Clark变换与Park变换
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（1.2）
u = V cos(ωt + 120°)
= V cos 120° − V sin 120°
=− V −√ V
u u u
1
0
= − 1⁄2 √3⁄2
− 1⁄2 − √3⁄2
V V
u +u +u =0
（1.3） （1.4）
现在要求的是如何找到一个矩阵 P 使
V V
u
=P u u
（1.5）
书上有两种表达式
设三相交流系统各相电压为： u = V cos ωt u = V cos(ωt − 120°) u = V cos(ωt + 120°)
ua、ub、uc 分别指 ABC 三相电压的瞬时值 Vm 指相电压基波幅值
（1.1）
u = V cos ωt
=V
u = V cos(ωt − 120°)
= V cos 120° + V sin 120° =− V +√ V
1 − 1⁄2 − 1⁄2
P=
与P =
0 √3⁄2 − √3⁄2
为什么有这两种表达式？
1 − 1⁄2 − 1⁄2 （1.6）
0 √3⁄2 − √3⁄2
当P = 时，坐标变换前后电压空间矢量幅值不变；
当P = 时，坐标变换前后电机功率不变。 推导过程： ①恒功率变换
iα = i − 0.5i − 0.5i
两式相减，有：
（1.11）
i = −i sin φ + i cos φ
（1.12）
可得两相静止变两相旋转坐标为：
i i
=
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
i i
（1.13）
（1.8）
由式（1.7）可得： i cos φ − i sin φ cos φ = i cos φ i sin φ + i sin φ cos φ = i sin φ 两式相加，有：
（1.9）
i = i cos φ + i sin φ
（1.10）
同理，由式（1.7）可得： i cos φ sin φ − i sin φ = i sin φ i cos φ sin φ + i cos φ = i cos φ
)
2
由陈伯时书籍附录 4 所证明，变换前后功率不变，三相和两相的
匝数比为：
N2 =
N3
结合以上二式可得变换矩阵为：
1
i i
=
2
⎡1 ⎢
3 ⎣⎢0
−2 √3 2
★反 Clark 变换
1
−
2
⎤ ⎥
i i
−
√3⎥ 2⎦
i
u u u
=P
1
0
− 1⁄2 √3⁄2
− 1⁄2 − √3⁄2
V V
对应上面，当P = 时，P = ；
当P = 时，P = 1。
由 Clark 变换推出 Park 变换（2s/2r 变换）
由上图可得：
i cos φ − i sin φ = i i sin φ + i cos φ = i
（1.7）
推出两相旋转变两相静止的变换(反 Park 变换)矩阵为：
i
cos φ − sin φ i
i = sin φ cos φ i
为方便起见，将 A 相与α相重合，当两者磁动势相等时，两套
绕组瞬时磁动势在 ab 轴上的投影相等。
即有以下关系式：
N i = N i − N i cos 60° − N i cos 60° 11
=N i −2i −2i N i = N i sin 60° − N i sin 60°
√3 =N
(i
−i
对比式（9）两端的x 和x 的系数可解得：k = 、k =
将实轴用α轴代替、虚轴用β轴代替，将k、k 代入式（3）（4）（5）
得到 Clark 变换的等幅值变换形式：
21
211
⎧x ⎪⎪
= 3 x − 2 (x 2 √3
+x ) = 3x 1
−3x
−3x
x ⎨
=3∗
2 (x
− x ) = (x √3
幅值： 1 + + = 倍
√3 √3 iβ = 2 i − 2 i
=>k ∗
= 1 => k =
②等幅值变换 在复平面上的矢量V⃗总能用互差 120 度的 abc 三轴系中的分量 xa、 xb、xc 等效表示（a 轴与复平面实轴重合），如下所示（x⃗和x⃗ 将 合成矢量V⃗）。 x⃗ = k(x + ρx + ρ x )``````````````（1） x⃗ = k (x + x + x )``````````````` （2） 其中，ρ = e = − + j √ 、ρ = e = e = − − j √ ；x⃗ 的 方向与复平面的实轴方向一致。所以有式（2）可以表示为 x = k (x + x + x )````````````````（3） 写出式（1）的实部与虚部如下： R {x⃗} = k x − x − x = k x − (x + x ) ```````（4） I {x⃗} = k √ (x − x )``````````````````````````````````````````（5） 由式（3）可得： x + x = − x ```````````````````````````````````````````````（6） 将（6）代入式（4）中可得： R {x⃗} = k x − − x = 1.5kx − 0.5 ````````` （7） 等幅值变换时，规定x = R {x⃗} + x ，所以有： R {x⃗} = x − x `````````````````````````````````````````````````（8） 将（8）代入式（7）中可得： 1.5kx − 0.5 = x − x ````````````````````````````````````（9）
−x )
⎩⎪⎪x
1 = (x
3
+x
+x )
写成矩阵形式为：
11
x x x
⎡1
=
2 3
⎢ ⎢⎢0
−2 √3 2
−
2
⎤ ⎥
x
−
√3⎥ 2⎥
x x
⎢1 1 1 ⎥
⎣2 2 2 ⎦
Clark 变换的另一种求解方法：
磁动势的等效也就代表着电流的等效，即 iA/iB/iB 、ia/ib 和 id/iq
等效，他们三者能产生相同的磁动势。
