偏导数

偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。

在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。

下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。

1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。

2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。

3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。

4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。

5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。

类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。

6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。

类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。

7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。

8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。

9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。

10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。

偏导数偏导数的概念偏导数的几何意义高阶偏导数偏导数的概念定义 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应的函数 有增量 ()()0000,,f x x y f x y +∆-，如果()()00000,,limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数,记作00x x y y z x ==∂∂，0x x y y f x==∂∂，00x x xy y z ==或()00,x f x y .类似地，函数(,)f x y 在点00(,)x y 处对y 的偏导数为x x y y z y==∂∂，0x x y y f y ==∂∂，00x x yy y z ==或()00,y f x y .()()00000,,limy f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作如果函数(,)f x y 在区域D 内任一点(,)x y 对x的偏导数都存在,则这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数(,)z f x y =对x 的偏导函数, 记作z x ∂∂，f x∂∂，x z 或(),x f x y .类似地，可定义函数(,)z f x y =对y 的偏导函数,记作z y ∂∂，fy∂∂，y z 或(),y f x y . 多元函数的偏导函数可简称为偏导数.例 求22(,)3z f x y x xy y ==++在点(1,2)处的偏导数.解把y 看作常数, 对x 求导:(1,2)x f 2132=⨯+⨯8=， (,)x f x y 23x y =+,将(1,2)代入，得把x 看作常数, 对y 求导:(,)y f x y 32x y =+,(1,2)y f 3122=⨯+⨯7=.偏导数的几何意义问题：一元函数的导数在几何上可表示平面曲线在一点处切线的斜率，二元函数的偏导数表示什么？设00000(,,(,))M x y f x y 为曲面(,)z f x y =上一 点，偏导数()00,x f x y 就是曲面被平面0y y =所截得 的曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率.偏导数()00,y f x y 就 是曲面被平面0x x =所截 得的曲线在点0M 处的切 线0y M T 对y 轴的斜率.问题：在一元函数中,若函数在某点可导,则它在该点必连续,多元函数也有类似性质吗？注意：对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续.例 试证函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩的偏导数(0,0)x f 、(0,0)y f 都存在，但(,)f x y 在(0,0)不连续.证明(0,0)x f 0(0,0)(0,0)lim x f x f x∆→+∆-=∆000lim x x∆→-=∆0=， (0,0)y f 0(0,0)(0,0)lim y f y f y∆→+∆-=∆000limy y ∆→-=∆0=. 22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩由于极限()()22,0,0limx y xyx y→+不存在，(,)f x y 在(0,0) 不连续.高阶偏导数设函数(,)f x y 在区域D 内具有偏导数如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数(),x z f x y y ∂=∂，(),y z f x y y∂=∂， (,)z f x y =的二阶偏导数.则在D 内(),x f x y 、(),y f x y 都是x 、y 的函数.按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶二阶偏导数:()22,xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭， ()2,xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，()2,yx z z f x y x y y x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()22,yy z zf x y y y y⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭. 其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.类似地,可以定义三阶、四阶…以及n阶偏导数,我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例 设322433z x x y xy x y =+--+，求22z x∂∂，2z y x ∂∂∂，2z x y ∂∂∂及22zy ∂∂. 解 z x∂∂2212631x xy y =+--,z y ∂∂2361x xy =-+，22zx∂∂246x y =+,22z y ∂∂6x =-,2z x y ∂∂∂66x y =-,2zy x∂∂∂66x y =-.定理 如果函数(,)f x y 的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂、2z y x∂∂∂ 在区域D 内连续，则在该区域内有 22z z y x x y ∂∂=∂∂∂∂.推广高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关.。

偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。

对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。

偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。

对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。

同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。

这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。

二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。

这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。

2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。

这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。

2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。

偏导数公式f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。

1、偏导数的表示符号为。

计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。

于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。

2、偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

在数轴上明确方向很重要，当规定向右为正方向时，在数轴上越往右，表示的数越大；越往左表示的数就越小。

两个数在数轴上的左右位置即决定了两个数的大小。

故此，数轴上的方向很重要，方向即决定了数的大小。

3、偏导数f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对x 轴的切线斜率。

斜率是数学、几何学名词，可用两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示，即k=tanα或k=Δy/Δx。

如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值为tan90°，故直线的斜率为无穷大。

偏导数详解偏导数是微积分中常用的一种概念。

它是一个函数在特定点的变化率的度量，可以用来确定函数在某个点的曲线方向。

偏导数的计算可以有两种方法，一种是采用极限的方法，另一种是用偏导公式的方法。

极限的方法：要计算函数f(x)在点a处的偏导数，可以用下面的极限表达式： lim f(x)-f(a)x→a就是说，当x逐渐接近a时，f（x）与f（a）的差值会逐渐变小，最终趋于极限值。

如果这个极限值存在，那么它就是f（x）在点a处的偏导数。

偏导公式的方法：如果用偏导公式的方法，可以直接使用下面的公式求偏导数：f（x）的偏导数=lim(f(x+h)-f(x))/hh→0同样，当h接近零时，f(x+h)与f(x)的差值会逐渐变小，最终趋于极限值，就是f（x）在点a处的偏导数了。

如何计算偏导数？计算偏导数时，首先要认识到它是函数的斜率，因此只要将函数写成正规的函数形式，就可以使用上面介绍的两种方法来计算偏导数。

例如，要计算f(x)=2x2+3x+1在点x=2处的偏导数，首先将f(x)写成正规函数形式：f（x）=2x2+3x+1因此，f（2）=222+32+1=13用极限的方法，可以写出下面的极限表达式：lim f(x)-f(2)x→2用偏导公式的方法，可以写出下面的公式：f（x）的偏导数=lim(f(x+h)-f(x))/hh→0代入x=2，可以得到：f（2）的偏导数=lim(f(2+h)-f(2))/hh→0从上面的两个极限表达式可以看出，当x逐渐接近2时，f(x)与f(2)的差值会逐渐变小，最终趋于极限值7，因此f（2）的偏导数就是7。

偏导数的应用偏导数的应用非常广泛，它可以用于研究函数的局部变化，也可以用于研究函数的单调性和可导性。

例如，在做函数研究时，可以用偏导数来研究函数在某个点的单调性。

如果该点的偏导数大于零，则说明函数在该点是单调增的；如果该点的偏导数小于零，则说明函数在该点是单调减的；如果该点的偏导数等于零，则说明函数在该点有拐点。

偏导数知识点总结一、偏导数的定义1.1 偏导数的定义在一元函数的导数中，我们知道函数在某一点上的导数是该点上切线的斜率，表示函数的变化速率。

而对于多元函数而言，其变量不再只有一个，而是有多个自变量。

因此，多元函数的变化速率也需要沿着各个自变量方向来进行分析。

这就引出了偏导数的概念。

设函数z=f(x,y)表示一个二元函数，如果z在点(x0,y0)处的偏导数存在，那么这个偏导数就表示函数z在点(x0,y0)处对自变量x或y的变化率。

1.2 偏导数的符号表示一般来说，对于函数z=f(x,y)而言，其偏导数有以下表示方法：∂f/∂x 表示f对x的偏导数∂f/∂y 表示f对y的偏导数其中，∂代表“偏”，表示“对于某一变量的偏导数”。

1.3 偏导数的几何意义对于二元函数z=f(x,y)而言，其偏导数在点(x0,y0)处有着直观的几何意义。

对于∂f/∂x来说，其表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处，对于x的变化率。

换句话说，就是当x在点(x0,y0)处做微小的增量Δx时，函数z在这一点的斜率。

这也为我们理解偏导数提供了直观的图形化方式。

二、偏导数的计算方法2.1 偏导数的计算步骤在计算偏导数时，需要按照以下步骤进行：（1）首先确定函数的变量和导数所对应的自变量。

（2）对于多元函数z=f(x,y)来说，在计算偏导数时，只需将其他自变量视为常数进行计算。

（3）分别对每一个自变量进行求偏导数，从而得出偏导数的值。

2.2 偏导数的计算规则在计算偏导数时，有以下几个基本的计算规则：（1）常数求导规则：对于常数c，其偏导数为0，即∂c/∂x=0，∂c/∂y=0。

（2）一元函数求导规则：对于多元函数f(x,y)=g(x)h(y)，其偏导数可用一元函数求导法则计算。

（3）和差积商的偏导数计算：对于以上引用的复合函数，其偏导数的计算可利用和差积商的法则计算，具体可参考一元函数的求导法则。

（4）高阶偏导数的计算：与一元函数的高阶导数一样，多元函数的高阶偏导数也可以递归地计算，即先求一阶偏导数，然后再计算其偏导数的偏导数，直至得出所求的高阶偏导数。

偏导数详解偏导数是求解多元函数的分析数学中的重要概念。

它是函数f（x，y）关于某一变量的偏导，描述的是当某一变量的值改变时，函数值的变化率。

一般来说，任意一个关于x，y的函数，其偏导数定义为：f x y = f x y其中，f x yx，y处函数值，f/x是对x求导后x，y处函数值。

以上式子定义的偏导数就是物理学中非常熟悉的微分，它比较容易理解，把x和y看作是两个变量，关于x求导就是把y看作是常数，求得函数关于x的变化率，也就是f/x；关于y求导就是把x看作是常数，求得函数关于y的变化率，也就是f/y。

对于二元函数的偏导数可以写成：fx=f 1=2fx2fy=f 2=2fy2其中，f1和f2是函数f的梯度向量，垂直于函数的曲面，恰好穿过函数的最高点（最大值）和最低点（最小值）。

偏导数的性质偏导数的性质有很多，如：（1）交换律：对任意函数，有f x y =f y x（2）链式法则：对任意函数，有f x y z =f x yyz+f y zzx+f x zxy（3）绝对值不变：对任意函数，有|f x y|=|f x y|（4）坐标不变：对不同的坐标系，偏导数是一致的。

用偏导数求极值偏导数可以用来求解多元函数的极值问题。

当函数f关于x，y 的偏导数都等于0时，则该点即是函数的极值点。

因此，若要求解函数f（x，y）的极值，只需要将f关于x，y 的偏导数等式都置为0，联立求解即可：fx=0fy=0例子求解函数f（x，y）=x2y+3xy22的极值首先将f x y =0，联立求解：2xy+3y2=22x+6xy=0解得x=3y，y=2/3令f x y =0，可得：f3y2/32+33y4/42=0f=26/27结论：当x=3y，y=2/3时，函数f（x，y）取最值-26/27。

结论以上，我们介绍了偏导数的定义、性质和求极值的方法。

偏导数的概念广泛应用于数学、物理、化学等多个学科领域，是分析各种多变量函数的重要工具。