2014年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
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2014年全国高考理科数学试卷
山东卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知,abR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则2()abi
（A）54i（B）54i（C）34i（D）34i
（2）设集合{||1|2}Axx，{|2,[0,2]}xByyx，则AB
（A）[0,2]（B）(1,3)（C）[1,3)（D）(1,4)
（3）函数221()(log)1fxx的定义域为
（A）1(0,)2（B）(2,)（C）1(0,)(2,)2（D）1(0,][2,)2
（4）用反证法证明命题：“已知,ab为实数，则方程20xaxb至少有一个实根”时，要做的假设是
（A）方程20xaxb没有实根 （B）方程20xaxb至多有一个实根
（C）方程20xaxb至多有两个实根 （D）方程20xaxb恰好有两个实根
（5）已知实数,xy满足xyaa（01a），则下列关系式恒成立的是
（A）221111xy （B）22ln(1)ln(1)xy
（C）sinsinxy （D）22xy
（6）直线4yx与曲线3yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A）22 （B）42 （C）2 （D）4
（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（A）1 （B）8
（C）12 （D）18
（8）已知函数()|2|1fxx，()gxkx，若()()fxgx有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是
（A）1(0,)2 （B）1(,1)2 （C）(1,2) （D）(2,)
（9）已知,xy满足约束条件10,230,xyxy当目标函数(0,0)zaxbyab在该约束条件下取到最小值25时，22ab的最小值为
（A）5 （B）4 （C）5 （D）2
（10）已知ab，椭圆1C的方程为22221xyab，双曲线2C的方程为22221xyab，1C与2C的离心率之积为32，则2C的渐近线方程为
（A）20xy （B）20xy （C）20xy （D）20xy
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
（11）执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 . （12）在ABC中，已知tanABACA，当6A时，ABC的面积为 .
（13）三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为1V，PABC的体积为2V，则12VV .
（14）若24()baxx的展开式中3x项的系数为20，则22ab的最小值为 .
（15）已知函数()()yfxxR.对函数()()ygxxI，定义()gx关于()fx的“对称函数”为()()yhxxI，()yhx满足：对任意xI，两个点(,())xhx，(,())xgx关于点(,())xfx对称.若()hx是2()4gxx关于()3fxxb的“对称函数”，且()()hxgx恒成立，则实数b的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
已知向量(,cos2)amx，(sin2,)bxn，设函数()fxab，且()yfx的图象过点(,3)12和点2(,2)3.
（Ⅰ）求,mn的值；
（Ⅱ）将()yfx的图象向左平移（0）个单位后得到函数()ygx的图象.若()ygx的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()ygx的单调增区间.
（17）（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是等腰梯形，60DAB，22ABCD，M是线段AB的中点.
（Ⅰ）求证：111//CMAADD；
（Ⅱ）若1CD垂直于平面ABCD且13CD，求平面11CDM和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.
（18）（本小题满分12分）
乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,AB，乙被划分为两个不相交的区域,CD.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在,AB上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望。
（19）（本小题满分12分）
已知等差数列{}na的公差为2，前n项和为nS，且124,,SSS成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）令114(1)nnnnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT.
（20）（本小题满分13分）
设函数22()(ln)xefxkxxx（k为常数，2.71828e是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当0k时，求函数()fx的单调区间；
（Ⅱ）若函数()fx在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.
（21）（本小题满分14分）
已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有||||FAFD.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线1//ll，且1l和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.A 5.D
6.D 7.C 8.B 9.B 10.A
二、填空题
11.3 12.16 13.14 14.2 15.(210,)
三、解答题
16.解：
（Ⅰ）由题意知()sin2cos2fxabmxnx
因为()yfx的图像过点(,3)12和2(,2)3
所以3sincos66442sincos33mnmn
即1332231222mmn
解得3,1mn
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()3sin2cos22sin(2)6fxxxx 由题意知()()2sin(22)6gxfxx
设()ygx的图像上符合题意的最高点为0(,2)x，
由题意知2011x，所以00x
即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）
将其代入()ygx得sin(2)16
因为0，所以6
因此()2sin(2)2cos22gxxx
由222,kxkkZ，得
,2kxkkZ
所以，函数()ygx的单调递增区间为[,],2kkkZ
17.
（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，
且2ABCD
所以//ABDC，又由M是AB的中点，
因此//CDMA且CDMA
连接1AD
在四棱柱1111ABCDABCD中，
因为1111//,CDCDCDCD
可得1111//,CDMACDMA
所以，四边形11AMCD为平行四边形
因此11//CMDA
又111111,CMAADDDAAADD平面平面 所以111//CMAADD平面
（Ⅱ）解法一：
连接,ACMC
由（Ⅰ）知//CDAM且CDAM
所以，四边形AMCD为平行四边形
可得BCADMC
由题意60ABCDAB
所以，MBC为正三角形
因此22,3ABBCCA
因此CACB
以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz
所以1(3,0,0),0,1,0,(0,0,3)ABD
因此31(,,0)22M
所以1113131(,,3),(,,0)2222MDDCMB
设平面11CDM的一个法向量(,,)nxyz
由11100nDCnMD得303230xyxyz
可得平面11CDM的一个法向量(1,3,1)n
又1(0,0,3)CD为平面ABCD的一个法向量
因此1115cos,5||||CDnCDnCDn
所以，平面11CDM和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为55 解法二：
由（Ⅰ）知平面11DCM平面ABCDAB
过C向AB引垂线交AB于N，连接1DN
由1CD平面ABCD，可得1DNAB
因此1DNC为二面角1CABC的平面角
在RtBNC中，1,60BCNBC
可得32CN
所以2211152NDCDCN
在1RtDCN中，11352cos5152CNDNCDN
所以，平面11CDM和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为55
18.解：
（Ⅰ）记iA为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(0,1,3)i
则31011111(),(),()123236PAPAPA
记iB为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(0,1,3)i
则31013131(),(),()155555PBPBPB
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”
由题意，30100103DABABABAB
由事件的独立性和互斥性，
30100103()()PDPABABABAB
