立体几何向量法解题步骤

投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ．１６３　ｃｏｒｎ　数学教学通讯（教师版）　试题研究）解题技巧　向量法在立体几何中的解题策略　庄菁　江苏徐州师范大学数学科学学院２２１１１６　圉一　篙　肌　楠懒种埔非饪　舭　豳关键词：向量；法向量，立体几何　新教材增加了空间向量的问题，由于多数中学教师长期没　有接触这部分内容，再加上教材介绍的空间向量的基础知识和　内容太少．给教学带来较多的问题，而且用书上所给的知识也不　好解决立体几何中的一些题目，所以在教学中适度的增加一点　空间向量的基础知识和方法，这在教学中是十分必要的，并且能　带来较好的教学效果．　’平面的法向量是一个非常有用的解题工具，可以解决法向　量二面角问题．也可以求出点到平面的距离以及异面直线间的　距离等．引进平面法向量并掌握其求法，立体几何中的相关问题　就能得到很好的解决．一般求法向量的方法是解一个方程组，而　此处我们将介绍如何利用向量积来确定法向量．利用向量积求　法向量可避免求解方程组，也体现了由初等数学向高等数学转　化的过程，从而使学生体会到高等数学的美妙．下面就来介绍用　向量积求解法向量的方法．　利用法向量解决立体几何问题　概念：若直线Ｚ　Ｊ＿平面　，则　与直线Ｚ共线的向量ｎ，称为平面ｏｔ　的法向量．　那么，如何确定法向量呢？把由两个不共线的向量ａ和ｂ所确　定的一个向量叫做两向量ａ和６的向量积，记作ａｘｂ，ａｘｂ的方向垂　直于ａ和ｂ，ａｘｂ￣Ｐ为ａ与ｂ所确定平面的法向量．设ｎ＝（０　，ｂ　，ｃ　），６＝　Ｉｂ１　ｃ１Ｉ　（眈，ｂ２，ｃ２），法向量为Ｊｌ：　，ｙ，　），则有ｘ＝ｂ￣ｃ２－ｂ２ｃｌ＝ｌ　Ｉ，ｙ－－－ａ２ｃ广　Ｉｂ２　ｃ２Ｉ　。　＝Ｉ　Ｉ，ｚ＝ａ，ｂｚ－ａｚｂ　＝Ｉ　：　Ｉ，从而ｎ＝（Ｉ　Ｉ，Ｉ　Ｉ，　）．　一、法向量的求解　例１已知Ａ（１，０，０），Ｂ（０，１，０），Ｃ（０，０，１），求平面ＡＢＣ的法　向量．　解析由已知　：（一１，１，０），　＝（一１，ｏ，１），设法向量　＝　，　ｙ，ｚ　，由公式可得　＝１０　。１Ｉ　Ｉ。１： ：　１　０ ｙ，ｚ），由公式可得　＝【＝１，ｙ＝ｌｌ＝ｌ，　＝Ｉ　Ｉ＝１，即可　ｌ　ｌ 一１　Ｉ　ｌ—　ｌ　得法向量，ｌ＝（１，１，１）．　二、用法向量求空间交角　有了平面法向量的概念，也知道了法向量的求法，那么空间　交角的问题也就可以得到解决，下面我们就来通过例题来感受　一下利用法向量求空间交角的新颖之处吧！　例２如图１，已知ＰＡ　ｊ－矩形ＡＢＣＤ所在的平面，Ｍ，Ｎ分别是　ＡＢ，ＰＣ的中点，Ｊ￣ＡＤ＝ＡＰ：Ｉ，求平面ＰＣＤ与平面ＡＢＣＤ所成角的　大小．　图１　解析以Ａ　方向为　轴正方向，以ＡＤ方向为ｙ轴正方向，ｖＸＡＰ　方向为　轴正方向建立坐标系，显然平￣ｔＡＢＣＤ＠法向量，ｌｌ：　声ｌ－　

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析

以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。

首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法

一：利用空间向量求空间角

(1)两条异面直线所成的夹角

范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线,ab的方向向量为a,b，其夹角为，则有cos___________.

(2)直线与平面所成的角

定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与法向量所成角的余弦值为|cos|___________.直线与平面所成的角为，则有sin___________.或在平面内任取一个向量m，则|cos|___________..

(3)二面角

二面角的取值范围是 .

二面角的向量求法：

方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的

即为所求的二面角的大小；

方法二：设1n，2n分别是两个面的 ，则向量1n与2n的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。

二：利用空间向量求空间距离

（1）点面距离的向量公式

平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是 ，即d=||||MPnn.

（2）线面、面面距离的向量公式

平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d= .

立体几何向量法求二面角

一、引言

在几何学中，二面角是指两个平面或者一个平面和一个直线之间的夹角。它是描述多面体中相邻两个面之间的夹角的重要参数。在工程学、物理学和化学等领域，求解二面角是非常常见的问题。本文将介绍立体几何向量法求解二面角的方法。

二、立体几何向量法

立体几何向量法是一种非常有效的求解二面角的方法。它基于向量叉积和点积的运算，通过将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。

1. 向量叉积

向量叉积是两个向量所构成的新向量，其大小等于两个向量所构成平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成平行四边形所在平面。设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的叉积c = a × b定义为：

c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

其中c表示a和b所构成平行四边形所在平面上一条垂直这个平行四边形的向量。

2. 向量点积

向量点积是两个向量所构成的标量，其大小等于两个向量夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b

= (b1, b2, b3)，则它们的点积c = a · b定义为：

c = a1b1 + a2b2 + a3b3

其中c表示a和b之间夹角的余弦值乘以它们的模长之积。

3. 二面角计算公式

二面角可以通过计算相邻两个面法线向量之间夹角的余弦值来求解。具体地，设有一个多面体，其中相邻两个面A和B所对应的法线分别为nA和nB，则它们之间的二面角θAB可以通过以下公式计算：

cosθAB = -nA·nB / |nA||nB|

其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。

4. 多面体分解

在实际问题中，通常需要将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。具体地，考虑一个四面体（如图1），其中相邻两个三角形ABC和ABD所对应的法线分别为nABC和nABD，则它们之间的二面角θABC-D可以通过以下公式计算：

1 专题11 立体几何中的向量方法

【练一练】

一、填空题

1．假设n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，那么以下向量能作为平面α的一个法向量的是( )

A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)

2．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，那么A、B两点间的间隔

为(

)

A．211

B.11 C.22 D．311

3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1的中点，那么平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )

A.12 B.23 C.33 D.22

∴n1，－12，－1.，又平面ABCD的一个法向量为1DD＝(0,0,1)，

∴1cos,nDD＝－23.∴平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23. 2 4．假设直线l1的方向向量与直线l2的方向向量的夹角是150°，那么l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )

A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均错

【答案】A

【解析】

试题分析：03coscos1502，故6.

5．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，假设∠B1MN＝90°，那么∠PMN的大小是( )

A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定

【答案】A

【解析】

试题分析：∵11AB平面11BCCB，∴11ABMN，11()MPMNMBBPMN 110MBMNBPMN，MPMN，即90PMN＝.