向量法解立体几何

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析

以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。

首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法

一：利用空间向量求空间角

(1)两条异面直线所成的夹角

范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线,ab的方向向量为a,b，其夹角为，则有cos___________.

(2)直线与平面所成的角

定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与法向量所成角的余弦值为|cos|___________.直线与平面所成的角为，则有sin___________.或在平面内任取一个向量m，则|cos|___________..

(3)二面角

二面角的取值范围是 .

二面角的向量求法：

方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的

即为所求的二面角的大小；

方法二：设1n，2n分别是两个面的 ，则向量1n与2n的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。

二：利用空间向量求空间距离

（1）点面距离的向量公式

平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是 ，即d=||||MPnn.

（2）线面、面面距离的向量公式

平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d= .

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 1 向量法解立体几何

1、直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.

⑵．平面的法向量： 若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系．

②设平面的法向量为(,,)nxyz．

③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)aaaabbbb．

④根据法向量定义建立方程组00nanb.

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明1l∥2l，只需证明a∥b，即()akbkR.

⑵线面平行。设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l∥，只需证明au，即0au.

⑶面面平行。若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只需证u∥v，即证uv.

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明12ll，只需证明ab，即0ab.

⑵线面垂直

①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明a这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 2 ∥u，即au.

②（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为mn、，若0,.0amlan则

⑶面面垂直。 若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证0uv.

专题07 立体几何中的向量方法

【要点提炼】

1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则

(1)线面平行

l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)线面垂直

l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.

(3)面面平行

α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.

(4)面面垂直

α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.

2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).

(1)线线夹角

设l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，则

cos θ＝|a·b||a||b|＝|a1a2＋b1b2＋c1c2|a21＋b21＋c21a22＋b22＋c22.

(2)线面夹角

设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2，则

sin θ＝|cosa，μ|＝|a·μ||a||μ|.

(3)面面夹角

设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，

则|cos θ|＝|cosμ，v|＝|μ·v||μ||v|.

考点

考向一 利用空间向量证明平行、垂直

【典例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：

(1)BE⊥DC；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面PCD⊥平面PAD.

证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).

数学解决立体几何问题的四种常用方法

数学作为一门科学，其应用范围及其广泛。在解决现实生活中的各种问题中，立体几何问题是其中之一。在本文中，将介绍数学解决立体几何问题的四种常用方法，分别是平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。

一、平面几何方法

平面几何方法是解决立体几何问题最常用的方法之一。该方法的基本思想是将立体几何问题转化为平面几何问题来求解。具体来说，可以通过绘制立体几何图形的几个视图，将其分解为多个平面几何图形，然后利用平面几何中的定理和性质进行求解。

例如，对于一个立方体求其体积，可以将其展开成一个平面图形，然后计算出展开图形的面积。再根据立方体的性质，将展开图形的面积乘以立方体高度所得的积即为立方体的体积。

二、向量法

向量法是一种几何分析方法，可以有效地解决立体几何问题。该方法利用向量的运算和性质，将立体几何问题转化为向量计算问题来求解。

在利用向量法解决立体几何问题时，首先需要确定坐标系，并定义几何体的位置和方向。然后，通过向量运算来计算几何体的性质。例如，对于一个平行六面体的体积，可以通过计算其底面向量与高度向量的叉积来求解。 三、投影法

投影法是解决立体几何问题的另一种常用方法。该方法利用几何体在不同平面上的投影关系，将立体几何问题转化为投影几何问题来求解。

具体来说，可以通过绘制几何体在不同平面上的投影图形，并利用投影几何的定理和性质进行求解。例如，对于一个棱柱在某个平面上的截面积，可以通过计算棱柱的投影图形在该平面上的面积来求解。

四、立体坐标法

立体坐标法是一种通过引入三维坐标系来解决立体几何问题的方法。该方法通过确定几何体的坐标，将立体几何问题转化为坐标几何问题来求解。

在利用立体坐标法解决立体几何问题时，首先需要建立一个三维坐标系，并确定几何体的坐标。然后，通过坐标运算来计算几何体的性质。例如，对于一个球体求其体积，可以根据球体的坐标及其半径，利用坐标运算公式计算出体积。