命题及其关系、充分条件与必要条件
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1 命题及其关系、充分条件与必要条件
知识梳理
1、命题：真命题、假命题
2、四种命题及其关系
3、充分条件与必要条件
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
(2)若p⇒q，且qp,则p是q的充分不必要条件。 (3)若pq，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件。
(4)若p⇔q，则p与q互为充要条件。
(5)若pq,且qp，则p是q的既不充分也不必要条件。
例题讲解
1、命题：真命题、假命题
【例1】设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为2；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝2对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真，q为假 B．q为真，p为假
C．p，q都为真 D．p，q都为假
2 【例2】在下列给出的命题中,正确命题的个数为( )
①函数f (x)=2x3-3x+1的图象关于点(0，1)中心对称；
②若x+y≠0，则x≠1或y≠-1；
③若实数x，y满足x2+y2=1，则2xy的最大值为33;
④若△ABC为锐角三角形，则sin A 问：判断一个命题为真命题，要给出推理证明； 判断一个命题是假命题，只需举出反例. 2、四种命题及其关系 【例1】命题“若α＝4，则tanα＝1”的逆否命题是( ) A．若α≠4，则tanα≠1 B．若α＝4，则tanα≠1 C．若tanα≠1，则α≠4 D．若tanα≠1，则α＝4 【例2】原命题“设a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 【例3】以下关于命题的说法正确的有( )(填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0，则函数f (x)=loga x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真 命题； 3 ②命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”; ③命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则Mb”与命题“若b∈M,则Ma”等价. 【例4】有以下命题：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题; ③“若m≤1，则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; ④“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题. 其中真命题为 ( ) A.①② B.②③ C.④ D.①②③ 【例5】已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( ) A．否命题“若函数f (x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题 B．逆命题“若m≤1，则函数f (x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C．逆否命题“若m>1，则函数f (x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D．逆否命题“若m>1，则函数f (x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 4 3、充分条件与必要条件 【例1】在△ABC中,“A>30°”是“21sinA”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例2】“a=1”是“函数f (x)=x2-4ax+3在区间[2，+∞)上为增函数”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【例3】给出下列命题：①“数列na为等比数列”是“数列1nnaa为等比数列”的充分不必要条件； ② “a＝2”是“函数f (x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是____________． 巩固练习 1-1已知p(x)：x2+2x-m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为____________． 5 2-1在命题“若m>-n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是____________． 2-2命题“若△ABC有一内角为3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( ) A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 3-1设A，B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3-2“x>1”是“lg（x+2）<0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3-3“x<0”是“ln(x+1)<0”的____________条件. 3-4设集合M={x|0 3-5设x∈R，则“x2+x-2>0”是“|x-2|<1”的____________条件. 6 3-6设a，b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的____________条件. 3-7已知p：|x|<2，q：x2-x-2<0，则p是q的 条件. 3-8设p：1 3-9“x1>3且x2>3”是“x1+x2>6且x1x2>9”的____________条件. 3-10“sinα=cosα”是“cos2α=0”的____________条件. 3-11函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是____________． 3-12设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2+2x-8>0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是____________． 3-13直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A.-3 3-14设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7 3-15下面有四个关于充要条件的命题： ①若x∈A，则x∈B是A⊆B的充要条件； ②函数y=x2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0； ③x=1是x2-2x+1=0的充要条件； ④若a∈R,则a>1是a1<1的充要条件； 其中真命题的序号是____________． 3-16下列命题: ①若ac2>bc2，则a>b； ②若sinα=sinβ，则α=β； ③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件； ④若f(x)=log2x，则f (|x|)是偶函数。其中正确命题的序号是____________． 3-17已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若非p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 3-18已知命题p：函数log0.5(x2+2x+a)的值域为R，命题q：函数y=-(5-2a)x是减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．a≤1 B．a<2 C．1 3-19设有两个命题p、q，其中p：对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1>0恒成立；命题q：f (x)＝(4a－3)x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
