【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题16 数列的概念(学生版+解析版)

新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策附录探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。

1 等比数列的概念
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q ≠0）．
定义还可以叙述为：在数列{a n }中，若
1n n a a +＝q （q 为常数且q ≠0），则{a n }是等比数列． 2．对等比数列定义的理解
（1）由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．
（2）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．
（3）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列．当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列．
（4）若一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n （n ＞3，n ∈N*）项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列．
（5）等比数列的定义可作为判定或证明等比数列的依据，即判断
1n n a a +或1n n a a -（n ≥2）是否为非零常数q ．。

新人教A版高二第 1 课时数列的概念与表示(1212)1.数列−1，3，−5，7，−9，…的一个通项公式为（）A.a n=2n−1B.a n=(−1)n(2n−1)C.a n=(−1)n(1−2n)D.a n=(−1)n+1(2n−1)2.数列13,14,15,…,1n,…的第11项是（）A.110B.111C.112D.1133.数列2，6，12，20,…的第6项是（）A.42B.56C.90D.724.已知n∈N∗，给出4个表达式：①a n={0,n为奇数，1,n为偶数；②a n=1+(−1)n2；③a n=1+cos⁡nπ2；④a n=|sin nπ2|.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，⋯的通项公式的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④5.数列{a n}的通项公式为a n=−58＋16n−n2，则（）A.{a n}是递增数列B.{a n}是递减数列C.{a n}先增后减，有最大值D.{a n}先减后增，有最小值6.已知a n=n2+n，那么（）A.0是数列中的项B.20是数列中的项C.3是数列中的项D.930不是数列中的项7.已知数列｛a n｝的通项公式为a n=n2−kn，且{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A.(−∞，2]B.(−∞，3)C.(−∞，2)D.(−∞，3]8.已知数列｛a n｝的前4项分别为−12，34，−58，716，则数列｛a n｝的通项公式是（）A.a n=2n−12n B.a n=(−1)n·(2n−1)2nC.a n=2n+12n D.a n=(−1)n·(2n+1)2n9.已知数列｛a n｝的通项公式为a n=(−1)n(2n−1)，则a5=.10.若数列{a n}的通项满足a nn=n−2，那么15是这个数列的第项. 11.已知数列｛a n｝的通项公式为a n=19−2n，则使a n>0成立的正整数n的最大值为.12.已知对任意的正整数n，都有a n=n2＋λn成立.若数列｛a n｝是递增数列，则实数λ的取值范围是.13.写出下列数列的一个通项公式.(1)0.9，0.99，0.999，0.9999，…；(2)112，245，3910，41617，…；(3)12，34，78，1516，…；(4)3，5，9，17，….14.根据数列｛a n｝的通项公式,写出数列的前5项，并用图象表示出来.(1)a n=3+(−1)n2；(2)a n=sin(n+1)π2+1.15.已知f(x)={(2a−1)x＋4(x⩽1)，a x(x>1)，数列{a n}(n∈N∗)满足a n=f(n)，且｛a n｝是递增数列，则a的取值范围是（）A.(1，＋∞)B.(12,+∞) C.(1，3) D.(3，＋∞)16.如图所示，有一个n(n⩾2)行n＋1列的士兵方阵.(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的士兵人数；(2)说出(1)中数列的第5项与第6项表示的意义，并求a5，a6；(3)若把(1)中的数列记为｛a n｝，求该数列的通项公式；(4)在(3)的数列｛a n｝中，求a10，并说明a10所表示的实际意义.参考答案1.【答案】:B【解析】:因为数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n=2n−1，由题中数列的奇数项为负，得所求数列的通项公式为a n=(−1)n(2n−1).故选B.2.【答案】:D【解析】:由题意可归纳出所给数列的通项公式为a n=1n+2，所以a11=113.故选 D.3.【答案】:A【解析】:因为2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,…，所以所给数列的第6项为6×7=42.故选A.4.【答案】:A【解析】:①②③逐一写出均为0,1,0,1,0,1，⋯，满足题意，④逐一写出为1,0,1,0,1,0,1，⋯，不满足题意，故选A.5.【答案】:C【解析】:a n=−(n−8)2＋6是关于n的二次函数，其图象开口向下.则当n⩽8时，{a n}是递增数列，当n>8时，{a n}是递减数列，当n=8时，a n取得最大值.故选 C.6.【答案】:B【解析】:令n2+n=0，解得n=0或n=−1，因为n∈N∗，所以0不是数列中的项，故选项A错误；令n2+n=20，解得n=4或n=−5(舍)，则a4=20，故选项B正确；令n2+n=3，易知该方程无有理数根，则3不是数列中的项，故选项C错误；令n2+n=930，解得n=30或n=−31(舍)，则a30=930，即930是数列中的项，故选项D错误.故选 B.7.【答案】:B【解析】:a n+1−a n=(n＋1)2−k(n＋1)−n2＋kn=2n＋1−k，因为｛a n｝为递增数列，所以应满足a n+1−a n>0恒成立，即2n＋1−k>0恒成立，即k<2n＋1恒成立，又n∈N∗，所以(2n+1)min=3，所以k<3.故选B.8.【答案】:B【解析】:观察数列｛a n｝的前4项，可知分母为2n，分子是奇数，为2n−1，同时符号正负相间，可用(−1)n表示，所以a n=(−1)n·(2n−1)2n.故选 B.9.【答案】:−9【解析】:令n=5，可得a5=−9.10.【答案】:5【解析】:由a nn =n−2可知an=n2−2n，令n2−2n=15，解得n=5(负值舍去)，则15是这个数列的第5项.11.【答案】:9【解析】:由a n=19−2n>0，得n<192，因为n∈N∗，所以n⩽9，则满足题意的正整数n的最大值为9.12.【答案】:λ>−3【解析】:∵数列｛a n｝是递增数列，∴a n+1−a n=(n+1)2+λ(n+1)−n2−λn=2n＋1＋λ>0对任意的正整数n恒成立，即λ>−2n−1对任意的正整数n恒成立，∴λ>−3.13(1)【答案】0.9=1−0.1=1−10−1，0.99=1−10−2，0.999=1−10−3，0.9999=1−10−4，故a n=1−10−n(n∈N∗).(2)【答案】112=1+112+1，245=2+2222+1，3910=3+3232+1，41617=4+4242+1，故a n=n+n2n2+1(n∈N∗).(3)【答案】12=21−121=1−121，3 4=22−122=1−122，7 8=23−123=1−123，15 16=24−124=1−124，故a n=2n−12n =1−12n(n∈N∗).(4)【答案】3=1+2，5=1+22，9=1+23，17=1+24，故a n=1+2n(n∈N∗).14(1)【答案】a1=3+(−1)12=1,a2=3+(−1)22=2,a3=1,a4=2,a5=1.图象如图①所示.(2)【答案】a1=sin⁡(1+1)π2+1=sin⁡π+1=1,a2=sin (2+1)π2+1=0,a3=sin (3+1)π2+1=1,a4=sin (4+1)π2+1=2,a5=sin(5+1)π2+1=1. 图像如图②所示.15.【答案】:D【解析】:因为｛a n｝是递增数列，所以{a>1，a2>2a−1＋4，解得a>3，则a的取值范围是(3，＋∞).故选 D.16(1)【答案】当n=2时，表示士兵方阵为2行3列，人数为6；当n=3时，表示士兵方阵为3行4列，人数为12.依此类推.故所求数列为6,12,20,30,42，….(2)【答案】方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示6行7列方阵中的士兵人数，第6项表示7行8列方阵中的士兵人数，故a5=42，a6=56.(3)【答案】由(1)知该数列的前4项分别为6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6，因此a n=(n＋1)(n＋2).(4)【答案】由(3)知a10=11×12=132，a10表示11行12列方阵中的士兵的人数.。

数列的概念 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在数列{}n a 中，若121,2,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则56a a +=（ ）A ．17B ．23C ．25D ．412．已知数列23412,,,,(1),49n n n +---⋅ ，则它的第8项为（ ）A ．964-B ．849-C ．849D ．9643．已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =4a =（ ）A ．2B ．C ．4D ．4．已知数列{}n a 满足：11a =，()12n n a a n n -=+≥，且1n nb a =，则数列{}n b 前n 项的和n S 为（ ）A ．1n nS n =+B ．21n nS n =+C ．2n nS n =+D ．232n n S n =+5．在数列{}n a 中，若22123nnn a a a -⋅⋅⋅=（*n ∈N ），则3a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．276．已知n 为正整数，且22n n >，则（ ）A ．1n =B ．2n =C ．3n =D ．4n ≥7．在数列{}n a 中，12a =-，11n n n a a a +=-，则数列{}n a 的前2024项的积为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．328．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项112a =-，且满足()122nn n S a n S ++=≥，则10S =（ ）A ．910-B ．109-C ．1011-D ．1110-二、多选题9．数列1，1，2，3，5，8，13…是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为{}n a ，其前n 项和为n S ，则（ ）A ．821a =B ．2028a 是偶数C ．124620202022a a a a a a ++++⋯+=D ．246202220241a a a a a ++++⋯+=10．已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（ ）A ．若1c ≤，则数列{}n a 单调递减B ．若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤C ．若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠D ．若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 11．已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，*N n ∈，则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．()2n a n n >>C ．202320242a ≤D ．121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++12．已知数列{}n a 满足1113,1n na a a +==-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论错误的是（ ）A ．202432a =B ．31312n n S S +-=-C ．121n n n a a a ++=-D ．1922S =三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且241n S n n =-+，则n a =.14．已知数列{}n a 满足212335(21)(2),N n a a a n a n n *++++-=+∈ ，则{}n a 的通项公式为n a =．15．已知数列{}n a 满足13a =，21a =，21n n n a a a ++=-，数列{}n b ，满足πsin 2n n n b a =，则数列{}n b 的前2024项的和为 ．16．某学校数学实践小组为该校一块长方形空地设计种树方案，在坐标纸上设计如下:第k 棵树种在点(),k k k P x y 处，其中1111x y ==，，当2k ≥时，111214441244k k k k k k x x k k y y --⎧⎛⎫--⎡⎤⎡⎤=+--⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎨--⎡⎤⎡⎤⎪=+-⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩，[x ]表示不大于x 的最大整数，按此设计方案，第3株树种植点的坐标为;第2025棵树种植点的坐标为.四、解答题17．若实数列{}n a 满足*n ∀∈N ，有212n n n a a a +++≥，称数列{}n a 为“T 数列”.(1)判断2,ln n n a n b n ==是否为“T 数列”，并说明理由；(2)若数列{}n a 为“T 数列”，证明：对于任意正整数,,k m n ，且k m n <<，都有n m m ka a a a n m m k--≥--(3)已知数列{}n a 为“T 数列”，且202410i i a ==∑.令{}12024max ,M a a =，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者.证明：{}1,2,3,,2024k ∀∈ ，都有20252023k M a M -≤≤.18．已知数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =++(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 前6项和．19．已知在数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +=-+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足1πsin()cos(π)2n n n b a a +=+，求数列2024的前2 024项和2024T .20．已知数列{}n a 满足12323(1)21nn a a a na n ++++=-+ ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1232n n na b n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21．对于数列()123:,,,1,2,3i A a a a a N i ∈=，定义“F 变换”：F 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中()11,2i i i b a a i +=-=，且331b a a =-．这种“F 变换”记作()B F A =，继续对数列B 进行“F 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列:2,5,3A ，经过6次“F 变换”后得到的数列；(2)若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 经过不断的“F 变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列:185,3,188A 经过k 次“F 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．参考答案：1．D【分析】利用数列的通项公式求出56,a a 即可.【详解】52519,a =⨯-=616232a -==，故5641a a +=.故选：D 2．D【分析】先观察分析写出数列的通项公式；再根据通项公式即可解答.【详解】由题意知，数列的通项公式为21(1)nn n a n +=-⋅，所以它的第8项的值为82819(1)864+-⋅=.故选：D.3．C【分析】根据题意，分别取1p q ==，2p q ==然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，取1p q ==，则2112a a a =⋅==，取2p q ==，则422224a a a =⋅=⨯=，则44a =.故选：C 4．B【分析】由叠加法求出数列{}n a 通项公式，再代入1n nb a =，求出数列{}n b 通项公式，再由列项相消法求出n S .【详解】由()12n n a a n n -=+≥得212a a =+，323a a =+，434a a =+，…，121n n a a n --=+-，()12n n a a n n -=+≥，叠加得1234...=+++++n a a n 1234...n =+++++()()122n n n +=≥，由题可知11a =也适合上式，故()12n n n a +=；所以1n n b a =()21n n =+1121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则数列{}n b 前n 项的和n S 1231...n nb b b b b -=+++++11111111121...2233411n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+.故选：B.5．D【分析】由数列的递推式，分别求出123,,a a a 的值即可得出结果.【详解】当1n =时，121133a -==，当2n =时，441231a a -==，所以23a =，当3n =时，96123327a a a -==，所以327a =.故选：D.6．C【分析】根据给定条件，构造数列22n n n a =，探讨该数列单调性即得.【详解】令2,N 2n n n a n *=∈，显然12319,1,28a a a ===，当4n ≥时，22212222(1)2121123n n a n n n n n a n n n n n ++++++==<<++，即141n n a a a +<≤=，因此当4n ≥时，22n n ≤，所以n 为正整数，且22n n >，有3n =.故选：C 7．C【分析】通过递推关系得出数列周期，利用周期可求答案.【详解】因为11n n n a a a +=-，所以111n na a +=-，12a =-，232a =，313a =，42a =-，所以数列{}n a 的周期为3，且1231a a a =-，设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，()674202412320241213T a a a a a a ==-=- .故选：C8．C【分析】根据递推关系可得112n n S S -+=-，即可逐一代入求解.【详解】由()122n n n S a n S ++=≥可得111122n n n n n n S S S S S S --⇒+++=-=-，所以112a =-可得211223S S +=-=-，321324S S +=-=-，456345141516,,252627S S S S S S +++=-=-=-=-=-=-，789106789171819110,,,2829210211S S S S S S S S ++++=-=-=-=-=-=-=-=-，故选：C 9．AB【分析】列出前几项，即可判断A ，归纳即可判断B ，由题意，根据求和定义和数列特点，直接求和，即可判断C 、D.【详解】依题意可得11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，821a =，934a =，⋯，可得A 正确；由上述计算，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，而20283676=⨯，可得2028a 是偶数，故B 正确；124620203462020a a a a a a a a a ++++⋯+=+++⋯+5682020820202019202020217a a a a a a a a a a =+++⋯+=++⋯+==+= ，故C 错误；24620221a a a a ++++⋯+12462022a a a a a =++++⋯+34620225682022a a a a a a a a =+++⋯+=+++⋯+820222021202220237a a a a a a =++⋯+==+= ，故D 错误．故选：AB ．10．ACD【分析】对于选项A ，求出12211,()1(1)1n n a a n c n c +==-++-+，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B ，求解1a ，再分n 为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C ，分n 为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D ，先将条件转化为：到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，再分情况讨论即可.【详解】对于选项A ，由条件知()211n a n c =+-，()12111n a n c +=-++，而()()()()22112112c n c n c n -+-+=--++，结合1c ≤，*N n ∈知212210n c n +-≥->，所以()()22111n c n c +>+--+，所以1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减，故A 正确；对于选项B ，首先有()121011a c =-<+-.若2≤c ，则当n 为偶数时，()()122110111n a c a n c >---+=>=+，从而1n a a ≥必成立；而当n 为奇数且3n ≥时，由30n c c -≥->，知332341n c n c c c c c c -=-≥-=-+≥-+=-，31n c n c c c -=-≥->-，从而1c n c -≤-，即()()221c n c --≤，这意味着()()12211111n a c c a n -≥--+=-=+.所以只要2≤c ，就一定有1n a a ≥恒成立，所以由1n a a ≥恒成立不可能得到1c ≤，故B 错误；对于选项C ，显然当,i j 同为奇数或同为偶数时，必有,i j a a 同号，故0i j a a +≠；而当,i j 的奇偶性不同时，i j +为奇数，此时不妨设,i j 分别是奇数和偶数，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222221121111111111i ji j i j c a i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c a +-+--+-+=-+===+++++++-----------+-因为*c ∈N ，故2c 为偶数，而i j +为奇数，所以20i j c +-≠，所以0i j a a +≠，故C 正确；对于选项D ，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项.当1n n =为偶数时，要让()211n a n c =+-最大，即要让n c -最小；而当2n n =为奇数时，要让()211n n c a =--+最小，即要让n c -最小.设1n 和2n 分别是到c 距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于120n n a a +>.而()()()()()()()()12222122221212111111n n n n a c a n n n n c c c c c =----+--+=-+++-，故条件等价于()()2221n c n c ->-，即21c n c n ->-.这表明，条件等价于，到c 距离最小的正奇数到c 的距离，大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离.若1c ≤，则到c 距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由1110c -≥-=可知2211c c c c -≥->-=-，不符合条件；若1c >，c 是正奇数，则到c 距离最小的正奇数到c 的距离为0，不可能大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，不符合条件；若1c >，且c 不是正奇数，设到c 的距离最近的正偶数为()*2k k ∈N ，则2121k c k -<<+.此时到c 距离最小的正偶数到c 的距离为2k c -，从而到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于2k c -，进一步知任意正奇数到c 的距离都大于2k c -.从而212k c k c +->-，212k c k c -->-，这意味着()()()22021********k c k c k c k c <+---=⋅+-=+-，()()()22021********k c k c k c c k <----=-⋅--=-+，所以112222k c k -<<+.综上，112222k c k -<<+，*k ∈N ，故D 正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的数列通项中含有()1n-，这往往意味着我们需要对n 的奇偶性作分类讨论，分两种情况对数列进行讨论才可全面地解决问题.11．BD【分析】结合数列的单调性、递推公式以及累加法、累乘法、放缩法、裂项相消法的应用，对各项逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于A ：易知0n a ≠，否则与10a ≠矛盾，由21n n n a a a +=+，得210n n n a a a +-=>，所以1n n a a +>，所以数列{}n a 是递增数列，故A 错误；对于B ：由选项A 的判断知1211n n a a a a ->>⋅⋅⋅>>=，所以21n n a a ≥≥，由21n n n a a a +=+，得21n n n a a a +-=，所以()()()22112211111n n n n n n a a a a a a a a a a a n ----=-+-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅++>，即()2n a n n >>，故B 正确；对于C ：由()211n n n n n a a a a a +=+=+，得11n n na a a +=+，则()()()121121121111n n n n n n n a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅+⋅⋅⋅+()()()11111112n ->+⨯+⨯⋅⋅⋅+=，所以202320242a >，故C 错误；对于D ：由()211n n n n n a a a a a +=+=+，得()1111111n n n n n a a a a a +==-++，即11111n n n a a a +=-+，所以1212231111111111111n nn a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111n n a a a ++=-=-<，故D 正确．故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，累加法以及裂项求和法，处理问题的关键是能够根据常见的递推关系，选择适当的方法求解.12．AB【分析】根据给定条件，计算数{}n a 的前几项确定周期，再逐项分析计算得解.【详解】数列{}n a 中，1113,1n na a a +==-，则211121133a a =-=-=，341231111111,11321232a a a a a =-=-=-=-=-==-，因此数列{}n a 是以3为周期的周期数列，对于A ，2024223a a ==，A 错误；对于B ，3133113n n n a S S a ++=-==，B 错误；对于C ，121111111,11111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++----=-==-=-==---，因此121111n n n n n n n a a a a a a a ++-⋅--=⋅=-，C 正确；对于D ，()191231819123121()66(3)32232S a a a a a a a a a =+++++=+++=+-+= ，D 正确.故选：AB 13．2,125,2n n n -=⎧⎨-≥⎩【分析】根据n a 和n S 的关系求解可得.【详解】当1n =时，112a S ==-；当2n ≥时，()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦.所以2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩.故答案为：2,125,2n n n -=⎧⎨-≥⎩14．9,123,221n n n n =⎧⎪+⎨≥⎪-⎩【分析】根据题意，得到1n =时，19a =；当2n ≥时，2123135(23)(1)n a a a n a n -++++-=+ ，两式相减，进而求得数列的通项公式.【详解】因为212335(21)(2),N n a a a n a n n *++++-=+∈ ，当1n =时，19a =；当2n ≥时，2123135(23)(1)n a a a n a n -++++-=+ ，两式相减得(21)23n n a n -=+，所以2321n n a n +=-，所以数列{an }的通项公式为9,123,221n n a n n n =⎧⎪=+⎨≥⎪-⎩故答案为：9,123,221n n n n =⎧⎪+⎨≥⎪-⎩.15．1【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，结合数列的求和公式即可求解.【详解】因为13a =，21a =，所以321132a a a =-=-=-，432213a a a =-=--=-，543321a a a =-=-+=-，654132a a a =-=-+=，765213a a a =-=+=，876321a a a =-=-=，…，所以数列{}n a 的各项依次为3，1，2-，3-，1-，2，3，1，2-，3-，1-，2，…，其周期为6．11πsin3132b a ==⨯=，222πsin1002b a ==⨯=，()()333πsin2122b a ==-⨯-=，()444πsin3002b a ==-⨯=，()555πsin 1112b a ==-⨯=-，666πsin2002b a ==⨯=，()777πsin3132b a ==⨯-=-，884πsin1002b a ==⨯=，()999πsin 2122b a ==-⨯=-，()101010πsin 3002b a ==-⨯=，()()111111πsin1112b a ==-⨯-=，121212πsin2002b a ==⨯=，131313πsin 3132b a ==⨯=，141414πsin1002b a ==⨯=，()()151515πsin 2122b a ==-⨯-=，…，所以数列{}n b 是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0，1-，0，3-，0，2-，0，1，0，其前项12的和为()()()3020103020100++++-++-++-+++=．又2024121688=⨯+，所以数列{}n b 的前2024项的和为等于前8项的和()()302010301++++-++-+=．故答案为：1.16． (3,1) (1,507)【分析】根据所给递推关系，利用累加法，分别求出,k k x y ，代入数值即可计算得解.【详解】11x =，21101444x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，32211444x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，⋯，1121444k k k k x x -⎛⎫--⎡⎤⎡⎤-=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，11011414444k k k x x k k ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴-=---=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故144k k x k -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，211044y y ⎡⎤⎥-⎡⎤=-⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，324421y y ⎡⎤⎥-⎡⎤=-⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，434432y y ⎡⎤⎥-⎡⎤=-⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，L ，11244k k k k y y ---⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，累加得，1101444k y k k y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎣-⎦⎣⎦⎣⎦=，故114k k y -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，当3k =时，3322343,1144x y ⎡⎤⎡⎤=-==+=⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，第3棵树种植点的坐标应为(3,1)；当2025k =时，2025202520242024202541,150744x y ⎡⎤⎡⎤=-⨯==+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，第 2018 棵树种植点的坐标应为(1,507)．故答案为：(3,1)；(1,507)【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现相邻两项的关系，利用累加法求出通项公式，即可快速准确求解.17．(1)数列{}n a 是“T 数列”，数列{}n b 不是“T 数列”；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“T 数列”的定义判断可得出结论；（2）由()1122,3,k k k a a a k -++≥= 可得出11k k k k a a a a +--≥-，利用累加法结合不等式的基本性质可得1m m m n a a a a n m +-≥--，以及1m k m m a a a a m k--≤--，再结合11m m m m a a a a +--≥-可证得结论成立；（3）首先当1k =或2024时的情况，再考虑{2,3,,2023}k ∈ 时，结合（2）中结论考虑用累加法可证得结论.【详解】（1）因为()()22221222120n n n a a a n n n +++-=++-+=>，所以数列{}n a 是“T 数列”，因为()()22212ln ln(2)2ln(1)ln 2ln 210n n n b b b n n n n n n n +++-=++-+=+-++<，所以数列{}n b 不是“T 数列”；（2）令1n n n c a a +=-，因为数列{}n a 为“T 数列”，所以212n n n a a a +++≥从而211n n n n a a a a +++-≥-，所以1n nc c +≥因为1k m n ≤<<，所以()()()1121n n n n m m n m a a a a a a a a n m n m---+-+-++--=-- 12()n n m m m c c c n m c c n m n m--+++-=≥=-- ，()()()1121m m m m k k m k a a a a a a a a m k m k---+-+-++--=-- 1211()m m k m m c c c m k c c m k m k----+++-=≤=-- 因为1m m c c -≥，所以n m m k a a a a n m m k--≥--.（3）当1k =或2024时，k k k a a a -≤≤，从而20252023k k k M M a a a M -≤-≤-≤≤≤，当{2,3,,2023}k ∈ 时，因为12024k <<，由第(2)问的结论得2024120241k k a a a a k k --≥--，可推得120242024120232023k k k a a a --≤+，从而1202412024202412024120241202320232023202320232023k k k k k k k a a a a a M M M ------≤+≤+≤+=对于1i k ∀<<，由第(2)问的结论得11k i i a a a a k i i --≥--，从而[]1111(1)(),1111i k k i k i a a a i a k i a i k k k --≤+=-+-=---也成立，从而11111111111(2)(1)(1)(2)(1)()112222k k k i k k k i i i k k k k k k a i a k i a a a a a k k ---===----⎡⎤⎡⎤≤-+-=+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦∑∑∑对于2024k i ∀<<，由第(2)问的结论得20242024i i k a a a a i i k--≥--，从而[]2024202420241()(2024), 202420242024i k k i k i a a a i k a i a k k k--≤+=-+----2024i =也成立，从而20242024202420241111()(2024)2024i k i k i k i k a i k a i a k =+=+=+⎡⎤≤-+-⎢⎥-⎣⎦∑∑∑20241(2025)(2024)(2023)(2024)202422k k k k k a a k----⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦2024(2005)(2023)22k k k a a --=+所以202420241(2005)(2023)22i k i k k k a a a =+--≤+∑由条件20241202412024111(2)(2005)(2023)02222k i i k i k k k i i i k k k k k a a a a a a a a a -===+---==++≤++++∑∑∑1202420232025222k k k a a a -=++可得1202420252025202520232023202320232023k k k k k a a a M M M --⎛⎫⎛⎫≥-+≥-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以20252023k M a M -≤≤.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导、求解；本题中，根据“T 数列”的定义“212n n n a a a +++≥”结合作差法、不等式的性质进行推理、证明不等式成立，并在推导时，充分利用已有的结论进行推导，属于难题.18．(1)6,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩(2)151【分析】（1）由n a 与n S 的关系，求数列{}n a 的通项公式；（2）由223n S n n =++直接求数列{}n S 前6项和．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =++，1n =时，116a S ==，2n ≥时，()()22123121321n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦，1a 不符合21n a n =+，所以6,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩.（2）数列{}n S 前6项和为61118273851151+++++=.19．(1)21n a n =-(2)2024-【分析】（1）根据题意，化简得到11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，结合裂项法求和，即可求解；（2）由（1）知，cos πcos 2πn b n n =-，结合cos[(21)π]cos 2π0n n -+=，即可求解.【详解】（1）解：因为1(1)1n n na n a +-+=，可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，所以，当2n ≥时，31212111111112132112231n n a a a a a a n n n n n --+-++-=-+-++-=--- ，又因为11a =，则21n a n =-；当1n =时，11a =成立，所以21n a n =-.（2）解：由（1）知，1ππsin()cos(π)sin[(21)]cos[π(21)]cos πcos 2π22n n n b a a n n n n +=+=⋅++-=-，所以2122cos πcos 2πcos(21)πcos 2πn n T b b b n n =+++=+++-+()cos 2πcos 4πcos 42πcos 4πn n ⎡⎤-+++-+⎣⎦ ，因为cos[(21)π]cos 2πcos 2πcos 2π0,cos 2π1n n n n n -+=-+==，于是(cos πcos 2π)[cos(21)πcos 2π]0n n +++-+= ，cos 2πcos 4πcos[(42)π]cos 4π2n n n +++-+= ，所以22n T n =-，所以数列{}n b 的前2024项的和为2024-.20．(1)12n n a -=(2)1212n n S n +=-+【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造①，② 两式，相减即得数列的通项；（2）求出n b ，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.【详解】（1）当1n =时，11a =．依题意，12323(1)21n n a a a na n ++++=-+ ①当2n ≥时，1123123(1)(2)21n n a a a n a n --++++-=-+ ②．①－②得11(1)21(2)212(2)n n n n na n n n n --⎡⎤⎡⎤=-+--+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以12(2)n n a n -=≥．因1n =时，该式也成立，故{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）由（1）知12n n a -=，由1232n n n a b n n +⋅=++可得1222(1)(2)21n n nn n b n n n n +⋅==-++++则23243222222324354n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12112222221121n n n n n n n n n n n n ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212n n +-+．21．(1)0,1,1；(2)不可能结束，理由见解析；(3)64.【分析】（1）根据数列的新定义写出经过6次“F 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的"F 变换"结束，不妨设最后的数列设数列123:,,D d d d ，123:,,E e e e ，:0,0,0O ，且()F D E =，()F E O =，则非零数量可能通过“F 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“F 变换"后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字按近1时，再继续推，往后会发现k 次“F 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【详解】（1）依题意，6次变换后得到的数列依次为3,2,1；1,1,2；0,1,1；1,0,1；1,1,0；0,1,1，所以，数列:2,5,3A ，经过6次“F 变换”后得到的数列为0,1,1.（2）数列A 经过不断的“F 变换”不可能结束设数列123:,,D d d d ，123:,,E e e e ，:0,0,0O ，且()F D E =，()F E O =，依题意120e e -=，230e e -=，310e e -=，所以123e e e ==，即非零常数列才能通过“F 变换”结束．设123e e e e ===（e 为非零自然数）．为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能1:D d ，1d e +，12d e +；1:D d ，1d e +，1d ；1:D d ，1d e -，1d ；1:D d ，1d e -，12d e -．而任何一种可能中，数列E 的第三项是0或2e ．即不存在数列D ，使得其经过“F 变换”成为非零常数列，由①②得，数列A 经过不断的“F 变换”不可能结束．（3）数列A 经过一次“F 变换”后得到数列:182,185,3B ，其结构为,3,3a a +．数列B 经过6次“F 变换”得到的数列分别为：3,,3a a -；3,3,6a a --；6,9,3a a --；3,12,9a a --；15,3,12a a --；()18,15,318a a a --≥．所以，经过6次“F 变换”后得到的数列也是形如“,3,3a a +”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18．因为18218102=⨯+，所以，数列B 经过61060⨯=次“F 变换”后得到的数列为2，5，3．接下来经过“F 变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，L ，至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小，++=次“F变换”得到的数列各项和达到最小，所以经过160364即k的最小值为64．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：（1）根据定义写出几项；（2）找出规律；（3）写成通项；（4）证明结论.。