运筹学与最优化方法习题集

案例： 连续投资的优化问题

一、题目：

某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：

项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%。

项目B，第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%，但规定最大投资额不超过40万元。

项目C，第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不超过30万元。

项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。

该企业5年内可用于投资的资金总额为100万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？

二、建立上述问题的数学模型

设X1A,XiB , XiC, XiD（i=1.2.3.4.5）为第i年初给项目A,B,C,D的投资额，它们都是待定的未知量。由于项目D每年年初均可投资，年末收回本利，固每年的投资额应该等于手中拥有的资金额。

建立该问题的线性规划模型如下：

Max Z=1.15X4A+1.40X2C+1.25X3B+1.06X5D

X1A+X1D=1000000 (1)

X2A+X2C+X2D=1.06X1D (2)

X3A+X3B+X3D=1.15X1A+1.06X2D (3)

s.t. X4A+X4D=1.15X2A+1.06X3D (4)

X5D=1.15X3A+1.06X4D (5)

X3B<=400000 (6)

X2C<=300000 (7)

1 华南农业大学期末考试试卷（A卷答案）

2004学年第1学期 考试科目：运筹学与最优化方法 评卷人：

1、 （25分）考虑函数 212212)1()(100)(xxxxf

（1） 求出)(xf的一阶导数（梯度）)(xf和二阶导数（Hesse矩阵）)(2xf。

（2） 用二阶导数（Hesse矩阵）)(2xf的相关定理验证Tx)1,1(*为)(xf的一个极小点。

（3） 求出)(xf在点Tx)1,1()0(处的最速下降方向和牛顿方向。

解：（1）)(xf=TTxxxxxxxfxf)(200)1(2)(4002121212121 。。。。。。5分

)(2xf=2004004002120040011212222122212212xxxxxfxxfxxfxf 。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）)(xf=TxTxxxxxx]0,0[)(200)1(2)(400*21212121

)(*2xf=20040040080220040040021200400*11212xxxxx 。。。。。。。。。。。。。。。。3分

802>0；0)(*2xf，故)(*2xf正定，结论成立。 。。。。。。。。。。。。。。。。2分

（3）Txxfd]0,2[)()0( 。。。。。。。。。。。。。。。。5分

)0()()]([12xxfxfd 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

2、 （30分）考虑最优化问题

11}min{23222132132xxxxxxxx

第1章 最优化问题的基本概念

§1.1最优化的概念

最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。

§1.2最优化问题的数学模型

1.最优化问题的一般形式

qvxxxhpuxxxgtsxxxfxxxfindnvnunn,,2,10),,,(,,2,10),,,(..),,,(min,,,21212121

2.最优化问题的向量表达式

0)(0)(..)(minXHXGtsXfXfind

式中：TnxxxX],,,[21

TpXgXgXgXG)](,),(),([)(21

TpXhXhXhXH)](,),(),([)(21

3.优化模型的三要素

设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！

设计空间：由设计变量所确定的空间。设计空间中的每一个点都代表一个设计方案。

§1.3优化问题的分类

按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法：

1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题

2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题

3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题

4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题

第2章 最优化问题的数学基础

§2.1 n元函数的可微性与梯度 一、可微与梯度的定义

1.可微的定义

设)(Xf是定义在n维空间nR的子集D上的n元实值函数，且DX0。若存在n维向量L，对于任意n维向量P，都有

0)()(lim000PPLXfPXfTP

则称)(Xf在0X处可微。

2.梯度

设有函数)(XF，TnxxxX],,,[21，在其定义域内连续可导。我们把)(XF在定义域内某点X处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为)(XF在点X处的梯度。记为：

TnkxFxFxFXF,,,)(21

第八章 约束最优化方法

无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束最优化方法。由于约束最优化问题的复杂性，无论是在理论方面的研究，还是实际中的应用都有很大的难度。目前关于一般的约束最优化问题还没有一种普遍有效的算法。本书重点介绍几种常用的算法，力求使读者对这类问题的求解思路有一个了解。

8.1 约束优化方法概述

一、约束优化问题的类型

根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下：

1）等式约束优化问题

考虑问题

l1,2,...,j xh tsxf

j0)(..)(min

其中，l1,2,...,jxh xfj),(),(为RRn上的函数。记为)(fh问题。

2）不等式约束优化问题

考虑问题

m1,2,...,i xg tsxf

i0)(..)(min

其中，m1,2,...,i xg xfi),(),(为RRn上的函数。记为)(fg问题。

3）一般约束优化问题

l,1,2,j xhm,1,2,i xg tsxf

jiLL00..min

其中， l1,2,...,jmixhxg xfji;,2,1),(),(),(L为RRn上的函数。记为)(fgh问题。

二、约束优化方法的分类

约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。

1）直接法 只能求解不等式约束优化问题的最优解。其根本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目标函数的最优解。如：约束坐标轮换法、复合形法等。

其基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足mixgi,...,2,1,0)(