:≤≤≤≤≤≤z y x V 。

4． 利用含参变量积分的方法计算下列积分dx e x ⎰+∞∞--2。

5． 计算⎰⎰++Mdxdy z dzdx y dydz x ,333 其中M 为上半椭球面 ),0,,(0,1222222>≥=++c b a z c z b y a x 定向取上侧.三 证明题（每小题10分，共20分）1．若1≥n 及,0 ,0≥≥y x 证明不等式.22nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+≥+2．证明dx xxy⎰∞+0sin 关于y 在)0( ] ,[+∞<<<b a b a 上一致收敛，但在) ,0(∞+上非一致收敛.数学分析试题（二年级第一学期）答案2一 叙述题（每小题10分，共30分）1．设Ω为2R 上的零边界区域，函数),(y x f z =在Ω上有界。

将Ω用曲线网分成n 个小区域n ∆Ω∆Ω∆Ω,...,,21（称为Ω的一个分划），记i σ∆为i ∆Ω的面积，并记所有的小区域i ∆Ω的最大直径为λ。

在每个i ∆Ω上任取一点),(i i ηξ，若λ趋于零时，和式i ni iif I σηξ∆=∑=1),(的极限存在且与区域的分法和点),(i i ηξ的取法无关，则称)(x f 在Ω上可积，并称此极限为),(y x f 在有界闭区域Ω上的二重积分，记为 ini iif d y x f I σηξσλ∆==∑⎰⎰=Ω→1),(lim ),(。

2．设Ω是3R 中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数),,(z y x P ，),,(z y x Q 和),,(z y x R 在Ω上具有连续偏导数。

则成立等式⎰⎰⎰⎰⎰Ω∂Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，这里Ω∂的定向为外侧。

3．设函数)(x ψ在],[b a 可积且绝对可积，则成立 ⎰=+∞→b ap pxdx x sin )(limψ0cos )(lim =⎰+∞→bap pxdx x ψ。

二 计算题（每小题10分，共50分）1． 求球面50222=++z y x 与锥面222z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。

解 设 50),,(222-++=z y x z y x F ，222),,(z y x z y x G -+=。

它们在)5 ,4 ,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：,6=∂∂x F ,8=∂∂y F ,10=∂∂z F ,6=∂∂x G ,8=∂∂y G ,10-=∂∂zG 和160),(),(-=∂∂z y G F ， 120),(),(-=∂∂x z G F ，0),(),(=∂∂y x G F 。

所以曲线在)5 ,4 ,3(处的切线方程为：512041603-=-=--z y x ， 即⎩⎨⎧==-+-.5,0)4(4)3(3z y x 法平面方程为0)5(0)4(3)3(4=-+-+--z y x ， 即034=-y x 。

2． 求平面0=z ，圆柱面x y x 222=+，锥面22y x z +=所围成的曲顶柱体的体积。

解 其体积⎰⎰+=Ddxdy y x V 22，其中x y x D 2 :22≤+。

设ϕϕsin ,cos r y r x ==。

22,cos 2 :πϕπϕ≤≤-≤r D 。

故.932sin )sin 1(38 cos38222223cos 2022222=-===+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰---ππππϕππϕϕϕϕϕd d drr d dxdy y x V D3． 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=++=++=++=++=++101010210101010210101010.23)1(|]2)21[()21(|]2)[()()(dx x dx y y x dy y x dx dy z z y x dx dz z y x dy dx dxdydz z y x V4． 解： 首先，令dx eI x ⎰+∞∞--=2，则dx eI x ⎰+∞-=022，在积分dx e x ⎰+∞-02中，再令ut x =，其中u 为任意正数，即得. 20222dx eu dx eI t u x ⎰⎰+∞-+∞-==再对上式两端乘以du e u 2-，然后对u 从0到∞+积分，得⎰⎰+∞-+∞-=02.4222dt ue du e I t u u注意到积分次序可换，即得.124402)1(0222222π=+===⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞++-+∞-+∞-tdtudue dt dtue du e I u tt u u由于,0>I 故.π=I5． 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为.20,20,cos ,cos sin ,cos sin πϕπθϕθϕθϕ≤≤≤≤===c z b y a x易得,cos sin ),(),(2θϕθϕbc z y =∂∂,sin sin ),(),(2θϕθϕac x z =∂∂,cos sin ),(),(2θϕθϕba y x =∂∂因此).(52)cos sin sin sin cos sin (22234532/020453333c b a abc d ab c ac b bc a d dxdy z dzdx y dydz x M++=++=++⎰⎰⎰⎰πθϕϕθϕθϕϕππ三 证明题（每小题10分，共20分）1．证明 考虑函数2nn y x z +=在条件)0 ,0 ,0( ≥≥>=+y x a a y x 下的极值问题，设).()(21),(a y x y x y x F n n-+++=λ 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂--0020211a y x F y n y F x n x F n n λλλ可得.2a y x ==从而.222nn n n y x a y x ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+如果0==y x 时，则结论显然成立.2．证明 首先证dx xxy⎰∞+0sin 在] ,[b a 上一致收敛. 由于 ], ,[ ,0 ,22)cos(1sin 0b a y A ay y Ay xydx A∈≥≤≤-=⎰因而一致有界，而x /1是x 的单调减少函数且,01lim =+∞→xx 由于x /1与y 无关，因此这个极限关于y 是一致的，于是由Dirichlet 判别法知dx x xy⎰∞+0sin 在] ,[b a y ∈上一致收敛. 再证dx xxy⎰∞+0sin 在) ,0(∞+上非一致收敛. 对于正整数n ，取n y /1=，这时 .32sin 32/sin sin 2/32/32/3ππππππππ=>=⎰⎰⎰n nn nn ndx n x n dx x n x dx xxy只要取,320πε=则对于任意,0A 总存在正整数n 满足,0A n >π 取n y /1=，这时成立 .32sin 02/3επππ=>⎰n ndx x xy由Chauchy 收敛原理知dx xxy⎰∞+0sin 在) ,0(∞+上非一致收敛.。