河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺(一)数学(理)试题(精品解析)
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唐山一中2019届高三冲刺卷（一）高三数学理科试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.
已知集合
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解一元二次不等式化简集合A
，求值域化简集合B
，然后直接利用交集运算得答案．
【详解】∵
，
＝，
∴
．
故选：D
．
【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法及函数的值域问题，是基础题．
2.
已知
，则在
，
，
，中最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在
，
，
，的最大值．
【详解】∵，
∴y
＝和y
＝均为减函数，
∴
＞
，
＜，
又∵y
＝在（0，+∞）为增函数，
∴
＞，
即在
，
，
，
中最大值是，
故选：C
．
【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性的应用，属于基础题．
3.
设复数
，则的二项展开式的第7项是（ ）
A. 84
B. C. 36
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a
+bi
（a
，b
∈R
）的形式，复数化简为2i
，然后求
出z
代入，利用二项式定理求出展开式的第7项．
【详解】∵，
所以（1+z
）9＝（1+i
）9
展开式的第7项是：C
9613i
6＝﹣84
故选A.
【点睛】本题考查复数的基本概念，二项式定理，考查计算能力，是基础题．
4.
设
为区间]
内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的
值落在区间内的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知函数y
是分段函数，写出函数解析式，计算y
∈[，3]时x
的取值范围，利用几何概型求对应
的概率．
【详解】根据题意知，当x
∈[﹣2，0]时，y
＝2x
∈[，1]；当x
∈（0，2]时，y
＝2x
+1∈（1，5]；
所以当y
∈[，3]时，x
∈[﹣1，1]，其区间长度为2，
所求的概率为
P
．
故选：C
．
【点睛】本题考查了程序语言应用问题，也考查了函数与几何概型的概率计算问题，是中档题．
5.
在正项等比数列
中，若
成等差数列，则的值为（ ）
A. 3或-1B. 9或1C. 3D. 9
【答案】C
【解析】
设正项等比数列{a
n}的公比为q＞0，
∵成等差数列，
∴a
3=2a
2+3a
1，
化为，即q2
﹣2q﹣3=0，解得q=3．
则
==q=3，
故选：C．
6. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的
赠送方法共有
A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种
【答案】B
【解析】
分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C
42
＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送
给4位朋友，有C
41
＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
7.
过点
且不垂直于
轴的直线
与圆
交于
两点，点
在圆
上，若是正
三角形，则直线的斜率是（ ）
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析圆的圆心与半径，设直线l
的斜率为k
，写出直线l
的方程，由等边三角形的性质分析
可得圆心到直线l
的距离
d
，则有，解可得k
的值，即可得答案．
【详解】根据题意，圆即（x
﹣1）2+y
2＝4
，圆心为（1，0），半径r
＝2，
设正的高为h
，由题意知
为正的中心，∴M
到直线l
的距离
dh
，
又,
即
,∴由垂径定理可得：
，可得，
∴
由题意知设直线l
的斜率存在且不为0，设为k
，
则直线l
的方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k-1＝0，
则有，
解可得：k
＝或0（舍）
故选：D
．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查了一定的逻辑推理能力，属于中档
题．
8.
已知等边三角形
中，
是线段
的中点，
，垂足为
,
是线段
的中点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由中线向量定理得到
=
，
=
，再将
，
，
都用基底表示，利用向
量相等，求得关系.
【详解】∵
是线段
的中点，∴
=
=；
∵
是线段
的中点，∴
=；
又
=；
令，
则
-=
（，
∴
，
，解得
，
，∴，
故选C.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了中线向量定理、向量相等的概念及应用，属于中档
题.
9.
设函数
满足,
当
时，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为函数
满足
，当
时，，所以
，故选A．
考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．
【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应
用，本题的解答中函数
满足
，当
时，，利用三角函数的诱导公
式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
10.已知F
1，F
2
是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F
1关于双曲线渐近线的对称点P满
足∠OPF
2＝∠POF
2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用对称求出点P的坐标，结合∠OPF
2＝∠POF
2
可知，利用两点间距离公式可求得离心率.
【详解】设
是
关于渐近线
的对称点，则有；
解得；
因为∠OPF
2＝∠POF
2
，所以
，；
化简可得，故选B.
【点睛】本题主要考查双曲线的性质.
离心率的求解一般是寻求之间的关系式.
11.
三棱锥
各顶点均在球
上，
为该球的直径，
，
，三棱锥的体积
为
，则球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由体积公式求出三棱锥的高，
可得
到平面，
由正弦定理可得三角形的外接圆的半径，由勾
股定理可得球半径，从而可得结果.
【详解】
如图，
，
三棱锥
的体积为，
所以，
解得三棱锥
的高为，
设
为三角形的外接圆的圆心，
连接，
则
平面，
因为为该球的直径，
所以 ，
连接，
由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为
，由勾股定理可得球半径
球
的表面积为，故选D.
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球
的半径，求外接球半径的常见方法有：①
若三条棱两垂直则用
（为三棱的长）；②若
面
（）
，则
（
为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几
何体可以直接找出球心和半径.
12.
锐角中，
为角所对的边，
点
为的重心，
若，
则的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
如图，连接
，延长交
于
，由于
为重心，故为中点，
∵
，，
∴
，由重心的性质得，
，即，由余弦定理得，
，，
∵
，
，
∴，
则
又因为为锐角三角形，则
应该满足
将
代入可得
则，由对
勾函数性质可得
的取值范围为，故选B.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
边长为
的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于，将这个结论推广到空间是：
