四阶微分方程的解

西安工程科技学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉ’ａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　第２１卷第５期（总８７期）　２００７年１Ｏ月　Ｖｏ１．２１，Ｎｏ．５（Ｓｕｍ　Ｎｏ．８７）　

文章编号：１６７１—８５０Ｘ（２００７）０５－０６９２—０４　

四阶变系数线性微分方程的不变量解法　

孙法国，胡新利　（西安工程大学理学院，陕西西安７１００４８）　

摘要：通过研究四阶变系数线性微分方程的不变量，得到了四阶变系数线性微分方程的一些可积　类型．　关键词：变系数；线性微分方程；不变量　中图分类号：Ｏ　１７５．１　文献标识码：Ａ　

文献［１］研究了二阶变系数线性微分方程的不变量及其应用，文献［２］研究了三阶变系数线性微分方　程的不变量及方程的解．目前，关于一般的四阶变系数线性微分方程的不变量的研究结果不多．本文研究　了四阶变系数线性微分方程的不变量及其在方程求解中的应用．　引理ｌ四阶变系数线性微分方程　Ｙ“　＋　（　）　＋ｑ（　）　＋ｒ（ｘ）ｙ　＋ｓ（ｘ）ｙ＝，（　）　（１　）　经变换　ｒ　Ｙ＝ｚｅｘｐｆ　ｌ　９（ｘ）ｄｘ１　（其中　（　）为待定的函数）　（２）　化为四阶变系数线性微分方程　，　“’＋Ａ（　）　＋Ｂ（　）　＋Ｃ（ｘ）ｚ　＋Ｄ（ｘ）ｚ—ｆ（ｘ）ｅｘｐ（一Ｉ　９（ｘ）ｄｘ１　（３）　、　√　，　的充要条件为　Ａ（ｚ）一４９（ｘ）＋　（　），　（４）　Ｂ（　）＝６　（ｚ）＋６９　（　）＋３９（ｘ）ｐ（ｘ）＋ｑ（　），　（５）　ｃ（　）一１２９（ｘ）９　（　）＋４　（　）＋４９３（　）＋３ｐ（ｘ）９　（　）＋３ｐ（ｘ）９ｚ（　）＋２ｑ（ｘ）９（ｘ）＋ｒ（　），　（６）　Ｄ（　）＝４　（ｚ）　（　）＋　（　）＋３（９　（　））。＋６９。（　）　（　）＋　（　）＋　ｐ（　）［　（　）＋３９（ｘ）９　（　）＋　（　）］＋ｑ（ｘ）［　（　）＋　（　）］＋ｒ（　）　（　）＋ｓ（　）．　（７）　证明　将（２）式代人（１）式，并与（３）式比较系数可得（４）～（７）式．反之，若（４）～（７）式成立，则通　‘　ｒ　过（２）式的逆变换　—ｙｅｘｐｆ—ｌ　（　）ｄｘ１可将（３）化为（１）．　、　√　，　由（４）式得　（　）＝（１／４）［Ａ（　）一夕（　）］．　（８）　将（８）式代入（５）式并整理，得　

四阶常系数齐次微分方程通解方程

四阶常系数齐次微分方程通解方程

引言

四阶常系数齐次微分方程是微积分课程中的重要内容之一，它在工程、物理、数学等多个领域都有广泛的应用。本文将从介绍四阶常系数齐次微分方程的基本概念开始，逐步深入探讨其通解方程及其应用。

一、四阶常系数齐次微分方程基本概念

在微积分领域中，四阶常系数齐次微分方程可以用以下一般形式表示：

\[a_4y^{(4)}+a_3y^{(3)}+a_2y^{(2)}+a_1y'+a_0y=0\]

其中，\(a_4, a_3, a_2, a_1, a_0\)为常数，\(y^{(4)}, y^{(3)}, y^{(2)},

y', y\)分别表示函数y的四阶导数、三阶导数、二阶导数、一阶导数和函数自身。

二、通解方程的求解

针对上述的四阶常系数齐次微分方程，我们可以通过特征方程的求解来得到其通解方程。特征方程的一般形式为：

\[a_4r^4+a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0=0\]

通过解特征方程得到的根的个数和情况，我们可以分别得到不同的通解形式。具体来说，如果特征方程有四个不同的实根\(r_1, r_2, r_3,

r_4\)，那么通解方程为：

\[y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}\]

其中\(C_1, C_2, C_3, C_4\)为待定系数。如果特征方程有两对共轭复根\(α±βi, γ±δi\)，那么通解方程为：

\[y=e^{αx}(C_1cosβx+C_2sinβx)+e^{γx}(C_3cosδx+C_4sinδx)\]

通过以上的通解方程形式，我们可以看到四阶常系数齐次微分方程的通解具有很高的灵活性和多样性，这也为其在实际问题中的应用提供了方便。

三、四阶常系数齐次微分方程的应用举例

四阶常系数齐次微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。振动问题中的自由振动系统可以建立四阶常系数齐次微分方程模型。同样地，在控制系统领域中，某些阻尼系统的数学模型也可以用四阶常系数齐次微分方程表示。在材料力学和结构工程中，一些梁和板的挠曲问题也可以通过四阶常系数齐次微分方程来描述。

第２２卷第２期　２００２年６月　数学理论与应用　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ　ＴＨＥｏＲＹ　ＡＮＤ　ＡＰＰＬＩＣＡＴＩｏＮＳ　ＶｂＩ．２２　Ｎｏ．２　Ｊｕｎｅ　２００２　

一类四阶非线性微分方程的周期解　

刘俊　（曲靖师范学院数学系，曲靖，６５５０００）　

沈艳平　（昆明大学经济系，昆明，６５０１１８）　

李正彪　（曲靖师范学院数学系，曲靖，６５５０００）　

摘要　本文运用Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数方法，研究了一类四阶非线性微分方程的周期解，得到了存在唯一渐近稳定　的周期解的充分条件．　关键词Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数　周期解　渐近稳定性　

Ｔｈｅ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　

ｆｏｒ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｆｏｕｒ　Ｏｒｄｅｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

Ｌｉｕ　Ｊｕｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｕｊｉｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｑｕｊｉｎｇ，６５５ＯＯＯ）　Ｓｈｅｎｇ　Ｙａｎｐｉｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　Ｕｎｏｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ，６５０１　１　８）　Ｌｉ　Ｚｈｅｎｇｂｉａｏ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｕｊｍｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｑｕｉｉｎｇ，６５５０００）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｆｏｕｒ　ｏｒｄｅｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｌｉａｐｕｎｏｖ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｗｈｉｃｈ　ｇｕａｒａｎｔｅｅ　ｔｈｅ　ｅｘ．　ｉｓｔｅｎｃｅ，ｕｎｉｇｕｅｎｅｓｓ　ａｎｄ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　Ｌｉａｐｕｎｏｖ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｔｙ．　

四阶常系数齐次线性微分方程

\[a_4y^{(4)}+a_3y^{(3)}+a_2y''+a_1y'+a_0y=0\]

的微分方程，其中$a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$为常数，$y^{(4)}$表示$y$的四阶导数，$y''$表示$y$的二阶导数，$y'$表示$y$的一阶导数。在本文中，我们将详细研究这种类型的微分方程及其解的性质。

一、特征方程和特征根

对于四阶常系数线性齐次微分方程，我们可以构造其特征方程。将$y=e^{rx}$代入方程，可得

\[a_4r^4+a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0=0\]

这是一个关于$r$的代数方程，称为特征方程。通过求解特征方程，可以得到其根$r_1,r_2,r_3,r_4$，这些根被称为特征根。

二、特解的形式

根据特征根的不同情况，我们可以分为以下几种情况：

1.当特征根都是不相同的实数$r_1,r_2,r_3,r_4$时，方程的通解可表示为

\[y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}\]

其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。

2. 当有重根$r_1=r_2=r_3\neq r_4$时，方程的通解可表示为

\[y(x)=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{r_1x}+C_4e^{r_4x}\]

其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。 3. 当有一对共轭复根$r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha -

\beta i$和两个不相同实根$r_3, r_4$时，方程的通解可表示为

\[y(x) = e^{\alpha x}[(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))

+ C_3e^{r_3x} + C_4e^{r_4x}]\]

其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。