2019版高考数学创新一轮复习浙江专用版文档：第二章
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第1节 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．
知 识 梳 理
1．函数与映射的概念
函数 映射
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集 设A，B是两个
非空集合
对应关系
f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
[常用结论与微点提醒]
1．(1)分式中，分母不为0；
(2)偶次根式中，被开方数非负；
(3)对于幂函数y＝xα，如果α≤0，要求x≠0；
(4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；
(5)指数函数的底数大于0且不等于1；
(6)正切函数y＝tan x要求x≠kπ＋12π，k∈Z.
2．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( )
(3)函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥1}．( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
解析 (1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．
(3)由于x2＋1≥1，故y＝x2＋1－1≥0，故函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥0}．
(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2]．
答案 B
3．(2017·山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1)
解析 由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1，∴B＝
(－∞，1)．∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
答案 D
4．(2018·嘉兴测试)已知a为实数，设函数f(x)＝x－2a，x≤2，log2（x－2），x＞2，则f(2a＋2)的值为( )
A．2a B．a C．2 D．a或2
解析 因为2a＋2＞2，所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.
答案 B
5．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝__________．
解析 由题意得g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴g(x)＝2x－1.
答案 2x－1
6．(2018·绍兴一中适应性考试)设函数f(x)＝ex，x≤0，ln x，x＞0，则ff12＝__________，方程f(f(x))＝1的解集为__________．
解析 因为f12＝ln 12，所以ff12＝fln 12＝eln 12＝12.令f(x)＝t，由f(t)＝1，解得t＝0或t＝e，所以再解f(x)＝0及f(x)＝e，解得x＝1或x＝ee，所以方程f(f(x))＝1的解集为{1，ee}．
答案 12 {1，ee}
考点一 求函数的定义域
【例1】 (1)(2017·杭州调研)函数f(x)＝ln xx－1＋x12的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 018]，则函数g(x)＝f（x＋1）x－1的定义域是____________．
解析 (1)要使函数f(x)有意义，应满足xx－1>0，x≥0，解得x>1，故函数f(x)＝lnxx－1＋x12的定义域为(1，＋∞)．
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 018]，
∴g(x)有意义，应满足1≤x＋1≤2 018，x－1≠0.
∴0≤x≤2 017，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 017，且x≠1}．
答案 (1)B (2){x|0≤x≤2 017，且x≠1}
规律方法 求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【训练1】 (1)函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为( )
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
(2)已知函数f(x)＝，当a＝1时不等式f(x)≥1的解集是________；若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
解析 (1)要使函数f(x)有意义，应满足4－|x|≥0，x2－5x＋6x－3>0，
∴|x|≤4，x－2>0且x≠3，则2
所以f(x)的定义域为(2，3)∪(3，4]．
(2)当a＝1时，f(x)≥1⇔2x2－2x＋1≥2，由指数函数的单调性可得x2－2x＋1≥1，解得不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．若函数的定义域为R，即不等式2x2－2ax＋a≥1恒成立，等价于x2－2ax＋a≥0恒成立，只需Δ＝4a2－4a≤0，解得a∈[0，1]．
答案 (1)C (2)(－∞，0]∪[2，＋∞) [0，1]
考点二 求函数的解析式
【例2】 (1)已知f2x＋1＝lg x，则f(x)＝________；
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________；
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，则f(x)＝________．
解析 (1)令t＝2x＋1(t>1)，则x＝2t－1，
∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x>1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，
则2ax＋a＋b＝x－1，
∴2a＝1，a＋b＝－1，即a＝12，b＝－32.
∴f(x)＝12x2－32x＋2.
(3)在f(x)＝2f1x·x－1中，
将x换成1x，则1x换成x， 得f1x＝2f(x)·1x－1，
由f（x）＝2f1x·x－1，f1x＝2f（x）·1x－1，
解得f(x)＝23x＋13.
答案 (1)lg2x－1(x>1) (2)12x2－32x＋2 (3)23x＋13
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)构造法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．
(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
【训练2】 (1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________．
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
(3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________．
解析 (1)令x＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
由已知f(x)＝12f(x＋1)＝－12x(x＋1)．
(3)当x∈(－1，1)时，
有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
将x换成－x，则－x换成x，
得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
