第二届全国大学生数学竞赛预赛试题解答

尹

~如<.

例、

泛橄学竞赛

仑

、

~吟怜。

第二届

全国

中学生

数学

冬令营

竞赛试题及

解答

中国科

学

技术大

学常庚哲合

为了

给第28届

国际数学竞赛作准备,19

87年元月12日至16日在北京大学举

行了

第二

届中`

学生数学冬

令营。

两个上

午的竟赛

是这一届

冬

令营最重要的活

动。

试题

如下:

第一天(`

987·

、

设n

为自然数。

求证

方程1。

1

3,

8:0

0一1

2:3

0)

2.

+1

一2

“一1=

0

有模

为1的复根的充分必

要条件是n十

2可

被6

整除。

二、

把边长为1

的正三

角形A

BC的各

边都n

等

分,

过各分点作平行于

具他两边的

直线,

将这三角形分成小三角

形。

各小三角形

顶点都

称为

结点。

在每一

结点放置了一

个实

数。

已知:

(i)A、

B、

C三

点上

放置的

数分别为a、

b、。

;

i(i)在每个由有公共

边的两个小三角形组

成的菱形中,两组

相

对

第二天(1

。87.

四、

在一

个面

积为1

的正三

角形内部,

任意放

五个点。

试证:

在此正三

角形内,一

定可以

作三个正三

角形盖

住这五

个点,

这三

个

正三

角形的各边

分别平行于

原三角形的

边,

并

且它们的面

积之

和不超过06

4。

五、

设A,AZ

A。

A`

是一

个四面

体,

S,、

S:、

53、

S`

分别是以A,、

AZ、

A。、

通`

为球心

的球,

它们两两

相切。

如果存在

淤狱

下

面给出这六

个题目

的解答,

供参考。

一、

把原方程改写

为

2.

(之

一

1)二

1。

在_

L式双方取模,

注

意到!川二

i时给出

!:

一l!二

1,

由此立

知。、

1、“二

三

点是顶点上放

置的数之

和相等。

试求:(1)放置最大

数的点与

放置最

小数的点之

间的最短

距离了

,

(2)所有结

点

上的数的总和S。

三、

某次体育比赛,

每两

名

选手都

进行

一

场比赛,

每场比赛一

定决出胜负。

通过比

赛

确定

优秀选手。

选

手A

被确定为优秀选手

的条件是:

对于

任何其他选手B,

或A胜

B;

或

存在

选手C,

C

胜B,

刁

胜C。

如果按上述规则确定

的优秀选手只

有一

名,

求

证这名选手胜所有其他的选手。

1.

1

4,

8:

00一1

2:

3

0)

户分一

点Q.

以

这点为

球心可

作一

个半径为r

的

球与S,、

52、

53、

S`

都相

切,还

可以

1

全国大学生数学竞赛预赛试题和答案（第一届~第九届）

第一届 2 3 4 5

6

第二届 7 8 9 10 11 12

13

第三届 14 15 16 17 18 19 20

21

第四届 22 23 24

25

第五届 26 27 28

29

第六届 30 31 32

33

第七届 34 35 36 37

38

第八届 39 40 41

42

第九届 43 44 45 46 47 48 49

1

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2024年全国高中数学联合竞赛

加试（A卷）参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可

参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一．（本题满分40分）给定正整数r．求最大的实数C，使得存在一个公比

为r的实数等比数列

1{}

nna

，满足

naC对所有正整数n成立．（x表示实数x

到与它最近整数的距离．）

解：情形1：r为奇数．

对任意实数x

，显然有1

2

x，故满足要求的C不超过1

2．

又取

{}

na的首项

11

2a，注意到对任意正整数n，均有1n

r为奇数，因此

1

1

22n

nr

a

．这意味着1

2

C满足要求．从而满足要求的C的最大值为1

2．

…………10分

情形2：r为偶数．

设*

2()rmmN．对任意实数，我们证明

1a与

2a中必有一数不超过

21m

m，从而

21m

C

m

．

事实上，设

1ak

，其中k是与

1a最近的整数（之一），且1

0

2．

注意到，对任意实数x及任意整数k，均有xkx，以及xx．

若0

21m

m



，则

1

21m

ak

m

．

若1

212m

m

，则2

2

2

21m

m

m

m

，即

21m

mrm

m

，此时

21

21m

aarkrrr

m

． …………30分

另一方面，取

1

21m

a

m

，则对任意正整数n，有1

(2)

21n

nm

amm

，由二

项式展开可知11

(211)(1)

2121nn

nmm

amK

mm

，其中K为整数，故

21

nm

a

m

．这意味着

21m

C

m满足要求．

从而满足要求的C的最大值为

212(1)mr

mr

． 2

综上，当r为奇数时，所求C

的最大值为1

2；当r为偶数时，所求C的最大

值为

2(1)r

r． …………40分

1 浦江学院高等数学竟赛测试题二

（一元函数微积分部分）

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1、设函数xtatxfsin02d)sin()(，43)(xxxg，且当0x时，)(xf与)(xg为等价无穷小，则a ______。

2、设函数xxy2在0xx点处取得极小值，则0x______。

3、12)1(xdxx__________________________ 。

4、 设函数)(xyy由方程1)cos(2exyeyx所确定, 则曲线)(xyy在点)1,0(处的法线方程为____________________________________。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。）

1、设函数)(xf连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）

（A）xttftft0d)]()([ （B）xttftft0d)]()([

（C）xttf02d)( （D）xttf02d)]([

2、设函数)(xf具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）

（A）若)(xf只有一个零点，则)(xf必至少有两个零点

（B）若)(xf至少有一个零点，则)(xf必至少有两个零点

（C）若)(xf没有零点，则)(xf至少有一个零点

（D）若)(xf没有零点，则)(xf至多有一个零点

3、设函数)(xf在区间),0(内具有二阶导数，满足0)0(f，0)(xf，又ba0，则当bxa时恒有（ ）

（A）)()(axfxaf （B）)()(bxfxbf

（C）)()(bbfxxf （D）)()(aafxxf

4、设401401,tan,tandxxxIdxxxI则（ ）