高等流体力学-第三讲

高等计算流体力学讲义（3）§2 Riemann 问题1．预备知识：Euler 方程解的结构我们讨论Euler 方程解的结构。

在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有const R =±，沿au dt dx±= （1） 其中 a u R 12-±=±γ。

且全场 S const =。

（2）在这种情况下，Euler 方程的光滑解有如下几种可能。

1）在求解域中，Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均不为常数。

这是最一般的情况，Euler 方程的解比较复杂，通常无解析解。

2）均匀流：Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均为常数。

此时，令R R ±±=， 有：0000()/21()4u R R a R R γ+-+-=+-=-，可见，此时流动是均匀的。

3）简单波：有一个Riemann 不变量在某区域内为常数（00R R or R R ++--==）。

以0R R ++=的情况为例。

此时021R u a R γ++=+=-。

（3） 且沿dxu a dt=-，有 21u a const γ-=-。

这个常数具体的数值与特征线的起点有关。

由此我们知道，沿dxu a dt=-，有00()/21()4u R const a R const γ++=+-=-。

这说明，沿dxu a dt=-，u 和a 均为常数，即特征线是直线。

由均熵条件，密度ρ和压力p 沿特征线dx u a dt =-也为常数。

参见上图，由于u a u -<，所以流线dx u dt=（或流体质点）从左侧穿过特征线dxu a dt=-，这种简单波称为左简单波或向后简单波。

简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。

设流线与dxu a dt=-交点处，流线的切线方向为ξ 。

把（3）式沿ξ求方向导数，得：201u a ξγξ∂∂+=∂-∂ 当0uξ∂>∂，有()0,0,0,0a p u c ρξξξξ∂∂∂∂-<<<>∂∂∂∂。

第三讲 流体静力学一、 静止流体中的应力特性静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。

因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。

即n p =-p n （3-1）式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。

上式也可以写成张量形式P ==000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= -p I （3-2） 式中I 为单位张量。

静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。

二、 欧拉平衡方程惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即0∑=F （4-3）在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为d ρττ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为d d AAp A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）根据第一个平衡条件（3-3）可得d d =0Aρτp A τ-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有d =d Ap A p ττ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）将（d ）式代入（c ）式则可得d 0ρp ττ-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有=0ρp -∇f或1=p ρ∇f （3-4）这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为111x y z p f ρx pf ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。

三、 静压流场的质量力条件（自学）对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）f上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之p ∇⨯∇（）=p p p xy z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k=x y z p p p xy z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ij k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭i j k =0（矢量）将上式与（3-4）式进行点乘则有()1=p p ρρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得()=0∇⨯f f （3-6）由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯ff 。

第三讲 流体静力学一、 静止流体中的应力特性静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。

因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。

即n p =-p n （3-1）式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。

上式也可以写成张量形式P ==000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= p I （3-2） 式中I 为单位张量。

静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。

二、 欧拉平衡方程惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即0∑=F （4-3）在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为d ρττ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为d d AAp A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）根据第一个平衡条件（3-3）可得d d =0Aρτp A τ-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有d =d Ap A p ττ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）将（d）式代入（c）式则可得d 0ρp ττ-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有=0ρp -∇f或1=p ρ∇f （3-4）这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为111x yzp f ρx pf ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。

三、 静压流场的质量力条件（自学）对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）f上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之p ∇⨯∇（）=p p p xy z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k=x y z p p p xy z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ij k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭i j k =0（矢量） 将上式与（3-4）式进行点乘则有()1=p p ρρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得()=0∇⨯f f （3-6）由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯ff 。

§2.4流体微团运动的分析流体微团：由大量流体质点组成的形状可任意选取,尺寸足够小的流体微元。

一、流体微团的线变形速率、角变形速率与旋转角速度 流体微团运动的速度分解：根据高等数学可知，若已知一点的流速，则其它相邻点的流速均可用其一阶泰勒级数展开表示。

为了简明起见，我们选择一个正方形流体微团的一个面进行分析，并通过分析引出几个中用的的积分概念与定义，并将其扩展到三维情况。

如图所示，二维流体微团abcd ，设a 点的流速为u,v ，则根据泰勒级数展开表达式，流体微团其它任何点上的速度均可表示为：x 方向：dy y u dx x u u ∂∂+∂∂+y 方向：dy yv dx x v v ∂∂+∂∂+（∵b 点：dy=0，c 点：dx=0，d 点：dx,dy ≠0）所以在a,b,c,d 各点上，流速分布分别为：a 点：x 方向u y 方向vb 点：x 方向dx x u u ∂∂+ y 方向dx xv v ∂∂+ c 点：x 方向dy y uu ∂∂+y 方向dy yv v ∂∂+d 点：x 方向dy yu dx x u u ∂∂+∂∂+y 方向dy yv dx x v v ∂∂+∂∂+经过dt 时间流体微团将会移动到新的位置，而且因为速度分量的不同，会发生平动、转动和变形的复合运动，一般将会成为一个对角线发生了偏转的菱形流体微团。

根据速度可分解的性质，上图所示速度分布可分解成下面三种情况：单纯的平行移动：如图所示，因为各点具有相同的速度分量，故dt 时间后，流速仅发生单纯的平行移动。

单纯的线变形：如图所示，因a 点速度为0，dt 时段后不变，而b ，d 点均有相同的x 方向分量dx x u ∂∂，故dt 时段后在x 方向拉伸（或压缩）dxdt xu∂∂，在c,d 点均有相同的y 方向速度分量dy yv ∂∂故dt 时段后在y 方向拉伸了dydt y v∂∂。

因流体微团的各个方向的没有变，故这是一种单纯的线变形运动。