回归分析教学设计

应用回归分析课程设计报告课程：应用回归分析题目：人均可支配收入的分析年级：11金统专业：金融统计学号：姓名：指导教师：徐州师范大学数学科学学院基于多元线性回归模型对我国城镇居民家庭人均可支配收入的分析摘要：收入分配和消费结构都是国民经济的重要课题居民消费的主要来源是居民收入而消费又是拉动经济增长的重要因素。

本文将通过多远统计分析方法对我国各地区城镇居民收入的现状进行分析。

通过分析找出我国城镇居民收入特点及其中存在的不足。

城镇居民可支配收入是检验我国社会主义现代化进程的一个标准。

本文根据我国城镇居民家庭人均可支配收入为研究对象，选取可能影响我国城镇居民家庭人均可支配收入的城乡居民储蓄存款年底余额、城乡居民储蓄存款年增加额、国民总收入、职工基本就业情况、城镇居民家庭恩格尔系数(%)5个因素，运用多元线性回归分析建立模型，先运用普通最小二乘估计求回归系数再对方程进行异方差、自相关、和多重共线性诊断，用迭代法消除了自变量之间的自相关。

对于多重共线性问题，先是用逐步回归和剔除变量的方法，最终转变为用方差扩大因子法城乡居民储蓄存款年增加额剔除城镇居民家庭恩格尔系数(%)解决多重共线性，建立最终回归方程432108.0039.0012.0470.5305x x x y +++-=∧标准化回归方程**3*24108.0863.0031.0x x x y ++=∧以其探究最后进入回归方程的几个变量在影响城镇居民收入孰轻孰重，达到学习与生活结合的效果。

分析出影响城镇居民收入的主要原因，并对模型联系实际进行分析，以供国家进行决策做参考。

关键词：多元线性回归 异方差 自相关 多重共线性 逐步回归 方差扩大因子（一）引言：改革开放以来我国的国民经济增长迅速居民的收入水平也大幅提高但居民收入分配差距也在不断扩大。

2008年的金融危机为我国带来的后遗症还在继续影响着居民正常生活物价上涨和通货膨胀的压力仍然困扰着老百姓收入和消费支出体系的健康发展至关重要。

课时教学设计主备人：杨婧审核人：杨婧授课时间： 2022年4月13日星期：三课题第13课香港和澳门回归祖国课型新授课第几课时一课时三维教学目标知识与能力：知道“一国两制”的内涵；知道香港、澳门回归祖国的过程；认识“一国两制”对祖国统一大业的意义。

过程与方法：通过分析地图、表格、文字材料，学习运用多种材料具体分析历史问题的方法，加深对“一国两制”的认识，同时也提高用比较的方法分析历史问题的能力。

情感态度价值观：理解实现祖国统一是中华民族的共同心愿，是历史的必然趋势，增强学生实现祖国统一的坚定信念。

教学重点难点教学重点：“一国两制”构想的内涵及意义，香港澳门回归的基本史实及意义。

教学难点：“一国两制”构想的内涵及意义。

教学方法与手段自主预习法史料分析法合作探究式问题教学法使用教材的构想本课围绕祖国统一大业这一主题展开，主要学习两部分内容：“一国两制”构想、香港和澳门回归祖国。

“一国两制”伟大构想的提出为实现祖国的统一大业指明了方向，为香港和澳门的顺利回归提供了途径。

“一国两制”构想兼顾了各方利益，具有巨大感召力，在这一伟大构想的指引下，我国通过和平谈判顺利解决了香港问题、澳门问题。

香港、澳门顺利回归祖国，标志着我国在完成祖国统一大业的道路上迈出了重要的一步。

同时，这也为解决台湾问题，实现祖国统一，展示了光明的前景。

三、新课讲授本课分为四个篇章：分离之殇、统一之策、回归之路、共画未来篇章一：分离之殇——香港、澳门问题的由来教师通过PPT分别出示《英国侵占香港示意图》、《澳门行政图》。

提示：结合中国古代史、中国近代史回顾旧知，小组合作回顾香港、澳门被迫分离的史实。

篇章二：统一之策——“一国两制”的构想1.为解决香港、澳门的历史遗留问题，我国出台了哪一政策？2.出示“一国两制”的思维导图，深刻认识“一国两制”的内涵。

在教师的引导下，学生结中国古代和近代史，在教师的引导下，了解香港、澳门被迫分离的过程。

学生根据教材说明“一国两制”提出的时期、内容。

《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》教学设计一、 教学内容解析1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A 版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。

本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。

本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用残差分析进行数据曲线拟合程度分析。

2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。

因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。

3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。

在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。

围绕“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离i i y bx a --刻画散点与直线的“距离”，再到用()21n i i i Q y bx a ==--∑定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数学化过程。

对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。

二、教学目标设置统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。

依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下：1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。

《回归分析课程教案》课件第一章：引言1.1 课程目标让学生了解回归分析的基本概念和应用领域。

让学生掌握回归分析的基本原理和方法。

培养学生应用回归分析解决实际问题的能力。

1.2 教学内容回归分析的定义和分类回归分析的应用领域回归分析的基本原理和方法1.3 教学方法讲授法：讲解回归分析的基本概念和原理。

案例分析法：分析实际案例，让学生了解回归分析的应用。

1.4 教学资源课件：介绍回归分析的基本概念和原理。

案例：提供实际案例，让学生进行分析。

1.5 教学评估课堂讨论：学生参与课堂讨论，回答问题。

第二章：一元线性回归分析2.1 教学目标让学生了解一元线性回归分析的基本概念和原理。

让学生掌握一元线性回归模型的建立和估计方法。

培养学生应用一元线性回归分析解决实际问题的能力。

2.2 教学内容一元线性回归分析的定义和特点一元线性回归模型的建立和估计方法一元线性回归模型的检验和预测2.3 教学方法讲授法：讲解一元线性回归分析的基本概念和原理。

数据分析法：分析实际数据，让学生了解一元线性回归模型的建立和估计方法。

2.4 教学资源课件：介绍一元线性回归分析的基本概念和原理。

数据分析软件：用于一元线性回归模型的建立和估计。

2.5 教学评估课堂练习：学生进行课堂练习，应用一元线性回归分析解决实际问题。

第三章：多元线性回归分析3.1 教学目标让学生了解多元线性回归分析的基本概念和原理。

让学生掌握多元线性回归模型的建立和估计方法。

培养学生应用多元线性回归分析解决实际问题的能力。

3.2 教学内容多元线性回归分析的定义和特点多元线性回归模型的建立和估计方法多元线性回归模型的检验和预测3.3 教学方法讲授法：讲解多元线性回归分析的基本概念和原理。

数据分析法：分析实际数据，让学生了解多元线性回归模型的建立和估计方法。

3.4 教学资源课件：介绍多元线性回归分析的基本概念和原理。

数据分析软件：用于多元线性回归模型的建立和估计。

3.5 教学评估课堂练习：学生进行课堂练习，应用多元线性回归分析解决实际问题。

§3.1 回归分析的基本思想及其应用(1)教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程．教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．教学过程一． 引言：我们知道函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系。

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

在《数学3》中，我们对两个具有线性相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，其解题步骤是：画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。

二．探究一对于一组具有线性相关关系的数据),(),(),,(2211n n y x y x y x ,我们知道其回归方程的截据和斜率的最小二乘估计公式为1122211()()()()nni i iii i nni ii i x x y y x ynx yb x x xn x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 其中11n i i x x n ==∑， 11ni i y y n ==∑你能推倒出这两个计算公式吗?-------教材-P 80-81《必修3》知道，截距aˆ和斜率b ˆ分别是使 21)(),(∑=--=ni i i x y Q αββα取最小值时，βα,的值，如何求21)(),(∑=--=ni i ix yQ αββα的最小值？------见教材P 80-81三、问题情境求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重。

根据《数学3（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈条状分布，身高与体重有着较好的线性关系．因此可以用回归直线a bx y +=来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，1221()ni i i ni i x y nx y b x n x a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 得： 可以得到线性回归方程为0.84985.712y x =-，期中849.0=b是回归直线的斜率的估计值，说明身高x 每增加1个单位时，体重y 就增加849.0个单位，这表明身高与体重具有正的线性相关关系。

应用回归分析第五版教学设计课程简介此课程为应用回归分析的第五版设计，主要包括回归分析基础知识、多元回归分析、模型拟合与评价、变量选择与建模等方面的内容。

课程旨在帮助学生掌握回归分析理论与实践技能，为其从事统计学和数据分析相关领域做好铺垫。

课程目标1.了解回归分析的基本理论与方法；2.掌握多元回归分析的步骤和技巧；3.熟悉模型拟合与评价的相关方法；4.能够独立进行变量选择和建模工作；5.能够运用所学知识解决实际问题。

教学大纲1.回归分析基础知识–简单回归分析–最小二乘法–拟合优度与拟合优度检验–回归系数的推断2.多元回归分析–多元线性回归–变量选择方法–模型诊断和改进3.模型拟合与评价–残差图和分析–拟合优度与调整拟合优度–模型比较4.变量选择与建模–逐步回归法–岭回归和lasso回归–多项式回归5.实践案例讲解–通过实例介绍如何使用回归分析解决实际问题教学方法1.理论讲解：讲解回归分析的相关理论知识；2.实践演示：通过R、Python等统计软件进行实际操作；3.案例教学：引导学生进行实际问题的分析和解决；4.课堂互动：鼓励学生提问和讨论，促进学生的理解和思考。

评分标准1.课堂表现（30%）：包括课堂参与度、发言表现、思维逻辑及问题意识等方面；2.作业质量（30%）：包括选题合理性、思路完整性、数据分析方法及模型选择等方面；3.期末考试（40%）：包括理论知识掌握程度、实战能力及问题解决能力等方面。

参考教材1.桂红林等.《应用回归分析》（第五版）. 中国人民大学出版社.2.Myers, R. H., Montgomery, D. C., & Anderson-Cook, C. M.(2016). Response surface methodology: process and productoptimization using designed experiments. John Wiley & Sons.3.Kutner, M.H, Nachtsheim, C.J., Neter, J. (2003). AppliedLinear Regression Models. McGraw-Hill.总结本课程旨在帮助学生掌握回归分析理论与实践技能，为其从事统计学和数据分析相关领域做好铺垫。

第一讲线性回归案例分析参与本讲的嘉宾姓名单位职称、职务罗强江苏省苏州五中特级教师张饴慈首都师范大学数学科学学院教授张思明北大附中特级教师杨彬陕西省户县一中高级教师张红娟江苏省苏州五中高级教师主持人：各位老师大家好，在前面的课里面我们主要结合算法做了一些案例的展示和讨论，从今天的课里开始进入统计概率。

今天主要围绕回归分析，最小二乘法,线性回归方程这些内容展开我们的案例和讨论。

这里我们请来的两位点评嘉宾。

我身边的这位是江苏省苏州市五中的特级教师罗强老师，也是苏州五中的校领导。

一位是首都师范大学的数学系教授（张饴慈）老师，也是我们每次培训都能见到的数学专家。

首先问张老师，在回归分析里面老师会提到很多问题。

一个是必修也有，选修也有，他们两个的差别是什么？还有回归分析的核心思想是我们要教给学生什么是最重要的。

张老师：我想回归分析主要讨论的是相关关系，在统计里面这是一个非常有用的一件事情，可以说在统计之中运用最广的就是回归思想。

在我们必修和选修之间的区别，我们必修是通过孩子们初步认识，通过例子来认识什么是相关关系？它跟函数关系有什么不一样？简单介绍一下线性回归的方程，理解找一个线性回归的直线是有用，只是初步的思想。

在选修阶段就要详细讨论，这个方程是不是有意义？如果用我们的公式来做是不是任何问题都可以套公式来做？怎样判断是不是比较符合一个线性关系？是不是要引入相关系数的概念。

在选修里面还介绍一下非线性的回归，这是从内容定位来讲。

主持人：作为这样的把控，包括在推导过程中，很多老师在我们教材里面或者标准里面对于回归方程的结果，推导要求不要求？张老师：我们在必修里面没有要求推导，在选修里面可能用到配方来推导。

公式能得到这个数，其实是二次函数的极值等问题，它计算比较麻烦，不是在这个公式本身上下工夫，也不要求孩子背这些公式。

只是希望他们会运用这样一个东西来做这个问题。

主持人：张老师对回归分析的定位做了一些分析。

下面一起来看老师们提供的两个教学片段，一个是陕西省户县一中（杨彬）老师提供，最小二乘法的教学设计。

初中历史_第13课香港和澳门的回归教学设计学情分析教材分析课后反思近几十年来，中国香港和澳门的回归一直是全世界关注的焦点。

在初中历史教学中，第13课香港和澳门的回归是一个重要的内容，通过这一课的学习，学生可以了解到香港和澳门的历史背景、回归的过程以及对中国的意义。

在本文中，我们将对这一课的教学设计、学情分析、教材分析以及课后反思进行探讨。

一、教学设计本章课程的教学设计主要分为三个部分：历史背景介绍、回归过程讲解和回归对中国的意义。

首先，我们可以通过图片、视频等多媒体形式，帮助学生了解香港和澳门的地理位置、历史地位以及对外开放的背景。

通过这些内容的呈现，可以引起学生的兴趣，并激发他们对于香港和澳门的好奇心。

接下来，我们将重点讲解香港和澳门的回归过程。

通过幻灯片、案例分析等方式，向学生介绍1984年中英联合声明和1999年中葡联合声明的内容，让学生了解回归是怎么一步步发生的。

同时，我们还可以分组进行讨论，让学生自由表达他们对于回归过程的看法，增强他们的思考能力和表达能力。

最后，我们将重点强调香港和澳门回归对中国的意义。

我们可以通过讲解香港和澳门回归前的情况以及回归后的变化，让学生了解回归对于中国国家利益、国际地位以及统一大业的重要意义。

在教学活动中，我们可以结合多种教学方法，如讲授、讨论、合作学习等，让学生在参与互动中全面了解香港和澳门的回归过程和对中国的意义。

二、学情分析学情分析是教学设计的基础。

通过了解学生的认知水平、学习兴趣以及学习能力等方面的情况，我们可以更好地调整教学方法和内容，提高教学效果。

在初中学生中，由于他们的认知水平和历史知识储备有限，对于这一课的学习可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中需要注重激发学生的学习兴趣，提供丰富的资料和案例来激发他们的探索欲望。

此外，我们还需注意学生的学习能力差异，采取灵活的教学方式，让每个学生都能够参与其中，获得实际收获。

三、教材分析教材作为教学的重要依托，对于教学的设计和实施起到了重要的指导作用。

一、内容和内容解析1.内容结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.2.内容解析“一元线性回归模型”是北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学3（必修）》（以下统称“教材”）第一章“统计”第8节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例.在此之前学生学习了数据的统计特征，在实际中经常要研究变量之间的相关关系，以最基本的一元线性回归为载体，通过画散点图描述两个变量之间关系的统计特征，用样本的情况去估计总体的情况，启发学生理解拟合思想，尝试构造函数模型去近似刻画变量之间的相关关系，有利于进一步发展学生的统计观念，培养学生的统计应用意识和能力，也为后面进一步学习独立性检验奠定基础.本节课的教学重点为经历一次完整的统计应用活动，会画散点图直观表示两个变量之间的相关关系，理解直线拟合的思想，理解最小二乘原理，会利用计算器和Excel 软件进行数据处理，会根据最小二乘法建立一元线性回归模型解决实际问题.教材从身高与右手一拃长的相关关系研究出发，通过画散点图，观察发现所有点都在一条直线附近波动，进而判断两个变量之间线性相关，从而可以用一条直线近似刻画两个变量之间的相关关系.引入直线拟合的概念，然后思考如何确定这条直线能更合理地近似刻画这种关系.采取小组讨论的方式，引导学生从定性到定量，建立一种数学上的“理想”的拟合方式，即考虑如何使得所有样本点到一条直线的“整体距离”最小，从而引入最小二乘法，建立一元线性回归模型.会利用信息技术求出两个变量之间的线性回归方程，从而对实际问题进行预判和决策.为了创设有利于学习的实际问题情境，本节课选取中央电视台社会与法频道《见证》栏目《神眼追踪》中足迹鉴定专家神奇破案的真实案例片断导入课题，通过思考怎样根据足迹推断犯罪嫌疑人的身高引出身高与鞋码有相关关系，引导学生经历一个完整的统计活动过程，探究身高与鞋码之间的相关关系.通过从学生中现场收集数据、整理数据，利用散点图描述数据、分析数据（直线拟合，探索回归直线方程的求法），运用最小二乘法刻画数据特征求得回归直线方收稿日期：2021-01-15作者简介：黄润华（1982—），男，中学一级教师，主要从事高中数学教育教学研究.“一元线性回归模型”教学设计黄润华摘要：本节课是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例.结合两个变量之间线性相关的具体实例，经历统计活动，理解最小二乘原理，利用计算器和Excel 软件进行数据处理，建立一元线性回归模型，从而进行实际预测，解决实际问题.了解利用回归直线刻画两个变量之间相关关系的代表性，理解回归直线必过样本点的中心，并能对统计活动结果进行反思.关键词：线性回归；统计应用；数学建模；数据处理··9程，对实际问题进行预测，对统计结果分析与反思等环节，理解统计应用的思路与过程.在由散点图得到两个变量之间线性相关的基础上，着力探讨如何确定一条直线来更好地近似刻画这种关系，进行直线拟合.通过小组讨论与交流，引导学生从定性分析到定量计算，建立一种数学上的“理想”的拟合方式，即考虑如何使得所有样本点到一条直线的“整体距离”最小，从而引入最小二乘法建立一元线性回归模型.引导学生理解任一样本点()x i ，y i 与直线上横坐标为x i 的点之间的距离是刻画点到直线的远近的一种新的形式，其平方同样可以近似刻画点到直线的远近，从便于运算的角度我们选择平方，最小二乘法的基本思想即使所有样本点到直线的“距离”的平方和最小.从而，如果能判断两个变量之间具有线性相关关系，就能利用最小二乘法求出两个变量之间的线性回归方程，从而进行预判决策.本节课旨在建立一种统计模型来近似刻画实际问题中两个变量之间的关系，在问题解决的过程中发展学生的统计观念，理解数据分析的新思路和新方法，理解方法中蕴涵的数学思想，理解方法的目的和本质，体会统计模型的必要性和合理性.引导学生陷入机械、烦琐的公式计算中，从数据处理的角度思考如何避免繁杂的运算，认识到根据最小二乘法的思想和公式研发程序是源于生产生活实际需要，有其必然性，把握数据处理的思路，注重与信息技术的融合，对于提高学生的信息素养、进一步发展学生的统计观念、培养学生数据分析和数学建模等核心素养都起着非常重要的作用.二、目标和目标解析1.目标以发展学生的统计观念为核心，践行“四基”、发展“四能”，在问题解决中着重培养学生数据分析和数学建模等素养，根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中“一元线性回归模型”的内容及要求，确定本节课的教学目标如下.（1）经历完整的统计活动过程，进一步体会应用统计的思想和方法解决实际问题.（2）会画散点图判断两个变量之间是否线性相关，理解数据分析的思路和方法.（3）掌握用最小二乘法建立一元线性回归模型刻画两个变量之间的线性相关关系的方法.（4）会用计算器和Excel 软件求线性回归方程，并能根据一元线性回归模型进行预测.（5）理解一元线性回归模型参数的含义和统计结果的意义，会进行反思.2.目标解析目标（1）解析：本节课是统计应用案例，通过对实际问题中两个变量之间相关关系的研究，经历对两个变量间呈现一个大致的整体集中趋势的近似刻画的过程，开拓统计应用的新天地，进一步培养学生的统计应用意识.目标（2）解析：通过画散点图，类比函数图象可以看出两个变量之间的大致关系，并判断它们之间是否线性相关，探索发现数据处理的新思路和新方法.目标（3）解析：通过分组讨论和思考交流，了解直线拟合的思想，理解最小二乘法是一种方便可行、直观美妙的方法，从而建立一元线性回归模型.目标（4）解析：理解运用信息技术进行数据处理的必要性，并学会利用计算器和Excel 软件求线性回归方程，理解程序背后的数学思想与方法.能根据一元线性回归模型完成计算预测，从而解决实际问题.目标（5）解析：数学源于生活，又服务于生活.结合实际理解一元线性回归模型的含义和统计结果的意义.通过对统计活动各环节的反思，逐渐理解问卷的设计、样本的选取、分析方法的运用都会对统计结果产生影响，引导学生理解对统计结果保持批判性态度的必要性和重要性.三、教学问题诊断在义务教育阶段，学生初步建立了统计观念，了解了统计活动的全过程，学习了数据收集、整理、描述和分析的基本方法.在高中阶段，学生通过统计的学习进一步发展了统计观念，能较好地把握数据分析的基本思路，对统计的基本思想与应用有了更加深刻的体会.学生不知道应该怎样刻画两个变量之间的相关关··10系.尽管经过初中的学习，学生已经具备了比较丰富的函数知识，知道了函数可以刻画两个变量之间的一种确定性关系，但是对不满足函数关系的两个变量要怎么处理会感到困难.要引导学生理解相关关系的本质是一个变量可能受到其他多个变量的影响，故它的值会呈现一定的随机性或者波动性，这种波动在大量数据中往往会呈现一定的规律性，这就是回归分析要解决的问题.对两个变量之间相关关系的刻画，本质上是利用函数模型进行近似刻画，蕴涵着转化与化归思想.在画出散点图后，引导学生观察、刻画两个变量之间关系的统计特征.在给出线性相关的基础上，到底用哪条直线近似刻画更好，学生感到很茫然.故而采取分组讨论的方式，先让学生自主尝试，彼此交流想法，体会回归的含义，画出直线，然后通过小组间的交流再去归纳共性，建立一定的“理想”标准——所有样本点和直线整体上最接近.怎么刻画所有样本点和直线整体上最接近呢？这是一个很关键的问题，要引导学生理解在横坐标一定的情况下，样本点可以理解为在平均水平上下波动，从而建立一种新的标准来刻画点到直线的远近，即用任意一点()x i ，y i 与这条直线上横坐标为x i 的点之间的距离来刻画，而不是用数学上的距离来刻画.不仅如此，绝对值还面临一个计算上的困难，而统计上在方差里已经用了平方和表示，这里的本质其实是一样的.教学中采用对话教学法，启发学生进行知识迁移.学生对系数计算公式的理解存在较大的困难.根据最小二乘法推导出来的系数计算公式比较复杂，还包括两种不同形式的表达，直接运用公式计算需要分若干步，比较麻烦.教学时引导学生逐步认识公式，分析公式结构的特点，帮助学生更好地了解公式，并逐步渗透研发程序计算的必要性，建立自然合理的教学逻辑，了解程序背后的思想方法.利用计算器和Excel 软件求线性回归方程属于新的技能，需要教师以适当的方式传授.虽然学生具备了一定的计算机操作与计算器使用技能，但涉及利用最小二乘原理求系数的值，这需要学会使用计算器有关的统计功能.为了使计算器操作程序直观化、效果有引领性，教师在课前录制“利用计算器求线性回归方程”的微课，课上播放微课传授新技能.而对于利用Excel 软件求线性回归方程，则根据其操作简单易学的特点，采取教师随堂操作演示的方式传授技能，并录制微视频供学生课后上机操作时使用，以调动学生的学习热情，辅助学生学习.本节课的教学难点是理解直线拟合的必要性与合理性，掌握建立一元线性回归模型的一般原理.为突破难点，设计了求线性回归方程的小组讨论活动和帮助小卖部决策等问题，在探究和交流中领会思想，提升统计应用的能力.四、教学媒体设计本节课思想性、整体性、应用性强，决定采用情境—启发式探究教学模式，创设有利于学生学习的环境，通过小组讨论与实践应用，引导学生理解拟合思想，培养学生的自主探究能力与合作交流能力，发展学生的统计观念，提高学生的数学应用意识.为创设情境，更好地突出重点，突破难点，本节课主要进行了如下设计.1.导入使用真实案例为了创设真实的问题情境，选取了中央电视台社会与法频道《见证》栏目的真实神探破案视频导入课题，围绕神探怎样由足迹推断出犯罪嫌疑人的身高这一核心问题，根据足迹提供的有关信息，导入身高与鞋码这两个变量之间的相关关系的研究.2.设计了画散点图的课堂活页为了让学生亲自体会描点画图描述身高与鞋码之间的相关关系的过程，专门设计了一份课堂活页，内容为平面直角坐标系，横轴表示鞋码，纵轴表示身高，标示了相应的数值，便于学生描点.展示学生作图成果，并在后面的小组讨论中继续使用，在黑板上张贴画回归直线的成果，表述作法，有效揭示了学生的思维过程.3.Excel 表格一表多用，无缝衔接在现场收集数据时，由学生负责将样本数据逐一输入Excel 表格中，运用信息技术将表格数据同步到描述数据环节和学生利用计算器根据现场数据计算线性回归方程、教师操作演示利用Excel 软件求线性回归方程等环节，实现了数据的同步无缝应用，体现了信息··11技术的实用性.4.自主录制微课，传授技能经过反复研究，为了便于学生学习如何利用计算器求线性回归方程，采取了自主录制微课的形式；为了辅助学生课后上机利用Excel软件求线性回归方程，也录制了一个微课，供学生自主学习使用，课堂上不播放.5.课件简洁优美整节课共六个环节，仅使用10张幻灯片，节奏明快，界面简洁优美，既呈现了主要思路和内容，又做到了不同环节之间必要的无缝对接，信息技术融合应用恰当.6.板书简洁有条理板书呈现了统计活动的主要过程和一元线性回归模型的基本原理，通过学生活动和小组活动成果的展示，能够引导学生更好地理解直线拟合的背景和一元线性回归模型的含义，便于学生从整体上把握整节课的学习.五、教学过程设计1.创设情境，提出问题（1）俗话说，三百六十行，行行出状元.各行各业都有许多楷模.他们是公安楷模，是人民的守护神.下面我们来看一段公安神探破案的视频.播放《见证》栏目《神眼追踪》中神探足迹鉴定专家神奇破案的真实案例片断.（2）思考：神探根据足迹推断出了犯罪嫌疑人的身高，足迹能给我们提供什么信息呢？（3）提出问题：它们之间的相关关系具体是怎样的？神探又是怎样推断的呢？（4）导入课题：一元线性回归模型.【设计意图】以真实案件视频片断导入课题，关注社会、设置悬念，从研究身高与鞋码之间的相关关系入手，也为后面反思身高与足迹之间的相关关系埋下伏笔.2.统计分析，探究交流要研究两个变量之间的相关关系，根据统计学知识，我们首先应该做什么呢？收集数据：现场收集8对鞋码与身高的数据，用Excel软件同步导入如表1所示的电子表格中.表1鞋码身高通过观察表中数据，大体上可以发现，随着鞋码的增加，身高也在增加.【设计意图】从在座学生中现场随机收集鞋码与身高的数据，使样本数据源自学生，让学生体验样本的随机性，理解样本的代表性.描述数据：观察表中数据，大体上看，随着鞋码的增加，身高也在增加.你会怎样来直观表示身高与鞋码之间的这种关系呢？类比函数图象，描点画图.不妨设鞋码为x，身高为y，得到8个数对()x1，y1，()x2，y2，…，()x8，y8，将它们对应的点描出来，所得到的图称为散点图.学生在活页上的平面直角坐标系中画出散点图.教师展示学生作图成果，张贴到黑板上，随即分析图形特点.【设计意图】引导学生类比函数去认识身高与鞋码两个变量之间的相关关系，并亲自画散点图直观表示它们之间的相关关系，为数据分析作准备，了解拟合的背景.分析数据：观察散点图，你有什么发现呢？所有点看上去都在一条直线附近波动.线性相关：如果散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，称变量间线性相关.此时，可以用一条直线来近似刻画它们之间的关系，这样近似的过程称为直线拟合.探究：怎样确定这条直线呢？你是怎么想的？在小组内交流，并画出这条直线.教师展示小组讨论成果，汇报各自想法，分析不同想法的共同点.【设计意图】设计确定回归直线的小组讨论活动，自主探究、交流讨论，加深对回归含义的感知，并尝试得出确定这条直线的方法.3.建立模型，理解原理各小组做法虽然不同，但其实想法是一致的，都是希望所有点和这条直线尽可能接近，也就是整体距离最小，如何用数学的方法刻画呢？··12建立模型：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据()x 1，y 1，()x 2，y 2，…，()x n ，y n ，所求回归直线方程为y =bx +a ，那么如何刻画这些点和直线y =bx +a 整体上最接近呢？思考交流：不妨先刻画任意一点P i ()x i ，y i 和直线y =bx +a 的远近，说说你的想法！①用点到直线的距离来刻画.②用点()x i ，y i 与这条直线上横坐标为x i 的点之间的距离来刻画点()x i ，y i 到直线y =bx +a 的远近，即用||y i -()bx i +a ()i =1，2，3，…，n 来刻画点()x i ，y i 到直线y =bx +a 的远近.哪一种想法更合适呢？【设计意图】设置问题串启发学生分析如何刻画一个点到回归直线的远近，从实际意义的角度创造性地定义新的标准来刻画点到直线的远近，进一步理解波动和回归的意义，渗透创新思维的培养，理解数学的应用价值.所有点()x i ，y i 到直线y =bx +a 的“整体距离”表示为Q =||y 1-()bx 1+a +||y 2-()bx 2+a +…+||y n -()bx n +a =∑i =1n||y i-()bx i+a .要求回归方程，就是要确定a ，b 的值，使Q 的值最小.绝对值方便计算吗？【设计意图】通过对绝对值运算的分析，理解图中点与直线位置关系的不确定性，即点的波动性与直线的待定性.类比方差的知识，用∑i =1n[]y i -()bx i +a 2表示所有点到直线的“整体距离”，发挥知识的正迁移作用.理解原理：由于绝对值计算不方便，在实际应用中，我们常使用Q =[]y 1-()bx 1+a 2+[]y 2-()bx 2+a 2+…+[]y n-()bxn+a 2=∑i =1n[]y i -()bx i +a 2进行计算.线性回归方程：经过推导，确定回归方程y =bx +a 中b ，a 的计算公式如下.ìíîïïïïb =∑i =1n ()x i -xˉ()y i -y ˉ∑i =1n()x i -x ˉ2=∑i =1nx i y i -nx ˉy ˉ∑i =1n x i 2-nx ˉ2，a =yˉ-bx ˉ.意义分析：第一个表达式是x i 减x ˉ乘以对应的y i减y ˉ求和，去除以x i 减x ˉ的平方和；第二个表达式是x i 乘以对应的y i 求和减x ˉyˉ积的n 倍，去除以x i 的平方和减x ˉ的平方的n 倍.公式看似复杂，但是结构优美，都是分式形式.先看第一个公式，分子分母结构相同，如果把分子中的y i 变成x i ，y ˉ变成x ˉ，则分子与分母就完全一样了；第二个公式也具有一样的结构.公式的具体推导过程大家可以在课后进行思考.使∑i =1n[]y i -()bx i +a 2最小从而求得线性回归方程的方法叫做最小二乘法.思考：由a =y ˉ-bx ˉ，得y ˉ=bx ˉ+a.你发现了什么？回归直线y =bx +a 经过点()x ˉ，y ˉ，即样本点的中心.【设计意图】根据《标准》的要求和课程安排，着重把握方法背后的数学思想方法，引导学生课后探讨使Q 最小的系数b ，a 公式的推导过程，课堂上对公式进行详实分析，充分认识公式的结构，引导学生欣赏数学美.同时，还分析得到回归直线过样本点的中心，了解回归直线的代表性.4.运行程序，计算预测设置递进式问题串：（1）有了公式，下面是否可以动手计算系数b ，a 呢？（2）是否可以用计算器？（3）用计算器肯定可以轻松很多，但是如果有成千上万个数据呢？随着信息技术的发展，根据最小二乘法的思想和公式研发程序进行数据处理成为必然.【设计意图】从公式的理解到引导学生认识运用公式计算系数b ，a 的困难，感受使用计算器的必要性，再考虑到统计往往面对的是大量的数据处理工作，用计算器替代公式计算也是非常繁杂且易出错的，从而认识到研发程序的必要性，培养学生优化运算的思维.利用计算器求回归方程（播放微课），先开启计算器，然后分如下三个步骤.①选择模式：按MODE 键，进入模式选择，按3，选择Reg 回归，再按1，选择Lin 线性.②输入数据：按SHIFT 键+CLR +1=，清空统计存储器，再逐一输入收集的数据.··13③计算统计变量，按SHIFT键，按数字键2，就切换到了S-VAR功能，按两次方向键，选择1，计算a，同样操作，选择2，计算b.具体参考操作步骤如下图所示.学生两人一组，根据刚才的数据计算a，b的值.学生报告操作结果.【设计意图】为了便于传授利用计算器求值的技能，经过反复研究，确定由教师录制微课；为了突出程序思维，将利用计算器求值的技能分为三个步骤，易懂易学、方便操作.利用Excel软件求回归方程.如果有很多数据，怎么导入呢？需要一个个输入吗？教师操作演示，顺便验证大家刚才的操作结果.具体步骤如下.①在Excel表格中选定表示鞋码与身高关系的散点图，在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项，弹出“添加趋势线”对话框.②单击“类型”标签，选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项，单击“确定”按钮，得到回归直线.③双击回归直线，弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签，选定“显示公式”，最后单击“确定”按钮，得到回归直线的方程.计算结果为什么是一样的呢？用计算器和用Excel软件求回归方程本质上没有区别，都是根据最小二乘法的思想和公式计算.不仅如此，标准统计软件SAS和SPSS也是根据最小二乘法的思想和公式求线性回归方程.课后，教师让学生参考视频教程在计算机上操作实践.有了回归方程，我们就知道了身高与鞋码的具体相关关系，并且可以根据鞋码预测身高.例如，根据42码的鞋印预测身高大概是多少？即当x=42时，y≈175.5.【设计意图】从计算器到Excel软件，从微课传授技能到当堂操作演示，都是以教与学的需要为出发点和落脚点，引导学生分析计算器和计算机软件求线性回归方程的区别与联系，并介绍了标准的统计软件.加强信息技术与统计内容的融合，启发学生思考如何从机械、烦琐的数据处理中解脱出来，培养程序化思维，发展学生的统计观念和信息素养.配套使用Excel 软件求回归方程的微视频教程，供学生上机操作时参考.分析不同软件求回归方程的本质，渗透程序思想.5.分析反思，实际预测下面我们利用全国统计数据预测一下鞋码为42码的人对应的身高.比较两个预测的样本与结果，你有什么发现呢？反思1：预测结果差异大吗？哪个结果会相对可靠呢？为什么？反思2：事实上，视频中足迹专家的推断与实际非常吻合，他怎么能推断得这么准呢？如果只根据鞋码推断可靠吗？鞋码是一元的，足迹是多元的，专家一般都是研究多元变量的影响进行推断的.怎么进行多元回归分析呢？教师让感兴趣的学生课后思考.【设计意图】统计是根据样本的情况估计总体情况，回归分析是通过函数模型近似刻画相关变量关系的统计方法.设计分析反思活动，引导学生对统计结果的合理性进行必要的批判与质疑，从数学问题的结论再回归到生活实际，呼应本节课引入的真实问题情境，身高与鞋码之间是一元线性相关，而身高与足迹之间却是多元回归分析问题，将相关关系的思考延伸到课外，重视培养学生的统计思维和应用意识.实际预测：线性回归能够帮助我们进行实际的预判决策.学校旁边有个小卖部卖奶茶，根据表2中收集的数据，你能帮小卖部进行决策吗？看看气温是6℃时大概要准备多少杯奶茶.表2气温x/°C奶茶杯数y/杯150413271281511619104238931763654（下转第21页）··14。

回归分析的基本思想及其初步应用【教学目标】：（1）知识与技能：了解求线形回归方程的两个计算公式的推导过程，、回归平方和；了解随机误差产生的原因；了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型。

（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，进而学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果。

（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。

【教学重点】：1.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；2.通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。

【教学难点】：1.了解随机误差产生的原因，用残差平方和衡量回归方程的预报精度；2.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析。

【教学过程设计】：器）解答过程如下：令1ln c a =，2c b =，即bx a z +=分析x 与z 之间的关系，通过画散点图（如下图），可知x 与z 之间是存在着线性回归关系，可以用最小二乘法求出线性回归方程bx a z +=列表计算出各个量 编号 1 2 3 4 5 6 7 合计 温度x /°C 212325 27 29 32 35 192 产卵数y /个 711 21 24 66 115 325 569 z =ln y1.9462.3983.045 3.1784.190 4.7455.78425.285 x i 2 441529625729841 1024 1225 5414 x i z i40.9 55.2 76.1 85.8121.5151.8202.4733.7=x 27.429 =z 3.612∑==ni i x 125414∑==ni y i y x 1733.71272.043.277541461.343.2777.733ˆ22121=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==x n xzx n zx bni ini ii843.3ˆˆ-=⋅-=x b z a843.3272.0ˆ-=x z问题七：我们的目标是建立红铃虫的产卵数y 与温度x 的模型，如何使得到的线性回归模型再变回红铃虫的产卵数y 与温度x 的模型？师：提出问题。