向量基本定理

平面向量基本定理(教案)

教案章节一：向量的概念回顾

1.1 向量的定义

向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为 (a, b)。

1.2 向量的加法

向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。

向量的加法满足交换律和结合律，即 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

教案章节二：平面向量的基本定理

2.1 定理的定义

平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。

基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。

2.2 基底的性质

基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。

基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。

教案章节三：向量的线性组合

3.1 线性组合的定义

向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。

例如，a u + b v 表示将向量 u 乘以实数 a，向量 v 乘以实数 b，将两个结果相加。

3.2 线性组合的性质 线性组合满足分配律，即 (a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。

线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。

教案章节四：向量的坐标表示

4.1 坐标系的建立

坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。

在二维空间中，通常使用 x 轴和 y 轴作为坐标轴。

4.2 向量的坐标表示

向量可以用坐标形式表示，即 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的投影，y 表示向量在 y 轴上的投影。

向量的长度可以用勾股定理计算，即 |u| = √(x^2 + y^2)。

教案章节五：向量的线性相关性

5.1 线性相关的定义

向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。

例如，向量组 (u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数 a, b, c，使得 a u +

平面向量基本定理

平面向量基本定理：

1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。

2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：

A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。

同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)

将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。

故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。

3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

4、例题：

（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则AC⋅CD的值为？

（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？

解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。

《平面向量基本定理》这节课内容比较抽象，学生接受起来比较难，是《平面向量》部分难点之一。我设计这节课主要有三个特点：一是通过设置学生的认知冲突引入课题，二是自始至终抓住运算这条主线，三是从教材整体上把握本节课内容，让学生经历从直线到平面推广的过程，进而给学生留有推广到空间，一直到n维空间的想象余地。以下是我的教学设计：

一、设置认知冲突，激发学生探究欲--引入课题

1.复习旧知.通过给出具体例子：已知轴l和单位向量e,让学生用单位向量表示一些与l平行的向量,如向量AB,DE等，达到复习共线向量基本定理的目的，同时为后面引入基底做好铺垫。

2.设置冲突.接着给出一个与l不平行的向量GH，让学生也用此单位向量表示。学生在不断探索、讨论的过程中，发现根本无法用一个与l平行的向量表示这个向量，进而怀疑老师的问题是错误，此时老师鼓励学生给老师改错，在改错的过程中，学生发现还得需要一个向量。从而引出本节课课题。

二、设置运算题目，引导学生动手实践--形成定理

通过具体题目，引导学生动手实践，让学生在实践中找到另一个向量到底需要满足什么条件，学生通过几组具体题目的运算，发现这两个向量只要不共线就可以，从而形成定理。

注意：在这个过程中不少学生指出两个互相垂直的单位向量最容易表示，应该给予肯定，这也为后面的向量的坐标表示做下伏笔。

这样设计，不仅可以让学生体会知识形成的过程，也化解了本定理的证明这个难点，讲完这个定理后，定理的证明只需点到，或让学生自己阅读课本即可。

三、应用举例，设置变式---巩固定理

1.平面向量基本定理最终还是为了计算应用，通过例题，让学生体会平面向量基底的不唯一性，同时让学生明白，一旦确定一组基底，那么任何一个非零向量的的分解式是唯一的。

2.设置变式，化解引入直线向量式方程的难点。

这个过程中让点P动起来，分别移动到点M,N,H等处，接着过渡到例题2.

数学必修二平面向量基本定理

平面向量是解决平面几何问题的重要工具，它不仅在数学中有着重要的应用，而且在物理学、工程学等自然科学中也具有广泛应用。平面向量的基本定理指的是平面向量的加法、减法和数量乘法满足一定的运算规律。下面将分别从平面向量的定义、运算规则以及基本定理来介绍平面向量的基本原理。

一、平面向量的定义

平面向量可以看作是有大小和方向的有向线段，通常用一个有箭头的字母来表示，如→a、→b等。向量的大小用模长或长度表示，记作|→a|或||→a||。平面向量的方向用有方向的线段表示。有向线段的起点称为向量的起点，终点称为向量的终点。向量的起点和终点可以重合，也可以不重合。

平面向量有两个重要的性质：大小和方向。大小是指向量的长度，方向是指向量的指向。如果两个向量的大小和方向都相等，则这两个向量相等。对于两个相等的向量，必有相同的大小和相同的方向。

二、平面向量的运算规则

1. 加法运算

设有两个平面向量→a和→b，它们的和记作→c=→a+→b。求得和向量的方法是将→b的起点与→a的终点相接，连接起→a的起点和→b的终点得到一条新的线段，新线段的方向即为和向量的方向，新线段的长度即为和向量的大小。

2. 减法运算

设有两个平面向量→a和→b，它们的差记作→c=→a-→b。求得差向量的方法是将→b的起点与→a的终点相接，连接起→b的起点和→a的起点得到一条新的线段，新线段的方向即为差向量的方向，新线段的长度即为差向量的大小。

3. 数量乘法

设有一个平面向量→a和一个实数k，它们的数量乘积记作→b=k→a。数量乘法的运算是将向量→a的长度乘以实数k得到一个新的长度，方向不变。

平面向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意平面向量→a、→b和→c，有：

→a+→b=→b+→a；（交换律）

(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。（结合律）

平面向量的乘法运算满足结合律和分配律，即对于任意平面向量→a、→b和实数k和l，有：