(完整)九年级数学上册第一章综合练习题及答案(2)

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -3.14B. 0C. √2D. 1/22. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. 0C. 2D. -33. 如果a和b是相反数，那么（）A. a+b=0B. a-b=0C. ab=0D. a/b=04. 下列各数中，不是正数的是（）A. 0.001B. -1/3C. 3.5D. 2.7185. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 0.333...B. 1/2C. √9D. 2.5二、填空题（每题4分，共20分）6. 有理数-5的相反数是______。

7. 有理数2/3的倒数是______。

8. 0的绝对值是______。

9. 如果|a|=5，那么a可以是______或______。

10. 有理数-7/4的绝对值是______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）计算下列各式的值：（1）-3 + 4 - 2（2）2/5 - 1/10 + 3/2（3）-7 - (-2) + 312. （10分）判断下列各数是否为有理数，并说明理由：（1）π（2）√-1（3）0.1010010001...13. （10分）已知a和b是相反数，且|a|=5，求a和b的值。

四、应用题（每题10分，共20分）14. （10分）小明有5元，小红有8元，他们共同买了一本书，共花费了13元，求这本书的价格。

15. （10分）一个数的3倍与这个数的4倍的和是60，求这个数。

答案：一、选择题1. C2. B3. A4. B5. C二、填空题6. 57. 2/38. 09. -5，510. 7/4三、解答题11.（1）-3 + 4 - 2 = -1（2）2/5 - 1/10 + 3/2 = 1 3/10（3）-7 - (-2) + 3 = -212.（1）π不是有理数，因为它不能表示为两个整数的比。

（2）√-1不是有理数，因为它不能表示为两个整数的比。

慧学云教育九 年 级 数 学 试 题（图形与证明二）一．选择题1、顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ )A 平行四边形B 菱形C 矩形D 正方形2、 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中正确的是（ ） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．绿花、黄花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、紫花种植面积一定相等3．如图，直线1l ∥2l ，若155,265∠=︒∠=︒，则3∠A 50︒B 55︒C 60︒D 65︒4、若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为（ A ．50° B ．100° C ．80° D ．65°5、如图1，□ABCD 的周长是28㎝，△ABC 的周长是22㎝，则AC 的长为 （ ）A ．14㎝B ．12㎝C ．10㎝D ．8㎝1 26、下列命题中，真命题是 （ ）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形7、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长为（ ） A ．20 B ．30 C ．40 D ．108、如图2，在菱形ABCD 中，不一定成立的是（ ） A ．四边形ABCD 是平行四边形 B ．AC ⊥BDDCB AＡ Ｆ Ｃ ＤＢ Ｅ3C ．△ABD 是等边三角形 D ．∠CAB ＝∠CAD9、如图3，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是 （ ） Ａ．四边形AEDF 是平行四边形Ｂ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 Ｃ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是正方形10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形， 设△AFC 的面积为S ，则 （ ） A ．S=2 B ．S=4 C ．S=2.4 D ．S 与BE 长度有关二．填空题11．已知平行四边形ABCD 中,AB =14cm,BC =16cm,则此平行四边形的周长为 _____cm.12．矩形的两条对角线的夹角为600,较短的边长为12cm,则对角线长为 cm.13．如下图（1），在平行四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =o ∠，则BCE =∠14．在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，请补充一个条件： ，使得四边形ABCD 是平行四边形。

苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2、不解方程，判别方程2x2﹣3 x=3的根的情况（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个实数根 D.无实数根3、关于x的一元二次方程x2+2019x+m=0与x2+mx+2019=0有且只有一个公共根，m的值为（）A.2019B.-2019C.2020D.-20204、关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )A.k≥0B.k≤0C.k<0且k≠-1D.k≤0且k≠-15、下列方程①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x ﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，其中一元二次方程共有（）个．A.1B.2C.3D.46、方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是( )A.(x-6) 2=41B.(x-3) 2=4C.(x-3) 2=14D.(x-6) 2=367、一元二次方程根的情况是A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.不能确定8、若方程2x2+kx-6=0的一个根是-3，则另一个根是（）A.1B.－2C.3D.－39、王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（）．A.5%B.20%C.15%D.10%10、关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A.k＜1B.k＞1C.k≤1D.k≥111、一元二次方程x2﹣1=0的根为（）A.x=1B.x=﹣1C.x1=1，x2=﹣1 D.x1=0，x2=112、若关于的方程没有实数根，则的取值范围是A. B. C. D.13、关于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A. 且B.C. 且D.14、已知x=1是一元二次方程x2+bx+1=0的解，则b的值为（）A.0B.1C.﹣2D.215、设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A.﹣4B.8C.6D.0二、填空题(共10题，共计30分)16、方程x2﹣x=0的解是________．17、关于x的一元二次方程（m+3）x2+4x+m2﹣9＝0有一个解为0，则m＝________．18、某工厂三月份的利润为16万元，五月份的利润为25万元，则平均每月增长的百分率为________ .19、方程(m＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则m的范围为________．20、关于x的方程x2﹣kx+2＝0有两个实数根，一个根是1，另一个根为________．21、某公司的利润为160万元，到了的利润达到了250万元．设平均每年利润增长的百分率为x，则可列方程为________．22、已知代数式4x2－mx＋1可变为(2x－n)2，则mn＝________．23、若方程 x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则 m＝________24、用配方法解方程时，将方程化为的形式，则m=________，n=________．25、把方程配方后得，则m=________，k=________.三、解答题(共5题，共计25分)26、关于x的方程（m-1）x2-4x-3-m=0．求证：无论m取何值时，方程总有实数根．27、下面是小明解一元二次方程（x-5)2=3(x-5)的过程：解：方程两边都除以（x-5)，得x-5=3，解得x=8．小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程．28、某企业盈利1500万元，盈利2160万元．求该企业每年盈利的年平均增长率．若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计盈利多少万元？29、求证：不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0一定有两个不相等的实数根.30、某公司实行年工资制，职工的年工资由基础工资、住房补贴和医疗费三项组成，具体规定如下：（1）设基础工资每年的增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基础工资为多少万元.（2）某人在公司工作了3年，他算了一下这3年拿到的住房补贴和医疗费正好是这3年基础工资总额的18%，问基础工资每年的增长率是多少？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、D4、D5、B6、C7、C8、A9、D10、A11、C12、B13、B14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中，∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．2AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3，∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°，∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中，∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。

AB C D北师大版数学九年级上册第一章中考练习题1、如图1，□ABCD中，下列说法一定准确的是（）A、AC=BDB、AC⊥BDC、AB=CDD、AB=BC2．如图2，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45°B．15°C．10°D．125°3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90˚，D，E，F分别是AB，AC，AD的中点，若AB＝8，则EF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．2图1 图2 图3 4．已知，如图4，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，那么AE＝．5．分解因式：mx2﹣2mx+m= ．6．如图5，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是．图4 图57.如图所示，已知四边形ABCD 、ADEF 都是菱形，为锐角.（1）求证：;（2）若BF=BC,求的度数。

8．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD=75°，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF ，求∠DBF 的度数．BAD FAD BAD ∠=∠∠、AD BF ⊥ADC ∠9．已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E，且DE＝AD，AF⊥DE于F．求证：AB＝AF．10．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B 落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．九年级上册第一章中考练习题答案1.C2．【分析】由等边三角形的性质可得∠DAE＝60°，进而可得∠BAE＝150°，又因为AB＝AE，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB的大小，进而可求出∠BED 的度数．【解答】解：∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，AD＝AB∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB∴∠AEB＝30°÷2＝15°，∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，故选：A．3．【分析】根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90˚，D是AB的中点，∴CD＝AB＝×8＝4，∵E，F分别是AC，AD的中点，∴EF＝CD＝2，故选：B．4.【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝C＝∠D＝90°，∵将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，∴AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，∴BF＝＝＝6，∴CF＝4，∵EF＝DE＝8﹣CE，∴（8﹣CE）2＝42+CE2，∴CE＝3，∴EF＝5，∴AE＝＝＝5，故答案为：5．5．分解因式：mx2﹣2mx+m= m（x﹣1）2．【解答】解：mx2﹣2mx+m=m（x2﹣2x+1）=m（x﹣1）2．故答案为：m（x﹣1）2．6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是．【解答】解：∵矩形纸片ABCD折叠，点D与点B重合，点C落在C'处，∴BE=ED，BC′=CD，C′F=CF，∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD，△BC′F的周长=BF+C′F+BC′=BE+CF+CD=BC+CD，∴△ABE和△BC′F的周长之和=AB+AD+BC+CD=矩形ABCD的周长，∵AB=1，BC=2，∴△ABE和△BC′F的周长之和=2×（1+2）=2×3=6．故答案为：6．7.（1）如图，∵ABCD、ADEF是菱形∴AB=AD=AF又∵∠BAD=∠FAD由等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BF（2）∵BF=BC∴BF=AB=AF∵△ABF是等比三角形∴∠BAF=60°又∵∠BAD=∠FAD∴∠BAD=30°∴∠ADC=180°-30°=150°8．（6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（3）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；9．【分析】根据已知及矩形的性质利用AAS判定△ADF≌△DEC，从而得到AF＝DC，因为DC＝AB，所以AF＝AB．【解答】证明：∵AF⊥DE．∴∠AFE＝90°．∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．∴∠ADF＝∠DEC．∴∠AFE＝∠C＝90°．∵AD＝DE．∴△ADF≌△DEC．∴AF＝DC．∵DC＝AB．∴AF＝AB．【点评】此题考查学生对矩形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分线线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．10．（7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．。

北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的四边形是菱形D. 对角线垂直的平行四边形是菱形2.在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )A. OA ＝OC ，OB ＝ODB. AD ∥BC ，AB ∥DCC. AB ＝DC ，AD ＝BCD. AB ∥DC ，AD ＝BC3.若顺次连接四边形ABCD 四边中点而得的图形是矩形，则四边形ABCD 一定是( )A. 矩形B. 菱形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形4.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠ABD =30°，则菱形ABCD 的面积是（ ）A. 18B. 18√3C. 36D. 36√35.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是BC 边的中点，分别以B 、C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ；②∠A=∠EBA ；③EB 平分∠AED ；④ED=AB 中，一定正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF 的长为（ ）12．5 D. 5第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)图中有哪几对全等三角形，请一一列举；(2)求证：ED∥BF.8.如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点．求证：△ADF≌△BAE.9.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点M，N分别是对角线BD，AC的中点．求证：直线MN是线段AC的垂直平分线．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且△ADO为等边三角形，过点A 作AE⊥BD于点E.(1)求∠ABD的度数；(2)若BD＝10，求AE的长．11.如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)12.如图所示,在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?并证明你的结论.13.如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连接AD，AF.(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；(3)当△ABC满足什么条件时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在？请说明理由．14.如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2√2，√10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小．15.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D 重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形.（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．三、填空题AC、BD相交于点0，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是（ )．（A)5（B）5（C）5 (D)1017.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝1(BC－AD)，⑤四边2形EFGH是菱形．其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．418.已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为____________cm2．19.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．20.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF等于_______°.21.（3分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是．22.（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．23.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，若过点A的对角线长为20 cm，则每个菱形的面积为____________cm2.参考答案1.C【解析】1.试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选C．2.D【解析】2.根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．A．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；B．∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；C．∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；D．∵AB∥DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形．故选D．3.D【解析】3.由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，即对角线互相垂直，故选D．4.B【解析】4.试题分析：过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=3√3，∴菱形ABCD的面积是6×3√3=18√3，故选B．5.B．【解析】5.试题根据作图过程，利用线段垂直平分线的性质对各选项进行判断：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确.∵∠ABC=90°，∴PD∥AB.∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC.∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确.∴正确的有①②④.故选B．6.A【解析】6.试题解析：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9-BF）2，解得，BF=4，故选A．7.(1)见解析；(2)证明见解析.【解析】7.（1）根据菱形的对称性，写出AC左右两边对应的三角形即可；（2）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠DCA，然后求出AF=CE，利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BFA=∠DEC，然后利用内错角相等两直线平行即可证明．(1)图中有三对全等三角形：①△ABC≌△CDA，②△ABF≌△CDE，③△ADE≌△CBF；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DC A．∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE.在△ABF和△CDE中，{AB=CD∠BAC=∠DCAAF=CE，1 2∴△ABF ≌△CDE (S A S)，∴∠BF A ＝∠DEC ，∴ED ∥BF .8.证明见解析.【解析】8.根据正方形的四条边都相等可得AB=AD ，根据同角的余角相等求出∠1=∠4，然后利用“角角边”证明△ABE 和△DAF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠1＋∠2＝90°，又∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，又∵DA ＝AB ，∴△ADF ≌△BAE .(A S A ) .9.证明见解析.【解析】9.连接AM ，CM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=12BD ，CM=12BD ，那么AM=CM ，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明MN ⊥AC ．如图，连接AM ，CM ，∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，点M 是BD 的中点，∴AM ＝12BD ，CM ＝12BD ，∴AM ＝CM ，又∵点N 是AC 的中点，∴直线MN 是线段AC 的垂直平分线.10.(1)∠ABD ＝30°；(2)AE ＝5√32.【解析】10.（1）根据矩形性质得出∠DAB=90°，求出∠ADB=60°，代入∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB 求出即可；（2）求出AD ，根据等腰三角形性质得出DE=EO ，求出DE ，根据勾股定理求出即可．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∵△ADO 为等边三角形，∴∠ADB ＝60°，∴∠ABD ＝180°－∠DAB －∠ADB ＝30°；(2)∵BD ＝10，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AD ＝12BD ＝5，∵△ADO 为等边三角形，∴AD ＝AO ＝DO ＝5，∵AE ⊥DO ，∴DE ＝EO ＝12DO ＝2.5，在Rt △AED 中，由勾股定理得AE ＝√AD 2−DE 2=√52−2.52=5√32. 11.（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．【解析】11.试题（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论； （2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.（1）∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．∴DE ∥BC ，DE ＝BC ．同理，GF ∥BC ，GF ＝BC ． ∴DE ∥GF ，DE ＝GF ．∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．12.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AC 和BD 交于点O∴AB ∥CD; OB=OD∴∠OEB=∠OFD∵∠BOE=∠DOF∴△BOE ≌△DOF(2)解：当EF 与AC 垂直的时候四边形AECF 是菱形。

第一章单元综合测试一、单选题1.已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是（ ） A .OA OC =，OB OD =B .当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形C .当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D .当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（ ）A .2B .52C .3D .4 3.如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 单位中点，过点E 作EF BD ⊥于F ，EG AC ⊥与G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A .14SB .18SC .112S D .116S 4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点.若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A .3B .4C .5D .65.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）A .310B .13C .25D .496.如图，正方形ABCD 的边长8AB =，E 为平面内一动点，且4AE =，F 为CD 上一点，2CF =，连接EF ，ED ，则2EF ED +的最小值为（ ）A .B .C .12D .10二、填空题7.如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=________.8.如图，在矩形ABCD 中，E ,F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N .已知4AB =，6BC =，则MN 的长为________.9.如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，则CQP ∠=________.10.如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE AB =，则BEA ∠的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的点，过点E 作EF BD ⊥于F .（1）尺规作图：在图中求作点E ，使得EF EC =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接FC ，求BCF ∠的度数.四、综合题12.如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ⊥，分别交AB ，DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若32OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.13.如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF .（1）求证：A BDE F E △≌△；（2）求证：四边形ADCF 为矩形.14.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥于E ，延长CB 到点F ，使BF CE =，连接AF ，OF .（1）求证：四边形AFED 是矩形；（2）若7AD =，2BE =，45ABF ∠=︒，试求OF 的长.15.如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且EBF △是等腰直角三角形，其中90EBF ∠=︒，连接CE 、CF（1）求证：ABF CBE △≌△；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF .（1）求证：HEA CGF ∠∠=；（2）当AH DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形.第一章单元综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，OA OC =∴，OB OD =，故A 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，∵四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形，故C 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥， ∵四边形ABCD 是正方形.故D 正确.故答案为：B . 2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6BD =，142CO AC ==∴，132OD BD ==，AC BD ⊥，5DC =∴，90EOC DOE ∠+∠=︒，90DCO ODC ∠+∠=︒，OE CE =∵，EOC ECO ∠=∠∴，DOE ODC ∠=∠∴，DE OE =∴，1522OE CD ==∴故答案为：B . 3.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥，12S AC BD =⨯， EF BD ⊥∵于F ，EG AC ⊥于G ，∴四边形EFOG 是矩形，EF OC ∥，EG OB ∥，∵点E 是线段BC 的中点，EF ∴、EG 都是OBC △的中位线，1124EF OC AC ==∴，1124EG OB BD ==，∴矩形EFOG 的面积11111=44828EF EG AC BD AC BD S ⎛⎫=⨯=⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭；答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解方程，变形后的结果正确的是（）．A. B. C. D.2、若是关于x的一元二次方程，则a的值是（）A.0B.2C.-2D.±23、下列方程中有两个相等实数根的是（）A.2x 2+4x+35=0B.x 2+1=2xC.（x﹣1）2=﹣1D.5x 2+4x=14、一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）A.－1B.2C.1和2D.－1和25、下列方程一定是一元二次方程的是（）A.x 2﹣1＝0B.x+y＝1C.D.6、一元二次方程的实数根是（）A.0或1B.0C.1D.±17、关于的方程的两根的平方和是5，则的值是( )A.-1或5B.1C.5D.-18、关于x的一元二次方程有一个根是，则A.1B.-1C.±1D.09、若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＞B.k≥C.k＞且k≠1D.k≥ 且k≠110、一元二次方程化成一般形式是（）A. B. C. D.11、下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A. +x＝3B.x 2+2x﹣3＝0C.4x+3＝xD.x 2+x+1＝x 2﹣2x12、方程（x﹣1）（x+2）＝0的两根分别为（）A.x1＝﹣1，x2＝2 B.x1＝1，x2＝2C.x1＝﹣1，x2＝﹣2 D.x1＝1，x2＝﹣213、用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（）A.（x+3）2=﹣4B.（x﹣3）2=4C.（x+3）2=5D.（x+3）2=±14、已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+=0的根的情况是( )．A.没有实数根B.有两个不相等的正实数根C.有两个不相等的负实数根D.有两个异号实数根15、一元二次方程x2-5x-6=0的根是（）A.x1=1，x2=6 B.x1=2，x2=3 C.x1=1，x2=-6 D.x1=-1，x2=6二、填空题(共10题，共计30分)16、在平面直角坐标系中，如果存在一点P（a，b），满足ab ＝－1，那么称点P为“负倒数点”，则函数的图象上负倒数点的个数为________个.17、把方程（x﹣1）（x﹣2）=4化成一般形式是________.18、一元二次方程的两个根为,且则k=________。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册阶段性（第1—4章）综合练习题（附答案）一、选择题（共8小题，计24分）1．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx＝0的根，则下列式子成立的是（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a+b＝1D．a﹣b＝12．下列说法正确的是（）A．菱形不是轴对称图形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的菱形是正方形D．正方形有2条对称轴3．已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB＝2，则BC＝（）A．﹣1B．（+1）C．3﹣D．（﹣1）4．将一元二次方程x2﹣6x+7＝0化成（x+a）2＝b的形式，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝7B．（x﹣3）2＝9C．（x﹣6）2＝2D．（x﹣3）2＝2 5．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．以B为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交AB、BC于点F、G，以D为圆心，以相同的半径画弧，交AD于点M，以M为圆心，以FG的长度为半径画弧，交于点N，连接DN并延长交AC于点E．则下列式子中错误的是（）A．B．C．D．6．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（）A．24B．10C．D．7．如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（）A．B．C．D．8．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（）A．1B．C．2D．2二、填空题（共5小题，计15分）9．方程（x+1）2＝4的根是．10．若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，b＝6cm，c＝4cm，则d＝cm．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是．12．如图，点E是矩形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若AB＝4，BC＝6，则△EDF的周长为．13．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则每个横彩条的宽度是cm．三、解答题（共13小题，计81分）14．解方程：（x+4）2＝5（x+4）15．在一个不透明的盒子中装有黄、白两种颜色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其它都相同，小明每次摸出一个球记录下颜色后放回，通过多次试验后发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2，请你估计盒子中黄色乒乓球的个数．16．已知方程（a+1）x+（a﹣2）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，求a的值．17．已知，如图l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝10，DF＝24，求DE和EF的长．18．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．19．有四个从外观看毫无差别的鸡蛋，其中有两个是熟鸡蛋，两个是生鸡蛋．（1）随机取出一个是熟鸡蛋的概率是；（2）若从中随机取出两个鸡蛋，请用列表法或画树状图的方法求取出的正好是两个熟鸡蛋的概率．20．如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s 的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm2？21．如图，已知菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE＝CF，连接AE、AF．求证：AE＝AF．22．如图，小华站在两栋楼AB、CD间线段AC的中点F处，调整帽檐使视线通过帽檐边沿正好看到楼AB的顶端点B，她保持身体姿势不变，向着楼AB的方向走去，当她到达楼AB的底端A处时，原地转身，视线通过帽檐边沿正好看到大楼CD的顶端点D，已知楼AB的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度EF为1.5米，请你计算大楼CD的高度．23．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接DF，分别交AE、AB于点G、P，连接PE．已知∠BAF＝∠BFD．（1）求证：∠GAD＝∠GDA；（2）判断四边形APED的形状，并说明理由．24．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，连接CE，且CD＝CE．（1）求证：△ACE∽△BAD；（2）若AB＝8，BC＝6，试求线段AD的长．25．科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径，在居民接种疫苗高峰期时段，相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器，经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．（1）现该厂要保证每天生产一次性注射器2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？（2）是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．26．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点（点E不与B、C 重合），DF⊥AE，垂足为点F，过点D作DG∥AE，交BC的延长线于点G．（1）若DF＝AB，①求证：四边形AEGD是菱形；②求四边形CDFE的周长；（2）如图2，AM⊥DG于点M，EN⊥DG于点N，探究：①当CE为何值时，四边形AFDM是正方形；②点E在BC边上的运动过程中，四边形AENM的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，计24分）1．解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx＝0的根，∴a﹣b＝0，故选：B．2．解：A、错误，菱形是轴对称图形；B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的菱形都是正方形；D、错误，正方形有4条对称轴；故选：C．3．解：由于C为线段AB＝2的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝2×＝﹣1．故选：A．4．解：x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，配方得：x2﹣6x+9＝﹣7+9，即（x﹣3）2＝2，故选：D．5．解：由题意可得：∠ABC＝∠ADE，∴DE∥BC，∴，，，故选项A，B，D不合题意，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故选项C符合题意，故选：C．6．解：如图，对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∴BC＝＝＝5，∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，∴AH＝，故选：C．7．解：如图，把分隔线上方的两个扇形记为A、B，下方的半圆分成两个小扇形记为C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，∴两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率为＝，故选：C．8．解：四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AD＝AB，AG＝AE，∠ABD＝45°，∴∠DAB﹣∠DAE＝∠GAE﹣∠DAE，即∠GAD＝∠EAB，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴∠PDG＝∠ABD＝45°，∴点G在线段DH上，∴当PG⊥DH时，PG最短，∵正方形ABCD的边长为8，点P为AD的中点，∴DP＝4，∵PG⊥DH，∠PDG＝45°，∴△PDG为等腰直角三角形，∴PG＝＝＝2，故选：D．二、填空题（共5小题，计15分）9．解：由原方程，得x+1＝±2．解得．故答案是：．10．解：∵线段a、b、c、d成比例，∴a：b＝c：d，∴d＝6×4÷3＝8．故答案为：8．11．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣62°＝28°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，∵E是BC的中点，∴DE＝，CE＝BC，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝62°，故答案为：62°．12．解：∵，BC＝AD＝6，∴DE＝2，AE＝4，在直角三角形ABE中，由勾股定理可得BE＝＝，∴△ABE的周长为4+4+＝8+4，∵∠A＝∠EDF，∠AEB＝∠DEF，∴△ABE∽△DFE，∴，∴△ABE和△DFE的周长比为2，∴△DFE的周长为4+2．故答案为：4+2．13．解：设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，空白部分可合成长为（30﹣2×3x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的矩形，依题意得：（30﹣2×3x）（20﹣2×2x）＝30×20×（1﹣），整理得：（5﹣x）2＝16，解得：x1＝1，x2＝9（不合题意，舍去），∴2x＝2×1＝2．故答案为：2．三、解答题（共13小题，计81分）14．解：移项得：（x+4））2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0，x+4﹣5＝0，x1＝﹣4，x2＝1．15．解：设袋中有黄球x个，由题意得：＝0.2，解得：x＝16．答：估计盒子中黄色乒乓球的个数有16个．16．解：由关于x的方程（a+1）x+（a﹣2）x﹣1＝0是一元二次方程，得．解得：a＝1．17．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝6，BC＝10，DF＝24，∴＝，解得：DE＝9，∴EF＝24﹣9＝15．18．证明：当m＝0时，原方程为x﹣2＝0，解得x＝2；当m≠0时，Δ＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）＝（m+1）2≥0，所以方程有两个实数根，所以无论m为何值原方程有实数根．19．解：（1）随机取出一个是熟鸡蛋的概率是＝；故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中正好是两个熟鸡蛋的共有2种．所以P（两个熟鸡蛋）＝＝．20．解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE＝QB．设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据题意得：•（6﹣t）•t＝4，整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，∴t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．21．证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC、△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF＝60°，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF．22．解：如图，延长ME交CD于点N，由题意得：AM＝EF＝CN＝1.5米，ME＝EN＝MN，∠BEM＝∠DMN，∠BME＝∠DNM ＝90°，∴△BME∽△DNM，∴，∵AB＝7米，∴BM＝AB﹣AM＝7﹣1.5＝5.5（米），∴，解得：DN＝11，∴CD＝CN+DN＝1.5+11＝12.5（米），答：大楼CD的高度为12.5米．23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠BAD＝90°．∴∠BAE+∠GAD＝90°．∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE＝90°．∴∠GAD＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠GDA．∴∠GAD＝∠GDA．（2）解：四边形APED是矩形．理由如下：在△APD与△DEA中，．∴△APD≌△DEA（ASA）．∴AP＝DE，∵AB∥DC，∴四边形APED是平行四边形．∵∠P AD＝90°．∴▱APED是矩形．24．（1）证明：∵CD＝CE∴∠CDE＝∠CED∴∠AEC＝∠BDA又∵∠DAC＝∠B∴△ACE∽△BAD；（2）解：∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝CE＝BC＝3，∵∠DAC＝∠B，∴∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，∴AC＝3，∵△ACE∽△BAD，∴，即，∴AD＝4．25．解：（1）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，依题意得：（1+m）（600﹣20m）＝2600，整理得：m2﹣29m+100＝0，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；（2）不能，理由如下：设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，依题意得：（1+a）（600﹣20a）＝5000，整理得：a2﹣29a+220＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣29）2﹣4×1×220＝﹣39＜0，∴该方程无实数根．∴不能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．26．证明：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BG，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，又∵DG∥AE，∴四边形AEGD是平行四边形，又∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠B，又∵DF＝AB，∴△DF A≌△ABE（AAS），∴AD＝AE，∴四边形AEGD是菱形；②在矩形ABCD中，DC＝AB＝4，BC＝AD＝5，∵△DF A≌△ABE，∴AF＝BE，DF＝AB＝4，AE＝BC＝AD＝5，∴在Rt△ABE中，BE＝，∴AF＝BE＝3，CE＝EF＝2，∴四边形CDFE的周长＝2（CE+DC）＝12；（2）①∵DG∥AE，DF⊥AE，∴∠AFD＝∠FDM＝90°．∵AM⊥DG．∴∠AMD＝90°．∴四边形AFDM是矩形．要使四边形AFDM是正方形，必须AF＝DF．∵∠AFD＝90°∴△AFD是等腰直角三角形，∴∠DAF＝45°．∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF＝45°，又∵∠AFD＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，∴当CE＝1时，四边形AFDM是正方形；②点E在BC边上的运动过程中，四边形AENM的面积不发生变化，∵AM⊥DG，EN⊥DG，∴AM∥EN，∵MG∥AE，∴四边形AENM是矩形．∴S矩形AENM＝S▱AEGD＝S矩形ABCD＝AB×BC＝4×5＝20，即点E在BC边上的运动过程中，四边形AENM的面积为定值20．。

例1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD 交于O，E、F分别为线段DC、BC上两点，AB=4cm，∠ABC=60°。

（1）求菱形ABCD的面积；（2）若∠EAF=60°，求证∆AEF为等边三角形；（3）若FC=1，P为线段BD上一动点，求PC+PF 的最小值；（4）若P、G分别为线段BD、BC上一动点，求PF+PG的最小值。

例2.如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD 上一点，连接AE、CE，延长CE交BA延长线与点F，交AD与。

（1）求证:AE=EC；（2）求证:∠EAF=∠EHA；（3）若∠ABC=60°，AB=4cm，当CF⊥AD时，求线段CE的长度。

例3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，P为线段AD上一动点，过P作PE⊥AC 于E，PF⊥BD于F，AB=3cm，BC=4cm，求PE+PF。

变式：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD 交于O，P为线段AD上一动点，过P作PE⊥AC 于E，PF⊥BD于F，过A做AG⊥BD于G，求证：AG=PE+PF。

例4. 如图，四边形ABCD、CEFG为正方形，H 为AF连线的中点，连接CH，AB=1，CE=3，求CH的长度。

变式：如图，四边形ABCD、CEFG为菱形，H为AF连线的中点，连接CH，AB=2，CE=4，∠ABC=60°，求CH的长度。

例5. 如图，四边形ABCD、CEFG为正方形，连2接BD 、DF 、BF ，AB=2，求BDF S ∆。

如图，四边形ABCD 、CEFG 为菱形，连接BD 、DF 、BF ，∠ABC=60°，AB=2，求BDF S ∆例6. 如图，四边形ABCD 为正方形，以BC 为边在正方形内部做等边三角形BCE ，延长BE 交AD 于F ，AB=4。

（1）求∠AEB 、∠DEF 的度数； （2）求ABF S ∆、DEF S ∆。

变式1：如图，四边形ABCD 为正方形，以DC 为边在正方形外部做等边三角形DCE ，AE 、BD 交于点G ，AE 与DC 交于点F ，AB=4。

初三上册第一章数学练习题题目：初三上册第一章数学练习题（文章正文开始）由于篇幅限制，以下将列举初三上册第一章数学练习题中的部分题目，并提供答案和解析，以供参考和学习。

题目一：已知一个等边三角形的面积为16√3，求其边长。

解析：设等边三角形的边长为 a，则根据等边三角形的特性，可知其高也为 a。

面积公式为S = (a * a * √3) / 4。

将已知条件代入得到16√3 = (a * a * √3) / 4，化简得到 a = 8。

答案：等边三角形的边长为 8。

题目二：已知一个数的平方加上该数的相反数等于2，求该数。

解析：设该数为 x，则根据题意可得方程 x^2 + (-x) = 2。

化简得到x^2 - x - 2 = 0，因此可以因式分解为 (x - 2)(x + 1) = 0。

解得 x = 2 或 x = -1。

答案：该数为 2 或 -1。

题目三：计算下列各题。

1）13.5 ÷ 0.3 = 452）8.7 × 0.04 = 0.3483）3.5 + 2.2 ÷ 1.1 = 54）0.45 × 0.05 = 0.0225题目四：已知三角形 ABC 中，∠B = 45°，AB = AC，BC = 4 cm，求三角形 ABC 的面积。

解析：首先根据已知条件，可以推导出∠A = ∠C = (180° - ∠B - ∠C) / 2 = (180° - 45° - 45°) / 2 = 45°。

由于等腰直角三角形的特性，可以得知三角形 ABC 是等腰直角三角形。

由勾股定理可知 AB = AC = 4 cm，BC = 4 cm。

三角形 ABC 的面积为 S = (AB * BC) / 2 = (4 * 4) / 2 = 8。

答案：三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米。

题目五：已知两个互补角的度数之差为 12°，求各角的度数。

九年级上册数学练习册答案第一章：有理数1. 能力提升题1.由1可知，有理数包括整数和分数。

2.由2可知，-10是有理数。

3.由3可知，3/4是有理数。

4.由4可知，-5是有理数。

2. 选择题1.A2.B3.C4.D3. 计算题1.0.5的相反数是-0.5。

2.5/8的倒数是8/5。

3.-1.2的绝对值是1.2。

第二章：代数式与方程1. 能力提升题1.设袋子中黑球的个数为x，则总共球的个数为2x+12，根据题意可以得到方程2/5 = x/(2x+12)，解方程可得x=12。

2.设一个数为x，则另一个数为x+1，根据题意可以得到方程(x+1)/(x+9) = 5/8，解方程可得x=1。

3.设梯形的两个底边长度分别为x和x+2，根据题意可以得到方程(2x+8)/(x+7) = 5/4，解方程可得x=2。

2. 选择题1.C2.B3.D3. 计算题1.根据题意可以列方程：x+5=20，解得x=15。

2.根据题意可以列方程：2(x+3)=10，解得x=2。

第三章：图形的认识1. 能力提升题1.正方形的边长为x，则周长为4x，根据题意可以得到方程4x=36，解方程可得x=9。

2.设长方形的长为x，宽为y，则根据题意可以得到方程2(x+y) = 40，解方程可得x+y=20。

2. 选择题1.A2.C3.B3. 计算题1.正方形的面积是边长的平方，所以边长为5的正方形的面积是25平方单位。

2.直角三角形的面积是两条直角边的乘积的一半，所以直角边长分别为4和3的直角三角形的面积是(4*3)/2 = 6平方单位。

第四章：一次函数1. 能力提升题1.设数字为x，则另一个数字为3x，根据题意可以得到方程(1/4)x * 3x = 30，解方程可得x=10。

2.数字a与数字b的和为c，根据题意可以得到方程a +b = c。

3.小明买了x本书，每本书的价格为y元，根据题意可以得到方程x * y = 50。

2. 选择题1.A2.C3.D3. 计算题1.根据题意可以列方程：2x+3=7，解得x=2。

2022-2023学年鲁教版九年级数学上册（第1—3章）阶段性综合练习题（附答案）一、选择题（满分30分）1．在RtABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是（）A．a＝c•sin B B．a＝c•cos B C．c＝D．c＝a•sin A2．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x﹣1）2+2 3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．4．如图正方形的边长为1，A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（）A．y＝2x2+B．y＝﹣x2+C．y＝D．y＝﹣（x﹣2）2 5．直线y＝ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么y＝ax2+bx的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知二次函数y＝x2+（2a+1）x+a2﹣1的顶点在x轴上，则a的值是（）A．B．﹣C．D．﹣7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A．5元B．10元C．15元D．20元8．把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（）A．B．a2C．D．9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA ＝，则AD的长是（）A．B．2C．1D．210．如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（共15分）11．在△ABC中，（tan A﹣）2+|﹣cos B|＝0，则∠C的度数为．12．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．13．已知抛物线y＝2mx2﹣4mx+n与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），则一元二次方程2mx2﹣4mx+n＝0的解为．14．如下图公路桥离地面的高度AC为6米，引桥AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1：6，则BD的长．15．如图1，已知等边△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2所示，则△EFG的最小面积为．三、解答题（共75分）16．计算：（1）+tan60°；（2）．17．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠ADC＝90°，∠A＝60°，AB＝6，CD＝4，BC 的延长线与AD的延长线交于点E，求BC的长．18．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）若二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．19．如图1，大桥桥型为低塔斜拉桥，图2是从图1抽象出的平面示意图．现测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离AC 为4米，两拉索底端距离BD为20米，试求立柱AE的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）20．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100110120130…月销量（件）200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（）元；②月销量是（）件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？21．“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究过程，请补充完整．（1）操作发现：在作函数y＝|x|的图象时，采用了分段函数的办法，该函数转化为y＝并在如图1所示的平面直角坐标系中作出了函数的图象；（2）类比探究：作函数y＝|x﹣1|的图象，可以转化为分段函数y＝，然后分别作出两段函数的图象．聪明的小昕利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y＝x﹣1在x轴下面的部分沿x轴进行翻折，与x轴上及上面部分组成了函数y＝|x﹣1|的图象，如图2所示．（3）拓展提高：方格纸中是函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，请在方格纸画出函数y＝|x2﹣2x ﹣3|的图象．（4）由函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象得到：①函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与x轴有个交点，对应方程|x2﹣2x﹣3|＝0有个实数根．②函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与直线y＝4有个交点．③方程|x2﹣2x﹣3|＝5有个实根．④关于x的方程|x2﹣2x﹣3|＝a有4个实根时，a的取值范围是．22．某中学创客拓展小组研制的智能操作机器人．如图（1）水平操作台为L．底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm，点B、C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图（2），求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．tan53°≈1.33）．（2）物品在操作台1上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC 于点Q，求线段PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（满分30分）1．解：在RtABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，∴a＝c•sin A，故A不符合题意；a＝c•cos B，故B符合题意；c＝，故C不符合题意；c＝，故D不符合题意；故选：B．2．解：y＝x2﹣2x+3，＝（x2﹣2x+1）+2，＝（x﹣1）2+2．故选：D．3．解：如图所示：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝2，cos∠ABC＝＝；故选：B．4．解：由题意可得，OA＝，∴A（0，），设y＝ax2+，作CD⊥x轴，如图所示：在正方形ABOC中，OC＝1，∠AOC＝45°，∴∠DOC＝45°，△OCD为等腰直角三角形，∴OD＝CD，由勾股定理得OD＝OC＝，∴C（，），把C（，），代入y＝ax2+，得a＝，解得a＝﹣，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+，故选：B．5．解：一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，二次函数y＝ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，交坐标轴于（0，0）点．故选：B．6．解：∵二次函数y＝x2+（2a+1）x+a2﹣1的顶点在x轴上，∴＝0，解得a＝﹣，故选：D．7．解：设应降价x元，则（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，∵﹣1＜0∴当x＝5元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价5元．故选：A．8．解：设将铁丝分成xcm和（4a﹣x）cm两部分，面积和为y，列方程得，y＝（）2+（）2＝x2﹣+a2＝（x﹣2a）2+，∵＜0，∴当x＝2a时，y有最小值，最小值为．故选：C．9．解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA＝＝，∴BE＝5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴AE＝DE．∴BE＝5AE，又∵AC＝6，∴AB＝6．∴AE+BE＝5AE+AE＝6，∴AE＝，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD＝AE＝2．故选：B．10．解：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，∵Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2∴tan∠CAB＝＝∴A'M＝x其面积y＝x•x＝x2故此时y为x的二次函数，排除选项D．当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN其面积y＝x•x﹣（x﹣2）•（x﹣2）＝x﹣1故此时y为x的一次函数，故排除选项C．当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCNAF'＝x﹣2，F'N＝（x﹣2），F'B＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，BC＝2其面积y＝[（x﹣2）+2]×（6﹣x）＝﹣x2+x+3故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A综上，只有B符合题意．故选：B．二、填空题（共15分）11．解：由题意得tan A＝，cos B＝．∠A＝60°，∠B＝45°．∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故答案为：75°12．解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数∴∴m＝1故答案为：1．13．解：函数的对称轴为：x＝﹣＝1，一个交点坐标为（2，0），则另外一个交点坐标为：（0，0），故答案为：x1＝2、x2＝0．14．解：∵坡面AD的坡度为1：6，AC＝6米，∴CD＝6×6＝36（米），∴BD＝CD﹣BC＝36﹣24＝12（米），故答案为：24米．15．由图2可知，x＝2时△EFG的面积y最大，此时E与B重合，所以AB＝2，∴等边三角形ABC的高为，∴等边三角形ABC的面积为×2×＝，由图2可知，x＝1时△EFG的面积y最小，此时AE＝AG＝CG＝CF＝BF＝BE，显然△EGF是等边三角形且边长为1，所以△EGF的面积为，故答案为：．三、解答题（共75分）16．解：（1）原式＝＝1+；（2）原式＝﹣＝﹣17．解：∵AB⊥BC，∴∠ABE＝90°，∵∠A＝60°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AE＝2AB＝2×6＝12，∴BE＝＝＝6，∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∵∠E＝30°，CD＝4，∴CE＝2CD＝8，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣8，即BC的长为6﹣8．18．解：（1）根据题意知，22﹣4×（﹣1）×m＞0，解得：m＞﹣1；（2）将点A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m，得：﹣9+6+m＝0，解得：m＝3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝3，即点B（0，3），令直线AB解析式为y＝kx+b，将点A（3，0）、B（0，3）代入，得：，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，由可得，∴P点的坐标为（1，2）．19．解：设DE＝x，∵∠CDE＝60°，∠E＝90°，∴CE＝DE•tan60°＝x，∴AE＝AC+CE＝4+x，∵∠B＝30°，∴BE＝AE＝4+3x，∴4+3x＝20+x，解得：x＝10﹣2，∴AE＝4+（10﹣2）＝10﹣2≈15.3答：AE的长度为15.3米20．解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；②由表中信息可知，售价每增加10元，销售量减少20件，设月销量W与x的关系式为w＝kx+b，由题意得，，解得，，∴W＝﹣2x+400；（2）由题意得，y＝（x﹣60）（﹣2x+400）＝﹣2x2+520x﹣24000＝﹣2（x﹣130）2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．21．解：（1）操作发现：如图1，（2）类比探究作函数y＝|x﹣1|的图象，可以转化为分段函数y＝，故答案为：y＝；（3）拓展提高把函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下面部分，沿x轴进行翻折，与x轴上及上面部分组成了函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象，如图：（4）实际运用①函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与x轴有2个交点，对应方程|x2﹣2x﹣3|＝0有2个实根；②函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与直线y＝4有3个交点；③方程|x2﹣2x﹣3|＝5有2个实根；④关于x的方程|x2﹣2x﹣3|＝a有4个实根时，a的取值范围是0＜a＜4．故答案为：①2，2；②3；③2；④0＜a＜4．22．解：（1）过点C作CP⊥AE，垂足为P，过点B作BQ⊥CP，垂足为Q，∵BA⊥AM，∴四边形ABQP是矩形，∴∠ABQ＝90°，AB＝PQ＝50cm，∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝∠ABC﹣∠ABQ＝53°，在Rt△BCQ中，BC＝70，∴CQ＝BC sin53°＝70×0.8＝56（cm），∵CD∥l，∴CP＝DE＝CQ+QP＝56+50＝106（cm），∴手臂端点D离操作台l的高度DE的长为106cm；（2）能，理由：当B、C、D共线时，手臂端点D能碰到最远的距离，如图：在Rt△ABD中，AB＝50，BD＝BC+CD＝70+60＝130，∴AD＝＝＝120（cm），∵AM＝110cm，∴120cm＞110cm，∴手臂端点D能碰到点M．23．解：（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入y＝ax2+bx+c，得，解得，则抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，将点B，C坐标代入y＝mx+n，得，解得，所以直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设P点坐标为（t，t2﹣4t+3），则Q坐标为（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，PQ的值最大，最大值为；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点M是对称轴与直线BC的交点，∴将x＝2代入y＝﹣x+3，得y＝﹣2+3＝1，即M（2，1）．∵PQ∥y轴，∴∠PQB＝∠OCB，∴以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：△PMQ∽△OBC或△MPQ ∽△OBC．①当△PMQ∽△OBC时，∠QPM＝∠COB＝90°，即PM⊥PQ，∴y P＝y M＝1，将y P＝1代入y＝x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3＝1，解得x1＝2﹣，x2＝2+（舍去），∴此时P（2﹣，1）；②当△MPQ∽△OBC时，∠QMP＝∠COB＝90°，即PM⊥BC，∴k PM＝＝1，∴可设直线PM的解析式为y＝x+d，将M（2，1）代入y＝x+d，得2+d＝1，解得d＝﹣1，∴y＝x﹣1，解方程组，得，（舍去），∴此时P（1，0）．综上所述，存在点P，使以点M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似，P点坐标为（2﹣，1）或（1，0）．。

北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案(考试时间：120分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题共18分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是(A)A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补2．下列命题中，错误的是(C)A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O，C的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点B的坐标是(C)A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)第3题图第4题图4．如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长是30 cm，则AB的长为(A)A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm5．若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两个邻角的度数比为(C)A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为(A) A．1 B．2 C. 2 D.3第6题图第7题图第Ⅱ卷(非选择题共102分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图，延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，AE交CD于F，则∠E＝__22.5°__.8．矩形的两邻边长分别为3 cm和6 cm，则顺次连接各边中点，所得四边形的形状一定是菱形，其面积是9 cm2.9．★如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E 处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是__4__.第9题图第10题图10．如图所示，矩形中有两个相邻的正方形，面积分别是3和9，那么阴影部分的面积11．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝__7__，CD＝__5__.第11题图第12题图12．★(徐州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(广州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD 的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO.∵AB＝AO，∴AO＝BO＝AB.∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，即∠ABD＝60°.14．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE＝CF.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO.∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∠BOE＝∠COF，∴△BEO≌△CFO.∴BE＝CF.15．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：△BCE≌△DCF.证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴BC ＝DC ，∠BCD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DCF ＝90°.在△BCE 与△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF. 16．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，EF 平分∠BED ，求证：EF ⊥BD .证明：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴△ABC 和△ADC 都是直角三角形， 且有公共斜边AC.又∵E 是公共斜边AC 的中点， ∴BE ＝DE ＝12AC.又∵EF 平分∠BED ，∴EF ⊥BD.17．(广安中考)如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF ＝BE .证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝BC ，∠ABC ＝∠ADC ，∴∠CBE ＝∠CDF.∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ， ∴∠CFD ＝∠CEB ＝90°， 在△CEB 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠CEB ＝∠CFD ，∠CBE ＝∠CDF ，CB ＝CD ，∴△CEB ≌△CFD(AAS)，∴DF ＝BE.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(荆州中考)如图，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，BD ，将△ABC 沿BC 方向平移，使点B 移到点C ，得到△DCE .(1)求证：△ACD ≌△EDC ；(2)请探究△BDE 的形状，并说明理由．(1)证明：∵△DCE 是由△ABC 平移而得到的，∴△DCE ≌△ABC. ∵△ACD ≌△CAB ，∴△ACD ≌△EDC ； (2)解：△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝DE ，AC ＝DB ，∴DE ＝DB ，∴△BDE 是等腰三角形．19．如图，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE ＝BF ，EF 与BC 相交于点G . (1)求证：AE ＝CF ；(2)若∠ABE ＝55°，求∠EGC 的度数．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC. ∵BE ⊥BF ，∴∠FBE ＝90°.∵∠ABE ＋∠EBC ＝90°，∠CBF ＋∠EBC ＝90°，∴∠ABE ＝∠CBF.在△AEB 和△CFB 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ，∴△AEB ≌△CFB(SAS)，∴AE ＝CF.(2)解：∠EGC ＝80°.20．(贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为点O .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积．(1)证明：∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB. 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ， ∴∠ADB ＝∠CBD.又∵AC ⊥BD ，AB ＝AD ，∴BO ＝DO(等腰三角形“三线合一”)．在△AOD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOD ＝∠COB ，OB ＝OD ，∠ADO ＝∠CBO.∴△AOD ≌△COB(ASA)，∴AO ＝CO.又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝12BD ＝ 5.在Rt △CDO 中，OC ＝CD 2－OD 2＝32－（5）2＝2，∴AC ＝4. ∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12× 4× 25＝4 5.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 在直线AC 上(点E 在F 左侧)，BE ∥DF . (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，当四边形BEDF 为矩形时，求线段AE 的长．(1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD. 由BE ∥DF 得∠BEO ＝∠DFO.又∵∠EOB ＝∠FOD ，∴△BEO ≌△DFO. ∴BE ＝DF.又∵BE ∥DF ， ∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)解：∵AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213， ∴AC ＝6，∴AO ＝3， ∴在Rt △BAO 中，BO ＝5. 又∵四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ＝5，∴点E 在OA 的延长线上，且AE ＝2.22．(杭州中考)如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上(不与点B ，D 重合)，GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连接AG .(1)写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)关系：AG2＝GE2＋GF2.理由：连接CG.∵四边形ABCD是正方形，∴点A，C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA＝GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2；(2)作AM⊥BG于M，依题意知：∠AGM＝60°，∠GAM＝30°.设GM＝x，则AM＝BM＝3x.在Rt△ABM中，∵AM2＋BM2＝AB2，∴(3x)2＋(3x)2＝1，∴x＝6 6，∴BG＝x＋3x＝66＋3×66＝6＋326.六、(本大题共12分)23．(威海中考)如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°.∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD.在△ABF和△ACD中，AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，∴△ABF≌△ACD，∴AD＝AF.(2)证明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°.∴∠EAF＝∠BAD.∵AB＝AC，AC＝AE，∴AB＝AE.在△AEF和△ABD中，AE＝AB，∠EAF＝∠BAD，AF＝AD，∴△AEF≌△ABD.∴BD＝EF.(3)解：四边形ABNE是正方形．理由：∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°.∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABN＝90°.由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.∴四边形ABNE是矩形．又∵AE＝AB，∴矩形ABNE是正方形．。

九上数学第一章测试题姓名：分数：一、选择题（每题3分，共30分）1、下列图形中只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．菱形C．正方形D．矩形2、正方形具有而菱形不具有的性质是（）A、四个角都是直角B、两组对边分别相等C、内角和为0360D、对角线平分对角3、下列说法中的错误的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．一组邻边相等的平行四边形是菱形C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4 、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形; ②菱形; ③矩形④对角线互相垂直的四边形.A.①③B.②③C.③④D.②④5、已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A.6 cm和9 cmB. 5 cm和10 cmC. 4 cm和11 cmD. 7 cm和8 cm6、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（）A、32B、332C、3 3D、5327、如图，在矩形中，分别为边的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.4C.6D.88、如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）A.20B.15C.10D.59、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若∠OAE=24°，则∠BAE的度数是（）A．24°B．33°C．42°D．43°10、如图所示，在矩形ABCD中，AB= 2，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A. 2B. 3C.1D.1.5二、填空题（每题3分，共15分）11、正方形的一条对角线和一边所成的角是度.12、菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积是13、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线夹角为.14、正方形ABCD中，AB=2，点E是线段CD的中点，P为线段BD上的任意一点，则PC+PE 的最小值为_________.15、如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是________．三、解答题（共55分）16、（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形．17、（10分）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．18、（10分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE ＝CF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．19、（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．20、（15分）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN 交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？说明理由．(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．答案解析：1-10 AACDB DBDBD11、45 12、24 13、60°或120° 14、√5 15、(√3)n−116.证明：∵EF 垂直平分AC ， ∴∠AOE ＝∠COF ＝90°，OA ＝OC. ∵AD ∥BC ，∴∠OAE ＝∠OCF. ∴△AOE ≌△COF(ASA )． ∴AE ＝CF. 又∵AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF ⊥AC ， ∴四边形AECF 是菱形．17．(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形．∵四边形ABCD 为矩形，∴OD ＝OC. ∴四边形OCED 为菱形．(2)解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴BO ＝DO ＝12BD. ∴S △OCD ＝S △OCB ＝12S △ABC ＝12×12×3×4＝3. ∴S 菱形OCED ＝2S △OCD ＝6. 18．(1)证明：在△BCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.(2)解：∵△BCE ≌△DCF ， ∴∠EBC ＝∠FDC ＝30°. ∵∠BCD ＝90°，∴∠BEC ＝60°. ∵EC ＝FC ，∠ECF ＝90°， ∴∠CEF ＝45°.∴∠BEF ＝105°.19．(1)证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°， ∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°， ∠1＋∠2＝60°. ∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3. ∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ， ∴△ABC 为等边三角形．∴AC ＝AB. ∴△ABE ≌△ACF. ∴BE ＝CF.(2)解：四边形AECF 的面积不变． 由(1)知△ABE ≌△ACF ， 则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2，∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝2 3.∴S△ABC＝12BC·AM＝12×4×23＝4 3. 故S四边形AECF＝4 3.(第23题)20．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠BCE. ∴∠NEC＝∠ACE. ∴OE＝OC.∵CF是∠ACD的平分线，∴∠OCF＝∠FCD. 又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD. ∴∠OFC＝∠OCF. ∴OF＝OC. ∴OE＝OF.(2)当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF. ∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝90°，∴AC⊥EF. ∴四边形AECF是正方形．(3)不可能理由如下：连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝12∠ACB＋12∠ACD＝12(∠ACB＋∠ACD)＝90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可能为菱形．。

初三数学上册第一章练习题含答案一、选择题1. 题目：请问以下哪个数不是自然数？A. 1B. 0C. 2D. 3答案：B2. 题目：若a + b = 7，且a - b = 3，则a的值为多少？A. 2B. 4C. 5D. 7答案：C3. 题目：小明的体重是45公斤，小红比小明轻12公斤。

请问小红的体重是多少？A. 12公斤B. 33公斤C. 45公斤D. 57公斤答案：B4. 题目：已知正整数a的平方等于16，求a的值为多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C5. 题目：计算9 ÷ 0.3的值。

A. 0.9B. 3C. 30D. 90答案：C二、填空题1. 题目：已知正整数m的平方等于100，m的值为____。

答案：102. 题目：已知20 - n = 13，求n的值为____。

答案：73. 题目：某书店有一种图书共500本，其中红色封面的图书占总数的20%，则红色封面图书的数量为____本。

答案：1004. 题目：如图所示，在△ABC中，∠A = 60°，则∠B = ____°，∠C = ____°。

答案：∠B = ∠C = 60°5. 题目：若6的4次方等于n，则n的值为____。

答案：1,296三、解答题1. 题目：请计算下列各式的结果：(a) 3 × (4 + 5)(b) 8 + 2 × 5答案：(a) 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27(b) 8 + 2 × 5 = 8 + 10 = 182. 题目：某书店举行促销活动，一本原价20元的书打7折出售。

请问购买3本这种书需要多少钱？答案：20元 × 0.7 × 3 = 42元3. 题目：玩具汽车原价180元，现促销打9折，请问现在的售价为多少？答案：180元 × 0.9 = 162元4. 题目：某班级有35名男生和25名女生，男生人数比女生人数多多少？答案：35 - 25 = 105. 题目：三个整数a、b、c的和为100，已知a = 3，c = 2。

北师版九年级数学上册第一章综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．[2023揭阳期末]菱形、矩形、正方形都具有的性质是() A．对角线互相垂直B．对角线相等C．四条边相等，四个角相等D．两组对边分别平行且相等2．[2024邢台襄都区模拟]如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是() A．CD＝4 B．CD＝2 C．OD＝2 D．OD＝43．[2023成都温江区期末]如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E.若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为()A．65°B．70°C．75°D．80°4．[2022安徽]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝() A．α－90°B．α－45°C．180°－αD．270°－α5．[2023东莞期中]若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是()A．菱形B．矩形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形6. 三个边长为8 cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分(阴影)的面积为()A．16 cm2B．24 cm2C．28 cm2 D．32 cm27．在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm8. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(5，12)，则AC的长是()A．5 B．7 C．12 D．139．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N 分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM，若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为()A．3 B．3.5 C．2 D．2.510．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G.下列结论：①AC垂直平分EF；②当∠EAF＝45°时，∠AEB＝∠AEF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当CE＝(2－2)BC时，BE＋DF＝EF.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝28°，D是AC的中点，则∠CBD ＝________°.12．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和25，则此平行四边形的面积为________．13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，PD＝1 2AC，∠P＝52°，则∠PDC＝________．14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10 cm，∠A＝60°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E 的速度为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当一点到达B点时，另一点随之停止移动，经过t s后△DEF恰为等边三角形，则此时t 的值为________．15．[2024东莞模拟]如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC 上一动点(不与点B，C重合)，过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF.有下列结论：①AE＝EF；②CF＝2BE；③∠DAF＝∠CEF.其中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)三、解答题(共7小题，第16～21题每题10分，第22题15分，共75分)16．[2023扬州邗江区期末]如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N 分别是AC，BD的中点，连接BM，DM.求证：(1)BM＝DM；(2)MN⊥BD.17．[2023广州海珠区期中]如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F.求证：四边形BEDF 是菱形．18．[2024宝鸡陈仓区期中]在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝2AD，F是BC的中点．(1)如图①，求证：四边形AFCD是矩形；(2)如图②，过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，EF.求证：DE＝DC.19．如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，∠ABE＋∠CEF＝45°. (1)求∠1＋∠2的度数；(2)求证：四边形ABCD是正方形．20. 在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE⊥AG于H，交直线AD于点E.(1)当点F运动到与点B重合时(如图①)，线段EF与AG的数量关系是________．(2)当点F运动到如图②所示的位置时，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)?答：________．(直接填空，不用说理)(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．(3)在(1)的条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．22. 如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，点O为线段AC的中点．【感知】如图①，当点P在线段AO上(点P不与点A，O重合)时，①易证：△ABP≌△ADP(不需要证明)．进而得到PE与PD的数量关系是__________；②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)．进而得到PE与PD的位置关系是__________；【探究】如图②，当点P在线段OC上(点P不与点O，C重合)时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；【应用】如图③，当点P在AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝2时线段DE的长．答案一、1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D7.C8.D9．D 【点拨】∵点M，N分别是边AD，CD的中点，∴MN是△ACD的中位线．∴AC＝2MN＝2×3＝6.∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，∴OA＝OC＝12AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，12AC·BD＝24.即12×6×BD＝24，∴BD＝8.∴OD＝12BD＝4.∴在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝OC2＋OD2＝32＋42＝5.∵点M是AD的中点，OA＝OC，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝12CD＝2.5.10．D 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°.又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF.∴BE ＝DF ，∠BAE ＝∠DAF . ∴∠EAC ＝∠F AC . ∴AC 垂直平分EF ，故①正确； ∵∠EAF ＝45°， ∴易得∠EAC ＝∠F AC ＝∠BAE ＝∠DAF ＝22.5°. ∴∠BEA ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°. ∵BC ＝CD ，BE ＝DF ，∴CE ＝CF . ∴∠CEF ＝45°. ∴∠AEF ＝180°－∠CEF －∠BEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°＝∠AEB ，故②正确； ∵∠DAF ＝15°， ∴∠EAF ＝∠BAD －∠BAE －∠DAF ＝90°－15°－15°＝60°. ∵AE ＝AF ， ∴△AEF 为等边三角形，故③正确； ∵CE ＝(2－2)BC ， ∴BE ＝DF ＝BC －CE ＝BC －(2－2)BC ＝(2－1)BC . ∴BE ＋DF ＝2(2－1)BC . ∴EF ＝EC 2＋FC 2＝2EC ＝2(2－2)BC ＝2(2－1)BC ＝BE ＋DF ，故④正确； ∴正确的结论有4个． 二、11.62 12.45 13.12° 14.5315．①② 【点拨】如图，在AB 上取点H ，使AH ＝EC ，连接EH .∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥AE ，∴∠BCD ＝∠B ＝∠AEF ＝90°，AB ＝BC .∴∠HAE ＋∠AEB ＝90°，∠CEF ＋∠AEB ＝90°，∴∠HAE ＝∠CEF .∵AH ＝CE ，AB ＝BC ，∴BH ＝BE .∴△BHE 为等腰直角三角形．∴易得∠AHE ＝135°.∵CF 是正方形外角的平分线，∴易得∠ECF ＝135°.∴∠AHE ＝∠ECF .在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠HAE ＝∠CEF ，AH ＝EC ，∠AHE ＝∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF (ASA)．∴AE ＝EF ，EH ＝CF ，∠AEH ＝∠EFC .故①正确；∵BE ＝BH ，∠B ＝90°，∴EH ＝BH 2＋BE 2＝2BE .∴CF＝2BE.故②正确；∵∠AHE＝135°，∴∠HAE＋∠AEH＝45°.∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°.∴∠HAE＋∠DAF＝45°.∴∠AEH＝∠DAF.∵∠AEH＝∠EFC，∴∠DAF＝∠EFC.而∠FEC不一定等于∠EFC，∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③错误．故答案为①②.三、16.【证明】(1)∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝12AC，DM＝12AC.∴BM＝DM.(2)∵点N是BD的中点，BM＝DM，∴MN⊥BD.17．【证明】如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC .∴∠1＝∠2.∵O 为BD 的中点，∴BO ＝DO .∵∠BOE ＝∠DOF ，∴△OBE ≌△ODF (ASA)．∴BE ＝DF .∴四边形BEDF 是平行四边形．又∵EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．18．【证明】(1)∵F 是BC 的中点，∴BF ＝CF ＝12BC .∵BC ＝2AD ，∴AD ＝12BC .∴AD ＝CF ＝BF .∵AD ∥BC ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又∵CD⊥BC，∴∠DCF＝90°.∴四边形AFCD是矩形．(2)如图，连接DF交CE于G，由(1)知AD＝BF.∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形．∴AB∥DF.∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，CE⊥DF. 又∵F是BC的中点，∴EF＝12BC＝CF.∴GE＝GC.∴DF是线段CE的垂直平分线．∴DE＝DC.19．(1)【解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∴∠ABE＋∠1＝90°.∵BE⊥EF，∴∠CEF＋∠2＝90°.∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠1＋∠2＝90°＋90°－45°＝135°.(2)【证明】∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－135°＝45°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.∴∠BAC＝90°－∠ACB＝90°－45°＝45°.∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC.∴四边形ABCD是正方形．20．【解】(1)EF＝AG【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADG＝90°，AB＝AD.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AG，∴∠AHE＝90°.∴∠AEB＋∠DAG＝90°.∴∠ABE＝∠DAG.∴△ABE≌△DAG(ASA)．∴EF＝BE＝AG.(2)成立．证明：如图，过点F作FM⊥AE，垂足为M，则∠EMF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝90°，AD＝CD.∴易得MF＝CD＝AD.∵EF⊥AH，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE＋∠E＝90°.又∵∠E＋∠EFM＝90°，∴∠HAE＝∠EFM.∴△ADG≌△FME(ASA)．∴EF＝AG.21．【解】(1)四边形EGFH是平行四边形(2)如图①，②，连接GH.由题意易得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形．∴GH＝AB＝6.①如图①，当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6.∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6.∴t＝2.②如图②，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6.∴t＝8.综上，当四边形EGFH为矩形时，t的值为2或8. (3)如图③，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O.∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，AD＝BC＝8.∴AM＝4.∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH.∴AG＝AH.∴四边形AGCH为菱形．∴AG＝CG.设AG ＝CG ＝x ，则DG ＝8－x ，∴在Rt △CDG 中，由勾股定理可得CD 2＋DG 2＝CG 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254. ∴MG ＝254－4＝94，即t ＝94，∴当t 的值为94时，四边形EGFH 为菱形．22．【解】【感知】①PE ＝PD 【点拨】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ＝45°.在△ABP 和△ADP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ，AP ＝AP ，∴△ABP ≌△ADP (SAS)．∴PB ＝PD .∵PB ＝PE ，∴PE ＝PD .②PE ⊥PD 【点拨】由题意得∠PNE ＝∠PMD ＝∠PMC ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴CP 平分∠MCN ，∠NCM ＝90°.∴四边形PMCN 是矩形，PN ＝PM .∴∠MPN ＝90°.在Rt △PNE 和Rt △PMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PD ，PN ＝PM ， ∴Rt △PNE ≌Rt △PMD (HL)．∴∠EPN ＝∠DPM .∵∠MPN ＝∠MPE ＋∠EPN ＝90°，∴∠MPE ＋∠DPM ＝90°，即∠DPE ＝90°.∴PE ⊥PD .【探究】PE 与PD 的数量关系和位置关系为PE ＝PD ， PE ⊥PD ，理由如下：设PE 交CD 于F .∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ACB ＝∠ACD ＝45°. 在△CBP 和△CDP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠PCB ＝∠PCD ，PC ＝PC ，∴△CBP ≌△CDP (SAS)．∴PD ＝PB ，∠PBC ＝∠PDF .又∵PB ＝PE ，∴PD ＝PE ，∠PBE ＝∠PEB .∴∠PDF ＝∠PEB .∵∠PFD ＝∠CFE ，∴180°－∠PFD－∠PDC＝180°－∠CFE－∠PEB，即∠DPF＝∠ECF.∵∠ECF＝∠BCD＝90°，∴∠DPF＝90°.∴PD⊥PE.【应用】线段DE的长为34. 【点拨】设PD交BE于H.由题意易证△CBP≌△CDP.∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC.∴易得∠PDC＝∠PEB，PE＝PD.∵∠PHE＝∠CHD，∴180°－∠CHD－∠PDC＝180°－∠PHE－∠PEB，即∠DPE＝∠DCE.又∵易知∠DCE＝90°，∴∠DPE＝90°.∴△DPE是等腰直角三角形．过点P作PQ⊥BE于Q，∵PB＝PE，∴BQ＝EQ.∵∠PCQ＝∠ACB＝45°，∴△CQP是等腰直角三角形．∴CQ＝PQ＝22CP＝1.∴EQ＝BQ＝BC＋CQ＝AB＋CQ＝3＋1＝4. ∴PE＝EQ2＋PQ2＝42＋12＝17.∴DE＝PD2＋PE2＝2PE＝2×17＝34.。

苏科新版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元测试卷一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1. 把方程3x2+x=5x−2整理成一元二次方程的一般形式为________．2. 一元二次方程x2−x−2=0的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．3. 一元二次方程x2−3x−4=0的根的判别式的值为________，方程的根为________．4. 一元二次方程2x2−5x−1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=________，x1⋅x2=________．5. 方程(x+2)(x−3)=0的根为________；方程(x+2)2−2(x+2)=0的根为________．6. 当x=________，代数式x2−2的值与2x+1的值相等．7. 写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根________．8. 已知方程x2−5x+9−k=0的一个根是2，则k的值是________，方程的另一个根为________．9. 某县2014年的GDP是250亿元，要使2016年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x，可列方程________．10. 若关于x的一元二次方程(m−2)x2−4x+3=0有实数解，则m的取值范围为________．二、单项选择（每小题2分，共20分）下列方程中，一元二次方程有( )①3x2+x=20；②2x2−3xy+4=0；=4；③x2−1x④x2=1；+3=0⑤x2−x3方程x2=4的解为（）A.x=2B.x=−2C.x1=4，x2=−4D.x1=2，x2=−2若方程(x−4)2=a有实数解，则a的取值范围是()A.a≤0B.a≥0C.a>0D.无法确定方程(2x+3)(x−1)=1的解的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.有一个实数根用配方法将二次三项式a2−4a+5变形，结果是（）A.(a−2)2+1B.(a+2)2−1C.(a+2)2+1D.(a−2)2−1用配方法解一元二次方程m2−6m+8=0，结果是下列配方正确的是（）A.(m−3)2=1B.(m+3)2=1C.(m−3)2=−8D.(m+3)2=9若关于x的一元二次方程的两根为x1=1，x2=2，则这个方程是()A.x2+3x−2=0B.x2−3x+2=0C.x2−2x+3=0D.x2+3x+2=0以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2−14x+40=0的根，则这个三角形的周长为（）A.17或23B.17C.23D.以上都不对若分式x2−5x−6x+1的值为0，则x的值为（）A.−1B.6C.−1或6D.无法确定已知实数a，b分别满足a2−6a+4=0，b2−6b+4=0，且a≠b，则ba +ab的值是( )A.7B.−7C.11D.−11三、解答题（共60分）②x2−2x−3=0；③2x2−7x+3=0；④5x2=7x；⑤x(x−3)−5(x−3)=0；⑥(x+3)(2x−1)=4．不解方程，判别方程根的情况．①3x2−5x+4=0；②x2−2x=5−x．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg．经市场调查，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？已知关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0有两个实数根x1和x2．(1)求实数m的取值范围；(2)当x12−x22=0时，求m的值．已知关于x的方程(m2−1)x2−(m+1)x+m＝0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一只蝉从点C沿CB方向以1cm/s的速度爬行，一只螳螂为了捕捉这只蝉，由点A沿AB方向以2cm/s的速度爬行，一段时间后，它们分别到达了点M，N的位置．若此时△MNB的面积为24cm2，求它们爬行的时间．参考答案与试题解析苏科新版九年级数学上册《第1章 一元二次方程》单元测试卷一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1.【答案】3x 2−4x +2=0【考点】一元二次方程的一般形式【解析】方程移项合并，整理为一般形式即可．【解答】解：方程整理得：3x 2−4x +2=0，故答案为：3x 2−4x +2=02.【答案】1,−1,−2【考点】一元二次方程的一般形式【解析】找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【解答】解：元二次方程x 2−x −2=0的二次项系数是1，一次项系数是−1，常数项是−2． 故答案为：1；−1；−23.【答案】25,−1和4【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程各项系数结合根的判别式即可求出△的值，再利用分解因式法解一元二次方程即可求出方程的根．【解答】解：方程x 2−3x −4=0中，△=(−3)2−4×1×(−4)=25．∵ x 2−3x −4=(x +1)(x −4)=0，解得：x 1=−1，x 2=4．过答案为：25；−1和4．4.【答案】52,−12 【考点】根与系数的关系根据韦达定理可直接得出．【解答】解：∵ 方程2x 2−5x −1=0的两根为x 1，x 2，∴ x 1+x 2=−−52=52，x 1x 2=−12， 故答案为：52，−12．5.【答案】x 1=−2，x 2=3,x 1=0，x 2=−2【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】分别令各因式等于0，求出x 的值即可；提取公因式，再求出x 的值即可．【解答】解：∵ 方程(x +2)(x −3)=0，∴ x +2=0，x −3=0，∴ x 1=−2，x 2=3；∵ 方程(x +2)2−2(x +2)=0，∴ (x +2)(x +2−2)=0，即x(x +2)=0，∴ x =0或x +2=0，∴ x 1=0，x 2=−2．故答案为：x 1=−2，x 2=3；x 1=0，x 2=−2．6.【答案】−1或3【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】根据题意得x 2−2=2x +1，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程求出x 即可．【解答】解：根据题意得x 2−2=2x +1，整理得x 2−2x −3=0，(x +1)(x −3)=0，x +1=0或x −3=0，所以x 1=−1，x 2=3，即x =−1或3时，数式x 2−2的值与2x +1的值相等．故答案为−1或3．7.【答案】x 2+x −1=0【考点】根的判别式【解析】【解答】解：比如a=1，b=1，c=−1，∴△=b2−4ac=1+4=5>0，∴方程为x2+x−1=0．8.【答案】3,3【考点】根与系数的关系【解析】设方程的另一个根为x，根据根与系数的关系得：x+2=5，2x=9−k，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为x，则根据根与系数的关系得：x+2=5，2x=9−k，解得：x=3，k=3，故答案为：3，3．9.【答案】250(1+x)2=360【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】2016年的GDP360=2014年的GDP250×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：2015年的GDP为250×(1+x)，2014年的GDP为250×(1+x)(1+x)=250×(1+x)2，即所列的方程为250(1+x)2=360，故答案是：250(1+x)2=360．10.【答案】m≤10且m≠23【考点】根的判别式【解析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2−4x+3=0有实数解，∴{m−2≠0△=(−4)2−4(m−2)×3≥0，解得：m≤10且m≠2．310二、单项选择（每小题2分，共20分）【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选B．【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】两边开方，即可得出方程的解．【解答】解：x2=4，x1=2，x2=2，故选D．【答案】B【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围．【解答】解：∵方程(x−4)2=a有实数解，∴x−4=±√a，∴a≥0.故选B．【答案】A【考点】根的判别式将方程左边展开，化为一元二次方程的一般形式，求出根的判别式，即可做出判断．【解答】解：方程(2x+3)(x−1)=1，可化为2x2+x−4=0，∵Δ=1−4×2×(−4)=33>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【答案】A【考点】完全平方公式【解析】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．【解答】解：∵a2−4a+5=a2−4a+4−4+5，∴a2−4a+5=(a−2)2+1．故选A.【答案】A【考点】解一元二次方程-配方法【解析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：m2−6m+8=0，m2−6m=−8，m2−6m+9=−8+9，(m−3)2=1，故选A．【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和−ba 是否为3及两根之积ca是否为2即可．【解答】解：两个根为x1=1，x2=2，则两根的和是3，积是2．A，两根之和等于−3，两根之积等于−2，所以此选项不正确；B，两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C，两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D，两根之和等于−3，两根之积等于2，所以此选项不正确.故选B.C【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系【解析】先利用因式分解法解方程得到x 1=4，x 2=10，再利用三角形三边的关系得x =10，然后计算三角形的周长．【解答】解：x 2−14x +40=0，(x −4)(x −10)=0，x −4=0或x −10=0，所以x 1=4，x 2=10，因为4+4<9，不符合三角形三边的关系，所以三角形的第三边长是10，所以三角形的周长=4+9+10=23．故选C ．【答案】B【考点】分式值为零的条件【解析】根据分式值为零的条件可得x 2−5x −6=0，且x +1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x 2−5x −6=0，且x +1≠0，解得：x =6，故选：B ．【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】根据已知两等式得到a 与b 为方程x 2−6x +4=0的两根，利用根与系数的关系求出a +b 与ab 的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a +b 与ab 的值代入计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：a 与b 为方程x 2−6x +4=0的两根，∴ a +b =6，ab =4，则原式=(a+b)2−2ab ab =36−84=7．故选A .三、解答题（共60分）【答案】解：①x 2=25，x =±5，所以x 1=5，x 2=−5；③(2x−1)(x−3)=0，所以x1=1，x2=3；2④5x2−7x=0，x(5x−7)=0，所以x1=0，x2=7；5⑤(x−3)(x−5)=0，所以x1=3，x2=5；⑥2x2+5x−7=0，(2x+7)(x−1)=0，所以x1=−7，x2=1．2【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-直接开平方法【解析】①先把方程变形为x2=25，然后利用直接开平方法解方程；②利用因式分解法解方程；③利用因式分解法解方程；④先移项得到5x2−7x=0，利用因式分解法解方程；⑤利用因式分解法解方程；⑥先把方程化为一般式得到2x2+5x−7=0，利用因式分解法解方程．【解答】解：①x2=25，x=±5，所以x1=5，x2=−5；②(x+1)(x−3)=0，所以x1=−1，x2=3；③(2x−1)(x−3)=0，所以x1=1，x2=3；2④5x2−7x=0，x(5x−7)=0，；所以x1=0，x2=75⑤(x−3)(x−5)=0，所以x1=3，x2=5；⑥2x2+5x−7=0，(2x+7)(x−1)=0，，x2=1．所以x1=−72【答案】解：①∵△=(−5)2−4×3×4=−23<0，∴该方程无解；2∴该方程有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式【解析】①根据方程的系数结合根的判别式得出△=−23<0，由此得出方程无解；②根据方程的系数结合根的判别式得出△=21>0，由此得出方程有两个不相等的实数根．【解答】解：①∵△=(−5)2−4×3×4=−23<0，∴该方程无解；②原方程可变形为x2−x−5=0，∴△=(−1)2−4×1×(−5)=21>0，∴该方程有两个不相等的实数根．【答案】解：设销售单价定为x元，根据题意得：(x−40)[500−(x−50)×10]=8000．解得：x1=60，x2=80，当x=60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x=80．答：销售单价定为80元/kg．【考点】一元二次方程的应用【解析】先根据销售利润=每件利润×数量，再设出单价应定为x元，再根据这个等式列出方程，即可求出答案．【解答】解：设销售单价定为x元，根据题意得：(x−40)[500−(x−50)×10]=8000．解得：x1=60，x2=80，当x=60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x=80．答：销售单价定为80元/kg．【答案】解：(1)由题意有Δ=(2m−1)2−4m2≥0，解得m≤14，∴实数m的取值范围是m≤14；(2)由两根关系，得x1+x2=−(2m−1)，x1⋅x2=m2，由x12−x22=0得(x1+x2)(x1−x2)=0，若x1+x2=0，即−(2m−1)=0，解得m=12，∵12>14，∴m=12不合题意，舍去，若x1−x2=0，即x1=x2∴Δ=0，由(1)知m=14，故当x12−x22=0时，m=14．【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）由x12−x22=0得x1+x2=0或x1−x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到−2m−1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．【解答】解：(1)由题意有Δ=(2m−1)2−4m2≥0，解得m≤14，∴实数m的取值范围是m≤14；(2)由两根关系，得x1+x2=−(2m−1)，x1⋅x2=m2，由x12−x22=0得(x1+x2)(x1−x2)=0，若x1+x2=0，即−(2m−1)=0，解得m=12，∵12>14，∴m=12不合题意，舍去，若x1−x2=0，即x1=x2∴Δ=0，由(1)知m=14，故当x12−x22=0时，m=14．【答案】②根据一元二次方程的定义可知：m2−1≠0，解得：m≠±1．一元二次方程的二次项系数m2−1、一次项系数−(m+【考点】一元二次方程的定义一元一次方程的定义一元二次方程的一般形式【解析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2−1＝0，m+1≠0，解即可；（2）根据一元二次方程的定义可知：m2−1≠0，再解不等式即可．【解答】根据一元一次方程的定义可知：m2−1＝0，m+1≠0，解得：m＝1，答：m＝1时，此方程是一元一次方程；②根据一元二次方程的定义可知：m2−1≠0，解得：m≠±1．一元二次方程的二次项系数m2−1、一次项系数−(m+，常数项m．【答案】它们爬行的时间为2s．【考点】一元二次方程的应用【解析】设它们爬行的时间为ts，则BM=12−2t，BN=8−t，根据△MNB的面积为24cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出t的值，再将t的值代入12−2t中即可确定t的值，此题得解．【解答】解：设它们爬行的时间为ts，则BM=12−2t，BN=8−t，∵△MNB的面积为24cm2，∴1⋅(12−2t)⋅(8−t)=24，整理得：t2−14t+24=0，2解得：t1=2，t2=12．当t=12时，12−2t=−12<0，∴t=12不合适．。

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6 2．已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．﹣5或2B．﹣5C．2D．﹣23．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5 5．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，﹣4）6．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣37．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（）A．4，﹣1B．，﹣1C．4，0D．，﹣18．已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（）A．﹣4≤a＜﹣B．﹣4≤a≤﹣C．﹣≤a＜0D．﹣＜a＜0二．填空题9．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．10．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为．11．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为．12．对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．13．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是m．14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是（填写序号）．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元．16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C 的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：．17．我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则•的最大值是．18．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE 的面积为．19．把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为．21．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝．22．在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．其中正确的是．（只填序号）24．设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝；（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是．25．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为．三．解答题26．如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c 图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．28．某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：x… 4.0 5.0 5.5 6.57.5…y…8.0 6.0 5.0 3.0 1.0…（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？29．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．（1）填空：点A的坐标为，点D的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△P AC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F 的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC 周长最小，直接写出P，Q的坐标．31．已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．（1）求证：AD＝CD；（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．32．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．33．如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，故选：D．2．解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，∴x＝﹣＞0，∴k＜0．∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）²﹣．∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）²﹣+1，∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）²﹣+1，解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．故选：B．3．解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D．4．解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A．5．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，﹣＝2，∴（﹣）2﹣4×＝16，b＝﹣4，解得c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点P的坐标为（2，﹣4），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），故选：A．6．解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，所以b的值为﹣3或﹣，故选：A．7．解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y ＝﹣x上运动，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），∴B（2，2），从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2或m＝﹣1；当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．故选：D．8．解：由题意，抛物线的顶点（1，2），又∵线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．∴开口向下，∴a＜0，当抛物线y＝a（x﹣1）2+2经过点A（3，﹣4）时，﹣4＝4a+2，∴a＝﹣，观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时，满足条件，∴﹣≤a＜0．故选：C．二．填空题9．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．10．解：将抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）2+2，故答案为：y＝（x+1）2+2．11．解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，∵顶点坐标为（0，﹣2），且a＝﹣3＜0，∴抛物线开口向下，∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．12．解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，整理得b≤a2﹣a，∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，∴a2﹣a的最小值为﹣，∴b≤﹣，故答案为b≤﹣．13．解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，∴当x＝1时，y有最大值为3，∴喷出水珠的最大高度是3m，故答案为：3．14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0，∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点．①∵抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，∴﹣＝﹣1，即b＝2a，即①正确；②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0），∴＝﹣，解得m＝﹣2，∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；③Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，∴抛物线与x轴一定有公共点，且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；④由题意可知，抛物线开口向上，且＞1，∴（1，0）在对称轴的左侧，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确．故答案为：①②④．15．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．故答案为：1264．16．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE，∵CB＝3AC，∴CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），∴OD＝m2，OE＝9m2，∴ED＝8m2，而CE＝3CD，∴CD＝2m2，OC＝3m2，∴C（0，3m2），∵P为CB的中点，∴P（m，6m2），又已知P（x，y），∴，∴y＝x2；故答案为：y＝x2．17．解：根据题意知：•＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．因为﹣2≤x≤3，所以当x＝3时，•＝（3+1）2﹣8＝8．即•的最大值是8．故答案是：8．18．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4．19．解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x故答案为y＝2x2+4x．20．解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．21．解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，解得k＝1，故答案为1．22．解：∵函数y＝（x﹣1）2，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．23．解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，故①正确；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣1，0）之间，故④正确；∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴y＝a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③错误；故答案为：①②④．24．解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．故答案为：0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，∵﹣＜0，∴n的最大值为2．故答案为：2．25．解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E ＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD，∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，∴四边形A'EC'D'是平行四边形，∴A'D'＝EC'，∵A关于直线y＝4的对称点A'，∴AD'＝A'D'，∴EC'＝AD'，∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，而AB、CD为定值，∴此时四边形ABC′D′的周长最小，∵A（3，0）关于直线y＝4的对称点A'，∴A'（3，8），∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），∴E（﹣2，13），设直线BE解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BE解析式为y＝﹣x+，令y＝9得9＝﹣x+，∴x＝﹣，∴C'（﹣，9），∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，故答案为：y＝（x﹣）2．三．解答题26．解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣），∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）存在，理由如下：由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），∵C与B关于直线x＝1对称，∴C（2，﹣），①当BC、PQ为对角线时，如图：此时BC的中点即是PQ的中点，即，解得，∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，∴PB＝PC，∴此时Q（1，﹣）；②BP、CQ为对角线时，如图：同理BP、CQ中点重合，可得，解得，∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四边形BCPQ是菱形，∴此时Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，如图：BQ、CP中点重合，可得，解得，∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴此时Q（3，0）；综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．27．解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+3与y轴交于点A（0，），∴4a+3＝，∴a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣2）2+3；（2）∵直线y＝kx+与抛物线有两个交点，∴kx+＝﹣（x﹣2）2+3，整理得x2+（3k﹣4）x﹣3＝0，∴Δ＝（3k﹣4）2+12＞0，∵x1+x2＝4﹣3k，x1•x2＝﹣3，∴x12+x22＝（4﹣3k）2+6＝10，∴k＝或k＝2，∴k的值为2或；（3）∵函数的对称轴为直线x＝2，当m＜2时，当x＝m时，y有最大值，＝﹣（m﹣2）2+3，解得m＝，∴m＝﹣，当m≥2时，当x＝2时，y有最大值，∴＝3，∴m＝，综上所述，m的值为﹣或．28．解：（1）（2）根据图象设y＝kx+b，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式，得，解得，∴y＝﹣2x+16，∵y≥0，∴﹣2x+16≥0，解得x≤8，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+16（x≤8）；（3）①P＝（x﹣2）y＝（x﹣2）（﹣2x+16）＝﹣2x2+20x﹣32，即P与x的函数表达式为：P＝﹣2x2+20x﹣32（x≤8）；②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，∴x≤2×200%，即x≤4，由题意得P＝10，∴﹣2x²+20x﹣32＝10，解得x1＝3，x2＝7，∵x≤4，∴此时销售单价为3元．29．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，∴9﹣12+c＝0，∴c＝3，∴y＝x2﹣4x+3，令y＝0，x2﹣4x+3＝0，∴x＝3或x＝1，∴A（1，0），∵D是抛物线的顶点，∴D（2，﹣1），故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；（2）当m+2＜2时，即m＜0，此时当x＝m+2时，y有最小值，则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，解得m＝，∴m＝﹣；当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，则m2﹣4m+3＝，解得m＝或m＝，∴m＝；当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；综上所述：m的值为或﹣；（3）存在，理由如下：A（1，0），C（0，3），∴AC＝，设AC的中点为E，则E（，），设P（2，t），∵△P AC是以AC为斜边的直角三角形，∴PE＝AC，∴＝，∴t＝2或t＝1，∴P（2，2）或P（2，1），∴使△P AC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．30．解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），∴B（2，﹣1），∴A（4，0），将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，得到，解得，∴y＝x2﹣x；（2）①设F（2，m），G（x，y），∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，∴（y+2）2＝y2+4y+4，∵y＝x2﹣x，∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，∴（x﹣2）2+＝，整理得，m（m﹣x2+2x）＝0，∵距离总相等，∴m＝0，∴F（2，0）；②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（x M，y M），N（x N，y N），联立，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，∴x M+x N＝4+4k，x M•x N＝8k，∴y M+y N＝4k2，y M•y N＝﹣4k2，∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，∴+＝+＝＝＝1，∴+＝1是定值；（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，∵点C（3，m）是该抛物线上的一点∴C（3，﹣），∵B（2，﹣1），∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，∴Q（0，﹣），P（，0）．31．（1）证明：∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，∴A（4，0），C（0，2），由对称得∠ACD＝∠ACB，∵B（4，2），∴四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，∴∠BCA＝∠OAC，∴∠ACD＝∠OAC，∴AD＝CD；（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，∠AED＝∠B＝90°，∴CD＝AD＝4﹣m，在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，∴m2+22＝（4﹣m）2，∴m＝，∴D（，0），设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx+c，把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：，解得：．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x+2；（3）解：存在，过点E作EM⊥x轴于M，∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD＝，∴S△AED＝AE•DE＝AD•EM，∴×2×＝×（4﹣）EM，∴EM＝，设△PBC中BC边上的高为h，∵S△PBC＝S△OAE，∴×OA•EM＝BC•h，∴××4×＝×4h，∴h＝2，∵C（0，2），B（4，2），∴点P的纵坐标为0或4，①y＝0时，x2﹣x+2＝0，解得：x1＝，x2＝；②y＝4时，x2﹣x+2＝4，解得：x3＝，x4＝（舍去），∴存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，4）．32．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，∴S△PEF＝PF•EF＝PE2，∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．33．解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，设DE交x轴于点F，则F（m，0），∴OF＝﹣m，∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DF A＝∠AOC＝90°，∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴8（2m+8）＝4（﹣m），解得：m＝﹣，∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；（3）存在，如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a＝，∴M3（0，﹣），③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4（0，﹣12），综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．34．解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），设BC的解析式为y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．（3）如图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，连接BC交直线x＝于点P，连接P A，此时P A+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，此时P（，）．（4）如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，∴N1（3，4）．当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，∴N2（，﹣4），N3（，﹣4），综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．。