平面几何中的投影与投影变换

Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 1 2.5 投影变换 2.5.1 投影变换的目的和方法 2.5.2 换面法以及用换面法 解定位及度量问题示例 2.5.3 以投影面垂直线为轴 的旋转法简介 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 2 2.5.1 投影变换的目的和方法 1.投影变换的目的 为了求解方便和作图简捷，求解几何元素对投影面不处于特殊位置的度量和定位问题时，常常使几何元素之间的相对位置保持不变，而改变其中的某些元素与投影面的相对位置，成为有利于解题的特殊位置，然后用改变成新位置后的特殊位置解题，这种方法称为投影变换。 当几何元素对投影面处于某些特殊位置时，可以较简捷地求解点、直线、平面之间的度量和定位问题。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 3 2.两种常用的投影变换方法 图2.89 两种常用的投影变换方法 (a)换面法 (b)旋转法 保持几何元素的位置不动，更换投影面，使几何元素在新投影面体系中处于有利于解题的位置，这样的投影变换方法称为换面法。 保持投影面的位置不动，使几何元素绕投影面垂直线旋转同一个角度，使几何元素旋转到有利于解题的位置，这样的投影变换方法称为旋转法。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 4 3.在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况 图2.90 点、直线、平面的特殊情况（1） (a)两点间的距离，直线的真长 (b)点与直线的距离(一) (c)点与直线的距离(二) Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 5 3.在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况 图2.90 点、直线、平面的特殊情况（2） (d)两平行直线的距离(一) (e)两平行直线的距离(二) (f)两交叉直线的距离(一) Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 6 3.在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况 图2.90 点、直线、平面的特殊情况（3） (g)两交叉直线的距离(二) (h)点与平面的距离 (i)平行的直线和平面的距离 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 7 3.在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况 图2.90 点、直线、平面的特殊情况（4） (j)两平行平面的距离 (k)平面图形的真形 (l)两相交直线的夹角 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 8 3.在投影图中直接反映点、直线、平面的度量或便于定位的特殊情况 图2.90 点、直线、平面的特殊情况（5） (m)两交叉直线的夹角 (n)直线与平面的夹角 (o)两相交平面的夹角 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 9 2.5.2 换面法以及用换面法解定位及度量问题示例 1.换面法的原理和基本作图 (1)换面时必须保留原投影面体系中的一个投影面，新投影面垂直于保留的投影面。 (2)新投影面应选择在使选定的几何元素处于便利解题的位置。如一次换面不能解决问题，可连续换面两次，必要时，也可进行更多次换面。 (3)必须充分理解和熟练掌握换面法的基本作图，也就是理解和熟练掌握点的投影变换的作图法。 用换面法解题时必须遵循下述的规定： Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 10 换面法解题的基本作图（一）： ①按实际需要确定投影轴，由点的原有投影作垂直于新投影轴的投影连线。 ②在这条投影连线上，从新投影轴向新投影面一侧，量取点的被更换的投影轴到被更换的投影之间的距离，就得到该点的新投影。 图2.91 作点的V1面投影 (a)立体图 (b)投影图 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 11 换面法解题的基本作图(二)： 图2.92 作点的H1面投影 (a)立体图 (b)投影图 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 12 换面法解题的基本作图（三）： 图2.93 点的两次换面 (a)立体图 (b)投影图 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 13 2.用换面法解题的六个基本情况 图2.94 将一般位置直线变换成V1面平行线 (a)立体图 (b)投影图 (1)一次换面可将一般位置直线变换为投影面平行线，新投影轴应平行于直线的原有投影。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 14 2.用换面法解题的六个基本情况 图2.95 将V面平行线变换成H1面垂直线 (a)立体图 (b)投影图 (2)一次换面可将投影面平行线变换成另一投影面的垂直线。新投影轴应垂直于直线所保留的反映真长的投影。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 15 2.用换面法解题的六个基本情况 图2.96 将一般位置直线变换成投影面垂直线 (3)两次换面可将一般位置直线变换成投影面垂直线。先将一般位置直线变换成投影面平行线，再将投影面平行线变换成投影面垂直线。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 16 2.用换面法解题的六个基本情况 图2.97 将一般位置平面变换成V1面垂直面 (a)立体图 (b)投影图 (4)一次换面可将一般位置平面变换成投影面垂直面。新投影轴应与平面上平行于原有投影面的直线的原有投影相垂直。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 17 2.用换面法解题的六个基本情况 图2.98 将V面垂直面变换成H1面平行面 (5)一次换面可将投影面垂直面变换成投影面平行面。新投影轴应平行于这个平面的有积聚性的原有投影。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 18 2.用换面法解题的六个基本情况 图2.99 将一般位置平面变换成H2面平行面 (6)两次换面可将一般位置平面变换为投影面平行面，先将一般位置平面变换成投影面垂直面，再将投影面垂直面变换成投影面平行面。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 19 3.用换面法求解定位和度量问题示例 [例题2.48] 如图2.100a所示，用换面法求两平行直线AB、CD之间的真实距离。 (a)已知条件 (b)作图过程与作图结果 图2.100 求两平行线之间的距离 ［解］ ①在适当位置作O1Z1⊥a′b′。 ②按投影变换的基本作图作出四个端点A、B、C、D的新投影a1″、b1″、c1″、d1″。得真实距离如图。 从图可见，AB、CD是两平行的正平线。故可经一次换面将投影面平行线变换成投影面垂直线，就可显示这两条平行直线的距离。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 20 [例题2.49] 如图2.101a所示，已知直线AB的正面投影a′b′和点A的水平投影a，并知点B在点A的前方，AB与V面的倾角为30，用换面法补全AB的水平投影ab。 (a)已知条件 (b)作图过程与作图结果 图2.101 按给定条件补全AB的水平投影ab ［解］ ①在适当位置作O1X1∥a′b′。 ②由a′、a作出a1。由a1按a′b′的方向作与O1X1轴成30°的直线；由b′作O1X1的垂线，与上述直线交得b1。 将AB线变换成H1面平行线，则可反映AB与V面的倾角。 ③将H1、V新投影面体系中的点B返回H、V原投影面体系，即由新投影b1反求被更换的投影b。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 21 [例题2.50]如图2.102a所示，已知点A和一般位置直线BC的两面投影，用换面法作出点A到直线BC的垂线AD和垂足D，并求出点A与直线BC之间的真实距离。 (a)已知条件 (b)作图过程与作图结果 图2.102 过A作BC的垂线AD，并求真实距离 ［解］ ②过a1′作b1′c1′的垂线，与b1′c1′交得d1′，由d1′作垂直于O1X1轴的投影连线，与bc交得d，连a与d。 ①作O1X1∥bc，作出点A和直线BC的端点B、C的V1面投影a1′和b1′、c1′，连b1′与c1′。 ③由d作垂直于OX轴的投影连线，与b′c′交得d′，连a′与d′。 ④作O2X2∥a1′d1′，由a、a1′和d、d1′作出a2、d2，连a2与d2，即为垂线AD的真长。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 22 [例题2.51] 如图2.103a所示，已知交叉两直线AB和CD的两面投影，用换面法作出它们的公垂线EF，E、F分别是公垂线EF与AB、CD的交点，并作出AB和CD之间的真实距离。 (a)已知条件 (b)作图过程与作图结果 图2.103 作两交叉直线的公垂线和距离 ［解］ ①作O1X1∥ab，作出a1′、b1′、c1′、d1′，连a1′b1′、c1′d1′。 ②作O2X2⊥a1′b1′，作出a2、b2、c2、d2，a2与b2积聚成一点，连c2与d2。a2b2与c2d2之间的距离，即为两交叉直线AB、CD之间的真实距离。 ③在H2、V1投影面体系中作出公垂线EF：e2f2⊥c2d2，e1′f1′∥O2X2。 ④将H2、V1两面体系中的EF逐步返回到原投影面体系得ef、e′f′。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 23 [例题2.52] 如图2.104a所示，已知在V、W两面体系中的侧垂的三角形ABC，用换面法作出它的真形。 (a)已知条件 (b)作图过程与作图结果 图2.104 作出三角形ABC的真形 ［解］ ①在适当位置作O1Z1⊥a ″ b ″ c ″ 。 ②分别由a″、b″、c″和a′、b′、c′作出a1′、b1′、c1′，将a1′、b1′、c1′连成三角形，即为三角形ABC的真形。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 24 [例题2.53] 如图2.105a所示，用换面法在直线AB上取一点F，使点F距离三角形CDE平面10mm，作出点F的两面投影。 (a)已知条件 (b)作图过程与作图结果 图2.105 作出AB上的点F的两面投影 ［解］ ①将三角形CDE通过一次换面变换成投影面垂直面。 ②作与三角形CDE平面相距10mm的平行平面P。 ③作点F的f、 f′ 。 Wang chenggang 第2章 画法几何 2.5 投影变换 2018/10/23 25 [例题2.54] 如图2.106a所示，已知由四个梯形平面所构成的料斗的两面投影，求料斗相邻两平面之间的夹角的真实大小。 (a)已知条件 (b)作图过程与作图结果 图2.106 作料斗相邻壁面间夹角的真实大小 ［解］ ①在适当位置作O1Z1⊥cd。将CD变换为新投影面体系中的平行线。 ②进行第二次换面。同时处于H2面垂直面位置的后壁面和右壁面的有积聚性的H2面投影，它们之间的夹角，就是两相邻壁面的夹角。 将两个相邻平面用变换成同时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的交线变换成投影面垂直线。

几何中的投影与投影线

投影是几何学中的重要概念，用来描述一个物体在特定条件下的投射效果。在几何学中，投影可以分为直线投影和平面投影两种情况。而投影线则是指物体在投影平面上所形成的线。

一、直线投影

直线投影是指物体在投影平面上所形成的线段。在几何学中，直线投影有几种不同的方法。

1. 正交投影

正交投影是最常见和常用的一种直线投影方法。在正交投影中，物体被垂直于投影平面的光线所照射，其投影线段与物体平行。这种投影方法简单直观，适用于描述日常生活中的真实场景。

2. 斜投影

斜投影是指物体在投影平面上的投影线段与物体不平行的一种投影方法。在斜投影中，物体被一束倾斜的光线所照射，投影线段与物体夹角不为90度。

二、平面投影

在几何学中，平面投影是指物体在一个平面上所形成的投影图形。这种投影方法常用于描述三维物体在二维平面上的投射效果。

1. 平面投影的类型 根据投影平面与物体所处位置的关系，平面投影可以分为以下几种类型：

- 正投影：当投影平面与物体之间的夹角为90度时，所得的投影为正投影。正投影是一种保持物体形状比例不变的投影方法。

- 斜投影：当投影平面与物体之间的夹角不为90度时，所得的投影为斜投影。斜投影会使物体在投影平面上发生形变。

- 透视投影：透视投影是指通过考虑光线的相交关系，使物体在投影平面上呈现出透视效果的投影方法。透视投影多用于绘画和建筑设计等领域。

2. 投影变换

投影变换是指通过数学方法将物体在三维空间中的坐标转换为在投影平面上的坐标。常用的投影变换方法有平行投影和透视投影等。投影变换常用于计算机图形学、工程设计等领域。

投影和投影线是几何学中重要的概念，它们在计算机图形学、建筑设计、地理学等领域起着重要作用。通过对投影和投影线的研究，我们能更好地理解物体的投射效果，为实际应用提供参考和便利。

- 1 - 投影的公式

投影是一种常见的几何变换，它可以将一个曲面几何体映射到平面坐标系中，概念上来说简单易懂，但在实际中，其函数变换形式非常复杂。

投影可以分为正投影与逆投影，它们都与投影函数（投影映射）有关，投影公式也是这两种变换形式的关键。正投影是将一个几何体投射到平面，逆投影是把平面投到几何体中，具体的数学表达式是：

正投影变换： P (x,y,z) = (x’, y’, 0)

x’ = x * f / z

y’ = y * f / z

其中，f是一个投影系数，可以控制投影变换的缩放程度。

逆投影变换： P’ (x’, y’, 0) = (x, y, z)

x = x’ * z / f

y = y’ * z / f

z = f

从上面的公式可以看出，投影变换是一种非常复杂的函数变换，涉及到多种参数的计算，这也是它在机器视觉中的应用所需要的重要数学基础。

投影变换最广泛的应用是机器视觉，也就是使用摄像机将现实的物体变换成计算机可以理解的数学模型。投影变换将摄像机的三维空间映射到二维坐标系中，这样可以让计算机更加容易地理解现实环境，从而实现不同类型的机器视觉任务。 - 2 - 投影变换涉及到从三维空间到二维坐标系的映射，这是一个非常复杂的过程。在实际的应用中，投影变换的准确性会受到很多因素的影响，如摄像机的位置、环境光照等。因此，正确地计算投影变换的参数，尤其是系数f，是机器视觉系统准确性所必须的基础。

投影变换也在视觉传感器应用中被广泛使用，利用其精确映射特征点、形状、物体等是识别物体的重要一步。即使是一些复杂物体，如果能够精确地计算出它们的投影变换参数，就能够有效地将它们投影到二维坐标系中，从而得到准确的结果。

总的来说，投影的公式是一种重要的几何变换，它可以将三维空间的物体映射到二维坐标系中，是机器视觉系统的基础。它的公式是一种非常复杂的变换，但掌握它就可以实现各种机器视觉应用，有助于准确识别物体。

初中数学知识归纳正交投影与投影变换的概念与计算

正交投影与投影变换是初中数学中的重要理论知识。本文将对这两个概念进行归纳，并介绍它们的计算方法。

一、正交投影的概念与计算

正交投影是指将一个立体图形在某个平面上的投影。具体而言，对于一个三维空间中的点P(x, y, z)，当它沿着某个法向量为n(a, b, c)的平面进行投影时，投影点P'的坐标可以通过以下计算方法得出：

1. 计算投影向量的长度

首先，需要计算投影向量的长度，即将平面法向量标准化。设向量n的长度为d，即d = √(a^2 + b^2 + c^2)。然后将a、b、c分别除以d，得到标准化后的法向量n'，即n' = (a/d, b/d, c/d)。

2. 计算投影点的坐标

接下来，需要计算点P在平面上的投影点P'的坐标。根据向量投影的原理，可以得到以下计算公式：

P' = P - Proj_n(P) = P - (P·n')n'

其中，Proj_n(P)表示点P在向量n'上的投影，P·n'表示点P与向量n'的数量积。

二、投影变换的概念与计算 投影变换是指将一个二维图形通过某种变换映射到另一个平面上的过程。在数学中，通常使用矩阵的乘法运算来表示投影变换。设原平面上的点为P(x, y)，经过投影变换后的点为P'(x', y')，则有以下计算公式：

x' = a*x + b*y + c

y' = d*x + e*y + f

其中，a、b、c、d、e、f为投影变换的参数，可以根据具体的变换要求进行确定。这些参数可以表示平移、缩放、旋转等操作，从而实现对图形的不同变形效果。

三、实际应用举例

正交投影和投影变换在几何学中应用广泛，下面以一些具体的应用举例说明：

1. 工程制图

在工程制图中，正交投影被广泛用于展示三维物体的平面图。通过将三维物体沿着不同的方向进行投影，可以得到其俯视图、正视图、侧视图等平面图，便于工程师进行设计和分析。

2. 计算机图形学