2020-2021学年广东省深圳实验学校高二(上)期末数学试卷
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2020-2021学年广东省深圳实验学校高二（上）期末数学试卷
1.（单选题，5分）“ab＜0”是方程ax2+by2=c表示双曲线的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（单选题，5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S4=20，a5=10，则a16=（ ）
A.-32
B.12
C.16
D.32
3.（单选题，5分）函数f（x）=-lnx+2x2的递增区间是（ ）
A. (−12，0) 和 (12，+∞)
B. (−12，0)∪(12，+∞)
C. (−12，0)
D. (12，+∞)
4.（单选题，5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A. √2
B. √3
C. √3+12
D. √5+12
5.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2+xsinx，x∈（- 𝜋2 ， 𝜋2 ），则下列式子成立的是（ ）
A. 𝑓(−1)＜𝑓(12)＜𝑓(32)
B. 𝑓(12)＜𝑓(−1)＜𝑓(32)
C. 𝑓(12)＜𝑓(32)＜𝑓(−1)
D. 𝑓(32)＜𝑓(−1)＜𝑓(12)
6.（单选题，5分）已知双曲线 𝑥2𝑎2 - 𝑦2𝑏2 =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 √3 ，则p=（ ） A.1
B. 32
C.2
D.3
7.（单选题，5分）已知函数f（x）=x+ 𝑎2𝑥 ．若曲线y=f（x）存在两条过（1，0）点的切线，则a的取值范围是（ ）
A.（-∞，1）∪（2，+∞）
B.（-∞，-1）∪（2，+∞）
C.（-∞，0）∪（2，+∞）
D.（-∞，-2）∪（0，+∞）
8.（单选题，5分）已知函数 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥+𝑘(𝑙𝑛𝑥−𝑥) ，若x=1是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A.（-∞，e]
B.（-∞，e）
C.（-e，+∞）
D.[-e，+∞）
9.（多选题，5分）与直线x+y- √2 =0仅有一个公共点的曲线是（ ）
A.x2+y2=1
B. 𝑥22+𝑦2=1
C.x2-y2=1
D.y2=x
10.（多选题，5分）对于函数f（x）= 𝑙𝑛𝑥𝑥 ，下列说法正确的有（ ）
A.f（x）在x=e处取得极大值 1𝑒
B.f（x）有两个不同的零点
C.f（2）＜f（π）＜f（3）
D.若f（x）＜k- 1𝑥 在（0，+∞）上恒成立，则k＞1
11.（多选题，5分）已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A.|AB|的最小值为2
B.线段AB为直径的圆与直线x=-1相切
C.x1x2为定值 D.若M（-1，0），则∠AMF=∠BMF
12.（多选题，5分）已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn．且满足an+an+1=2n，bn•bn+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A.0＜a1＜1
B.1＜b1＜ √2
C.S2n＜T2n
D.S2n≥T2n
13.（填空题，5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=___ ．
14.（填空题，5分）数列{an}满足a1= 12 ，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的通项公式为___ ．
15.（填空题，5分）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ'构成，现一光线从左焦点F1发出，依次Γ'与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ'去掉，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒；若t2=4t1，则Γ与Γ'的离心率之比为___ ．
16.（填空题，5分）设a为实数，函数f（x）=x3-ax2+（a2-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，则a的取值范围是___ ．
17.（问答题，10分）已知函数f（x）=x3+ 12𝑥2 -2x．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）在[-2，1]上的最大值与最小值．
18.（问答题，12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{ 𝑎𝑛2𝑛−1 }的前n项和Sn．
19.（问答题，12分）如图，已知抛物线C：y= 12𝑥2 ，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
（1）证明：OA⊥OB；
（2）设抛物线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，证明：l1与l2的交点M在一定直线上．
20.（问答题，12分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着 𝐴𝐸̂ ， 𝐹𝐵̂ 修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为 𝐴𝐷̂ ， 𝐵𝐶̂ 上的动点，EF || AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米．
（1）若EF=80米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？
（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．
21.（问答题，12分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（- √3 ，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1， 12 ）． （1）求该椭圆的标准方程；
（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．
22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ 12𝑎𝑥2 -（a+1）x．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）- 12𝑎𝑥2 有两个不同的零点x1，x2．
① 求实数a的取值范围；
② 证明：x1•x2＞e2．
