《高等代数》知识点梳理

高等代数简介

一、高等代数的教学目的及重要性

代数学是以代数结构作为研究对象的一门学科。所谓代数结构, 就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合。高等代数是代数学的基础部分,是高等学校数学学院的学生的一门专业基础课程，它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。高等代数这门课程概念多, 理论性强, 内容抽象, 充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征。通过该课程的学习, 可逐渐培养和训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生的数学素质。随着科学技术的进步, 特别是计算机技术的迅速发展与普及,代数学在信息科学、计算机科学和物理学等许多领域都有着非常广泛的应用。高等代数作为数学学院各专业的重要基础课,学习的好坏, 直接关系到多门后续课程的学习, 同时又关系到学生以后从事科学与技术研究的基本功。

二、高等代数简要发展史

代数学是一门古老的数学学科，最简单的代数运算—正整数和有理数的算术运算及这些运算的代数性质在古代就知道了，17-18世纪“代数学”被理解为在代数符合上进行运算的科学，即对由字母组成的公式的“恒等”变换、解代数方程等，到18世纪中叶，代数学或多或少地相当于现在的“初等代数”。18世纪和19世纪的代数学处理的主要内容是多项式。历史上，首要的问题是求解一个未知数的代数方程即求解下述类型的方程

1010nnnaxaxa

其目的是推导出由方程的系数经加、减、乘、除及开方所构成的公式来表示方程的根。事实上，人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。16世纪意大利数学家发现了解三次方程和四次方程的求解公式。这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的求解公式。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家大量的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决。同时，这个时期对于任意复系数代数方程的复根的存在性就成为数学家的主要兴趣，在18世纪和19世纪交替的时候，德国数学家高斯证明了代数方程有解存在的基本定理即代数基本定理。到了19 世纪初, 挪威青年数学家阿贝尔证明了五次或五次以上的方程一般不能用根式求解, 即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。19 世纪初30年代，法国一位青年数学家伽罗华对代数方程使用根式求解的可能性给出了一个一般性的判别法，使高次代数方程求解问题得到彻底解决。到19世纪中叶和后半世纪，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。他在数学史上做出的贡献, 不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他所引入的思想，大大推动了对于群、域以及其它一些代数体系的研究，开辟了代数学的一个崭新的天地, 直接影响了代数学研究方法的变革，促进了代数学的进一步发展。

《高等代数》知识点梳理

高等代数是一门重要的数学学科，它是线性代数的延伸和深化，主要研究向量空间和线性变换的性质和应用。以下是《高等代数》常见的知识点梳理：

1.矩阵和线性方程组：

-矩阵：矩阵的定义和运算、矩阵的行列式、逆矩阵等。

-线性方程组：线性方程组的定义和解的分类、线性方程组的矩阵表示、线性方程组的消元法、高斯-约当法等。

2.向量空间：

-向量空间的定义：向量空间的基本性质和运算规则。

-子空间和张成空间：子空间和子空间的运算、线性组合和线性相关、张成空间的定义和性质。

-基和维数：线性无关和极大线性无关组、基和维数的相关定义和性质。

3.线性变换：

-线性变换的定义和性质：线性变换的基本性质和运算。

-线性变换的矩阵表示：矩阵的表示和判断、线性变换的示例和应用。

-矩阵相似和对角化：矩阵相似的定义和性质、对角化的定义和条件、对角化的意义和应用。

4.特征值和特征向量： -特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的基本概念和性质。

-特征多项式和特征方程：特征多项式和特征方程的定义和性质、求解特征多项式和特征方程的方法。

-对角化和相似对角化：对角化和相似对角化的概念和条件、对角化和相似对角化的关系和应用。

5.矩阵的特征值和特征向量的应用：

-线性微分方程组：线性微分方程组的特征方程和特解、线性微分方程组的解的表示和求解方法。

-线性差分方程组：线性差分方程组的特征方程和特解、线性差分方程组的解的表示和求解方法。

- Markov过程：Markov过程的概念和性质、Markov过程的平稳分布和转移概率矩阵。

6.内积空间和正交变换：

-内积和内积空间的定义：内积的基本性质和运算规则、内积空间的定义和性质。

-正交向量和正交子空间：正交向量和正交子空间的定义和性质。

-正交变换和正交矩阵：正交变换和正交矩阵的概念、正交变换的性质和应用。

7.对偶空间和广义逆：

-对偶空间的定义和性质：对偶空间的定义和对偶基的求解方法、对偶空间的性质和应用。 -广义逆的定义和性质：广义逆的定义和求解方法、广义逆的性质和应用。

高等代数知识点总结笔记

一、集合论基础

1. 集合的定义和表示

2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集

3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等

4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系

5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律

二、映射和函数

1. 映射的定义和表示

2. 映射的类型：单射、满射、双射

3. 函数的定义和性质

4. 函数的运算：复合函数、反函数

5. 函数的极限、连续性

6. 函数的导数、几何意义

三、向量空间

1. 向量和向量空间的定义

2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积

3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标

4. 线性变换和矩阵运算

5. 特征值和特征向量

四、矩阵与行列式

1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵

2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵

3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则

4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法 五、线性方程组

1. 线性方程组的定义和分类

2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法

3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组

4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间

六、特征值和特征向量

1. 特征值和特征向量的定义和性质

2. 矩阵的对角化和相似矩阵

3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵

4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化

5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质

七、多项式与代数方程

1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除

2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程

3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理

4. 代数方程的不可约性和可解性

八、群、环、域

1. 代数结构的定义和性质

2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元

第二章行列式知识点总结

一行列式定义

1、n级行列式111212122212nnijnnnnnaaaaaaaaaa1等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212njjnjaaa2的代数和,这里12njjj是一个n级排列;当12njjj是偶排列时,该项前面带正号；当12njjj是奇排列时,该项前面带负号,即：

1212121112121222()1212(1)nnnnnjjjijjjnjnjjjnnnnaaaaaaaaaaaaa;

2、等价定义

121212()12(1)nnniiiijiiinniiiaaaa和121211221212()()(1)nnnnnniiijjjijijijijniiijjjaaaa和

3、由n级排列的性质可知,n级行列式共有!n项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;

4、常见的行列式

1上三角、下三角、对角行列式

2副对角方向的行列式

3范德蒙行列式：

二、行列式性质

1、行列式与它的转置行列式相等;

2、互换行列式的两行列,行列式变号;

3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;

4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;

5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;

6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;

三、行列式的按行列展开

1、子式

1余子式：在n级行列式ijDa中,去掉元素ija所在的第i行和第j列后,余下的n-1级行列式称为ija的余子式,记作ijM; 2代数余子式：(1)ijijijAM称为ija的代数余子式;

3k级子式：在n级行列式ijDa中,任意选定k行和k列(1)kn,位于这些行列交叉处的2k个元素,按原来顺序构成一个k级行列式M,称为D的一个k级子式;当()kn时,在D中划去这k行和k列后余下的元素按照原来的次序组成的nk级行列式M称为k级子式M的余子式;