版高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导

高中数学教学课例《函数的单调性与导数》教学设计及总结反思

学科 高中数学

教学课例名称 《函数的单调性与导数》

教材分析 本节课是人教版《数学（选修2-2）》第一章导数及其应用，§1.3.1函数的单调性与导数的第二课时解题课．

导数是微积分的核心内容之一，它有极其丰富的实际背景和广泛应用，导数更是研究函数性质的强有力的工具，在解决函数单调性、最大值和最小值等问题时，不但避开了初等函数变形的难点，证明的繁杂，而且使解法程序化，变“巧法”为“通法”，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性作用．在应用导数研究函数单调性教学的过程中，体会导数的思想及其内涵．

教学目标 1．知识与技能目标

理解函数的单调性与其导数的关系，能利用求导的方法探求函

数的单调性和单调区间．

2．过程与方法目标

经历使用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题的求解过程．通过分析、归纳、推理、

对比辨析、变式教学来探究解题方法，并能通过各类问题的解法对比，感受和掌握导数在函数单调性问题解决过程中的应用．

3．情感、态度与价值观目标

感受导数为解决单调性问题提供的新思路、方法和途径，激发学生探究知识的兴趣和欲望．

2．教学的重点与难点

本节课的重点是理解函数单调性与其导数的关系，利用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题．难点是解决含参数的函数单调性问题中参数范围的确定及分类讨论等数学思想方法的运用．

学生学习能力分析 在本节之前学生已经学习了导数的实际背景和基本概念．学生能理解导数的数学意义、物理意义及几何意义．掌握了常函数、幂函数、正余弦函数、指数函数、对数函数的导数．掌握了导数的运算法则．已经初步了解了导数与函数单调性的关系，并能利用导数解决简单的函数单调性问题．本节课此基础上进一步运用导数解决和函数单调性有关的问题，对大多数学生来说，有足够的能力掌握本节知识．学生已经初步具有对数学问题自主探究的意识和能力，当然也存在较大的个体差异．需要在教学过程中加以个别指导．

教育学习+K12

教育学习+K12 导数与函数的单调性（一）

一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：函数单调性的判定

教学难点：函数单调区间的求法

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．

（二）．新课探究

1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动

中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图3.3-1

（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t

变化的函数'()()9.86.5vthtt的图

像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入

水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．

2．函数的单调性与导数的关系 教育学习+K12

教育学习+K12 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3.3-3，导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．

在0xx处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；

文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！

1 / 7 1.3.1

函数的单调性与导数

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．函数f(x)＝exx－2的递减区间为( )

A．(3，＋∞) B．(－∞，2)

C．(－∞，2)和(2,3) D．(2,3)和(3，＋∞)

解析：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.

因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，

所以ex>0，(x－2)2>0.

由f′(x)<0得x<3.

又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．

答案：C

2．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )

A．a≥3 B．a＝3

C．a≤3 D．0

解析：f′(x)＝3x2－2ax，

∵f′(x)在(0,2)内单调递减，

∴ f′0≤0f′2≤0，∴ 0≤012－4a≤0，

∴a≥3.

答案：A

3．y＝xln x在(0,5)上是( )

A．单调递增函数

B．单调递减函数

C．在(0，1e)上单调递减，在(1e，5)上单调递增

D．在(0，1e)上单调递增，在(1e，5)上单调递减

解析：∵y′＝x·1x＋ln x＝1＋ln x， 文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！

2 / 7 令y′>0，得x>1e，

令y′<0，得0

答案：C

4．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )

A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)

C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)

解析：由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．

审定部编版试题

欢迎您下载！ 1.3.1 函数的单调性与导数(二)

学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．

1．函数的单调性与其导数正负的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：

f′(x)的正负 f(x)的单调性

f′(x)>0 单调递增

f′(x)<0 单调递减

特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．

②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.

2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上

导数的绝对值 函数值变化 函数的图象

越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)

越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)

3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题

(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．

(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．

(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．

1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )

2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( √ ) 审定部编版试题

欢迎您下载！

类型一 利用导数求参数的取值范围

例1 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．

考点 利用导数求函数的单调区间

题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)

答案 [1，＋∞)

解析 由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．