2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册

1 第2课时 利用基本不等式求最值

1．已知y＝x＋1x－2(x>0)，则y有( )

A．最大值为0 B．最小值为0

C．最小值为－2 D．最小值为2

[答案] B

2．已知0

A.13 B.12

C.14 D.23

[解析] ∵00.∴x(1－x)≤x＋1－x22＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，等号成立．

[答案] B

3．已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________．

[答案] 200

4．已知函数f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

[解析] 由基本不等式，得4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时，等号成立，即a2＝3，a＝36.

[答案] 36

5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，

当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立，

故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

基本不等式同步练习

一、本节知识点

（1）基本不等式.

（2）利用基本不等式求最值.

（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式.

二、本节题型

（1）利用基本不等式求最值.

（2）利用基本不等式证明不等式.

（3）基本不等式的实际应用.

（4）与基本不等式有关的恒成立问题.

三、同步练习

1. 若ba,为正实数,且2ba,则ab的最大值为 【 】

（A）3 （B）1 （C）32 （D）2

2. 当x≥4时,14xx的最小值为 【 】

（A）5 （B）4 （C）211 （D）316

3. 已知0,0ba,且满足1ba,则ba41的最小值为 【 】

（A）7 （B）9 （C）4 （D）224

4. 设0,0yx,53yx,则yx311的最小值为 【 】

（A）23 （B）2 （C）32 （D）3

5. 代数式11072xxx（1x）的最小值为 【 】

（A）2 （B）7 （C）9 （D）10

6. 设21x,则1212xx的最大值是 【 】

（A）2 （B）1 （C）2 （D）1

7. 已知0,0ba,11111ba,则ba2的最小值是 【 】

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.2 基本不等式（共2课时）

（第1课时）

本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

课程目标 学科素养

A.

推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；

B.通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式abba2等号成立条件,进一步掌握基本不等式；

C. 积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系. a.数学抽象：将问题转化为基本不等式；

b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法等证明基本不等式；

c.数学运算：准确熟练运用基本不等式；

d.直观想象：运用图像解释基本不等式；

e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；

1.教学重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；

2.教学难点：基本不等式abba2等号成立条件；

多媒体

2abab教学过程 教学设计意图

核心素养目标

（一）、情景导学

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．

思考1：这图案中含有怎样的几何图形？

思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？

（二）、探索新知

1．探究图形中的不等关系

第1页（共8页） 《2.2基本不等式》单元-课时教学设计

一.内容和内容解析

1. 内容

（1）本节的知识结构框图（梅州教研活动作者放“2（3）内容地位与作用”）

（2）本节的知识内容：基本不等式的含义（概念、证明、几何解释）及其应用。

2. 内容解析

（1）内容的本质

“基本不等式”是求最值的常用方法之一，是两个量（正数）的“算术平均数”与“几何平均数”之间的大小关系，也可称为“均值不等式”（其实，可以推广到多个量）。

“基本不等式”体现“加法”与“乘法”两种运算之间的一种区别。

“基本不等式”在几何意义上，是“直径为最长弦长”。

（2）蕴含的数学思想方法

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法：

①在基本不等式的证明和运用基本不等式时的转化思想；

②在基本不等式的几何解释时的数形结合思想；

②在解决实际问题中的建模思想。

（3）知识的上下位

“基本不等式”是前面学习完不等式性质之后的第一个具体且重要的不等式（定理），在此章与“二次函数与一元二次方程、不等式”有着并列的地位，属于预备知识，为后面研究函数做好必要知识的铺垫。

（4）育人价值

本节教科书充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值。例如，教科书从“北京举办的24届国际数学大会”“篱笆围菜园”“建造长方体形无盖贮水池”等实际生活中的问题，有利用学生更好地感受“数学来源于生活、服务于生活”，促进学生关心生活、关注社会，增强社会责任意识，所以在教学中，我们结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值。

①通过基本不等式的几何解析，可以培养学生“直观想象”的素养，并从中感受“数形一致”的数学魅力。

②通过严谨的证明活动，发展学生“逻辑推理”的素养。

③通过具体运用基本不等式求解相关函数最值时，培养学生数学运算素养

④通过建立数学模型，并利用基本不等式求解最优化等实际问题，发展学生“数学建模”素养。

（5）教学重难点

重点：基本不等式含义的理解与证明。