(最新)2019高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第一周)文

学霸推荐1．要得到函数()sin2f x x =的图象，只需要将函数()cos2g x x =的图象A ．向左平移12个周期 B ．向右平移12个周期 C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期2．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（π0,0,02A ωϕ>><<）的周期为π，若()1f α=，则3π2f α⎛⎫+=⎪⎝⎭ A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3．函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，ππ22ϕ-<<）在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数，则 A ．π14f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()f x 的周期为π2C ．ω的最大值为4D ．3π04f ⎛⎫=⎪⎝⎭4．关于函数()3sin(2)13f x x π=-+（x ∈R ），下列命题正确的是 A ．由12()()1f x f x ==可得12x x -是π的整数倍 B ．()y f x =的表达式可改写成3cos(2)16y x π=++ C ．()y f x =的图象关于点(,1)6π对称 D ．()y f x =的图象关于直线34x =π对称 5．将函数()223cos 2sin cos 3f x x x x =--的图象向左平移(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为A ．2π3 B ．π3 C ．π2 D ．π66．已知a b c ，，分别为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，若()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，则A ∠=A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．2π37．在ABC △中，若22tan tan A a B b =，则ABC △的形状是 A ．等腰或直角三角形 B ．直角三角形 C ．不能确定D ．等腰三角形8．在ABC △中，D 为边AB 上一点，且DA DC =，π3B =，2BC =，BCD △的面积为3，则边AC 的长是 A ．2 B ．23 C ．4D ．439．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是__________．10．在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B AB C +-=，则a b +的取值范围是__________．11．在ABC △中，已知445,cos 5A B ==.（1）求sin C 的值；（2）若BC =10，求ABC △的面积.12．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知2223()32b c a bc +=+.（1）求sin A ； （2）若32a =，ABC △的面积S ＝22，且b >c ，求b ，c ．13．已知函数()sin()(0,0π)f x x b ωϕωϕ=+-><<的图象的两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数()g x 为奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的图象的对称轴及()f x 的单调区间． 14．已知0π3x =是函数()sin cos f x m x x ωω=-（0ω>）的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π. （1）求m 的值和()f x 的单调递增区间；（2）设角,,A B C 为ABC △的三个内角，对应边分别为,,a b c ，若()2f B =，3b =，求2c a -的取值范围.1．【答案】D【名师点睛】本题考查了三角函数图象的平移，运用诱导公式化简成同名函数，然后运用平移变换规律求出结果，本题较为基础. 2．【答案】B【解析】由题意得2ππ2ωω=⇒=，()sin 21,A αϕ+=所以3πsin(23π)sin(2)12f A A ααϕαϕ⎛⎫+=++=-+=- ⎪⎝⎭，选B. 3．【答案】C【解析】因为该函数的最小正周期是2πT ω=，故由题设可得区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭的长度ππ1242T -≤，即ππ44ωω≤⇒≤，所以选项C 正确；又因为区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭的端点都取不到，所以选项A ，D 都是错误的，应选C. 4．【答案】C【解析】令()3sin(2)113f x x π=-+=，23x k π-=π，k ∈Z ，因此12,2k x x k π-=∈Z ，所以选项A 错误；33(0)12f =-，但0x =时，333cos(2)11(0)62x f π++=+≠，所以选项B 错误，事实上cos(2)cos(2)sin(2)6323x x x ππππ+=-+=--；2,3x k k π-=π∈Z ，,26k x k ππ=+∈Z ，0k =时，6x π=，因此(,1)6π是其对称中心，所以选项C 正确；2,32x k k ππ-=π+∈Z ，5,212k x k ππ=+∈Z ，不含34x π=，所以选项D 错误． 故选C ． 5．【答案】D6．【答案】C【解析】利用正弦定理将()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-的角化为边可得222b c a bc +-=,由余弦定理可得2222cos b c a bc A +-=,则1cos 2A =，所以π3A ∠=.本题选择C 选项. 7．【答案】A【解析】由正弦定理有2222tan 4sin tan 4sin A R AB R B =，因为sin 0A >，故化简可得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =，所以222πA B k =+或者22π2πA B k +=+，k ∈Z .因为()(),0,π,0,πA B A B ∈+∈，故A B =或者π2A B +=，所以ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形.故选A.【名师点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 8．【答案】B【解析】依题意有1π32sin ,223BD BD =⋅⋅⋅=，故三角形BCD 为等边三角形， 所以2,120DA DC ADC ==∠=，所以由余弦定理得2222222cos12023AC =+-⨯⨯︒=. 9．【答案】()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】根据函数图象知函数的最大值为2，得2A =，又∵函数的周期35ππ,π4123T T ⎛⎫=--∴= ⎪⎝⎭，利用周期的公式，可得2ω=， 将点5π212（，）代入，得：5π22sin 212ϕ=⨯+（），结合π2ϕ<，可得π3ϕ=-， 所以()f x 的解析式是()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题给出了函数y =A sin （ωx +φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y =A sin （ωx +φ）的图象与性质的知识点，属于中档题． 10．【答案】(2,4]【解析】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得()2221cos ,0,π,22a b c C C ab +-==∈所以π3C =. 由正弦定理得()43432ππsin sin sin sin 4sin 3336a b A B A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2πππ5ππ10,,,,sin ,1366662A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈+∈+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以(]2,4a b +∈.故填(2,4]. 【名师点睛】在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域. 11．【答案】（1）7210；（2）42. 【解析】（1）4cos ,5B =∵且(0,180)B ∈, 23sin 1cos 5B B =-=∴.2423sin sin(180)sin(135)sin135cos cos135sin =()2525C A B B B B =--=-=-⨯--⨯ 72=.10（2）由正弦定理，得,sin sin BC AB A C =即10=272210AB，解得AB =14.所以ABC △的面积113sin 141042.225S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯= 【解题必备】（1）几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求量尽量放在同一个三角形中. （2）在三角形的面积公式中111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===是最常用的，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 12．【答案】（1）223；（2）3,12b c ==.【解析】（1）∵2223()32b c a bc +=+，∴222123b c a bc +-=. ∴cos A ＝13. 又A 是三角形内角， ∴sin A ＝223.13．【答案】（1）π()sin(2)33f x x =+-；（2）()f x 的图象的对称轴为ππ122k x =+，k ∈Z .()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ；()f x 的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k ++∈Z .【解析】（1）2ππ22ω=⨯，2ω∴=，()sin(2)f x x b ϕ=+-， 又π()sin[2()]36g x x b ϕ=-+-+为奇函数，且0πϕ<<，则π3ϕ=，3b =， 故π()sin(2)33f x x =+-. （2）令ππ2π,32x k k +=+∈Z ，得ππ122k x =+，k ∈Z . 故()f x 的图象的对称轴为ππ122k x =+，k ∈Z . 令ππ2π2π()2π232k k x k -≤≤+∈+Z ，解得5ππππ()1212k x k k -≤≤+∈Z ，故()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ； 令ππ3π2π2π()2322k k k x +≤≤+∈+Z ，解得π7πππ()1212k x k k +≤≤+∈Z ，故()f x 的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k ++∈Z . 注：()f x 的单调区间也可以写为开区间的形式. 14．【答案】（1）3m =，πππ,π()63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）3,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（2）()ππππ2sin 2226623f B B B B ⎛⎫=-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭， 由正弦定理得22sin sin sin b a c R B A C====，R 为ABC △外接圆半径， 所以π33π2sin sin sin cos 3sin 23226c a A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴3,322c a ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭.。

【最新】2019版高考数学二轮专题复习小题提速练五文一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝( ) A．{0，1} B．{－1，0，1}C．∅D．{－1}解析：选D.∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，∴∁UA＝{－1}，故选D.2．已知复数z＝－2i(其中i是虚数单位)，则|z|＝( )A．2 B．22C．3 D．33解析：选C.复数z＝3－i－2i＝3－3i，则|z|＝3，故选C.3．已知命题p，q，则“¬p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若¬p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则¬p为假命题．所以“¬p为假命题”是“p∧q 是真命题”的必要而不充分条件，故选B.4．已知正方形ABCD的中心为O且其边长为1，则(－)·(＋)＝( )A. B．12C ．2D ．1解析：选D.(－)·(＋)＝·＝1××cos 45°＝1.5．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(底面ABCD 是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD)中，点P 是正方形A1B1C1D1内一点，则三棱锥P­BCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( )A.B ．1C ．2D ．54 解析：选A.由题易知，其正视图面积为×1×2＝1.当顶点P 在底面ABCD 上的投影在△BCD 内部或其边上时，俯视图的面积最小，最小值为S△BCD＝×1×1＝，所以三棱锥P­BCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1＋＝，故选A.6．点P(x ，y)为不等式组所表示的平面区域内的动点，则m ＝x－y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．4D ．0解析：选D.如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域为图中阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝x －m 经过点B 时，m 取得最小值．由可得故B(2，2)．将点B(2，2)代入目标函数m ＝x －y ，得m ＝0.故选D.7．执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始输入的x 的值为( )。

每日一题规范练(第一周)[题目1] (本小题满分12分)已知等差数列{a n}的公差d＞0，其前n项和为S n，且a2＋a4＝8，a3，a5，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝1a2n－1·a2n＋1＋n，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1)因为a2＋a4＝8，及等差数列性质，所以a3＝4，即a1＋2d＝4.①因为a3，a5，a8为等比数列，则a25＝a3a8.所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化简得a1＝2d.②联立①和②得a1＝2，d＝1.所以a n＝n＋1.(2)因为b n＝1a2n－1·a2n＋1＋n＝12n（2n＋2）＋n＝14(1n－1n＋1)＋n.所以T n＝1411－12＋1＋[14(12－13)＋2]＋[1413－14＋3]＋…＋141n－1n＋1＋n＝14[(11－12)＋12－13＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)]＋(1＋2＋3＋…＋n)＝14(11－1n＋1)＋n（n＋1）2＝n4（n＋1）＋n（n＋1）2.[题目2] (本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x＋3sin(π－x)cos(π＋x)－1 2 .(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，b sin C＝a sin A，求△ABC的面积．解：(1)f(x)＝cos2x－3sin x cos x－12＝1＋cos 2x2－32sin 2x－12＝－sin2x－π6，令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，又x∈[0，π]，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，π3和5π6，π.(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π6，所以f(A)＝－sin2A－π6＝－1，因为△ABC为锐角三角形，所以0＜A＜π2，所以－π6＜2A－π6＜5π6，所以2A－π6＝π2，即A＝π3.又b sin C＝a sin A，所以bc＝a2＝4，所以S△ABC＝12bc sin A＝ 3.[题目3] (本小题满分12分)某校高三200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)．数学成绩的频率分布直方图如下：(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．(附参考公式)若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.96.解：(1)数学成绩的平均分为[0.012×45＋0.02×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95]×10＝65.9.根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些．(2)语文成绩优秀的概率为p1＝P(X≥85)＝(1－0.96)×12＝0.02，数学成绩优秀的概率为p2＝(0.006×12＋0.002)×10＝0.05，语文成绩优秀人数为200×0.02＝4人，数学成绩优秀人数为200×0.05＝10人．(3)语文和数学两科都优秀的共有4人，则单科优秀的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C36C310＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝310，P(X＝3)＝C34C310＝130.X的分布列为X 012 3P 1612310130数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.[题目4] (本小题满分12分)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C ⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1-A1C-C1的正弦值．(1)证明：如图1，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，图1因为C1C＝A1A＝A1C，所以CD⊥A1C1，因为底面△ABC是边长为2的正三角形，所以AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，所以B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，CD?平面B1CD，B1D?平面B1CD，所以A1C1⊥平面B1CD，所以A1C1⊥B1C.(2)解：法一如图1，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E.因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，所以侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以B1D⊥平面A1CC1，所以B1E⊥A1C，所以∠B1ED为所求二面角的平面角，因为A 1B 1＝B 1C 1＝A 1C 1＝2，所以B 1D ＝3，又ED ＝12CC 1＝22，所以tan ∠B 1ED ＝B 1DED＝322＝6，所以二面角B 1-A 1C -C 1的正弦值为427. 法二如图，取AC 的中点O ，以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OA1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，B (3，0，0)，A 1(0，0，1)，B 1(3，1，1)，C (0，1，0) 所以A 1B 1→＝(3，1，0)，A 1C →＝(0，1，－1)，设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1B 1C 的一个法向量，所以m·A 1B 1→＝3x ＋y ＝0，m ·A 1C →＝y －z ＝0，令y ＝3，得m ＝(－1，3，3)，又OB →＝(3，0，0)，易证OB →⊥平面A 1CC1，可以作为平面A 1CC1的一个法向量．所以cos 〈m ，OB →〉＝m ·OB→|m ||OB →|＝－77，由图易知所求二面角为锐角，所以二面角B 1-A 1C -C 1的正弦值为427. [题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝x 12，y 1，n ＝x 22，y 2，m ·n ＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x2≠0，因为m·n＝0，所以x1x24＋y1y2＝0，所以k1·k2＝y1y2x1x2＝－14.(2)解：①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由y1y2x1x2＝－14，得x214－y21＝0，(*)又由P(x1，y1)在椭圆上，得x214＋y21＝1，(**)由(*)、(**)联立，得|x1|＝2，|y1|＝2 2 .所以S△POQ＝12|x1|·｜y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由y＝kx＋b，x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)＞0，x1＋x2＝－8kb4k2＋1，x1x2＝4b2－44k2＋1.因为x1x24＋y1y2＝0，所以x1x24＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ＞0.所以S△POQ＝12·|b|1＋k2·｜PQ|＝12|b|（x1＋x2）2－4x1x2＝2|b|·4k2＋1－b2 4k2＋1＝2|b|·b22b2＝1.综上可知，△POQ的面积S为定值．[题目6] (本小题满分12分)已知函数g(x)＝ax－a－ln x，f(x)＝xg(x)，且g(x)≥0.(1)求实数a的值；(2)证明：存在x0，f′（x0)＝0且0＜x0＜1时，f(x)≤f(x0)．(1)解：g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g′（x)＝a－1x，x＞0.因为g(x)≥0，且g(1)＝0，故只需g′(1)＝0. 又g′(1)＝a－1，则a－1＝0，所以a＝1.若a＝1，则g′（x)＝1－1x，显然当0＜x＜1时，g′（x)＜0，此时g(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1，g′（x)＞0，此时g(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以x＝1是g(x)的唯一的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.综上，所求a的值为 1.(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－x ln x，f′（x)＝2x－2－ln x.设h(x)＝2x－2－ln x，则h′（x)＝2－1 x ，当x∈0，12时，h′（x)＜0；当x∈12，＋∞时，h′（x)＞0，所以h(x)在0，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增．又h(e－2)＞0，h 12＜0，h(1)＝0，所以h(x)在0，12有唯一零点x0，在12，＋∞有唯一零点 1.当x∈(0，x0)时，h(x)＞0；当x∈(x0，1)时，h(x)＜0.因为f′（x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．则x＝x0是f(x)在(1，1)的最大值点，所以f(x)≤f(x0)成立．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为x＝a＋22t，y＝1＋22t(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|AB|＝8，求实数a的值．解：(1)因为曲线C1的参数方程为x＝a＋22t，y＝1＋22t(t为参数)，所以曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.因为曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，所以x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由y2＝4x，x＝a＋22t，y＝1＋22t得t2－22t＋2－8a＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a)＞0，即a＞0，t1＋t2＝22，t1t2＝2－8a，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝8－8（1－4a）＝32a＝8，所以a＝2.2．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)＜|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)＜1.(1)解：因为f(x)＜|x|＋1，所以|2x－1|＜|x|＋1，则x≥12，2x－1＜x＋1或0＜x＜12，1－2x＜x＋1或x≤0，1－2x＜－x＋1，得12≤x＜2或0＜x＜12或无解．故不等式f(x)＜|x|＋1的解集为{x|0＜x＜2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1| ＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56＜1.所以，对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，f(x)＜1成立．。

2019高考数学第二轮按章节编排练习（学生版）第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1、A ＝{1,2}，B ＝{x |x ∈A }，那么集合A 与B 的关系为________、2、假设∅{x |x 2≤a ，a ∈R }，那么实数a 的取值范围是________、3、集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x <8}，那么集合A 与B 的关系是________、4、(2017年高考广东卷改编)全集U ＝R ，那么正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________、是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是________、6、(原创题)m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？B 组1、设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合是________、2、集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}、假设B ⊆A ，那么实数m ＝________.3、设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，假设P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，那么P ＋Q 中元素的个数是________个、4、集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，假设N M ，那么a 的值是________、5、满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个、6、集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，那么A 、B 、C 之间的关系是________、7、集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，那么“A ⊆B ”是“a >5”的________条件、8、(2017年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，那么M 中所有元素的和为________、9、(2017年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”、给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个、10、A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值、11、集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)假设B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)假设A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)假设A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围、12、集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}、(1)假设A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)假设B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)假设A ＝B ，求a 的取值范围、第二节集合的基本运算A 组1、(2017年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，那么A ∩∁U B ＝________.2、(2017年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，那么集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个、3、集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，那么集合M ∩N ＝________.4、(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，那么A ⓐB ＝________.5、(2017年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，那么喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________、6、(2017年浙江嘉兴质检)集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}、(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)假设B ⊆A ，求m 的取值范围、B 组1、假设集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，那么M ∩N ＝________.2、全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，那么(∁U A )∩B ＝________.3、(2017年济南市高三模拟)假设全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，那么M ∩(∁U N )＝________.4、集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，假设A ∩B ＝{2}，那么A ∪B ＝________.5、(2017年高考江西卷改编)全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素、假设A ∩B 非空，那么A ∩B 的元素个数为________、6、(2017年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，那么∁U (A ∪B )＝________.7、定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B }、设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，那么集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________、8、假设集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，那么b ＝________.9、设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，那么集合M 的所有子集是________、10、设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}、(1)假设A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)假设A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围、11、函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)假设A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值、12、集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}、(1)假设A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)假设A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}、第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1、(2017年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________、2、(2017年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f (1f (3))的值等于________、3、(2017年高考北京卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≤1，－x ，x >1.假设f (x )＝2，那么x ＝________.4、(2017年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个、5、(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，那么f (2,1，－1)＝________.6、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)假设f (a )＝32，求a .B 组1、(2017年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________、2、(2017年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，那么f (f (f (32)＋5))＝________.3、定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，那么f (x )的解析式为________、4、设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，那么函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是_____个。

规范练(二)(时间：45分钟 满分：46分)1．(12分)设函数f (x )＝sin x (3cos x ＋sin x )－12.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若f (B )＝1，b ＝2，且b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)，求△ABC 的面积．[规范解答及评分标准] (1)函数f (x )＝sin x (3cos x ＋sin x )－12＝32sin2x ＋1－cos2x 2－12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(3分)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(6分)(2)因为f (B )＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1， 所以2B －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以B ＝k π＋π3(k ∈Z )．因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(8分)又因为b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)，所以由正弦定理，得sin B (2－cos A )＝sin A (cos B ＋1)，所以2sin B ＝sin A ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin C ，所以2b ＝a ＋c .因为b ＝2，B ＝π3，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ，所以ac ＝b 2＝4.(10分) 所以S ＝12ac sin B ＝12×4×sin π3＝2×32＝ 3.故△ABC 的面积为 3.(12分)2．(12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：根据表中数据，试求线性回归方程y ＝b x ＋a ，并预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. [规范解答及评分标准] (1)设被污损的数字为a ，则a 有10种情况． 由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a ＋99，得a <8，(2分)∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，所求概率为810＝45.(4分)(2)由表中数据，计算得x －＝35，y －＝3.5，(6分)b ^＝∑i ＝14x i y i －4x － y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝525－4×35×3.55400－4×352＝7100， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－7100×35＝2120.(8分)∴y ^＝7100x ＋2120.(10分)当x ＝50时，y ^＝4.55.即预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间为4.55小时．(12分)3．(12分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，DE ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD .(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求AF 与平面AEC 所成角的正弦值．[规范解答及评分标准] (1)证明：在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD ，∴sin ∠ADB ＝AB ·sinπ6AD＝1，∴∠ADB ＝π2，即BD ⊥AD .(2分)∵DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥BD .(4分) 又AD ∩DE ＝D ，∴BD ⊥平面ADE .∵BD ⊂平面BDEF ，∴平面BDEF ⊥平面ADE .(6分)(2)由(1)可知，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD .设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.以D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)，∴AE →＝(－1,0，3)，AC →＝(－2，3，0)，AF →＝(－1，3，3)．(8分)设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0.令z ＝1，则x ＝3，y ＝2.∴平面AEC 的一个法向量为n ＝(3，2,1)．(9分) ∴|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n |·|AF →|＝4214.(11分)∴直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214.(12分) 选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．[规范解答及评分标准] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t ，消去t 得y ＝2x .把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝2x ，得ρsin θ＝2ρcos θ，∴直线l 的极坐标方程为sin θ＝2cos θ.(5分) (2)∵ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的方程可化为x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆C 的圆心C (0，－1)到直线l 的距离d ＝55. ∴|AB |＝24－d 2＝2955.(10分)5．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x . (1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．[规范解答及评分标准] (1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ， ∴3x －1<－x 或3x －1>x ， 解得x <14或x >12.(4分)(2)当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1a，－a x ＋1，x <1a，要使函数f (x )的图象与x 轴没有交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a－1>0，－a ，即1≤a <2.当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点．当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1a，－ax ＋1，x >1a.要使函数f (x )的图象与x 轴没有交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a－1<0，－a ，此时a 无解．综上所述，当1≤a <2时，函数f (x )的图象与x 轴没有交点．(10分)“。

高中数学高考复习每日一题（整理）高中数学高考复习每日一道好题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u ru u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=<u u u ru u u r ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个高中数学高考复习每日一道好题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-L 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+L ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种a1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ． 解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE 所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种高中数学高考复习每日一道好题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a =（2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种1．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩， 所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种高中数学高考复习每日一道好题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C e 与12,O O e e 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C e 与12,O O e e 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种高中数学高考复习每日一道好题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个1． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种高中数学高考复习每日一道好题91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =u u u r u u u rg 得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种1．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种高中数学高考复习每日一道好题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种高中数学高考复习每日一道好题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种高中数学高考复习每日一道好题131．已知定义在R上的函数()f x满足①()()20f x f x+-=；②()()20f x f x---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x与函数()122,0log,0x xg x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2高中数学高考复习每日一道好题141．()f x是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f=，()()()()212f f f n n f n+++=L，则()2015f=．解：()()()()212f f f n n f n+++=L，()()()()()212111f f f n n f n+++-=--L两式相减得()()()()2211f n n f n n f n=---所以()()111f n nf n n-=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121 201512015201420131201620152014320161008f f ff ff f f=⋅⋅=⋅⋅⋅==L2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种高中数学高考复习每日一道好题151． 若,a b r r 是两个非零向量，且a b a bλ==+r r r r，3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则b r 与a b -r r 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==r r ，则1a b λ+=r r设,a b θ=r r ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r r2． 若()11n x -的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12高中数学高考复习每日一道好题161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B I 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种高中数学高考复习每日一道好题171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =u u u ru u u ur ，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +u u u ru u u u r最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +u u u r u u u u r最小．其最小值就是2EC ． 连接212,AC B C ，计算可得21213,5,2AC B C AB ===，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2142EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++L 且123663a a a a ++++=L ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e = 解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---u u u r，()2,QF c am bm =--u u u u r由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=u u u r u u u u r，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭ 所以22bb a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：181． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足：24OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB =u u u r u u u rg ，()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC u u u r ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12n a C +33n a C +L +1n n n a C += ．答案：23n n +高中数学高考复习每日一道好题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+ 即5555MN -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48高中数学高考复习每日一道好题211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2． 在243()x x +的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5高中数学高考复习每日一道好题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞U2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72高中数学高考复习每日一道好题231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150高中数学高考复习每日一道好题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B I 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧¼MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧¼MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（¼ABO 与¼ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

大题规范练(一)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)当f (x )＝2时，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值； (2)若g (x )＝f (2x )，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解：(1)依题意，sin x ＋cos x ＝2⇒(sin x ＋cos x )2＝2⇒sin 2x ＝1， ∴cos 2x ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝12.(2)g (x )＝f (2x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－1，2]．2．(本题满分12分)A 药店计划从甲、乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A 药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中各随机抽取10件，以抽取的10件中药材的质量(单位：克)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A 药店根据中药材的质量的稳定性选择药厂．(1)根据样本数据，A 药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)(2)若将抽取的样本分布近似看成总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表：(ⅰ)估计A (ⅱ)若A 药店所购买的100件中药材的总费用不超过7 000元，求a 的最大值． 解：(1)A 药店应选择乙药厂购买中药材．(2)(ⅰ)从乙药厂所抽取的10件中药材的质量的平均值为x －＝110×(7＋9＋11＋12＋12＋17＋18＋21＋21＋22)＝15(克)，故A 药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100×15＝1 500(克)．(ⅱ)由题知乙药厂所提供的每件中药材的质量n <15的概率为510＝0.5，15≤n ≤20的概率为210＝0.2，n >20的概率为310＝0.3，则A 药店所购买的100件中药材的总费用为100×(50×0.5＋0.2a ＋100×0.3)． 依题意得100×(50×0.5＋0.2a ＋100×0.3)≤7 000， 解得a ≤75， 所以a 的最大值为75.3．(本题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A ­CMN 的高．解：(1)在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝ （AB －CD ）2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥BC .又AC ∩PC ＝C ，故BC ⊥平面PAC . (2)取N 为PB 的中点(图略)．因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2.又AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面， 所以点N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点．因为BC ⊥平面PAC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面PAC 的距离d ＝12BC ＝ 2.又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2，所以V N ­ACM ＝13×2×2＝23.由题意可知，在直角三角形PCA 中，PA ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3， 在直角三角形PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23，CN ＝3，所以S △CMN ＝ 2. 设三棱锥A ­CMN 的高为h ，V N ­ACM ＝V A ­CMN ＝13×2×h ＝23，解得h ＝2，故三棱锥A ­CMN 的高为 2.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22，曲线C 1的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，tan θ1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝255，tan θ1＝2.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧2ρ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2cos π4＋cos θ2sin π4＝22，tan θ2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝253，tan θ2＝2.由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4515，所以线段PQ 的长为4515.5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)求不等式f (x )＋|x ＋1|＜2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为a ，且m ＋n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求4m ＋1n的最小值．解：(1)f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12. 当x ≤－1时，－3x ＜2，得x ＞－23，无解；当－1＜x ＜12时，－x ＋2＜2，得x ＞0，即0＜x ＜12；当x ≥12时，3x ＜2，得x ＜23，即12≤x ＜23.综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.(2)由条件得g (x )＝|2x －1|＋|2x －3|≥|(2x －1)－(2x －3)|＝2，当且仅当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32时，其最小值a ＝2，即m ＋n ＝2.又4m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋24n m ×m n ＝92， 所以4m ＋1n 的最小值为92，当且仅当m ＝43，n ＝23时等号成立．大题规范练(二)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)设公差不为零的等差数列{a n }的前5项和为55，且a 2，a 6＋a 7，a 4－9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（a n －6）（a n －4），数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜12.解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝55，（a 1＋5d ＋a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋3d －9）⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝0(舍去)． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝7＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋5. (2)证明：由a n ＝2n ＋5，得b n ＝1（a n －6）（a n －4）＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12.2．(本题满分12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒， 需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1， 需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2， 需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3， 需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25， 需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)． (2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元， 所以当100≤x ＜160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600， 当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x ＜160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x ＜160时，由40x －1 600≥4 000，解得160＞x ≥140. 当160≤x ≤200时，y ＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元． 所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.3．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点，连接MN .(1)证明：直线MN ∥平面PCD ；(2)若点Q 为PC 中点，∠BAD ＝120°，PA ＝3，AB ＝1，求三棱锥A ­QCD 的体积．解：(1)取PD 中点R ，连接MR ，RC (图略)，∵MR ∥AD ，NC ∥AD ，MR ＝12AD ，NC ＝12AD ，∴MR ∥NC ，MR ＝NC ，∴四边形MNCR 为平行四边形，∴MN ∥RC ，又RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴直线MN ∥平面PCD .(2)由已知条件得AC ＝AD ＝CD ＝1，∴S △ACD ＝34， ∴V A ­QCD ＝V Q ­ACD ＝13×S △ACD ×12PA ＝18.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值．解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0； 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4可得点P 的直角坐标为(2，－2)．曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)，代入y ＝x 2得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数，则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )＞9；(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1＜x ＜12，－3x ，x ≤－1.f (x )＞9等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ＞9.综上，原不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜－3}． (2)∵|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |.由(1)知f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，所以2|a |≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34.。

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

每日一题 规范练(第四周)[题目1] (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，b 2，S5＋2，b 4成等比数列．(1)求{b n }的通项公式；(2)设a n ＝bn2(e )b n ，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{b n }的公差为d ， 因为b 2, S5＋2，b 4成等比数列，b 3＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧b1＋2d ＝6，5b1＋5×42d ＋2＝（b1＋d ）（b1＋3d ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝2，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b1＝10，d ＝－2.因为数列{b n }单调递增，所以d ＞0， 所以b 1＝2，d ＝2，所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝bn2(e )b n ，所以a n ＝n e n. 所以S n ＝1·e 1＋2e 2＋3e 3＋…＋n e n， 所以e S n ＝1·e 2＋2e 3＋3e 4＋…＋n e n ＋1，以上两个式子相减得，(1－e)S n ＝e ＋e 2＋e 3＋…＋e n －n e n ＋1，所以(1－e)S n ＝e －en ＋11－e－n e n ＋1， 所以S n ＝nen ＋2－（n ＋1）en ＋1＋e（1－e ）2.[题目2] (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos B ＝3c －a cos A. (1)若a ＝2sin A ，求b ；(2)若b ＝3，△ABC 的面积为22，求a ＋c . 解：(1)由正弦定理得b cos B ＝3c －a cos A ⇒sin B cos B＝ 3sin C －sin Acos A，即cos A sin B ＝3cos B sin C －sin A cos B ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝3cos B sin C ，即sin(A ＋B )＝3cos B sin C ， 又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 所以sin C ＝3cos B sin C . 因为sin C ≠0，所以cos B ＝13， 则sin B ＝223， 因为a ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝sin B ·a sin A ＝223×2＝43. (2)因为△ABC 的面积为22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝22，得ac ＝6， 因为b ＝3，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－23ac ＝(a ＋c )2－83ac ＝(a ＋c )2－16＝9， 因此(a ＋c )2＝25. 又a ＞0，c ＞0， 故a ＋c ＝5.[题目3] (本小题满分12分)如图所示，在左边的平面图中，AB ＝BC ＝CD ＝2，AE ＝2，AC ＝22，∠ACD ＝π4，AE ⊥AC ，F 为BC 的中点．现在沿着AC 将平面ABC 与平面ACDE 折成一个直二面角，如下图，连接BE ，BD ，DF .(1)求证：DF ∥平面ABE ；(2)求二面角E ­BD ­C 平面角大小的余弦值． (1)证明：在直观图中，过点D 作DG ⊥AC 交AC 于点G (如图1)． 因为AE ⊥AC ， 所以AE ∥DG .图1因为CD ＝2，∠ACD ＝π4，所以DG ＝CG ＝2.因为AE ＝2，所以AE ＝DG ，所以四边形AGDE 为矩形． 所以ED ∥AG ，ED ＝AG ，取AB 的中点H ，连接EH ，HF ， 因为F 为BC 的中点，所以HF ∥AG ，HF ＝AG ，所以HF ∥ED ，HF ＝ED ，所以四边形EDFH 为平行四边形， 从而DF ∥EH .因为DF ⊄平面ABE ，EH ⊂平面ABE ， 所以DF ∥平面ABE .(2)解：以A 为原点，AC ，AE 所在射线为y 轴，z 轴建立空间坐标系(如图1)． 因为AB ＝BC ＝2，AC ＝22，所以AB ⊥BC ，且∠CAB ＝π4，则B (2，2，0)．因为E (0，0，2)，所以EB →＝(2，2，－2)．又ED →＝(0，2，0)，设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，1)．则⎩⎨⎧2x1＋2y1－2＝0，2y1＝0，解得x 1＝1，y 1＝0，所以n 1＝(1，0，1)．又D (0，2，2)，C (0，22，0)．所以CB →＝(2，－2，0)，CD →＝(0，－2，2)．设平面CBD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，1)，则⎩⎨⎧2x2－2y2＝0，－2y2＋2＝0，解得x 2＝1，y 2＝1，所以n 2＝(1，1，1)．设平面BDE 与平面BCD 所成角的大小为θ，由图易知，平面BDE 与平面BCD 所成角为钝角，则cos θ＝－|n1·n2||n1|·|n2|＝－22×3＝－63.星期四 2019年4月11日[题目4] (本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)(2)已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3个． 故所求事件的概率为P (A )＝310. (2)由前4个月的数据可得，x －＝5，y －＝30，x i y i ＝652，x 2i ＝110.所以b ^＝＝652－4×5×30110－4×52＝5.2.则a ^＝30－5.2×5＝4，所以线性回归方程为y ^＝5.2x ＋4.(3)由题意得，当x ＝8时，y ^＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2，所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．[题目5] (本小题满分12分)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)的公共弦过抛物线的焦点F ，且弦长为4. (1)求抛物线和圆的方程；(2)过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，求△ABM 面积的最小值．解：(1)由题意可知，2p ＝4， 所以p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y .又⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋p 2＝r 2，所以r 2＝5， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝5.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y 可得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋k2·16k2＋16＝4(1＋k 2)． 因为抛物线为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，y ′＝x 2，所以过A 点的切线的斜率为x12，切线方程为y －y 1＝x12(x －x 1)，令y ＝0，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫x12，0，所以点M 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k·x12＋11＋k2，故S △ABM ＝12×4(1＋k 2)×⎪⎪⎪⎪⎪⎪k·x12＋11＋k2＝1＋k2·|kx 1＋2|，又k ＝y1－1x1＝x21－44x 1，代入上式并整理得S △ABM ＝116·（x21＋4）2|x 1|，令f (x )＝（x2＋4）2|x|，可得f (x )为偶函数，代入上式并整理得S △ABM ＝116·（x21＋4）2|x 1|，令f (x )＝（x2＋4）2|x|，可得f (x )为偶函数，令f (x )＝（x2＋4）2|x|，可得f (x )为偶函数，当x ＞0时，f (x )＝（x2＋4）2x ＝x 3＋8x ＋16x， f ′(x )＝3x 2＋8－16x2＝（x2＋4）（3x2－4）x2，令f ′(x )＝0，可得x ＝233，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞时，f ′(x )＞0. 所以x ＝233时，f (x )取得最小值12839， 故S △ABM 的最小值为116×12839＝839.[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x －m (m ＜－2，m 为常数)．(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 的最小值；(2)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，且x 1＜x 2，证明：x 1·x 2＜1. (1)解：由题意得，函数f (x )的定义域为x ＞0，f ′(x )＝1－xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 所以y ＝f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e －m ，f (e)＝1－e －m ， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e－f (e)＝－2＋e －1e＞0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上的最小值为f (e)＝1－e －m .(2)证明：由题意知，x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0， 且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2.又由(1)知，f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上递减， 故x 2＞2，所以0＜1x2＜1，则f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＝ln x 1－x 1－(ln 1x2－1x2)＝ln x 2－x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x2－1x2＝－x 2＋1x2＋2ln x 2. 令g (x )＝－x ＋1x＋2ln x (x ＞2)， 则g ′(x )＝－1－1x2＋2x ＝－x2＋2x －1x2＝－（x －1）2x2≤0，当x ＞2时，g (x )是减函数， 所以g (x )＜g (2)＝－32＋ln 4.因为32－ln 4＝ln e 324＞ln 2.56324＝ln 1.634＝ln 4.0964＞ln 1＝0.所以g (x )＜0，所以当x ＞2时，f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＜0，即f (x 1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2，因为0＜x 1＜1，0＜1x2＜1，f (x )在(0，1)上单调递增． 所以x 1＜1x2，故x 1x 2＜1.[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4­4：极坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标； (2)直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α化为直角坐标方程得x24＋y 2＝1.因为A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，所以x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3.故点A 在直角坐标系下的坐标为(1，3)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t代入x24＋y 2＝1，化简得10t 2－62t －11＝0.设此方程两根分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝325，t 1t 2＝－1110，所以|PQ |＝（t1＋t2）2－4t1t2＝825. 因为直线l 的一般方程为x ＋y －1＝0，所以点A 到直线l 的距离为d ＝32＝62. 所以△APQ 的面积为12×825×62＝435.2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲]设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，其中a ∈R. (1)若a ＝4，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若f (x )≥4对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝4，所以f (x )＝|x －1|＋|x －4|. 当x ≤1时，|x －1|＋|x －4|＝－2x ＋5， 解不等式－2x ＋5≥5，得x ≤0；当1＜x ＜4时，|x －1|＋|x －4|＝3，显然f (x )≥5不成立； 当x ≥4时，|x －1|＋|x －4|＝2x －5， 解不等式2x －5≥5，得x ≥5.故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|(x－1)＋(a－x)|＝|a－1|，所以f(x)min＝|a－1|.由题意得|a－1|≥4，解得a≤－3或a≥5.所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．。

第一部分 专题四 第二讲A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析]由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n)[解析]因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1anan ＋1＝12×(14)n －1，所以{1anan ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12×错误!＝错误!(1－错误!)，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C)A ．30B ．45C ．90D ．186[解析]设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝6，a1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6，所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析]∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S n ＝错误!n 2＋(a 1－错误!)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x|； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析]解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a2n ＋1a2n ＝(an ＋1an )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ．③f (a n )＝|an|，∵|an ＋1||an|＝|an ＋1an|＝|q|，∴{f (a n )}是等比数列，排除A ．解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以错误!＝错误!＝4≠错误!＝错误!＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x|，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1.2_017的值为2018a 则ln ，n b ·n a ＝＋1n a 且，[解析]因为数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2017＝b 20171009＝e 2017，ln a 2018＝lne 2017＝2017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10的值为1 023128.[解析]数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14.那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10＝4(1＋12＋122＋…＋129)＝4×1－12101－12＝1023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析](1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，a3＝8.所以q ＝a3a2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析](1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝错误!. (2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得错误!＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明[解析](1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n1－2＝2n －1，故T n ＝k ＝1n(2k －1)＝k ＝1n 2k－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.②因为错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!－错误!，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{错误!}的前n 项和T n ＝( C ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a3－a12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a3－a12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－(错误!－错误!)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析]画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [解析]∵S 20＝a1＋a202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析]由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，∴Sn ＋1Sn ＝32，∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S2S1＝32，∴S n ＝(32)n －1.5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n n ＋1(n∈.16的值为n 4成立的最小自然数－<n S 则使，n S 项和为n 设其前)，*N[解析]因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1，若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，.－3n －2n 3·2个数的和是n 群中n 则第，个数n 群恰好n 第，…，群n 第，…[解析]由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋错误!－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1an ＋2，a 1＝－12.(1)求证{1an ＋1}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析](1)证明：∵a n ＋1＝－1an ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1an ＋2＋1＝an ＋2－1an ＋2＝an ＋1an ＋2，由于a n ＋1≠0，∴1an ＋1＋1＝an ＋2an ＋1＝1＋1an ＋1， ∴{1an ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)题结论知：1an ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1－1＝－nn ＋1(n ∈N *)．(3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1，设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1 2.∴P的最大值为。

每日一题 规范练(第一周) 星期一 2020年3月23日[题目1] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值．解：(1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12， 所以－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12，则cos A ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π. (2)S △ABC ＝12bc sin A ＝3，所以bc ＝4， 又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2＋bc ，所以(b ＋c )2＝16，故b ＋c ＝4. 星期二 2020年3月24日[题目2] 已知等差数列{a n }的公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且a 2＋a 4＝8，a 3，a 5，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a 2n －1·a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为a 2＋a 4＝8，则a 3＝4，即a 1＋2d ＝4.①因为a 3，a 5，a 8为等比数列，则a 25＝a 3a 8，即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，化简得：a 1＝2d ，②联立①和②得：a 1＝2，d ＝1.所以a n ＝n ＋1，n ∈N *.(2)因为b n ＝1a 2n －1·a 2n ＋1＝12n （2n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝14(1－1n ＋1)＝n 4（n ＋1）. 星期三 2020年3月25日[题目3] 随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争、吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．(1)若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8 500元的城市的概率；(2)若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1 000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都低于8 500元的概率．解：(1)设该生选中月平均收入薪资高于8 500元的城市为事件A ，15座城市中月平均收入薪资高于8 500元的有6个，所以P (A )＝615＝25. (2)月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1 000元的城市有6个，其中月平均期望薪资高于8 500元的有1个，记为A ；月平均期望薪资低于8 500元的有5个，记为B 1，B 2，B 3，B 4，B 5.从中任取两座城市所有可能结果为AB 1，AB 2，AB 3，AB 4，AB 5，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 1B 5，B 2B 3，B 2B 4，B 2B 5，B 3B 4，B 3B 5，B 4B 5共15种，其中后10种情况2座城市的月平均期望薪资都低于8 500元．设2座城市的月平均期望薪资都低于8 500元为事件B ，所以P (B )＝1015＝23.星期四2020年3月26日[题目4] 三棱柱ABC-A1B1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如图所示几何体，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，BC＝BB1，E为棱B1C上的动点(不包含端点)，平面ABE交A1C于点F.(1)求证：AB⊥平面B1BC；(2)求证：EF∥AB；(3)试问是否存在点E，使得平面ABE⊥平面A1B1C？并说明理由．(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，由∠ABC＝90°，得BC⊥AB.因为BB1∩BC＝B，B1B⊂平面B1BC，BC⊂平面B1BC，所以AB⊥平面B1BC.(2)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面A1B1C＝EF，所以EF∥AB.(3)解：存在点E，当点E为B1C的中点时，平面ABE⊥平面A1B1C.因为BC＝BB1，所以BE⊥B1C.因为AB⊥平面B1BC，BE⊂平面B1BC，所以AB⊥BE.由于AB∥A1B1，所以BE⊥A1B1.因为A1B1∩B1C＝B1，所以BE⊥平面A1B1C.又BE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面A 1B 1C . 星期五 2020年3月27日[题目5] 设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线．(1)解：由题意知，4a ＝46，a ＝ 6.又e ＝22，所以c ＝3，b ＝3， 所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)证明：当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 226＋y 223＝0. 所以x 21－x 226＝－y 21－y 223，（x 1－x 2）（x 1＋x 2）6＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）3， 所以y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－36. 则k ·k OM ＝－12，所以k OM ＝－12k. 同理可得k ON ＝－12k. 所以k OM ＝k ON ，从而点O ，M ，N 三点共线． 星期六 2020年3月28日[题目6] 设函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x . (1)证明：当x ＞1时，f (x )＞0；(2)若关于x 的不等式ln x x＜a (x －1)对任意x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：因为f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ＞1， 所以f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在x ∈(1，＋∞)为增函数，所以f (x )＞f (1)＝ln 1－(1－1)＝0.(2)解：设h (x )＝ln x x－a (x －1)，x ∈(1，＋∞)． 则h ′(x )＝1－ln x x 2－a ＝1－ln x －ax 2x 2. 当a ≥1时，1－ax 2＜0，ln x ＞0，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在x ∈(1，＋∞)上是减函数，所以h (x )＜h (1)＝0恒成立，即不等式ln x x＜a (x －1)对任意x ∈(1，＋∞)恒成立， 当a ≤0时，h (x )＝ln x x－a (x －1)＞0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，故不合题意． 当0＜a ＜1时，因为ln x ＞1－1x对任意x ∈(1，＋∞)恒成立； 所以h (x )＝ln x x －a (x －1)＞1－1x x －a (x －1)＝x －1x 2－a (x －1)＝x －1x 2(1－ax 2)， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，h (x )≥0，故不合题意． 综上可知，实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 星期日 2020年3月29日[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1－2sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－2cos θ＝1ρ，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos αy ＝1－2sin α，消去α，得(x －3)2＋(y －1)2＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4， 化简得ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.(2)由sin θ－2cos θ＝1ρ，得ρsin θ－2ρcos θ＝1， 即2x －y ＋1＝0.圆心C (3，1)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|2×3－1＋1|5＝655， 所以C 上点到直线的最大距离为d ＋r ＝655＋2. 2．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |，m ，n ∈(0，＋∞)．(1)若m ＝2，n ＝3，求不等式f (x )＞5的解集；(2)若f (x )≥1恒成立，求2m ＋n 的最小值．解：(1)若m ＝2，n ＝3，则f (x )＝|x ＋2|＋|2x －3|.①当x ≤－2时，－x －2－2x ＋3＞5，得x ＜－43， 所以x ≤－2.②当－2＜x ＜32时，x ＋2－2x ＋3＞5，得x ＜0， 所以－2＜x ＜0.③当x ≥32时，x ＋2＋2x －3＞5，得x ＞2，所以x ＞2. 综上，不等式解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)|x ＋m |＋|2x －n |＝|x ＋m |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2≥|x ＋m |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋n 2＝m ＋n 2. 依题意，有m ＋n2≥1，即2m ＋n ≥2. 故2m ＋n 的最小值为2.。

每日一题 规范练(第一周)[题目1] (本小题满分12分)(2017·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 解：(1)根据正弦定理得a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c ·sin A a ＝37sin 60°＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3.因为sin C ＝3143，c ＜a ，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1314. 在△ABC 中，sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A ·cos C ＋cos A ·sin C ＝32×1314＋12×3314＝437， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×7×3×473＝6 3.[题目2] (本小题满分12分)已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(导学号 55410152)(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3d ＝q 2，1＋q ＋q 2＝2＋5d ， 解得d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1.(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n ·2n －1，则T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1①2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n②①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1·（1－2n）1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n－1.所以T n ＝(n －1)·2n＋1.[题目3] (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC . 由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ， 所以AP ⊥CD ， 因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面PAC ， 所以BE ⊥平面PAC .[题目4] (本小题满分12分)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为SO 2、NO 2、PM10、PM2.5、Q 3、CO 等六项．空气质量按照AQI 大小分为六级：一级0～50为优；二级51～100为良好；三级101～150为轻度污染；四级151～200为中度污染；五级201～300为重度污染；六级＞300为严重污染．某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天AQI 的茎叶图如图所示： (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI ＞100)的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率．解：(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良好的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为510＝12，估计该月空气质量优良的频率12，从而估计该月空气质量优良的天数为30×12＝15.(2)该样本中轻度污染共3天，分别记为A ，B ，C ；中度污染1天，记为y ；重度污染1天，记为z ，从中随机抽取三天的所有可能结果表示为：(A ，B ，C )，(A ，B ，y )，(A ，B ，z )，(A ，C ，y )，(A ，C ，z )，(B ，C ，y )，(B ，C ，z )，(A ，y ，z )，(B ，y ，z )，(C ，y ，z )，共10个；其中空气质量互不相同的结果有：(A ，y ，z )，(B ，y ，z )，(C ，y ，z )，共3个． 所以这三天的空气质量等级互不相同的概率为310.[题目5] (本小题满分12分)设f (x )＝e x(ln x －a )(e 是自然对数的底数，e ＝2.71 828…)．(1)若y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2e x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝e x (ln x －a )＋e x ·1x＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x－a ，所以由题意，得f ′(1)＝e(1－a )＝2e ， 解得a ＝－1.所以f (1)＝e(ln 1－a )＝e ， 由切点(1，e)在切线y ＝2e x ＋b 上， 得e ＝2e ＋b ，b ＝－e ， 故a ＝－1，b ＝－e. (2)由题意可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －a ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立． 因为e x＞0，所以只需ln x ＋1x－a ≤0，即a ≥ln x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x.因为g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，由g ′(x )＝0，得x ＝1.g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝ln 1e＋e ＝e －1，g (e)＝1＋e， 因为e －1＞1＋1e，所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1， 故a ≥e －1.故实数a 的取值范围是[e －1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(导学号 55410153)(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解：(1)由题意得P (x ，x 2)，－12＜x ＜32.设直线AP 的斜率为k ， 故k ＝x 2－14x ＋12＝x －12∈(－1，1)，故直线AP 斜率的取值范围为(－1，1)． (2)由(1)知P (x ，x 2)，－12＜x ＜32，则直线AP 的方程为：y ＝kx ＋12k ＋14，直线BQ 的方程为：y ＝－1k x ＋32k ＋94，联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k ＋14，y ＝－1k x ＋32k ＋94，点Q 的横坐标是x Q ＝3＋4k －k22k 2＋2， 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2·(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时，f ′(k )＞0；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时， f ′(k )＜0，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减．因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.[题目7] 在下面两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．1．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设M (2，0)，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，消去参数，得普通方程y ＝3(x －2)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)代入y 2＝4x ，整理可得3t 2－8t －32＝0，设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝83，t 1t 2＝－323.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 2t 1t 2＝14.2．(本小题满分10分)设函数f (x )＝|2x ＋3|－|2x －a |，a ∈R. (1)若不等式f (x )≥5的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0对称，求实数a 的值． 解：(1)||2x ＋3|－|2x －a ||≤|2x ＋3－2x ＋a |＝|3＋a |， 因为不等式f (x )≥5的解集非空， 所以|3＋a |≥5，所以a ≤－8或a ≥2.(2)因为函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0对称， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －12＝0， 所以|2x ＋2|－|2x －1－a |＋|－2x ＋2|－|－2x －1－a |＝0，由于对任意x为实数均成立，所以a＝1.。

高考微点1集合—、集合间的基本关系［微要点］1 .集合间的基本关系的两个重要结论(1) A ? B 包含A = B 和A B 两种情况，两者必居其一，若存在x € B 且x ?A ,说明A M B , 只能是A B.(2) 集合相等的两层含义：若 A ? B 且B ? A ,贝U A = B ;若A = B ,贝U A ? B 且B ? A. 2.集合间的基本关系中的两个易误点(1) 注意 和？的区别，虽然两者均表示集合间的包含关系， 但前者是后者“工”情形时的包含关系.(2) 解题时，出现 A ? B 时，务必注意对集合 A 进行分类讨论，即分 A = ?和A M ?两种情 况进行分类讨论，并注意对端点值的检验.［微练习］21 .下列集合中，集合 A = {x|x<5x}的真子集是( )A . {2,5}B . (6,+^ )C . (0,5)D . (1,5)解析：选D A = {x|x 2<5x} = (0,5)，根据真子集的概念可知，只有选项 D 满足.2.已知集合 A = ix |y = log 2(x - 1 i !M B ={x|x<2m - 1}，且 A ?? R B,则 m 的最大值是1 3 3以2m — 1< 2,解得m w 4.故m 的最大值为］答案：34二、集合的基本运算［微要点］1.集合的运算及表示运算自然语言付号语言Venn 图解析：依题意,x |y = Iog2(x -2》?R B = {x|x >2m — 1}，又 A ?? R B , 所1 x>2(1) (A n B)? A, (A n B)? B; A n B= B n A; A? (A U B), B? (A U B); A U B= B U A.(2) 若A? B,贝U A n B= A;若A n B = A,贝U A? B.若A? B,贝U A U B = B;若A U B= B，贝U A? B.(3) ?U(?U A)= A, A U (?U A)= U , A n (?U A) = ?.3. 集合运算中的易误点遇到A n B= ?时，你是否注意到“极端”情况： A = ?或B= ?;同样在应用条件A U B =B? A n B= A? A? B时，不要忽略A= ?的情况.［微练习］1 .设集合A= {-2, - 1,0,1,2}, B= {x|x2+ x —2< 0}，贝V A n B =( )A. {0,1,2}B. {—2, —1,0}C . { —1,0,1}D . {—2,—1,0,1}解析：选 D 因为B= {x|x2+ x —2<0} = {x|—2< x< 1}，所以A n B= { —2,—1,0,1}.2 .设集合A= {1,2,6} , B= {2,4}, C = {x€ R |—1 < x< 5}，则(A U B)n C =( )A. {2}B. {1,2,4}C. {1,2,4,5} D . {x € R |—1 < x< 5}解析：选B••A = {1,2,6}, B = {2,4} , /A U B= {1,2,4,6}.又C= {x €R | —1< x< 5}, "A UB)n C= {1,2,4}.故选B.3 .已知集合A= {x|—3vx<6} , B= {x|2vx<7}，贝U A n (?R B)=( )A. (2,6)B. (2,7)C . (—3,2］D . (—3,2)解析：选C因为？R B={X|X W 2 或x> 7}，所以 A n (?R B)= {x|—3<x< 2}.故选 C.4•若集合A= {x| x= x2—2, x € R }, B = {1, m},若 A U B= B,贝V m 的值为()A. 2B.—1C. —1 或2 D . 2 或2解析：选 A 因为 A = {x|.x =- x 2— 2, x€R }，所以 A = {2}.因为 B = {1, m}，且 A U B = B ，所以m = 2，故选A.[微咼考 考点综合训练]1 .已知集合 A = {x|x 2— 3x + 2w 0}, B = {X|1v2x <4}，则 A n B =( )A . {x|1< x w 2}B . {x|1<x < 2}C . {x|1w x<2}D . {x|0w x<2}解析：选 C A = {x|x 2 — 3x + 2w 0} = {x|1W x w 2} ,B = {x|1<2 x <4} = {x|0<x<2}，所以 A n B ={x|1w x<2}.故选 C.2 .若全集为实数集 R ，集合A = {x|log1 (2x — 1)>0}，则？R A =()2B . (1 ,+^ )解析：选D 因为全集为实数集 R ,集合A = {x|log 1 (2x — 1)>0} = {x|0<2x — 1<1}=2 1 x 2<x<13.已知集合 A = {4,a},B = {x® |x 2— 5x + 4>0}，若 A n (?z B)z ?，则实数 a 的值为()B . 3D . 2 或 3因为 B = {x 甩 |x 2— 5x + 4> 0}，所以?Z B = {xC Z |x 2— 5x + 4<0} = {2,3}，又5.设A = {x|x 2— 4x + 3w 0}，B = {x|ln(3— 2x)v0}，则图中阴影部分表示的集合为— a 3 、，2丿C .」，3丿U [1 ,+^ )— a, 1 U [1 ,+s )解析：选D集合 A = {4, a},4 .已知集合若 A n (?z B)工?，贝U a = 2 或 a = 3,故选 D.f，集合N = x，则()B .N ? M解析：选D 由题意知集合M 表示能被20整除的正整数，集合 N 表示能被40整除的整数，所以M n N="i x 40 ®*.故选 D .B.A.，所以？R A = x x w 1 或x > 1a ，2 J，+a ).故选 D.解析：选 B A= {x|x2—4x + 3w 0} = {x|1< x< 3}, B= {x|ln(3 —2x)<0} = {x|0<3 —2x<1}3=x ivx<2 r,图中阴影部分表示的集合为A QB = c x IVXV3 i,故选B.6.已知全集U = {x € N1 w x w 9}，集合A= {0,1,3,4}，集合B= {y|y= 2x, x€ A}，则(?U A) Q (?u B)=( )A. {5,7}B. { —1,5,7,9}C. {5,7,9}D . { —1,1,2,3,4,5,6,7,8,9}解析：选 C 因为U = {x €N |—1W x w 9}，所以U = {0,1 , 2,3,4,5,6,7,8,9} •因为集合 A = {0,1,3,4}，集合B = {y|y= 2x, x €A}，所以B= {0,2,6,8}.所以?u A= {2,5,6,7,8,9} , ?u B = {1,3,4,5,7,9}，所以(?u A)Q (?u B)= {5,7,9}，故选C.7 .已知集合A = {x|x2—2x—3>0, x € Z},集合B = {x|x>0}，则集合？z A Q B的子集的个数为()A. 3B. 4C. 7 D . 8解析：选 D •••集合A= {x|x —2x—3>0, x^Z},「？Z A = {x|x —2x—3w 0, x®}= {x|—1 w x w 3, x = {—1,0,1,2,3}.又集合B= {x|x>0},「.集合?Z A Q B= {1,2,3}，则集合?Z A Q B的子集个数为23= 8.故选D.8.已知集合A = {0,1,2m}, B = {x|1v 22—x< 4}，若A Q B = {1,2m}，则实数m 的取值范围是()A. 0,B. 1 1C. 0, 2 U 2，1 D - (0,1)解析：选 C 因为B = {x|1< 22—x< 4}，所以 B = {x|0< 2—x< 2}，所以B= {x|0< x< 2}.在数轴上标出集合B，集合A Q B，如图1或图2所示,0 1 2m2图2从图中可知，0< 2m< 1或1< 2m< 2，解得0< m<十或丁< m< 1,所以实数m的取值范围是0, 2 u 1, 1 .故选C.全称命题、特称命题的否定命题 命题的否定? x € M , p(x) ? xM ,綈 p(x 0)? xM , p(x 0)? x € M ,綈 p(x)3.四种命题的真假关系(1) 若两个命题互为逆否命题，则它们的真假性相同.(2) 若两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系. 4. 含有逻辑联结词的命题真假判断口诀 p V见真即真，p A 见假即假，p 与綈p i 真假相反.5. 注意两个易误点(1) 区分命题的否定与否命题，已知命题为“若 p ,则q ”，则该命题的否定为“若则綈q”，其否命题为“若綈p ,则綈q ”.(2) 在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.［微练习］1 •命题：“ ？ x o >0，使2 x 0(x o - a)>1 ”的否定是( )A. ? x>0,使 2 x (x - a)>1B. ? x>0,使 2 x (x - a )w 1C. ? x w 0,使 2 x (x — a )w 1D. ? x w 0,使 2 x (x — a)>1咼考微点2常用逻辑用语、四种命题的相互关系及逻辑联结词四种命题间的相互关系愼命題： 若円則g 互 否何:M P［微要点］p ,互为互逆 互逼逆否互解析：选B 命题的否定为？x>0,使2 x (x —a)w 1.2.命题："若函数f（x）= x—ax + 3在［1 ,+m）上是增函数，则a w 2”的否命题（）A .与原命题同为假命题B.与原命题一真一假C .为假命题D .为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f（x）= x1 2—ax+ 3在［1, +s）上不是增函数，则a>2 ”，为真命题，故选 D.3.已知p：? x0€ R, mx；J + 1 w 0, q：? x€ R, x2+ mx +1>0，若p V q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A. [2,+ IB. (— °°, —2]C . (— i,—2]U [2, + i)D . [—2,2]解析：选A 由p：? x°駅, mx°+ 1W 0,可得m<0;由q：? x€R, x + mx+ 1>0,可得△= m2—4<0,解得—2<m<2.因为p V q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题,则有m> 0;若q是假命题，则有m W —2或m> 2,故实数m的取值范围为［2, + ）.故选A.二、充要条件［微要点］1 .已知i 是虚数单位，a, b€ R,则"a= b= 1 ”是"(a+ bi)2= 2i” 的()1 A是B的充分不必要条件是指：A? B且B A;2 A的充分不必要条件是B是指：B? A且A =B,在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误.［微练习］A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 A 因为当 a = b= 1 时，(a+ bi)2= (1 + i)2= 2i,而由(a+ bi)2= 2i，得a= b= 1或a= b=- 1,所以“a= b= 1”是“(a+ bi)2= 2i”的充分不必要条件.故选 A.2 .已知条件p：x+ y z—2，条件q：x, y不都是一1,贝U p是q的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A 因为p：x+ y z —2, q：x z —1，或y M -1，所以綈p：x+ y=—2,綈q：x =—1,且y=—1,因为綈q?綈p但綈p "綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.3. 定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f' (x)，则“ f' (x)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B -.f(x)为奇函数，/f(—x)=—f(x). /[f( —x)]' = [—f(x)]' , f (—x)•—x)' =—f' (x), /f' (—x) = f' (x),即f' (x)为偶函数；反之，若f' (x)为偶函数，女口f' (x) = 3x2, f(x) = x3+ 1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“ f' (x)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选 B.- > -- >4. (2018西安八校联考)在厶ABC中，“ AB -BC >0”是“△ ABC是钝角三角形”的( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件-- > ---- > ■ ■---------------------- > --- > --------- > --- >解析：选A 设AB与BC的夹角为0,因为AB ・BC>0, 即卩|AB||・BC|cos >0，所以cos 6>0 , 0<90 °又0为厶ABC内角B的补角，所以/ B>90 ° △ ABC是钝角三角形；当厶ABC-- > --- >为钝角三角形时，/ B不一定是钝角.所以-B -C >0”是△ ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.[微高考考点综合训练]1 .已知命题p：若a>|b|，贝U a2>b2;命题q：若x2= 4，则x = 2.下列说法正确的是()A.“ p V q”为真命题B.“ p A q”为真命题C. q为真命题 D .以上均不正确解析：选A 由条件知p为真命题，q为假命题，所以“ pVq”为真命题，故选 A.2.在△ ABC中，“ sin B = 1”是“△ ABC为直角三角形”的()A •充分不必要条件B.必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件n解析：选A 在△ABC中，若sin B= 1，贝U B= Q，所以△ ABC为直角三角形；若厶ABC为直角三角形，贝U sin B= 1或sin A= 1或sin C= 1.所以在厶ABC中，“sin B= 1”是“AABC为直角三角形”的充分不必要条件，故选 A.3 .已知命题p：? a € R，方程ax + 4= 0有解；命题q：? m o>0，直线x+ m o y—1= 0 与直线2x+ y+ 3= 0平行.给出下列结论，其中正确的个数是()①命题"p A q”是真命题；②命题"p A (綈q)”是真命题；③命题"(綈p) V q”为真命题；④命题“(綈p) V (綈q)”是真命题.A. 1B. 2C . 3D . 4解析：选B 因为当a= 0时，方程ax+ 4= 0无解，所以命题p为假命题；当1 —2m = 0, 1即m= 2时两条直线平行，所以命题q是真命题.所以綈p为真命题，綈q为假命题，所以①②错误，③④正确.4.命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则？x€ R, f(—X)M f(x).命题q：f(x) =x|x|在(—a, 0)上是减函数，在(0,+^ )上是增函数.则下列判断错误的是()A. p为假命题C. p V q为真命题B. 綈q为真命题D . p A q为假命题解析：选C 函数f(x)不是偶函数，仍然可以？x°€R，满足f(—x°)= f(X0),因此命题p厂2x2, x> 0,为假命题.函数f(x)= x|x|= 在( —a , 0)和(0,+ a)上都是增函数，因此命题—x2, x<0q为假命题.所以綈q为真命题，p V q为假命题，pAq为假命题.故选 2 25.方程」匕+一匕=1表示双曲线的一个充分不必要条件是(m—2 m十3 C. )A. —3< m<0B. —3<m<2C. —3< m<4D. —1<m<3解析：选A2 2方程+ —J = 1表示双曲线的充要条件是m—2 m+3(m —2)(m+ 3)<0 ? —3<m<2,所以它的一个充分不必要条件是(一3,2)的真子集.6 .已知非空集合M , P，则命题“ M ? P”为假命题的充要条件是( )C . ? X1 € M , X i € P 且X2 € M , x? PD. ? x o€ M, X o P解析：选DM ? P等价于？x €M, x€P,因为“ M ? P ”是假命题，所以其否定为？X o €M，x o P，它是真命题，故“ M ? P”为假命题的充要条件是？X o€M，X o P.故选D.7 .有下列几个命题：①“若a>b,则a2>b2”的否命题；②“若x + y= 0,则x, y互为相反数”的逆命题；③“若X2<4，则一2vxv2”的逆否命题.其中真命题的序号是 __________ .解析：①原命题的否命题为“若a w b,则a2w b2”，假命题.②原命题的逆命题为“若x, y互为相反数，则x + y= 0”，真命题•③原命题的逆否命题为“若x> 2或x< - 2，则X2》4 ”，真命题.答案：②③8•若命题“ ？x o€ R，使得x2 + (a-1)x°+ 1<0”是真命题，则实数a的取值范围是__________ .解析：•••“? X o€R，使得x0+ (a- 1)x o+ 1<0” 是真命题，•••△= (a- 1)2-4>0,即(a —1)2>4, •*a>3 或a<—1.答案：(—8, —1) u (3,+^ )高考微点3函数的图象和性质一、函数及其表示［微要点］1. 函数的基本问题(1) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(2) 函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法.(3) 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.2. 掌握求函数解析式的常用方法(1) 待定系数法.(2) 换元法(或配凑法).(3) 构造方程组法(消元法).3. 注意两个易误点(1)函数的定义域的表现形式是集合，因此，求出函数的定义域后，一定要表示成集合或2所以 f(— 2)= Iog 2[( — 2)2 + 5] = Iog 29> 0, f(f(— 2)) = f(log 29)= 3X 4IOg29= 3 X 丹蜩二 3X 2Iog29=3 X 81= 243.故选 B.代入 f(x)= 2f 1 X — 1 中，求得 f(x)= 3 X + 3.答案：3 X +1二、函数的图象［微要点］1.掌握函数图象的四种变换平移 变换—向左侑平移a① y -f (x )个单^q O>0)y = f(x 也)；—向上迁平移b②y=f (x)个单^―b>0)y =f(x) ±区间的形式，否则，就会因为格式不对而扣分. (2)求函数的定义域时最容易忽视条件的限制，如求函数 x>0， X M 0,忽视In X M 0的限制.f(x) =盒的定义域,只考虑到［微练习］1函数y =両三的定义域为( (0,4)B . (4,+^ ) (0,4) U (4,+^ )D . (0,+^ )解析：选C 由条件可得Iog 2x — 2M 0且X>0 ,解得X €(0,4) U 4, +).故选C.IOg2(X2 .设 f(x) = 「2+1)X v 0, i 3(t — 1 X , X > 0,A . 27 243 1 C.271 2431解析：选 B f 1 = 3(t — 1)2= 6,即(t — 1) 「log(x + 5 } x v 0,=2,解得 t = 5.故 f(x) = j| 3X 4X , X >0,3 .已知函数f(x)的定义域为 解析:且B.6,则f(f( — 2))的值为(—1,贝U f(x) =在 f(x)= 2f —1 (0,+^)，且 f(x) = 2f 12f(x)衣—1对称 变换① y — f(— x)与y — f(x)的图象关于y 轴对称；② y —— f(x)与y — f(x)的图象关于x 轴对称； ③ y —— f(— x)与y — f(x)的图象关于原点对称伸缩 变换①要得到y — a f(x) (a>0)的图象，可将y — f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(a<1)到原来的a 倍，横坐标不变；②要得到y —f(a x)(a>0)的图象，可将y — f(x)的图象上每点的横坐标伸长(a<1)或缩短(a>1)到原来的a 倍，纵坐标不变 翻折 变换①对于y — f(x)的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到 y — | f(x)|的图象；② 保留y —f(x)在y 轴右边的图象，并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象，即得y — f(|x |)的图象2.辨明两种对称关系(1) 一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对 称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称.(2) —个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称也不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数图象的对称关系.［微练习］1.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则 2-x 2A - f(x)=2" COSXB. f(x)= =2COSX x解析：选D A 中，当X T + 8时，f(x)T —8，与题图不符，故不成立； B 为偶函数, 与题图不符，故不成立； C 中，当X T 0+时，f(x)<0，与题图不符，故不成立•选D.nco^x2 .函数f(x)=------- 1的图象大致是(x +If(x)=-f(x) = COSXx f(x)的解析式n1 D ;在区间(0,+ 8)上，当 x T 0 时，COS2X T 1, x + 一- +^,贝V f(x)i 0,排除 B.故选 C.2x—1, 0< x v 1,故y =— f(2 — x)= 图象应为B. l x — 2, 1 < x < 2.三、函数的性质［微要点］1.函数的性质单调性设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域1内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当x 1< x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(f(x 1)>f(x 2)),则函数f(x)在区间D 上是增函数(减函数)奇偶性如果对于函数f(x)的疋义域内任意一个X ,都有f( — x) = f(x) (f(— x) = — f(x)),那么函数f(x)叫做偶函数(奇函数)周期性对于函数y = f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x + T)= f(x)，那么就称函数 y = f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期解析：选C因为 f(- x)=- nCO#-_1 =- f(x),x + 1x所以f(x)是定义域上的奇函数, 所以排除A 、1, 0< x v 1, 以 f(2 — x)=|2 — x , K x < 2, C D2 — x q o,2］，所 解析:3.已知定义在区间［0,2］上的函数y = f(x)的图象如图所示，则y = — f(2 — x) 的图象为( 1 2 *2. 函数性质中常用结论⑴若函数f(x), g(x)在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质：① 当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)+ g(x)是增(减)函数. ② 当f(x), g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则 f(x) g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则 f(x) g(x)是减(增)函数.⑵若一个奇函数f(x)在x = 0处有定义，则f(0) = 0;若一个函数y = f(x)既是奇函数又是 偶函数，则f(x)= 0.⑶两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数，之积(商)为偶函数•一个奇函数与一个偶函数 的积(商)为奇函数.⑷若f(x)为偶函数，则f(x) = f(|x|) •3 •注意两个易误点(1)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集. (2)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.[微练习]1 .已知函数f(x) = x2 — 2x — 3，则该函数的单调递增区间为 ( )A . (— a, 1]B . [3,+^ )C . (— a, — 1]D . [1，+a )解析：选B 由x 2— 2x — 3>0,得x > 3或x < — 1.当x >3时，函数t = x 2— 2x — 3为增 函数.••$= .t 为增函数，.••若函数f(x)为增函数，则函数f(x)的单调递增区间为[3,+a ).故 选B.2 .若函数f(x) = x 1 — e x ： 1，则函数f(x)的图象关于( )A.原点对称 B . x 轴对称C. y 轴对称D . y = x 对称 、C 2 '、e x — 1e -11解析：选 C f(x)的定义域为 R .^f(x)= x 1—x . 1 = x ,则 f(— x)= ( — x)=< e 十 1 丿 e +1e —+ 1xx1 — e e — 1(—x) • x = x ・ =f(x),「.f(x)是偶函数，.••函数f(x)的图象关于y 轴对称.故选 C.1+ e x e x + 1(5)若 f(x + T) = — f(x), f(x + T)=2T.，贝U f(x)的最小正周期为3.若函数y = 2—X , x € (m , n ］的最小值为0，则m 的取值范围是()x + 1 A . (1,2) B . (- 1,2) C. [1,2)D . [- 1,2)2 — x3 — x — 1 3解析：选B 函数y == = — 1，在x€(— 1 ,+8)时，函数y 是单调递 x + 1 x + 1 x + 1减函数，在x = 2时，y = 0根据题意x €(m , n ］时，y 的最小值为0,•'m 的取值范围是一1<m<2.若f(2m —1)+ f(m — 2)>0,贝U m 的取值范围是(A . (1 ,+^ )D . ( — ^, 1]4x + a解析：选B ・.f(x)=—是奇函数，且定义域为x••f(x)= 2x — 2 —，显然函数f(x)在R 上单调递增. ••f(2m — 1) + f(m — 2) > 0,••f(2m — 1)> — f(m — 2),「.f(2m — 1)> f(2 — m), ••2m — 1 >2 — m ,解得 m > 1.5•函数y = f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数 f(x + 2)是偶函数，则下列结论成立的是 ( ) A . f(1)<f 号 <f 2B . f f <f(1)vf 5C. f 7 vf 2 <f (1) D. f5 vf (1)<f7解析：选B 因为函数f(x + 2)是偶函数，所以f(x + 2) = f(— x + 2)，即函数f(x)的图象关 于x = 2对称，又因为函数 y = f(x)在区间［0,2］上单调递增，所以函数 y = f(x)在区间［2,4］上单 调递减.因为 f(1) = f(3), 7>3>2，所以 f 7 <f(3)<f 2，即 f 2 vf(1)vr 5 .［微高考考点综合训练］1 .函数y = 1 — log 3X 的定义域为()A . (0,1］B . ［1,3］4x + a4.已知函数f(x) = gL 是奇函数， B . [1 ,+^ )40 + aR ，…f(0) = ~2°~ = 0 ,•・a = —1,C. (0,3］ D . (1,3］解析：选C 由题意得1 —log a x>0,且x>0,「.0vx< 3.故选C.x + -^, x>2, 2 .已知函数f(x) = x —2,x 2+ 2, x < 2,B . 2 D . 11解析：选 C 守⑴=12+ 2= 3,「.f[f(1)] = f(3) = 3+3.函数f(x)= lg(|x|— 1)的大致图象是(解析：选 B •••函数 f(x)= lg(|x| — 1),•'f( — x) = lg(|x|— 1)= f(x),「.f(x)是偶函数,数函数图象的特点知选 B.A . 5B . 6C . 7D . 8解析：选 C f(8) = f(f(8 + 5)) = f(f(13)) = f(10) = 7.故选 C.x , x w 0,x — 125.下列四个函数：①y = 3— x ;②y = 2 (x >0);③y = x + 2x — 10;④y = $ 1一，x > 0. lx其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A . 1B . 2则 f[f(1)]=()1= 4.故选 C. 3 — 2当x€(1 ,+^)时，函数f(x)为增函数，当x € — m，— 1)4 .已知函数f(n)=n — 3, n > 10,|f (f (n + 5》n<10 ,其中 n € N ，贝U f(8)=(C . 3D . 4解析：选B ①y= 3 —x的定义域和值域均为R;②y= 2 X，(x> 0)的定义域为(0 ,+^)，值域为1,+^ ；3y= x2+ 2x—10的定义域为R，值域为［—11,+ );x, X W 0,④y= 1的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，1, x>0共有2个，故选B.6.定义在R 上的函数f(x)满足f(—x)=—f(x), f(x)= f(x+ 4)，且当x€ (—1,0)时，f(x)x 1=2 + 5，贝y f(log220)=( )4A. 1B.-54C. —1D. — 4解析：选C 因为x€R，且f(—x)=—f(x),所以函数f(x)为奇函数，因为f(x) = f(x+ 4),所以f(x)是周期函数且周期为 4.所以f(log220)= f(log220 —4) = f log24=—f 喝；=—f i|o g24y=— ?。