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第5章 网络最优化问题

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通信网络优化技术手册

通信网络优化技术手册

通信网络优化技术手册第1章通信网络优化基础 (3)1.1 网络优化概念与目标 (3)1.2 网络优化方法与分类 (4)1.3 网络优化流程与实施 (4)第2章网络功能评估指标 (4)2.1 传输功能指标 (4)2.2 覆盖功能指标 (5)2.3 容量功能指标 (5)2.4 网络质量指标 (5)第3章无线网络优化 (6)3.1 无线信号传播模型 (6)3.2 无线覆盖优化 (6)3.3 无线接入优化 (6)3.4 无线网络干扰优化 (7)第4章传输网络优化 (7)4.1 传输网络架构与规划 (7)4.1.1 传输网络架构 (7)4.1.2 传输网络规划 (8)4.2 传输链路优化 (8)4.2.1 链路冗余设计 (8)4.2.2 链路负载均衡 (8)4.2.3 链路故障检测与修复 (8)4.3 传输设备功能优化 (8)4.3.1 设备选型与升级 (8)4.3.2 设备配置优化 (8)4.3.3 设备散热与节能 (9)4.4 传输网络保护与恢复 (9)4.4.1 网络保护技术 (9)4.4.2 网络恢复技术 (9)4.4.3 网络保护与恢复的协同 (9)第5章网络规划与设计优化 (9)5.1 网络规划方法与工具 (9)5.1.1 网络规划概述 (9)5.1.2 网络规划方法 (9)5.1.3 网络规划工具 (9)5.2 网络设计原则与优化策略 (10)5.2.1 网络设计原则 (10)5.2.2 网络优化策略 (10)5.3 网络规划中的容量与覆盖优化 (10)5.3.1 容量优化 (10)5.3.2 覆盖优化 (10)5.4 网络规划中的投资与成本控制 (10)5.4.1 投资估算 (10)5.4.2 成本控制策略 (11)第6章网络设备优化 (11)6.1 设备选型与配置优化 (11)6.1.1 设备选型原则 (11)6.1.2 设备配置优化 (11)6.2 设备功能监控与优化 (11)6.2.1 功能监控方法 (11)6.2.2 功能优化策略 (11)6.3 设备能耗优化 (11)6.3.1 能耗分析与评估 (11)6.3.2 能耗优化措施 (11)6.4 设备维护与升级策略 (12)6.4.1 设备维护策略 (12)6.4.2 设备升级策略 (12)6.4.3 设备生命周期管理 (12)第7章网络协议优化 (12)7.1 网络协议功能分析 (12)7.1.1 网络协议功能指标 (12)7.1.2 功能分析方法 (12)7.1.3 功能优化策略 (12)7.2 TCP/IP协议优化 (12)7.2.1 TCP协议优化 (12)7.2.2 IP协议优化 (12)7.2.3 应用层协议优化 (12)7.3 移动通信网络协议优化 (13)7.3.1 移动通信网络协议功能分析 (13)7.3.2 无线接入网络协议优化 (13)7.3.3 移动性管理协议优化 (13)7.4 网络安全协议优化 (13)7.4.1 安全协议功能分析 (13)7.4.2 加密算法优化 (13)7.4.3 认证与密钥管理优化 (13)第8章网络管理优化 (13)8.1 网络管理策略与体系结构 (13)8.1.1 网络管理策略 (14)8.1.2 网络管理体系结构 (14)8.2 功能管理优化 (14)8.2.1 网络功能监测 (14)8.2.2 功能优化策略 (14)8.3 故障管理优化 (15)8.3.1 故障预防 (15)8.3.2 故障检测与定位 (15)8.3.3 故障恢复 (15)8.4 安全管理优化 (15)8.4.1 安全策略制定 (15)8.4.2 安全防护技术 (15)8.4.3 安全事件处理 (15)第9章网络优化案例分析与实践 (15)9.1 3G网络优化案例分析 (15)9.1.1 案例背景 (15)9.1.2 优化方案 (16)9.1.3 实施效果 (16)9.2 4G网络优化案例分析 (16)9.2.1 案例背景 (16)9.2.2 优化方案 (16)9.2.3 实施效果 (16)9.3 5G网络优化案例分析 (16)9.3.1 案例背景 (16)9.3.2 优化方案 (16)9.3.3 实施效果 (17)9.4 综合网络优化实践 (17)9.4.1 融合不同网络技术 (17)9.4.2 跨区域协同优化 (17)9.4.3 智能化网络优化 (17)9.4.4 持续优化与维护 (17)第10章网络优化技术的发展趋势 (17)10.1 新技术对网络优化的影响 (17)10.2 大数据与网络优化 (17)10.3 云计算与网络优化 (18)10.4 未来网络优化技术的发展方向 (18)第1章通信网络优化基础1.1 网络优化概念与目标通信网络优化是指通过对现有通信网络进行功能分析、问题诊断和参数调整，以提高网络的整体功能和用户体验。

通信行业5G网络覆盖优化方案

通信行业5G网络覆盖优化方案

通信行业5G网络覆盖优化方案第一章 5G网络覆盖优化概述 (2)1.1 5G网络概述 (2)1.2 优化目标与原则 (2)1.2.1 优化目标 (2)1.2.2 优化原则 (3)第二章网络规划与设计优化 (3)2.1 网络规划策略 (3)2.2 站点布局优化 (4)2.3 频率规划与分配 (4)第三章基站建设与调整 (4)3.1 基站建设流程 (4)3.2 基站设备选型 (5)3.3 基站调整策略 (5)第四章信号传播与覆盖优化 (5)4.1 信号传播模型 (5)4.1.1 射线追踪模型 (6)4.1.2 波动方程模型 (6)4.1.3 经验模型 (6)4.2 覆盖优化策略 (6)4.2.1 天线布局优化 (6)4.2.2 功率控制 (6)4.2.3 网络切片 (7)4.3 阻碍因素分析与处理 (7)4.3.1 建筑物遮挡 (7)4.3.2 地形因素 (7)4.3.3 电磁干扰 (7)第五章室内覆盖优化 (7)5.1 室内覆盖需求分析 (7)5.2 室内覆盖方案设计 (8)5.3 室内覆盖效果评估 (8)第六章网络功能监测与评估 (9)6.1 网络功能指标 (9)6.1.1 覆盖率 (9)6.1.2 信号质量 (9)6.1.3 传输速率 (9)6.1.4 网络容量 (9)6.2 监测系统建设 (9)6.2.1 数据采集 (9)6.2.2 数据处理与分析 (9)6.2.3 监测平台搭建 (10)6.3 功能评估方法 (10)6.3.1 指标对比法 (10)6.3.2 实验法 (10)6.3.3 模型预测法 (10)6.3.4 用户满意度调查法 (10)6.3.5 综合评价法 (10)第七章 5G网络干扰管理 (10)7.1 干扰源分析 (10)7.2 干扰管理策略 (11)7.3 干扰处理流程 (11)第八章网络优化工程实施 (12)8.1 优化工程流程 (12)8.2 优化工程实施策略 (12)8.3 优化工程效果评估 (13)第九章 5G网络覆盖优化案例分析 (13)9.1 典型案例分析 (13)9.2 优化方案实施效果 (14)9.3 经验与启示 (14)第十章 5G网络覆盖优化发展趋势 (14)10.1 技术发展趋势 (14)10.2 政策与市场趋势 (14)10.3 行业合作与发展前景 (15)第一章 5G网络覆盖优化概述1.1 5G网络概述5G（第五代移动通信技术）作为新一代的移动通信技术，具有高速度、大容量、低延迟等显著特点，是推动我国信息化进程的重要力量。

第十一章 最短道路和最小树

第十一章 最短道路和最小树

一个顶点的 T 标号表示从起点v 1到该点的最短路径长度的
上界，这种标号为临时标号；P 标号表示从 v 1 到该点的最 短路长度，这种标号为固定标号。
在最短路径计算过程中，对于已经得到 P标号的顶点，
不再改变其标号；对于凡是没有标上 P标号的顶点，先给 它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改， 将其变为P标号。
（1）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得运送总成本最小。这属 于最小费用流问题。 （2）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得总流量最大。这属于最 大流问题。 （ 3 ）从某个点 vi 出发到达另一个点 vj ， 怎样安排路线使得总距离最短或总费 用最小。这属于最短路问题。
标号法具体计算步骤
开始，先给v1标上P标号P(v1)＝ 0，其余各点标上T标号 T(vj)＝+∞（j≠1）。 ① 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样 的点
v v , v E, 而且v 的标号是 T标号
j i j j
v j0
将其T标号修改为： min[T(vj)，P(vi)+wij]。 vj
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1 7
[1]
v4
1
2
4
v6 6
3
1
v9 2
4
9
v7[10] 1
v10
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1
[1]

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆

第5章Hopfield神经网络与联想记忆前面介绍了前向网络及其学习算法，对于所介绍的前向网络，从学习的观点来看，它是一个强有力的学习系统，系统结构简单、易于编程；从系统的观点来看，它是一个静态非线性映射，通过简单非线性处理单元的复合映射可获得复杂系统的非线性处理能力；从计算的观点来看，它并不是一强有力系统，缺乏丰富的动力学行为。

反馈神经网络是一个反馈动力学系统，具有更强的计算能力。

1982年美国物理学家J. Hopfield提出的单层全互连含有对称突触连接的反馈网络是最典型的反馈网络模型。

Hopfield 用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成了所谓的Hopfield网络，称之为离散Hopfield网络。

而且Hopfield还将该反馈网络同统计物理中的Ising模型相类比，把磁旋的向上和向下方向看成神经元的激活和抑制两种状态，把磁旋的的相互作用看成神经元的突触权值。

这种类推为大量的物理学理论和许多的物理学家进入神经网络领域铺平了道路。

1984年，Hopfield设计与研制了Hopfield网络模型的电路，指出神经元可以用运算放大器来实现，所有神经元的连接可用电子线路来模拟，称之为连续Hopfield网络。

用该电路Hopfield成功的解决了旅行商（TSP）计算难题（优化问题）。

Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里程碑。

把神经网络看作一种非线性的动力学系统，并特别注意其稳定性研究的学科，被称为神经动力学（Neurodynamics）。

Hopfield神经网络可看作一种非线性的动力学系统，所以为了方便介绍Hopfield神经网络，本章首先简单介绍神经动力学。

前面介绍的单层前向网络和多层前向网络，其思路均是先介绍网络模型再介绍相应的学习算法。

图论与网络最优化算法

图论与网络最优化算法

第二章 5 生成树算法定义2·13 （1）图G 的每条边e 赋与一个实数)(e ω，称为e 的权。

图G 称为加权图。

（2）设1G 是G 的子图，则1G 的权定义为： ∑∈=)(11)()(G E e e G ωω定理2·10 Kruskal 算法选得的边的导出子图是最小生成树。

证：K r u s k a l 算法所得子图0T 显然是生成树，下证它的最优性。

设{}[]1210,,,-=υe e e G T 不是最小生成树，1T 是G 的任给定的一个生成树，)(T f 是{}121,,,-υe e e 中不在1T 又{}1210,,,)(-=υe e e T E ，故121,,,-υe e e 中必有不在)(T E 中的边。

设k T f =)(，即121,,,-k e e e 在T 与0T 上，而k e 不在T 上，于是k e T +中有一个圈C ，C 上定存在ke '，使k e '在T 上而不是在0T 上。

令k k e e T T '-+=')（，显然也是生成树，又)()()()(kk e e T T '-+='ωωωω，由算法知，k e 是使{}[]k e e e G ,,,21 无圈的权最小的边，又{}[]kk e e e e G ',,,,1-21 是T 之子图，也无圈，则有)()(k k e e ωω≥'，于是)()(T T ωω≤'，即T '也是最小生成树，但)()(T f k T f =>'与)(T f 之最大性矛盾。

证毕定理2·11 im Pr 算法产生的图)(0T G 是最小生成树。

证明与定理2·10类似，略。

第三章2 割边、割集、割点定理3·4 设G 是连通图，)(G E e ∈则e 是G 的割边的充要条件是e 不含在圈中。

证明 必要性 设e 是G 的割边，若e 在G 的一圈C 上，则e G -仍连通，这不可能。

第5章高级搜索

第5章高级搜索

2．最优化问题的分类 最优化问题根据系统的结构性能和完成的任务各不相 同，通常可以按下述情况进行分类： (1) 单变量函数与多变量函数最优化问题 (2) 无约束与有约束最优化问题 (3) 确定性和随机性最优化问题 (4) 线性和非线性最优化问题 (5) 静态和动态最优化问题
3.计算复杂性问题 定义5-2（算法的计算复杂性） 给定任一问题S，可假设已找 到描述该问题例子的一个合理编码策略e，则对S的任一例子I， 称其依编码策略e所得的相应字符串描述中所含字符的个数为 其输入长度，并将该输入长度的具体数值作为例子I 的大小的 正式度量。 定义5-3 对某一问题S和任一可能的输入长度n，称用所给算法 求解S的所有大小为n的例子所需的时间的最大值为该算法在 输入长度为n时的复杂性。 复杂性函数O(*)可以将函数划分为不同的类，因此对如此定 义的同一类型的不同函数往往不加区分。对于定义于正整数 集上的两个正实值函数f(n)与g(n)，若存在两个常数c > c`> 0， 使得当n充分大时有c`g(n)≤f(n)≤cg(n)，则记f(n) =O(g(n))。
5.2.2 禁忌搜索的算法流程
(1) 给定算法参数，随机产生初始解x=x0，置禁忌表为空。 (2) 判断算法终止条件是否满足？若是，则结束算法并输出优化结果； 否则，继续以下步骤。 (3) 利用当前解x的邻域函数产生其所有（或若干）邻域解，计算领域内 各解的评价值，并从中确定若干候选解。 (4) 对候选解判断特赦准则是否满足？若成立，则用满足特赦准则的最 佳状态y替代x成为新的当前解，即x=y，并用与y对应的禁忌对象替换最 早进入禁忌表的禁忌对象，同时用y替换最优解，然后转步骤(2)；否则， 继续以下步骤。 (5) 判断候选解对应的各对象的禁忌属性，选择候选解集中非禁忌对象 对应的最佳状态为新的当前解，同时用与之对应的禁忌对象替换最早进 入禁忌表的禁忌对象元素。转步骤(2)。

第5章 通信网中的流量优化




(三)、算法复杂度
在一次迭代中，标记过程需比较： (n−1)+(n−2)+…+1=0.5n(n −1)次; 在增广过程的第2步需进行加法/减法运算为：≤(n-1)次； 若网络可增的最大流量为fst，则算法复杂度为O(fst•n2)。

M算法推广
1. 无向网和混合网中的最大流 无向网和混合网中的最大流 在无向图或混合网G‘中，无向边(x, y)可理解为：C(x, y)=c(y, x)；c(x, y)≥f(x, y), c(x, y)≥f(y, x)且 f(x, y)•f(y, x)=0。 求无向网或混合网G’中最大流的一般过程为： 1）．先将混合网G’(V, E’, c’, f)中的每条无向边变换成一 对有向边(x, y)和(y, x)；且c(x, y)= c(y, x)=c’(x, y)。
5.1 流量优化的一般性问题

用有向图 G (V , E ) 表示通信网。其中端集： V {v1 , v2 ,, vn } 。对于各边，设为有向边，其中e 表示从 Vi到Vj的边。每条边能够通过的最大流量称为边的容量， 以Cij表示；而这条边上实际的流量记为fij。一组流量的安 排｛fij｝称为网内的一个流。 若这个流使得从源端到宿端有总流量F，则，fij必须满足以 下条件： （1）非负性和有限性

＝ aij f ij
eij E
最小。
更复杂的问题是： 流量fij可以调整；容量Cij可选择，但边有容量的限制；各 端有转接容量的限制；源端和宿端可能有多个；各边中单 位容量的费用βij；各端中转接容量的费用βii；
则转接容量 Cij＝ f ji ； j 目标函数即总费用： ＝
C

例：图5－6负价环求最佳流的N算法。

通信行业光传输网络优化方案

通信行业光传输网络优化方案第一章光传输网络概述 (2)1.1 光传输网络基本概念 (2)1.2 光传输网络发展现状 (2)1.3 光传输网络优化的重要性 (3)第二章光传输网络拓扑结构优化 (3)2.1 网络拓扑结构分析 (3)2.2 拓扑结构优化策略 (3)2.3 拓扑结构优化案例分析 (4)第三章光传输网络设备优化 (4)3.1 设备选型与配置 (4)3.2 设备功能优化 (5)3.3 设备维护与管理 (5)第四章光传输网络传输介质优化 (5)4.1 传输介质特性分析 (5)4.2 传输介质优化策略 (6)4.3 传输介质优化案例分析 (6)第五章光传输网络路由优化 (7)5.1 路由算法与策略 (7)5.2 路由优化方法 (7)5.3 路由优化案例分析 (7)第六章光传输网络保护与恢复优化 (8)6.1 保护与恢复机制 (8)6.2 保护与恢复策略优化 (8)6.3 保护与恢复优化案例分析 (9)第七章光传输网络功能监控与评估 (9)7.1 功能监控技术 (9)7.2 功能评估方法 (10)7.3 功能监控与评估案例分析 (10)第八章光传输网络故障处理与排除 (11)8.1 故障分类与诊断 (11)8.2 故障处理策略 (12)8.3 故障排除案例分析 (12)第九章光传输网络安全管理 (12)9.1 安全风险分析 (13)9.1.1 物理安全风险 (13)9.1.2 网络安全风险 (13)9.2 安全防护措施 (13)9.2.1 物理安全防护措施 (13)9.2.2 网络安全防护措施 (13)9.3 安全管理案例分析 (14)第十章光传输网络发展趋势与展望 (14)10.1 光传输网络发展趋势 (14)10.2 光传输网络技术展望 (15)10.3 光传输网络市场前景预测 (15)第一章光传输网络概述1.1 光传输网络基本概念光传输网络是一种基于光纤作为传输介质的通信网络，主要利用光波作为信息载体，通过光电转换、光信号放大与调制等技术，实现大容量、高速率的信息传输。

第五章霍普菲尔德(Hopfield)神经网络

Hopfield模型属于反馈型神经网络，从计算的角度上讲，它 具有很强的计算能力。这样的系统着重关心的是系统的稳定 性问题。稳定性是这类具有联想记忆功能神经网络模型的核 心，学习记忆的过程就是系统向稳定状态发展的过程。 Hopfield网络可用于解决联想记忆和约束优化问题的求解。
反馈网络(Recurrent Network),又称自联 想记忆网络,如下图所示:
x1
x2
x3
y1
y2
y3
图 3 离散 Hopfield 网络
考虑DHNN的节点状态,用yj(t)表示第j个神经元,即节点j在时 刻t的状态,则节点的下一个时刻t+1的状态可以求出如下:
1, u j (t) 0 y j (t 1) f[u j (t)] 0, u j (t) 0 u j (t) w i, j y i (t) x j θ j
在不考虑外部输入时,则有
j 1,2,..., n
n y j (t 1) f w i, j yi (t) θ j i 1
•通常网络从某一初始状态开始经过多次更新后才可 能达到某一稳态。使用异步状态更新策略有以下优点： （1）算法实现容易，每个神经元节点有自己的状态 更新时刻．不需要同步机制； （2）以串行方式更新网络的状态可以限制网络的输 出状态，避免不同稳态以等概率出现。 一旦给出HNN的权值和神经元的阈值，网络的状态转 移序列就确定了。
5.2 离散Hopfield网络
• Hopfield最早提出的网络是神经元的输出为 0-1二值的NN,所以,也称离散的HNN (简称为 DHNN).
–下面分别讨论DHNN的
• • • • 结构 动力学稳定性(网络收敛性) 联想存储中的应用 记忆容量问题

电信行业5G网络优化与升级解决方案

电信行业5G网络优化与升级解决方案第一章 5G网络优化概述 (2)1.1 5G网络优化背景 (2)1.2 5G网络优化目标与意义 (2)第二章 5G网络规划与设计 (3)2.1 5G网络规划原则 (3)2.2 5G网络设计流程 (3)2.3 5G网络规划与设计关键参数 (4)第三章 5G网络覆盖优化 (4)3.1 5G网络覆盖评估方法 (4)3.2 5G网络覆盖优化策略 (5)3.3 5G网络覆盖优化案例分析 (5)第四章 5G网络容量优化 (6)4.1 5G网络容量评估方法 (6)4.2 5G网络容量优化策略 (6)4.3 5G网络容量优化案例分析 (6)第五章 5G网络质量优化 (7)5.1 5G网络质量评估方法 (7)5.2 5G网络质量优化策略 (7)5.3 5G网络质量优化案例分析 (7)第六章 5G网络切片优化 (8)6.1 5G网络切片概念与分类 (8)6.1.1 5G网络切片概念 (8)6.1.2 5G网络切片分类 (8)6.2 5G网络切片优化策略 (8)5.2.1 切片资源分配优化 (8)6.2.2 切片功能优化 (9)6.3 5G网络切片优化案例分析 (9)第七章 5G网络能耗优化 (10)7.1 5G网络能耗评估方法 (10)7.2 5G网络能耗优化策略 (10)7.3 5G网络能耗优化案例分析 (10)第八章 5G网络安全性优化 (10)8.1 5G网络安全挑战 (10)8.2 5G网络安全优化策略 (11)8.3 5G网络安全优化案例分析 (11)第九章 5G网络运维优化 (12)9.1 5G网络运维管理 (12)9.1.1 网络监控 (12)9.1.2 故障处理 (12)9.1.3 功能优化 (12)9.2 5G网络运维优化策略 (12)9.2.1 强化网络监控 (12)9.2.2 优化故障处理流程 (13)9.2.3 实施功能优化措施 (13)9.3 5G网络运维优化案例分析 (13)第十章 5G网络升级与演进 (13)10.1 5G网络升级趋势 (13)10.2 5G网络升级策略 (14)10.3 5G网络升级案例分析 (14)第一章 5G网络优化概述1.1 5G网络优化背景信息通信技术的飞速发展，5G技术已成为全球范围内的战略资源。

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最大流问题也与网络中的流有关，但目标不是使 得流的总成本最小，而是寻找一个流的方案，使 得通过网络的总流量最大。除了目标（流最大化 和成本最小化）不一样外，最大流问题的特征和 最小费用流问题的特征非常相似。
5.3 最大流问题
例5.2 某公司要从起始点vs（发点）运
送货物到目的地vt（收点），其网络图 如图5-4（下一张幻灯片）所示。图中 每条弧（节点i->节点j）旁边的权cij表 示这段运输线路的最大通过能力（容 量）。要求制定一个运输方案，使得从 vs到vt的运货量达到最大，这个问题就 是寻求网络系统的最大流问题。
近些年来，运筹学（管理科学）中一个振奋人心 的发展是它的网络最优化问题的方法论和应用方 面都取得了不同寻常的飞速发展。
5.1 网络最优化问题基本概念
许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究的目 的归结为图的极值问题。 运筹学中研究的图具有下列特征： (1) 用点表示研究对象，用连线（不带箭头的边或 带箭头的弧）表示对象之间某种关系； (2) 强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比例 大小与形状； (3) 每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。实 际中权可以代表两点之间的距离、费用、利润、时 间、容量等不同的含义； (4) 建立一个网络模型，求最大值或最小值。
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题有五种重要的特殊类型：
（1）运输问题：有出发地(供应点-供应量)和目的地 (需求点-需求量)，没有转运点和弧的容量限制，目 标是总运输成本最小（或总利润最大）。
（2）指派类型：出发地(供应点-供应量为1)是人， 目的地(需求点-需求量为1)是任务，没有转运点和 弧的容量限制，目标是总指派成本最小（或总利润 最大）。
（3）转运问题：有出发地(供应点-供应量)和目的地 (需求点-需求量)，有转运点，但没有弧的容量限制 (或有容量限制)，目标是总流量费用最小（或总利 润最大）。
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题有五种重要的特殊类型(续)： （4）最大流问题：有供应点、需求点、转运点、弧的容量限制，但没有供应量和
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题的数学模型为： （1）决策变量：设fij为通过弧（节点i->节点j）的流 量。 （2）目标是通过网络供应的总成本最小。 （3）约束条件
① 所有供应点：净流量（总流出－总流入）为正； ② 所有转运点：净流量为零； ③ 所有需求点：净流量为负； ④ 所有弧的流量fij受到弧的容量限制； ⑤ 所有弧的流量fij非负。
A D
C B
图论的起源和发展
• 1847年，基尔霍夫 ，电网络，树”； • 1852年，《四色猜想》； • 1857年，凯莱 ， 同分异构，“树”； • 1859年，哈密顿， 哈密顿回路 ；
• 1956年，杜邦公司，CPM，关键路线法；
• 1958年，美国海军部， PERT，计划评审技术；
• 1962年，管梅谷， 《中国邮路问题》； • 1964年，华罗庚，《统筹方法平话》。
(
fv2v4
fv2v5 )
fvsv2
0
本问题的目标是从vs流 出的总流量最大。
（3）约束条件(转运点的 净流量为0、弧的容量限 制、非负）
s.t
fv3v5 fvsv3 0
5.1 网络最优化问题基本概念
网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式存 在。交通、电子和通讯网络遍及我们日常生活的 各个方面，网络规划也广泛用于解决不同领域中 的各种问题，如生产、分配、项目计划、厂址选 择、资源管理和财务策划等等。
网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提供 了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛应用于 科学、社会和经济活动的各个领域中。
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第5章 网络最优化问题
本章内容要点
网络最优化问题的基本概念 网络最优化问题的四种主要类 型：最小费用流、最大流、最 短路、最小支撑树 各种网络最优化问题的建模与 应用
本章节内容
•5.1 网络最优化问题基本概念 •5.2 最小费用流问题 •5.3 最大流问题 •5.4 最短路问题 •5.5 最小支撑树问题 •5.6 货郎担问题和中国邮路问题
3、最小费用流问题的解的特征 （1）具有可行解的特征：在以上的假设下，当 且仅当供应点所提供的流量总和等于需求点所 需要的流量总和时（即平衡条件），最小费用 流问题有可行解； （2）具有整数解的特征：只要其所有的供应、 需求和弧的容量都是整数值，那么任何最小费 用流问题的可行解就一定有所有流量都是整数 的最优解（与运输问题和指派问题的解一样）。 因此，没有必要加上所有决策变量都是整数的 约束条件。
5.2 最小费用流问题
例5.1最小费用流问题的数学模型为： （1）决策变量：设fij为通过弧(节点i->节点j)的流 量。 （2）目标函数
本问题的目标是总运输成本最小
Min z = 700 fF1W1 300 fF1DC 200 fDCW1 400 fF2DC 900 fF2W 2 400 fDCW 2
5.2 最小费用流问题
大规模的最小费用流问题的求解一般采用“网络单纯法（The Network Simplex Method）”。现在，许多公司都使用网络单纯法来解决他们的最 小费用流问题。有些问题是非常庞大的，有着数万个节点和弧。有时，弧的 数量甚至可能会多得多，达到几百万条。
但Excel学生版（非专业版）的“规划求解”中没有网络单纯法，但其他的 线性规划的商业软件包通常都有这种方法。
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题的模型在网络最优化中扮演着重要的角色，因为它的适用性 很广，并且求解方法容易。通常最小费用流问题用于最优化货物从供应点到 需求点的网络。目标是在通过网络配送货物时，以最小的成本满足需求，一 种典型的应用就是使得配送网络的运营最优。
最小费用流问题的特殊类型包括运输问题和指派问题，以及在下面将要提到 的两种重要类型：最大流问题和最短路问题。
量取决于该弧的容量； （5）网络中有足够的弧提供足够容量，使得所有在供应点中
产生的流都能够到达需求点；（有解） （6）在流的单位成本已知前提下，通过每一条弧的流的成本
和流量成正比；（目标是线性的） （7）最小费用流问题的目标在满足给定需求条件下，使得通
过网络供应的总成本最小（或总利润最大）。
5.2 最小费用流问题
（6）邮递员从邮局vi出发要经过每一条边将邮件送到用户手中，最后回到邮局vi，如何 安排路线使总路程最短。这属于中国邮递员问题。
5.1 网络最优化问题基本概念
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
本章主要内容框架图
点
基本概念
连线（边或弧） 权（赋权图） 网络图
网络最优化问题
主要类型
最小费用流问题 最 最大 短流 路问 问题 题
最小支撑树问题
货郎担问题和中国邮路问题
节点（供应点、转运点、需求点）
建模和求解
净流量 数学模型
电子表格模型
图论的起源和发展
• 1736年，欧拉的哥尼斯堡七桥问题
fF1W1 fF1DC = 80
fF 2DC +
fF 2W 2
=
70
f DC W 1
fDCW 2
( fF1DC fF 2DC )
0
④ 弧的容量限制： s.t. ⑤ 非负：
fF1W1 fDCW1 = 60
f
DC
Wபைடு நூலகம்
2
fF 2W 2
90
fF1DC , f F 1W 1 ,
fF 2DC , fDCW1, fDCW 2 fF1DC , fDCW1, fF 2DC ,
5.1 网络最优化问题基本概念
v1 5
v2
8
v3
7
v5
5
4
8
1
2
v4
v6
3
6
对于该网络图，可以提出许多极值问题
5.1 网络最优化问题基本概念
（1）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点vj，使得运送总成本最小。这属于 最小费用流问题。 （2）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点vj，使得总流量最大。这属于最大 流问题。 （3）从某个点vi出发到达另一个点vj， 怎样安排路线使得总距离最短或总费用 最小。这属于最短路问题。
50 fF 2W 2 ,
fDCW 2
0
5.2 最小费用流问题
例5.1的电子表格模型：列出了网络中的弧和各弧所对应的容量、 单位成本。决策变量为通过弧的流量。目标是计算流量的总成本。 每个节点的净流量为约束条件。供应点的净流量为正，需求点的 净流量为负，而转运点的净流量为0。 这里用了一个窍门：用两个SUMIF函数的差来计算每个节点的净 流量，这样快捷且不容易犯错。
需求量的限制，目标是通过网络到目的地的总流量最大。 （5）最短路问题：有供应点(供应量为1) 、需求点(需求量为1) 、转运点、没有
弧的容量限制，目标是通过网络到目的地的总距离最短。
5.3 最大流问题
在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流 问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排 水系统的水流问题等。而网络系统最大流问题是 图与网络流理论中十分重要的最优化问题，它对 于解决生产中的实际问题起着十分重要的作用。
例3 稳定婚配
• 假设有n个男人和n个女人, 每人都希望从n个异性中选 择一位自己的配偶. 假设每人都对n个异性根据自己的偏 好进行了排序, 以此作为选择配偶的基础. 当给定一种婚 配方案(即给每人指定一个配偶)后, 如果存在一个男人和 一个女人不是互为配偶, 但该男人喜欢该女人胜过其配偶, 且该女人喜欢该男人也胜过其配偶, 则该婚配方案称为不 稳定的. 安排稳定的婚配方案的问题称为稳定婚配问题。