《命题及其关系充分条件与必要条件》教案

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1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

适用学科 数学 适用年级 高三

适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60

知 识 点 1. 命题的概念及真假

2. “若p，则q”形式的命题

3. 四种命题

4. 四种命题的相互关系

5. 四种命题真假的相互关系及应用

6. 充分条件与必要条件

7. 充要条件

8. 充分条件与必要条件的应用

教学目标 1．理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

教学重点 充分必要条件的判断和四种命题及其关系

教学难点 充分必要条件的判断和四种命题及其关系

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教学过程

一、课堂导入

思考下列命题的题设(条件)是什么?结论是什么?并判断是否正确?你的理由是什么?

（1）边长为a(a＞0)的等边三角形的面积为 ;

（2）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

（3）对于任何实数 x, x2 ＜0.

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二、复习预习

1、集合的概念及性质

2、集合的相互关系及运算

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三、知识讲解

考点1 命题

在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

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考点2 四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

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考点3 充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q.

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四、例题精析

【例题1】

【题干】设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假

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【解析】“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.

因此它的逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；

逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题. 学习必备

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【例题2】

【题干】已知命题p：函数f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函数，命题q：f(x)＝ax(a>0且a≠1)是减函数，则p是q的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

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【答案】A

【解析】若命题p为真，则a≤1；若命题q为真，

则0

∴p是q的必要不充分条件．

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【例题3】

【题干】已知不等式1x－1<1的解集为p，不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )

A．(－2，－1] B．[－2，－1]

C．[－3,1] D．[－2，＋∞)

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【答案】A

【解析】不等式1x－1<1等价于1x－1－1<0，即x－2x－1>0，解得x>2或x<1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2

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【例题4】

【题干】设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

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【答案】3或4

【解析】x＝4±16－4n2＝2±4－n，因为x是整数，即2±4－n为整数，所以4－n为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．

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五、课堂运用

【基础】

1．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

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解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题． 学习必备

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2．(2013·日照模拟)已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为( )

A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行

B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行

C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行

D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行

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解析：选A 命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”． 学习必备

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3．(2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

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解析：选A 若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β. 学习必备

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【巩固】

4．(2013·南京模拟)有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2<4，则－2

其中真命题的序号是________．

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解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．

②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．

答案：②③ 学习必备

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5．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

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解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，

∵β：|x－1|<1，∴0

∴β可看作集合B＝{x|0

又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.

答案：(－∞，0] 学习必备

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【拔高】

6．已知集合A＝x|12<2x<8，x∈R，B＝{x|－1

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解析：A＝x|12<2x<8，x∈R＝{x|－1

∴AB，∴m＋1>3，即m>2.

答案：(2，＋∞) 学习必备

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7．已知集合A＝y y＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

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解：y＝x2－32x＋1＝x－342＋716，

∵x∈34，2，∴716≤y≤2，

∴A＝y|716≤y≤2.

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤716，

解得m≥34或m≤－34，

故实数m的取值范围是－∞，－34∪34，＋∞.

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课程小结

1、对“四种命题”的理解

由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”．

要注意：否命题与命题的否定是不同的．

2、判断命题充要条件的三种方法是：

①定义法．

②等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法；

③利用集合间的包含关系判断，若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．