上海市金山区2013届高三上学期期末考试数学试题Word版含答案
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金山区2012学年第一学期期末考试
高三数学试卷（一模）
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
（答题请写在答题纸上）
一、填空题(本大题共有14小题，满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数f(x)=3x–2的反函数f –1(x)=________．
【答案】23x
由f(x)=3x–2得23yx，即12()3xfx。
2．若全集U=R，集合A={x| –2≤x≤2}，B={x| 0
【答案】{x|–2≤x≤0或1≤x≤2}
因为B={x| 0
3．函数)32sin(xy的最小正周期是_________．
【答案】
因为2，所以周期222T.
4．计算极限：2222lim()1nnnn= ．
【答案】2
22222222lim()lim()21111nnnnnnnn.
5．已知),1(xa，)2,4(b，若ba，则实数x_______．
【答案】–2
因为ba，所以420x，解得2x。
6．若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，(i为虚数单位)，则实数a的值是 ．
【答案】21 由(1+2i)(1+ai)得12(2)aai，因为12(2)aai是纯虚数，所以120,20aa，解得12a。
7．在62()xx的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示)
【答案】–160
展开式的通项公式为6621662()(2)kkkkkkkTCxCxx，由620k得3k，所以常数项为3346(2)160TC。
8．已知矩阵A=1234，矩阵B=4231，计算：AB= ．
【答案】1042410
：AB=1242142312211043431344332412410。
9．若直线l：y=kx经过点)32cos,32(sinP，则直线l的倾斜角为α = ．
【答案】56
因为直线过点)32cos,32(sinP，所以22sincos33k，即3122k，所以33k，由3tan3k，得56。
10．A、B、C三所学校共有高三学生1500人，且A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_________人．
【答案】40
因为A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，所以设三校人数为,,xdxxd，则31500xdxxdx，所以500x。则在B校学生中抽取的人数为120500401500人。
11．双曲线C：x2 – y2 = a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，34||AB，则双曲线C的方程为__________． 【答案】14422yx
抛物线的准线方程为4x，当4x时，2216ya。由34||AB得，23Ay,所以221612ya，解得24a，所以双曲线C的方程为14422yx。
12．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组2323yxnymx只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示）
【答案】1817
方程组只有一组解02332nmnmD，即除了m=2且n=3或m=4且n=6这两种情况之外都可以，故所求概率662176618P．
13．若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______．
【答案】4
f(x+2)=f(x) f(x)的周期为2，由条件在同一坐标系中画出f (x)与g(x)的图像如右，由图可知有4个交点.
14．若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是 ．
【答案】24
a、b、c成等差数列a-2b+c=0 a1+b(-2)+c=0，∴直线l：ax+by+c=0过定点Q(1,-2)，又P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，∴∠PMQ=90，∴M在以PQ为直径的圆上,圆心为C(0, -1)，半径r=222||222121PQ，线段MN长度的最小值即是N(0, 3)与圆上动点M距离的最小值=|NC|-r=4-2.
二、选择题(本大题有4题，满分20分) 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律的零分．
15．若110ab，则下列结论不正确的是 （ ）
(A) 22ab (B) 2abb
(C) 2baab (D) 1ab
【答案】D
由110ab可知，0ba，所以1ab，选D.
16．右图是某程序的流程图，则其输出结果为( )
(A) 20112010 (B) 20111 (C) 20122011 (D) 20121
【答案】C
由程序可知111111223(1Skkk
11122kkk，由1201k，得200k，即1201122012kSk,选C.
17．已知f(x)=x2–2x+3，g(x)=kx–1，则“| k |≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的
（ ）
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A
解：f(x)≥g(x) x2–2x+3≥kx–1 x2–(2+k)x+4≥0，此式对任意实数x都成立△=(2+k)2-16≤0
-4≤k+2≤4-6≤k≤2，而“|k|≤2” 是“-6≤k≤2”的充分不必要条件，故选A.
18．给定方程：1()sin102xx，下列命题中：(1) 该方程没有小于0的实数解；(2) 该方程有无数个实数解；(3) 该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4) 若x0是该方程的实数解，则x0>–1．则正确命题的个数是 （ ）
(A) 1
(B) 2
(C) 3 (D) 4
【答案】C
解：01sin)(21xxxx)(1sin21，
令xxfsin)(，xxg)(1)(21，
在同一坐标系中画出两函数的图像如右， 由图像知：(1)错，(3)、(4)对，
而由于xxg)(1)(21递增，小于1，
且以直线1y为渐近线，xxfsin)(在－1到1之间振荡，故在区间(0,+)上，两者图像有无穷个交点，∴(2)对，故选C.
三、解答题（本大题共有5个小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
已知集合A={x| | x–a | < 2，xR }，B={x|212xx<1，xR }．
(1) 求A、B；
(2) 若BA，求实数a的取值范围．
20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()sin(2)sin(2)3cos233fxxxxm，x∈R，且f(x)的最大值为1．
(1) 求m的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2) 在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若()31fB，且3abc，试判断△ABC的形状．
21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数]2,0(,2)(2xxaxxxf，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在]2,0(上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点．
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 若22QBPB，求直线l的方程；
(3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4,27]，求△B2PQ的面积S的取值范围．
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{an}满足761a，12110nnaaaa(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，nS为数列{an}的前n项和．
(1) 若3122aaa，求的值；
(2) 求数列{an}的通项公式na；
(3) 当13时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．
金山区2012学年第一学期高三期末考试试题评分标准
一、填空题
1．23x(定义域不写不扣分) 2．{x|–2≤x≤0或1≤x≤2} 3． 4．2 5．–2 6．21
7．–160 8．1042410 9．56 10．40 11．14422yx
12．1817 13．4 14．24
二、选择题
15．D 16．C 17．A 18．C
三、简答题
19．解：(1) 由| x–a | < 2，得a–2
由212xx<1，得32xx<0，即 –2
(2) 若AB，所以2223aa，…………………………………………………………10分
所以0≤a≤1．………………………………………………………………………………12分
20．解：(1))(xfmxx2cos32sin2sin(2)3xm ……………………3分
因为max()2,fxm所以1m，…………………………………………………………4分
令–2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ得到：单调增区间为5[,]1212kk(k∈Z)………6分
