IOWA算子的概念

㊀第52卷第4期郑州大学学报(理学版)Vol.52No.4㊀2020年12月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Dec.2020收稿日期:2020-07-02基金项目:国家自然科学基金项目(61806182);郑州大学青年教师专项科研启动基金项目(32220326);郑州大学经济学管理学新兴学科孵化研究基地项目(101/32610168);河南省高等学校青年骨干教师培养计划项目㊂作者简介:杜文胜(1987 ),男,河南濮阳人,副教授,主要从事决策理论与决策分析研究,E-mail:wsdu@;通信作者:闫雅楠(1996 ),女,河南许昌人,硕士研究生,主要从事多属性决策研究,E-mail:yan0251@㊂广义正交模糊IOWA 算子及其在多属性决策中的应用杜文胜,㊀闫雅楠(郑州大学商学院㊀河南郑州450001)摘要:广义正交模糊集是直觉模糊集和毕达哥拉斯模糊集的推广,诱导有序加权平均算子(IOWA)是一种常用的聚合算子㊂将广义正交模糊集和诱导有序加权平均算子相结合,引入了广义正交模糊诱导有序加权平均算子,研究了它的一些重要性质,同时提出了一种基于广义正交模糊诱导有序加权平均算子的多属性决策方法㊂通过一个评奖实例说明了该方法的有效性,并分析了参数q 对决策结果的影响,决策结果表明了广义正交模糊诱导有序加权平均算子的稳定性㊂关键词:广义正交模糊集;IOWA 算子;多属性决策中图分类号:O159;C934㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2020)04-0053-07DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.20202060㊀引言多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分㊂由于决策环境的复杂性,导致人们对于信息认知和表达的不确定性,决策评价者很难精确地表示决策事物的属性值㊂文献[1]提出了模糊集理论,可以描述不确定现象㊂随后,文献[2]对模糊集理论进行了推广,提出了直觉模糊集理论㊂文献[3-4]定义了直觉模糊集上的加法运算㊁数乘运算㊁乘法运算和指数运算㊂随着模糊理论的发展,模糊信息的适用范围在不断拓宽㊂美国学者Yager 提出了毕达哥拉斯模糊集理论[5]和广义正交模糊集理论[6]㊂毕达哥拉斯模糊集的约束条件是隶属度与非隶属的平方和不大于1㊂广义正交模糊集的约束条件是隶属度与非隶属度的q 次方之和小于或者等于1㊂文献[7]提出了一系列广义正交模糊加权算术平均和加权几何平均算子㊂文献[8]提出了一簇广义正交模糊Bonferroni 平均算子㊂文献[9]提出了一系列广义正交模糊Heronian 平均算子㊂文献[10]提出了一簇广义正交模糊Maclaurin 对称平均算子㊂随后许多专家学者在该领域做出了研究与探索[11-14]㊂美国学者Yager 首先提出了有序加权平均(ordered weighted average,OWA)算子的概念[15],并得到广泛应用㊂随后,Yager 又提出了诱导有序加权平均(induced ordered weighted average,IOWA)算子[16],该算子的特点是权重只与集结过程中的位置有关㊂自提出以来,IOWA 算子在很多研究领域被扩展和应用[17-21]㊂但是在广义正交模糊环境下的IOWA 算子及其应用仍待研究㊂本文利用IOWA 算子集结广义正交模糊信息,提出广义正交模糊IOWA (q -rung orthopair fuzzy inducedordered weighted average,q -ROFIOWA)算子,并考察算子的性质,将该算子应用在多属性决策问题中,通过实例分析了方法的有效性与稳定性㊂1㊀预备知识1.1㊀广义正交模糊集定义1[6]㊀设X 为一个非空一般集合,则定义在X 上的广义正交模糊集A 的表达式为A ={ x ,u A (x ),v A (x )⓪x ɪX },(1)郑州大学学报(理学版)第52卷图1㊀各模糊集的隶属度空间范围Figure 1㊀Membership spaces of differenttypes of fuzzy sets其中:u A (x )和v A (x )分别表述元素x 属于集合X 的隶属度和非隶属度,并且满足0ɤu A (x )ɤ1,0ɤv A (x )ɤ1以及0ɤu A (x )q +v A (x )q ɤ1(q ȡ1)㊂为了方便,记α=(u ,v )为一个广义正交模糊数㊂显然,广义正交模糊数的隶属度空间比毕达哥拉斯和直觉模糊的隶属度空间都大,如图1所示㊂定义2[7]㊀设α1=(u 1,v 1)和α2=(u 2,v 2)为两个广义正交模糊数,并且λ为任意正数,则广义正交模糊数的运算法则为:1)α1 α2=((u q 1+u q 2-u q 1u q 2)1/q,v 1v 2);2)α1 α2=(u 1u 2,(v 1q +v q 2-v q 1v q 2)1/q );3)λα1=((1-(1-u q 1)λ)1/q ,v λ1);4)αλ1=(u λ1,(1-(1-v q 1)λ)1/q)㊂定义3[7]㊀设α=(u ,v )为一个广义正交模糊数,则α的得分函数定义为S (α)=u q -v q ,α的精确函数定义为H (α)=u q +v q ㊂对于任意两个广义正交模糊数α1=(u 1,v 1)和α2=(u 2,v 2),则有:1)若S (α1)>S (α2),则α1>α2;2)若S (α1)=S (α2),则:若H (α1)>H (α2),则α1>α2;若H (α1)=H (α2),则α1=α2;若α1>α2或α1=α2,记作α1ȡα2㊂1.2㊀诱导有序加权平均算子定义4[16]㊀设有二元数对 πi ,a i ⓪(i =1,2, ,n ),称满足下述关系的f ω为诱导有序加权平均算子,f ω( π1,a 1⓪, π2,a 2⓪, , πn ,a n ⓪)=ðnj =1ωj b j,(2)其中:ω=(ω1,ω2, ,ωn )是与f ω相关联的加权向量,并满足0ɤωi ɤ1(i =1,2, ,n )及ðni =1ωi =1;二元数对 πi ,a i ⓪(i =1,2, ,n )称为有序加权平均对,第1个分量πi 称为诱导分量,第2个分量a i 称为数值分量;b j 表示(π1,π2, ,πn )中第j 大的元素所在的OWA 对中的第2个分量㊂2㊀广义正交模糊IOWA 算子2.1㊀基本定义定义5㊀设αi =(u i ,v i )(i =1,2, ,n )为一组广义正交模糊数,若q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)= nj =1ωj βj ,(3)则称q-ROFIOWA 为广义正交模糊诱导有序加权平均算子㊂定义5给出了IOWA 算子在广义正交模糊环境下的数学表达式㊂可以看出,IOWA 算子在实数环境与广义正交模糊环境下的数学表达形式是类似的㊂需要注意的是,在广义正交模糊环境下IOWA 算子需要遵循广义正交模糊集的运算法则(定义2)㊂根据定义2和定义5可以得到如下定理㊂定理1㊀设αi =(u i ,v i )(i =1,2, ,n )为一组广义正交模糊数,则利用q-ROFIOWA 算子集结后的结果仍然是广义正交模糊数,且q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=((1-ᵑnj =1(1-u j q)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )㊂(4)㊀㊀证明㊀首先证明等式成立,再证明集结结果仍为广义正交模糊数㊂根据定义2可以得到ωj βj =((1-(1-u j q)ωj)1q,v j ωj )㊂因此45㊀第4期杜文胜,等:广义正交模糊IOWA 算子及其在多属性决策中的应用nj =1ωj βj =((1-ᵑnj =1(1-u j q)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )㊂所以q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=((1-ᵑnj =1(1-u j q)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )㊂由于u q +v q ɤ1,则u q ɤ1-v q ,因此1-ᵑnj =1(1-u q j)ωj+ᵑnj =1v ωj qjɤ1-ᵑnj =1(1-(1-v q j))ωj+ᵑnj =1v ωj qj=1,故算子聚合的结果也是一个广义正交模糊数㊂2.2㊀算子性质性质1㊀置换不变性设( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)是任一数据向量,( πᶄ1,αᶄ1⓪, πᶄ2,αᶄ2⓪, , πᶄn ,αᶄn ⓪)是( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)的任一置换,则q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=q-ROFIOWA ( πᶄ1,αᶄ1⓪, πᶄ2,αᶄ2⓪, , πᶄn ,αᶄn ⓪)㊂㊀㊀证明㊀由于q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)= nj =1ωj βj 中βj 表示(π1,π2, ,πn )中第j 大的元素所对应的αi (i =1,2, ,n ),由于诱导分量是给定的,所以任一置换q-ROFIOWA ( πᶄ1,αᶄ1⓪, πᶄ2,αᶄ2⓪, , πᶄn ,αᶄn ⓪)= nj =1ωj βj 中的βj 是相等的,即q-ROFIOWA 算子具有置换不变性㊂性质2㊀幂等性设( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)是任一数据向量,若对任意的i 有αi =α=(u ,v ),则有q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=α㊂㊀㊀证明㊀由于αi =α=(u ,v )对于所有i 都成立,根据定理1可得q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=((1-ᵑnj =1(1-u q j)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )=((1-ᵑnj =1(1-u q )ωj )1q,ᵑnj =1v ωj )=((1-(1-u q ))1q,v )=(u ,v )=α,即q-ROFIOWA 算子具有幂等性㊂性质3㊀单调性令αi =(u i ,v i )和βi =(s i ,t i )(i =1,2, ,n )为两组广义正交模糊数,若u i ɤs i ㊁v i ȡt i 对于任意i 都成立,则有q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)ɤq-ROFIOWA ( π1,β1⓪, π2,β2⓪, , πn ,βn ⓪)㊂㊀㊀证明㊀记q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=(u ,v )和q-ROFIOWA ( π1,β1⓪, π2,β2⓪, , πn ,βn ⓪)=(s ,t )㊂由于u i ɤs i 对于所有的i 都成立,则有u q iɤs q i,进而可以得到ᵑni =1(1-u q i)ωiȡᵑni =1(1-s q i )ωi,所以(1-ᵑni =1(1-u q i)ωi)1qɤ(1-ᵑni =1(1-s q i)ωi)1q,也就是u ɤs ㊂同理可得v ȡt ,此时两个广义正交模糊数(u ,v )和(s ,t )的得分函数值有以下两种情况:若u <s v >t{,u =s v >t{或u <s v =t{,则u q -v q <s q -t q ;若u =s v =t{,则u q +v q =s q +t q ㊂根据定义3,两个广义正交模糊数(u ,v )和(s ,t )之间的大小关系是(u ,v )ɤ(s ,t ),即q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)ɤq-ROFIOWA ( π1,β1⓪, π2,β2⓪, , πn ,βn ⓪)㊂性质4㊀界值性设αi =(u i ,v i )(i =1,2, ,n )为一组广义正交模糊数,则有55郑州大学学报(理学版)第52卷α-ɤq-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)ɤα+,其中:α-=(min ni =1(u i ),max ni =1(v i ));α+=(max ni =1(u i ),min ni =1(v i ))㊂㊀㊀证明㊀根据性质2可得q-ROFIOWA ( π1,α-⓪, π2,α-⓪, , πn ,α-⓪)=α-,q-ROFIOWA ( π1,α+⓪, π2,α+⓪, , πn ,α+⓪)=α+㊂㊀㊀根据性质3可得q-ROFIOWA ( π1,α-⓪, π2,α-⓪, , πn ,α-⓪)ɤq-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪),q-ROFIOWA ( π1,α+⓪, π2,α+⓪, , πn ,α+⓪)ȡq-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)㊂㊀㊀综上可得α-ɤq-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)ɤα+㊂3㊀实例分析本节用青年创新创业奖金的实例说明q-ROFIOWA 算子在多属性决策中的应用㊂最后将其与其他算子进行比较分析,观察其排序结果是否相同㊂3.1㊀基于广义正交模糊IOWA 算子的多属性决策方法设有一广义正交模糊环境下的多属性决策问题,有m 个备选方案x i (i =1,2, ,m ),n 个属性集G j (j =1,2, ,n ),ω=(ω1,ω2, ,ωn )T ㊂设决策者给出的广义正交模糊决策矩阵为R =αij =(u ij ,v ij )m ˑn ,αij =(u ij ,v ij )表示第i 个备选方案在第j 个属性下由决策者给出的评估值㊂假设诱导变量为评估值的得分函数,基于q-ROFIOWA 算子的多属性决策方法如下㊂步骤1㊀标准化决策矩阵㊂在实际的多属性决策问题中,属性往往分为效益型属性(I 1)与成本型属性(I 2)两种㊂因此需要用以下公式对决策矩阵进行标准化㊂αij =(u ij ,v ij )=(u ij ,v ij ),R j ɪI 1,(v ij ,u ij ),R j ɪI 2㊂{㊀㊀之后根据q -阶正交模糊数的大小比较规则将诱导变量排序㊂步骤2㊀利用q-ROFIOWA 算子集结决策矩阵,得到每个备选方案的综合属性值αi ㊂αi =q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=((1-ᵑnj =1(1-u j q)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )㊂㊀㊀特别说明的是,在计算时确定权重ω的方法有很多种,这里仅介绍OWA 算子常用的正态分布赋权法[22]㊂徐泽水教授从正态分布出发,提出了离散正态分布,给出了位置权重向量,ωj =(e-(j -μn )22σ2n)/(ðn i =1e-(i -μn )22σ2n),j =1,2, ,n ,(5)其中:μn 代表评价者对第n 个指标评分的数学期望;σn 代表评价者对第n 个指标评分的标准差㊂步骤3㊀根据定义3计算每个备选方案的得分函数值,将备选方案排序并进行分析㊂3.2㊀问题描述假设某公司设立一项青年创新创业奖金,分为3个梯度的金额奖励,每年对本市的3个青年创业团队进行资助,这3个团队记作{x 1,x 2,x 3}㊂通过层层选拔进入最终评议的3支队伍,有5个属性来评价其项目优劣㊂属性1表示经营情况(G 1),属性2表示发展潜力(G 2),属性3表示科创能力(G 3),属性4表示社会责任(G 4),属性5表示环境友好(G 5)㊂假设ω=(0.22,0.18,0.25,0.17,0.18)Τ,该项奖金在5个属性下的决策信息以广义正交模糊集的形式给出,如表1所示㊂3.3㊀决策过程步骤1㊀由于所有属性都是效益型属性,无须对其进行标准化处理㊂根据定义3广义正交模糊数的得分函数规则(q =3),将诱导变量排序,得到对应的综合信息决策矩阵,如表2所示㊂步骤2㊀由广义正交模糊诱导有序加权平均算子集结决策矩阵,得到不同团队的综合属性值㊂即65㊀第4期杜文胜,等:广义正交模糊IOWA 算子及其在多属性决策中的应用表1㊀广义正交模糊决策矩阵Table 1㊀Q -rung orthopair fuzzy decision matrix团队G 1G 2G 3G 4G 5x 1(0.6,0.2)(0.4,0.2)(0.5,0.4)(0.3,0.3)(0.7,0.4)x 2(0.5,0.2)(0.6,0.4)(0.4,0.3)(0.4,0.4)(0.6,0.1)x 3(0.8,0.4)(0.5,0.3)(0.6,0.5)(0.3,0.4)(0.6,0.3)表2㊀综合信息决策矩阵Table 2㊀Comprehensive information decision matrix团队12345x 1(0.7,0.4)(0.6,0.2)(0.5,0.4)(0.4,0.2)(0.3,0.3)x 2(0.6,0.1)(0.6,0.4)(0.5,0.2)(0.4,0.3)(0.4,0.4)x 3(0.8,0.4)(0.6,0.3)(0.5,0.3)(0.6,0.5)(0.3,0.4)α1=(0.5535,0.2980),α2=(0.5225,0.2361),α3=(0.6259,0.3671)㊂㊀㊀步骤3㊀计算综合属性值的得分函数,可以得到s (α1)=0.1431,s (α2)=0.1295,s (α3)=0.1957㊂㊀㊀因此创业团队的排序结果为x 3>x 1>x 2㊂根据排序结果可知,应对团队3进行第1梯度的资助,对团队1进行第2梯度的资助,对团队2进行第3梯度的资助㊂图2㊀q-ROFIOWA 算子随q 变化的决策结果Figure 2㊀Decision results of the q-ROFIOWAoperator changing with q3.4㊀参数对排序结果及最优选项的比较为了考察算子中参数q 对排序结果的影响,我们赋予参数不同取值对其得分函数及排序结果进行观察㊂参数q ȡ2的取值对结果的影响较大,给广义正交模糊IOWA 算子中的参数q 赋予不同的值,则得分函数和排序结果如图2所示㊂从图中可以看出,随着q 的增大,团队的得分值减小,q ȡ3时,不同的q 值得到不同的得分,但是排序结果相同㊂因此可以得出广义正交模糊诱导有序加权平均算子具有较强的稳定性㊂3.5㊀比较分析为了验证该方法的优点,将本文提出的多属性决策方法与现有的方法进行对比,这些方法包括文献[7]提出的基于广义正交模糊加权算数平均算子及基于广义正交模糊加权几何平均算子的多属性决策方法,文献[8]提出的基于广义正交模糊Bonferroni 平均算子多属性决策方法,以及文献[9]提出的基于广义正交模糊Heronian 平均算子的多属性决策方法㊂利用这些方法解决上述问题的得分函数值和排序结果如表3所示㊂表3㊀利用不同的方法得到的得分函数和排序结果Table 3㊀Score functions and ranking results obtained by different methods方法团队的得分函数排序结果基于广义正交模糊加权算数平均算子的多属性决策方法(q =3)[7]s (α1)=0.1399,s (α2)=0.1193,s (α3)=0.1972x 3>x 1>x 2基于广义正交模糊加权几何平均算子的多属性决策方法(q =3)[7]s (α1)=0.0799,s (α2)=0.0835,s (α3)=0.0995x 3>x 2>x 1基于广义正交模糊Bonferroni 平均算子的多属性决策方法(s =t =1,q =3)[8]s (α1)=0.1152,s (α2)=0.1059,s (α3)=0.1481x 3>x 1>x 2基于广义正交模糊加权Heronian 平均算子的多属性决策方法(s =t =1,q =3)[9]s (α1)=0.0348,s (α2)=0.0263,s (α3)=0.0468x 3>x 1>x 2基于广义正交模糊诱导有序加权平均算子的多属性决策方法(q =3)s (α1)=0.1431,s (α2)=0.1295,s (α3)=0.1957x 3>x 1>x 27585郑州大学学报(理学版)第52卷㊀㊀不同的多属性决策方法具有不同的特点,其中文献[7]的方法没有考虑变量间的相关关系;文献[8-9]的方法可以考虑两个变量间的相关关系;但文献[7-9]的方法都没有区分不同位置之间的权重关系㊂本文提出的多属性决策方法的特点在于权重值只与集结过程中的位置有关,更适合解决属性较多情况下的实际问题㊂从表3中可知,虽然不同的决策方法得到的得分函数值不同,但只有基于广义正交加权几何平均算子的多属性决策方法的排序结果为x3>x2>x1,其他方法的排序结果都是x3>x1>x2,与本文的决策结果相同㊂说明基于广义正交模糊诱导有序加权平均算子的多属性决策方法具有有效性㊂4　结束语本文在IOWA算子的基础上提出了广义正交模糊IOWA算子,同时研究了该算子的4个性质,包括置换不变性㊁幂等性㊁单调性和界值性㊂另外基于q-ROFIOWA算子提出了一种新的解决模糊多属性决策问题的方法,并且分析了不同参数q对决策结果的影响,说明了该算法的稳定性㊂通过实例以及比较分析,说明了该算子在多属性决策应用中的有效性㊂参考文献:[1]㊀ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and control,1965,8(3):338-353.[2]㊀ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets and systems,1986,20(1):87-96.[3]㊀ATANASSOV K T.New operations defined over the intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets and systems,1994,61(2):137-142.[4]㊀DE S K,BISWAS R,ROY A R.Some operations on intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets and systems,2000,114(3):477-484.[5]㊀YAGER R R.Pythagorean membership grades in multicriteria decision making[J].IEEE transactions on fuzzy 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The q-rung orthopair fuzzy IOWA(q-ROFIOWA)operator was introduced,and some of its important properties were investigated.The method based on the proposed operator was developed and applied to multi-attribute decision making problems.An example of the award evaluation was illustrated the effec-tiveness of the method.The influence of parameter within in the operator on the decision results was ana-lyzed,which showed the robustness of the q-ROFIOWA operator.Key words:generalized orthopair fuzzy set;IOWA operator;multi-attribute decision making(责任编辑:方惠敏)。

IOWA 算子的概念定义1：设f w : R m →R 为m 元函数，W= (W 1,W 2 ,…,W m )T 是与f w 有关的加权向量，满足11mii w ==∑， w i ≥0,i=1,2,…,m ，若:121(,,...,)mmi iwi f a a awb ==∑，其中b i 是a l ,a 2,...,a m 中按从大到小的顺序排列的第i 个大的数.则称函数f w 是m 维有序加权平均算子，简记为OW A 算子。

定义1表明OW A 算子是对m 个数a l ,a 2,...,a m 按从大到小的顺序排序后进行有序加权平均的，权系数w i 与数a i 无关，而是与a l ,a 2,...,a m 的按从大小顺序排的第i 个位置有关. 特别地，①当W=(1,0,...,0)T 时，OW A 算子简化成max 算子，即121(,,...,)max miwi nf a a aa ≤≤=②当W=(0,0,...,1)T时，OW A 算子简化成min 算子，即: 121(,,...,)min miwi nf a a aa ≤≤=③当w=111,,...Tm m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，OW A 算子简化成简单算术平均算子，1211(,,...,)mm i w i n fa a a a ==∑ 定义2 设〈v l ,a l 〉, 〈v 2,a 2〉,..., 〈v m ,a m 〉为m 个二维数组，令:1122()1(,,,,...,,)mmmi v index i wi g v a v a v aw a -=〈〉〈〉〈〉=∑则称函数g w 是由v l ,v 2,… v m 所产生的m 维诱导有序加权平均算子，简记为IOW A 算子，v i 称为a i 的诱导值，其中v-index(i)是v l ,v 2,… v m 中按从大到小的顺序排列的第i 个大的数的下标，W=(W 1,W 2 ,…,W m )T是OWA 的加权向量，满足11,0miii w w ==≥∑，i=1,2,…,m定义2表明IOW A 算子是对诱导值v l ,v 2,… v m 按从大到小的顺序排序后所对应的a l ,a 2,...,a m中的数进行有序加权平均，w i 与数a i 的大小和位置无关，而是与其诱导值所在的位置有关。

ifwa 算子计算过程
IFWA（Iterative Fuzzy Weighted Averaging）算子是一种模糊聚合算法，用于将多个模糊集合合并成一个模糊集合。

其计算过程如下：
1. 初始化权重：给每个模糊集合赋一个初始权重，通常为相等的权重。

2. 计算加权平均值：将每个模糊集合与其对应的权重相乘，得到加权模糊集合。

然后将所有加权模糊集合相加，得到加权平均值。

3. 计算相似度：计算每个模糊集合与加权平均值之间的相似度，通常使用余弦相似度或欧几里得距离。

4. 更新权重：根据每个模糊集合与加权平均值之间的相似度，更新每个模糊集合的权重。

相似度越高的模糊集合，其权重越大。

5. 判断收敛：判断权重是否收敛，如果收敛则停止计算，否则返回第2步继续计算。

6. 输出结果：将所有模糊集合与其对应的权重相乘，得到最终的模糊集合。

IFWA算子的优点是能够自适应地调整权重，从而更好地反映模糊集合之间的相
对重要性。

但其缺点是计算复杂度较高，需要迭代多次才能收敛。

， [ a3 , b3 ] = [ 0.21, 0.68]
[ a4 , b4 ] = [0.44, 0.62] ，该区间数据 组的权 重向
量为 w = ( 0.2, 0.3, 0.4, 0.1) ，且令 BUM 函数为
T
0, r <α r −α Q(r) = α ≤r≤β ， β −α r>β 1,
Combined weighted geometric C-OWA operator and its application to group decision making
WEI Gui-wu 1,2
(1.School of Economics and Management, Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031, China 2.Deaprtment of Mathematics, North Sichuan Medical College, Nanchong 637007, China)
([ a , b ]) ( i = 1, 2,L, n ) 进行加
i i
为 C-OWA 算子。ρ 为基本的单调区间单调(basic unit-interval monotonic(BUM))函数。 C-OWA 算子具有下列性质 ： 性质 1 (有界性) 对任意的 BUM 函数 ρ ， 有
[7]
( i = 1, 2,L , n ) ，有
Abstract：In this paper,we propose some extended continuous interval argument OWA(C-OWA) operators,sucn as weighted geometric C-OWA(WGC-OWA) operator, ordered weighted geometric C-OWA(OWGC-OWA) operator and combined weighted geometric C-OWA(CWGC-OWA) operator, and study some of their characteristics. Based on the combined weighted geometric C-OWA(CWGC-OWA) operator ,we develop an approach for solving uncertain multi-attribute group decision making problems in which the attribute weights are completely known and the attribute values are interval numbers. At last, a numerical example is provided to illustrate the proposed method. The result shows the approach is simple, effective and easy to calculate.

基于IOWC-GOWA算子的区间组合预测模型江立辉;陈华友;丁芳清;程玲华【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(0)3【摘要】在连续区间数广义有序加权平均（C-GOWA）算子基础上，将IOWA 算子和C-GOWA算子相结合，提出诱导有序加权连续区间广义有序加权平均（IOWC-GOWA）算子的概念。

以指数支撑度作为相关性指标，构建新的组合预测模型。

通过实例分析说明该模型能有效提高预测精度。

%The Induced Ordered Weighted Continuous Generalized Ordered Weighted Averaging operator is defined based on the IOWA operator and the C-GOWA operator. This paper builds a new combined forecasting model based on IOWC-GOWA operator and exponential supporting degree. It is shown that the model can improve the accuracy of combination forecasting effectively by an example calculation.【总页数】5页(P50-54)【作者】江立辉;陈华友;丁芳清;程玲华【作者单位】合肥学院数学与物理系，合肥 230601;安徽大学数学科学学院，合肥 230601;合肥学院数学与物理系，合肥 230601;合肥学院数学与物理系，合肥230601【正文语种】中文【中图分类】O22【相关文献】1.基于区间数距离的IGOWLA算子的区间型组合预测模型 [J], 胡凌云;袁宏俊;周洁2.基于广义诱导连续区间有序函数比例加权平均算子的区间型组合预测模型 [J], 袁宏俊;胡凌云;张敏3.基于IOWC-GOWA算子及相对熵的区间型组合预测模型 [J], 杜康;袁宏俊4.基于IGOWLA算子及三元区间数相似度的区间型组合预测模型 [J], 杜康; 袁宏俊5.基于区间数距离和ICOWA算子的变权区间组合预测模型 [J], 杨蕾因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

iowa算子python代码使用Iowa算子进行图像处理是一种常见的方法，它可以对图像进行平滑处理，同时保留图像的边缘信息。

在Python中，我们可以使用OpenCV库来实现Iowa算子的图像处理。

我们需要导入OpenCV库和NumPy库：```pythonimport cv2import numpy as np```然后，我们可以读取一张图像并将其转换为灰度图像：```pythonimg = cv2.imread('image.jpg')gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)```接下来，我们可以定义一个Iowa算子的核，这个核可以通过cv2.getStructuringElement()函数来创建：```pythonkernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_RECT, (5, 5))```这里我们使用了一个矩形的核，大小为5x5。

接着，我们可以使用cv2.erode()函数来进行图像的腐蚀操作：```pythonerosion = cv2.erode(gray, kernel, iterations=1)```这里的iterations参数表示腐蚀操作的次数，我们可以根据需要进行调整。

腐蚀操作可以使图像中的边缘变得更加明显。

我们可以使用cv2.imshow()函数来显示处理后的图像：```pythoncv2.imshow('Original Image', img)cv2.imshow('Erosion', erosion)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()```这里我们同时显示了原始图像和处理后的图像。

可以看到，经过Iowa算子的处理，图像的边缘更加明显，同时也进行了一定程度的平滑处理。

使用Iowa算子进行图像处理是一种常见的方法，它可以在保留图像边缘信息的同时进行平滑处理。

仑 肥 学院学辛 良（ 社会科学版）
２ ０ １ ３年 ｌ １月 第 ３ ０卷 第 ６
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｅ ｆ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｓ ｏ ｃ ｉ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
ＮＯ Ｖ ．２ ０ １ ３ Ｖｏ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ６
Ｏｎ ｔ ｈｅ Ｅｖ ａ ｌ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｍ ｅ ｔ ｈｏ ｄ ｆ ｏ ｒ Ｅｎｔ ｅ ｒ ｐｒ ｉ ｓ ｅ Ｃｏ ｒ ｅ Ｃｏ ｍｐ ｅ ｔ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｎｅ ｓ ｓ： Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈｅ Ｉ Ｏ Ｗ Ａ Ｏｐｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ａ ｎｄ Ｆｕｚ ｚ ｙ Ｐｅ ｒ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ
ａ ｎ ｄ Ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｃ ｏ ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｔ ｓ ｈ ａ ｓ ｂ ｅ ｅ ｎ ｂ ｕ ｉ ｌ ｔ ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ． Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎｄ ｌ ｙ， Ｉ ＯＷ Ａ ｏ ｐｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｉ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｃ ｔ
Ｙ Ａ Ｇ Ｗｅ ｎ— ｈ ｕａ
（ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｅ ｃ ｏ ｎ ｏ ｍ ｉ ｃ ｓ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ，Ｍ ａ ’ ａ ｎ ｓ ｈ ａ ｎ Ｐ ａ ｒ ｔ ｙ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍｕ ｎ ｉ ｃ ｉ ｐ ａ ｌ Ｐ ａ ｔ ｒ ｙ Ｃ ｏ ｍｍ ｉ ｔ ｔ ｅ ｅ ，Ｍ ａ ’ ａ ｎ ｓ ｈ ａ ｎ ２ ４ ３ ０ １ １ ， Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
ＦＶ ａ １ ｕ ｌ ａ ｔ ｏ ｎ．
企业 核心 竞 争力 一词 最早 是 Ｃ ． Ｋ． Ｐ ｒ ａ ｈ ａ ｄ和 Ｇ ． 如何 抓住 其 中最 重要 、 最本 质 、 最核 心 的东西 是设计 ２ ） 系统 性 原 则 。企业 核 心 竞 争 Ｈ ａ ｍ ｅ ｌ在 《哈 佛 商 业 评 论 》 （ Ｈ ａ ｒ ｖ ａ ｒ ｄ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ 指标 体系 的关键 。 （ Ｒ ｅ ｖ ｉ ｅ ｗ） 著名论 文 《 公 司 的 核 心 竞 争 力 》中 提 出来 力 的强弱 由企业 自身 的经营状 况 ， 管理水 平 ， 创新 意 的 。认 为 核 心 竞 争 力 就 是 “ 企 业 内 部 的积 累性 学 识等 能力 决 定 ， 同 时 也 受 到 外 部 环 境 因素 的影 响 。 识， 尤其 涉及 如 何协 调 多种 生 产 技 能 和 整 合 多 种 技 因此 ， 指 标设计 应 该 通 盘考 虑 ， 才 能全 面 、 客 观 地 作 术 流 的问题 ” 。 ¨ 如 何 评 价 及 提 升 企 业 核 心 竞 争 力 出评 价 。 （ ３ ） 可 比性 原 则 。评 价 指标 体 系 所 涉及 的 的相 关研 究 已经 成 为企 业 战略管 理理 论 的一 项重 要 经 济 内容 、 时问范 围 、 空 间范 围 、 计 算 方法 等 应 具 有

权重向量不变的情况下，如果对于任意的 j ，
有 a% j ≤ a%′j 成立，则
FOWHAw (a%1, a%2 ,L, a%n ) ≤
FOWHAw (a%1′,a%2′,L,a%n′ )
(7)
性质 1 到性质 6 的证明方法类似于参考文献
[11]，限于篇幅，证明从略。
定义 6 设 FIOWHA : Qn → Q ,若
λ)aL
+
aM
+
λ aU
⎤⎦ ,λ
∈[0,1]
-1-

(1)
其中 λ 值的选择取决于决策者的风险态
度，一般取 λ = 0.5 ，E (a% ) 的值愈大，则相
应的三角模糊数也愈大。
FOWHA 为 n 维模糊 有序 加权调和 平均 (FOWHA)算子。
容易证明 FOWHA 算子具有如下性质：
1. 预备知识
( ) 定义 1[7] 若 a% = aL , aM , aU 表示一个
三角模糊数，其隶属函数为
µa% ( x) : R → [0,1] ，即
⎧0,
x < aL,
µa%
(x)
=
⎪ ⎪
x − aL
⎪ ⎨ ⎪
aM − aL x − aU
⎪ aM − aU
, ,
aL ≤ x ≤ aM , aM ≤ x ≤ aU ,
第五步，利用公式(1)计算方案 Ai 的群体综合
3
属性值 r%i 的期望值 E (r%i ) 。 步骤 5 根据 E (r%i ) 的值对方案进行排序， E (r%i ) 的值越大，对应的方案越优。
步骤 6 结束。
4. 结语
本文研究了属性权重、专家权重均以实 数形式给出，属性值以三角模糊数形式给出 的多属性群决策问题。利用三角模糊数的运 算法则，给出了一些基于三角模糊数运算法 则的新算子：模糊加权调和平均(FWHA)算 子,模糊有序加权调和平均(FOWHA)算子和 模糊诱导的有序加权调和平均(FIOWHA)算 子。然后，针对属性权重和专家权重均以实 数的形式给出，属性值以三角模糊数的形式 给出的多属性群决策问题，提出了一种基于 FWHA和FIOWHA算子的三角模糊数多属性 群决策方法。该法不但计算简便快捷，可充 分利用已有的决策信息，而且能充分考虑决 策者的自身重要性，并可消除个别决策者不 公正的主观因素影响，避免了决策结果的不 合理性，因而具有较高的实用价值。该方法 可应用于投资决策、人事管理、项目评估、 经济效益综合评价等诸多领域。并且本文的 方法可以推广到属性权重、专家权重均以实 数形式给出，属性值以梯形模糊数形式给出 的多属性群决策问题，利用梯形模糊数的运 算法则，给出了一些基于梯形模糊数运算法 则的新算子：梯 形 模糊加权调和平均 (TFWHA)算子, 梯 形 模糊有序加权调和平 均(TFOWHA)算子和梯 形 模糊诱导的有序

果评价原则 ，通常选择下列指标作为评价指标体
系：
２ ． １ 基于 Ｉ Ｏ ＷＡ算子的组合预测模型
２ ． １ ． １ 定义
假设 （ ｖ ， ａ 。 ） ， ｖ ａ ２ ） ， …，
为ｉ ｎ个二 维数 组 ， 令
（ １ ） 平 方和 误 差Ｓ Ｓ Ｅ ： ∑（ ｘ 一 主 Ｊ ｚ
２ ０ １ ３年 ｌ ０月 的上 证指 数走 势 ．
基 金 项 目： 国 家社 科 基 金 项 目（ １ ２ Ｂ Ｔ Ｊ ｏ ｏ ８ ） ； 安 徽 财 经 大 学研 究 生创 新 基 金 项 目（ Ａ ｃ Ｙｃ ２ Ｏ １ ２ ０ ３ ７ ） 资 助
２ Ｉ ｏＷＡ组合 预测模 型及 基本预 测模 型 的建立
较 强 的现实 意义 ．
丛春霞 、 季秀芳 ［ ２ １ 研究 了灰色 预测在股票价格指数
预 测 中 的应 用 ． 谭华等『 ３ １ 基 于 灰 色 神 经 网 络 方 法 对
本文在给出单项预测方法 的预测结果并对信 息进行融合的基础上 ， 探讨基于 Ｉ Ｏ ＷＡ算子的组合 预测模 型． 先建立 了灰色预测模型 、 随机游走模 型
术平均（ Ｉ Ｏ ＷＡ） 组合预测模 型． 结果表 明， 组合预测模 型的预测精度明显优于参与组合预测 的各单项预测
模型． 利用 Ｉ ＯＷＡ 组 合预 测 得 到 的权 重 ， 预 测我 国 ２ ０ １ ２年 １ １月到 ２ ０ １ ３年 １ ０月 的上 证 指数 走 势 ． 结 果表
明， 未来 １ ２个月我 国上证指数的收盘价先有上升趋势， 后有下降的趋势 ， 具有一定的波动性．
Ｖ０ １ ． ２ ９Ｎ ｏ ． ８ Ａｕ ｇ２ ０ １ ３
基于 Ｉ Ｏ ＷＡ算子的证券市场组合预测模型的实证研究

有序加权平均算子2.1.1 OWA 算子和IOWA 算子定义2.1[19] 设:n W OWA R R →为n 元函数，12(,,,)T n W w w w =…是与W OWA 有关的加权向量，满足11nj j w ==∑， 0i w ≥，1,2,,j n = ，若121(,,,)nW n i i i OWA a a a w b ==∑…则称函数W OWA 是n 维有序加权平均算子，简称OWA 算子，其中i b 是12,,,n a a a …中按从大到小的顺序排列的第i 个大的数。

定义2.2[20] 设()1122,,,,,,n n v a v a v a 为n 个二维数组，令()1122()1,,,,,,nw n nii i IOWA v a v a v a w a σ==∑ （2.1）其中()12,,,n w w w w = 是与IOWA 有关的加权向量，满足非负性和归一化，且()i σ是12,,,n v v v 中第i 大的元素所对应的下标，12,,,n v v v 称为诱导变量。

则称函数w IOWA 是由12,,,n v v v 所产生的n 维诱导有序加权算术平均算子，简称为IOWA 算子。

定义2.2表明，IOWA 算子是对诱导值12,,,n v v v 按照从大到小的顺序排序后对应的12,,,n a a a …中的数进行有序加权平均，i w 与数i a 的大小和位置无关，而是与其诱导值所在的位置有关。

2.1.2 OWGA 算子和IOWGA 算子定义2.3[19]设:nOWGA R R ++→，若()121,,,inw w n i i OWGA a a a b ==∏ ， （2.2）其中()12,,,n w w w w = 是与函数OWGA 相关联的加权向量，满足[0,1]i w ∈，1,2,,i n = ，11ni i w ==∑，且i b 是数据()12,,,n a a a 中第i 大的元素，R +为正实数集，则称函数OWGA 是有序加权几何平均算子，简称为OWGA 算子。

2019年第18卷第10期国网0J东省电力公司法治企业知识成果库平台应用评价□姜永文李太厚孙晓磊林勇王亮［内容摘要】当前依法治企是提高国有企业管理水平、深化国有企业改革的重要原则和手段。

本文基于当前国网山东省电力公司建设法治企业的实际需求，阐述了其法治企业知识成果库平台的基本架构，并通过置信诱导有序加权算子改进的层次分析-模糊综合评价算法对国网山东省电力公司法治企业知识成果库平台系统应用效果进行了评价，分析了知识成果库平台系统当前存在的问题。

【关键词】法治企业；知识成果库平台；模糊综合评价；置信诱导有序加权算子【作者简介】姜永文（1964.11~）,男，山东济南人；国网山东省电力公司经济法律部副主任;研究方向：企业法律咨询李太厚，国网山东省电力公司；孙晓磊、林勇、王亮，国网潍坊供电公司—、引言习近平总书记在中国共产党第十九届全国代表大会上明确指出依法全面治国是国家治理的一场深刻革命,是中国特色社会主义的本质要求和重要保障。

国有企业是推进国家现代化，保障人民共同利益的重要力量，也是坚持和完善社会主义市场体系的根基，是党和国家事业发展的重要物质基础和政治基础，因此，依法治企是依法治国的必然内容。

电力行业作为关系到国计民生的基础行业,加快推进法治企业建设既是当前深化国有企业改革，建立现代公司管理,健全国有企业内部治理体系的基础，也是适应新一轮电力体制改革,发展混合所有制经济，协调国有企业和民营企业发展的要求。

鉴于此，国网山东电力公司构建了法治企业建设知识成果库平台，旨在通过信息化手段,实现公司制度管理成果、合同管理成果、普法宣传管理成果以及法律保障管理成果的展示和共享，一方面为公司不同部门、不同层级员工学习、掌握当前国家、公司最新的法治建设精神和成果提供统一的信息化平台；另一方面，也是充分考虑了在当前国有企业改革的大背景下，能够通过该信息化平台实现公司法治建设成果的对外展示和信息交互,起到企业法治建设的宣传和传播作用。

iowa算子python代码Iowa算子是一种经典的优化算法，通常用于求解非线性优化问题。

在Python中实现Iowa算子主要涉及到以下几个步骤：1. 定义目标函数首先需要定义待求解的目标函数，例如：def obj_func(x):return x[0]**2 + x[1]**22. 定义Iowa算子接下来定义Iowa算子，其中包含以下几个核心操作：- 初始化种群- 计算适应度- 选择操作- 变异操作- 交叉操作def iowa_operator(obj_func, dim=2, pop_size=50,max_iter=1000, lb=-10, ub=10):# 初始化种群pop = np.random.uniform(low=lb, high=ub, size=(pop_size, dim))# 最优个体best_ind = None# 迭代次数iter_num = 0while iter_num < max_iter:# 计算适应度fitness = np.array([obj_func(ind) for ind in pop])# 选择操作idx = np.argsort(fitness)pop = pop[idx]fitness = fitness[idx]best_ind = pop[0]# 变异操作mutant = np.zeros_like(pop)for i in range(pop_size):r1, r2, r3 = np.random.choice(pop_size, 3, replace=False) mutant[i] = pop[r1] + 0.5*(pop[r2]-pop[r3])# 交叉操作crossover = np.random.rand(pop_size, dim) < 0.9trial = np.where(crossover, mutant, pop)# 更新种群pop = trial# 迭代次数加1iter_num += 1return best_ind3. 调用Iowa算子最后调用Iowa算子即可：best_ind = iowa_operator(obj_func)其中obj_func为目标函数，best_ind为最优个体。

Z ={ z (1) z (2) z (k )}
(1) (1) (1) (1)
(1)
(3) (4)
步骤 1： 如式(1)至式(3)， 其背景值为：
z (k ) = 0.5[ x (k ) + x (k - 1)] k = 2 3 n
(1) (1) (1) (1)
步骤 2： 一阶累加序列 X 为近似指数变化趋势， 构造 灰色微分方程有：
而 实 际 上 背 景 值 为 z (k ) = k - 1 x (t)dt ， 在此将 (k - 1)] ， 即为：x (t) = B × e A × t x (t) 抽象为带常数项的指数形式， 其中， A、 B、 C 为待定常数[14]。建模步骤概括如下： +C ， 步骤 1： 如式(1)至式(3)， 并取背景值为：
灰作用度 b 是影响模型精度的关键因素， 因此， 背景值的 构造直接影响 GM(1,1)模型的预测精度与适应性。在经典 模型中背景值采用梯形构造， 即 z (k ) = 0.5[ x (k ) + x
(1) k (1) (1) (1) (1)
际问题的复杂性， 经典模型在应用时可能存在一定的局限 性。本文运用基于灰色微分方程改进的 GM(1,1)模型， 即 GM(1,1)幂模型 [15]。GM(1,1)幂模型是一类非线性灰色模 型， 随着幂参数的变化可以适应不同类型数据进行建模， 具有很强的适用性与灵活性。根据文献[15]的方法， 建模 步骤概括如下： 步骤 1： 如式(1)至式(4)。 步骤 2： GM(1,1)幂模型的灰色微分方程为：
(0) (1) (1)
x̂ (k + 1) = x̂ (k + 1) - x̂ (k ) k = 1 2 n
(0)

D01：l0.13546/ki.tjyjc.2020.23.005基于区间相似度IOWGA算子的三角模糊数组合预测模型谢小军［，马虹S朱宁j杨付贵I(1广州工商学院，广州510850；2.广东金融学院，广州510521;3.桂林电子科技大学信息科技学院，广西桂林541004)摘要:文章将三角模糊数序列用等量信息的面积序列、中界点序列、重心序列三个指标序列进行替代，保持了三角模糊数的完备性和整体趋势。

定义了三角模糊数左右区间概念，提出了一种区间相似度的度量公式，将三角模糊数左右区间的相似度作为最优准则妁度量指标，通过引入偏好系数将其转化为单目标优化模型，并引入诱导有序加权几何平均算子(IOWGA),建止了基于区间相似度EIOWGA算子的变权系数三角模糊数组合预测模型。

通过实例分析验证了模型的有效性，并对偏好系数作出了灵敏度分析。

关键词:三角模糊数；区间相似度；IOWGA算子；组合预测模型中图分类号:F224；O159文献标识码:A文章编号:1002-6487(2020)23-0023-050引言最初由Song构建了模糊时间序列预测模型叫此后越来越多的研究者开始关注与重视模糊时间序列的建模,预测方法主要分为单一模型预测和组合模型预测方法。

由于预测对象的复杂性和不确定性，利用单一方法进行预测其结果往往不够精确,甚至可能产生较大的偏差。

为了改善这个问题,1969年Bates和Granger首次公开发表了组合预测方法的理论™。

鉴于组合预测方法比单项预测方法的预测效果更好,因此许多国内外学者都很青睐,并开展了大量的研究。

前期组合预测方法的研究对象大多数是实数，但因事物预测的模糊性和不确定性，很多时候是以区间数的形式表示,近几年对于区间数组合预测方法的研究比较多(网。

但随着社会经济的不断发展，系统的复杂性与事物的不确定性不断提高,在模糊环境下，三角模糊数变为刻画事物的一种常见的不确定信息的表达形式，弥补了实数和区间数的不足。

表示 Ａ的隶属 函数 和非 隶属 函数 ， 对任 意 ∈ｘ， 且
有 ０ Ｖ （ ） Ａ Ｘ ≤１ ＜ ￣ Ａ Ｘ ＋ｖ （ ） ，
［ ，］ （ ＝ ，兀，ｉ Ｏ ０ １ ’ １ １（ ． ） ＷＡ数对 ，ｊ 兀 中第 ｊ 】 ＝ ｉ ａ为 ｂ是 Ｉ
．
（ ） 一ｍ （ ） Ａｘ 为 Ｘ在 Ａ中 的直 觉 Ｘ ＝１ Ｘ ～ｖ（ ）
决策 问题有重要 的理论 意义。采用 ＧＯ Ａ算子对隶属度值进行加权 ， 而对方案集进行优序排序 。结合 实例分析说 明方 ＩＷ 进
法有 效 、 行 。 可
关 键ｊ 直觉 司： 模糊集； 模糊多 属性决策； 属度；Ｉ Ａ 隶 Ｇ Ｗ 算子 Ｏ
中 图分 类号 ：９ １ １ 文献标 识码 ： 文章 编号 ：６ ２ ９４ ２—９ ９ （０ ９ ０ —０４ ０
一
好 地刻 画模糊 概念 的支持 、 清楚 、 对三种 状态 。 不 反 文［［［对 属性 值 为 直 觉 模 糊 数 的群 决 策 问题 做 ３ 】］ 】 了研究 。Ｏ 、Ｏ ＷＡ ＩＷＡ及 ＧＯ ＩＷＡ等算 子 ＂ 儿 能有 效 地 对信 息进 行 集 结 ， 们 本 文 引用 ＧＯ 人 ＩＷＡ算 子 对 属性值 为直 觉模 糊 数 的多 属性 决 策 问题 的信 息 进 行集结 ， 而对方 案排 序 、 优 。 进 择
１ 预备知识
１ １ 直觉模 糊 集及运 算 ． 定 义 １设 ｘ是 一 个论 域 ， Ｘ上 的一 个 直 觉 ： 则 模 糊集 Ａ表 示 为 ： Ａ＝｛ ， （ ） ｖ （ ）＞Ｉ ＜Ｘ Ｘ ， Ｘ Ｘ∈
为消 除不 同物理 量纲对决 策结果 的影 响 ， 进行 规范
化 得规 范化 矩 阵 Ｒ＝（ｉ ｍｎ ｒ） Ｘ ｊ
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作者 简介 ： 夏立福 （ ９ ４ ） 男 ， １ ８ 一 ， 黑龙 江安达 人 ， 理工程师 ， 助 硕士 ， ０ ２ ９年毕业 于 中 国地质 大学 （ 汉 ） 息工 程学 院大地 测量 学与 ０ 武 信
测 绘工程 专业 ， 主要从 事地形 测量工 作
第 １期
夏立 福等 ： 于 Ｉ ＷＡ算 子的组 合预 测模 型研 究及应 用 基 Ｏ
温度 、 水位 及 时效 ， 中水位 因子取 日 ， ， ， ， ， 其 （ 为水 位 ） 时 效 因子 取 Ｍ／ Ｏ ｌ Ｍ 为 时 间 天 数 ） ； Ｉ０， Ｍ（ ｎ ；
温度 分量 取 当天 、 相邻 ２ｄ 相邻 ３ｄ 相 邻 ４ｄ的当地 平均 、 、
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