计算方法作业集答案

算法分析与设计作业参考答案《算法分析与设计》作业参考答案作业⼀⼀、名词解释：1.递归算法：直接或间接地调⽤⾃⾝的算法称为递归算法。

2.程序：程序是算法⽤某种程序设计语⾔的具体实现。

⼆、简答题：1.算法需要满⾜哪些性质？简述之。

答：算法是若⼲指令的有穷序列，满⾜性质：（1）输⼊：有零个或多个外部量作为算法的输⼊。

（2）输出：算法产⽣⾄少⼀个量作为输出。

（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、⽆歧义。

（4）有限性：算法中每条指令的执⾏次数有限，执⾏每条指令的时间也有限。

2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。

答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：（1）该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决；（2）该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质；（3）利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；（4）该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。

3.简要分析在递归算法中消除递归调⽤，将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法。

答：将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法主要有：（1）采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。

该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。

（2）⽤递推来实现递归函数。

（3）通过Cooper 变换、反演变换能将⼀些递归转化为尾递归，从⽽迭代求出结果。

后两种⽅法在时空复杂度上均有较⼤改善，但其适⽤范围有限。

三、算法编写及算法应⽤分析题： 1.冒泡排序算法的基本运算如下： for i ←1 to n-1 dofor j ←1 to n-i do if a[j]交换a[j]、a[j+1]；分析该算法的时间复杂性。

答：排序算法的基本运算步为元素⽐较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求⽐较次数与n 的关系。

（1）设⽐较⼀次花时间1；（2）内循环次数为：n-i 次,（i=1,…n ），花时间为：∑-=-=in j i n 1)(1（3）外循环次数为：n-1，花时间为：2.设计⼀个分治算法计算⼀棵⼆叉树的⾼度。

参考答案 第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。

2．3． （1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。

4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。

令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。

5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）nx )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。

6． 根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤=******)()()(tgcc e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。

则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*0=y ，δ=⨯≤--2*001021y y 由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yMδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。

而11010<<-δ，故计算过程稳定。

计算方法作业集及答案第一章数值计算基本常识一.填空题1.用四舍五入得到的近似数0.628，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。

2.用四舍五入得到的近似数0.586，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。

3.用四舍五入得到的近似数0.69，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。

4.用四舍五入得到的近似数0.7960，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。

5.设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有____位有效数字。

6.设某某=0.231是真值某=0.229的近似值，则某某有_____位有效数字。

7.设某某=0.23是真值某=0.229的近似值，则某某有_____位有效数字。

8.设某=2.3149541，取5位有效数字，则所得的近似值某某=_____。

9.设某=2.3149541，取4位有效数字，则所得的近似值某某=_____。

10.若近似数0.1100有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

11.若近似数76.82有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

12.若近似数576.00有5位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

13.用3.15作为π的近似值有_____位有效数字。

14.用3.14作为π的近似值有_____位有效数字。

15.用3.1416作为π的近似值有_____位有效数字。

解答:1.3、0.5某10-32.3、0.5某10-33.0.5某10-2、0.725%4.0.5某10-4、0.00628%5.16.27.28.2.31509.2.31510.0.05%11.0.007%12.0.001%13.214.315.5二.选择题1.3.141580是π的近似值,有()位有效数字。

P50 – 1%%牛顿插值多项式function [ c, d] = newpoly( x,y )%这里x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。

%c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。

n=length(x);d=zeros(n, n);d(: , 1)=y';for j=2 : nfor k=j : nd(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1)) / (x(k)-x(k-j+1));endendc =d(n, n);for k=(n-1) : - 1 : 1c =conv(c, poly(x(k)));m=length(c);c(m)=c(m)+d(k, k);end>> x = 0.2:0.2:1 ;>> y =[ 0.98,0.92,0.81,0.64,0.38] ;>> c= newpoly(x, y )c = -0.5208 0.8333 -1.1042 0.1917 0.9800%%三次样条插值x=[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];x0 = [0.2,0.28,1.0,1.08];pp=csape(x,y,'variational');%% 三次样条函数表达式disp(pp.coefs);-1.3393 -0.0000 -0.2464 0.98000.4464 -0.8036 -0.4071 0.9200-1.6964 -0.5357 -0.6750 0.81002.5893 -1.5536 -1.0929 0.6400绘制曲线图x2 = 0:0.01:1.2 ;y11 = polyval(c,x2) ;y22 = ppval(pp,x2);x0 = [0.2,0.28,1.0,1.08];y110 = polyval(c,x0);y220 = ppval(pp,x0);plot(x2,y11,'r',x0,y110,'^',x2,y22,'g',x0,y220,'h')legend('牛顿插值','牛顿插值样点','三次样条插值','三次样条插值样点')P50 -3(1)x = [0,1,4,9,16,25,36,49,64] ;y = 0:8 ;x1 = 0:0.1:64 ;x2 = 0:0.01:1 ;f = lagrange(x,y)%% 得到多项式函数表达式L(x)= - 3.28063e-10*x^8 + 6.71268e-8*x^7 - 0.00000542921*x^6 + 0.000222972*x^5 - 0.00498071*x^4 + 0.0604294*x^3 - 0.38141*x^2 + 1.32574*xy1 = lagrange(x,y,x1) ;y2 = lagrange(x,y,x2) ;(2)(2) x = [0,1,4,9,16,25,36,49,64] ;y = 0:8 ;x1 = 0:0.1:64 ;x2 = 0:0.01:1 ;%% 得到三次样条差值函数表达式pp=csape(x,y,'not-a-knot');disp(pp.coefs);0.0266 -0.2998 1.2732 00.0266 -0.2199 0.7534 1.0000-0.0021 0.0197 0.1529 2.00000.0005 -0.0112 0.1955 3.0000-0.0000 -0.0001 0.1160 4.00000.0000 -0.0014 0.1026 5.00000.0000 -0.0005 0.0825 6.00000.0000 -0.0004 0.0717 7.0000y11 = ppval(pp,x1) ;y22 = ppval(pp,x2) ;绘制图形（1）在[0,64]显然随着次数越高，多项式插值出现误差很大（2）[0,1]在[0,1]区间上三次样条插值和多项式插值基本一致P137-1insucomplex_4_1.m 文件clear ;clc ;%h为步长,可分别令h=1,0.1,0.01,0.001h = [1,0.1,0.01,0.001]for i = 1:4h(i) ,x=0:h(i):1;y=sqrt(x).*log(x+eps);%复化梯形公式T=trapz(x,y);T=vpa(T,7),f=inline('sqrt(x).*log(x)',x);%复化辛普生公式S=quadl(f,0,1);S=vpa(S,7),end>> t = -log(h) ;>> plot(t,T,'rs',t,S,'r*')>> lengend('复合梯形公式','复合梯形公式')。

（五）课后习题4.1 对于积分⎰-aadx x f )(，以a x x a x ==-=210,0,为节点，构造形如⎰-++≈aax f A x f A x f A dx x f )()()()(221100的插值型求积公式，并讨论所得公式的代数精度。

解答：⎰⎰--=------=----=aa a a a dx a a a a x x dx x x x x x x x x A 31))(0())(0())(())((2010210⎰⎰--=-+-+=----=aa a a a dx a a a x a x dx x x x x x x x x A 34)0)(0())(())(())((2101201⎰⎰--=-+-+=----=aa a a a dx a a a x a x dx x x x x x x x x A 31)0)(()0)(())(())((1202102易知为Simpson 公式,因此代数精度为34.2 确定 下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。

（1）⎰++≈2210)2()1()0()(f A f A f A dx x f（2）⎰-⋅++≈hh f f h h f f hdx x f 0''2)]()0([)]()0([2)(α解答：（1）令2,,1)(x x x f =，假定求积公式均准确成立，从而有： ⎰++==202102A A A dx 21022102⋅+⋅+⋅==⎰A A A xdx22212022210038⋅+⋅+⋅⋅==⎰A A A dx x 解以上三元线性方程组从得：34,31120===A A A ，显然仍为Simpson 公式,因此代数精度为3（2）求积公式中只含一个待定参数α，当x x f ,1)(=时，有 ⎰++=hh dx 00]11[2，⎰-++=h h h hxdx 02)11(]0[2α故令2)(x x f =时求积公式准确成立，即⎰-⨯++=hh h h h dx x 0222]202[]0[2α，解得121=α将3)(x x f =代入上述确定的求积公式，有：⎰-++=hh h h h dx x 02233]30[12]0[2，这说明求积公式至少有3次代数精度，再令 4)(x x f =，代入求积公式时有：⎰-++≠hh h h h dx x 03244]40[12]0[2故所建求积公式为⎰-++≈hh f f h h f f h dx x f 0''2)]()0([2)]()0([2)(4.3 对于xxx f sin )(=，利用下表数据，计算8,4=n 时的复合梯形公式84,T T ，以及4=n 复合Simpson 公式4S 的值。

第一次作业1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。

9800107480.566.385031.01021.1*65*5*4*3*2*1=⨯=====x x x x x x解： ，有5位有效数字，绝对误差限为； ，有2位有效数字，绝对误差限为； ；有4位有效数字，绝对误差限为； ；有5位有效数字，绝对误差限为； ；有1位有效数字，绝对误差限为； ；有4位有效数字，绝对误差限为。

2.要使的近似值的相对误差限小于，要取几位有效数字？解：由于，设要取位有效数字，则根据定理1.1.1，有()()%1.010811021111<⨯=⨯≤----n n r x ε，解得4≥n ，即要取4位有效数字。

3.序列满足递推关系若，计算到时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？解：，由于有3位有效数字，且，所以的绝对误差限为，因此的绝对误差限为。

很明显这个计算过程不是数值稳定的。

作业中出现的问题：第一题：主要是第五个数5*5107⨯=x ，不知道它有几位有效数字，很多同学认为有5或者6位有效数字，这是不对的，进而算错绝对误差限。

另外有个别同学分不清有效数字的概念，六个数的有效数字都弄错了。

第二题：主要是算错n ，不知道该取3还是4。

第三题：没有什么大的问题。

有个别同学一个数一个数的算出来了，这是不可取的。

直接迭代误差就行了。

附：地物1301班和1302班有几个同学花名册上没有名单，我添加上去了。

第二次作业1*11011021.01021.1⨯==x 4-5-1105.0105.0⨯=⨯1-*21031.0031.0⨯==x 3-2-1-105.0105.0⨯=⨯3*3103856.06.385⨯==x -14-3105.0105.0⨯=⨯2*41056480.0480.56⨯==x 3-5-2105.0105.0⨯=⨯65*5107.0107⨯=⨯=x 51-6105.0105.0⨯=⨯4*6109800.09800⨯==x 5.0105.04-4=⨯20%1.0110447213595.047213595.420⨯⋯=⋯=n {}n y ,,2,1,1101⋯=-=-n y y n n 41.120≈=y 10y ()()()*00*222*11*101010y y y y y y y y n n n n n n n -=⋯=-=-=-----*0y 1*010141.041.1⨯==y *0y 2-105.0⨯*10y 72-10105105.010⨯=⨯⨯1.利用二分法求方程在[2,3]内根的近似值，并指出误差。

吉林大学网络教育学院2019-2020学年第一学期期末考试《计算方法》大作业答案学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。

一、解线性方程（每小题8分，共80分）1、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组X1+2X2+3X3= 02X1+2X2+8X3= -4-3X1-10X2-2X3= -11答：2、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组X1+2X2+3X3= 12X1– X2+9X3= 0-3X1+ 4X2+9X3= 1答：3、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组2X1+X2+X3= 46X1+4X2+5X3=154X1+3X2+6X3= 13答：4、用高斯消去法求解线性方程组2X1- X2+3X3= 24X1+2X2+5X3= 4-3X1+4X2-3X3= -3答：5、用无回代过程消元法求解线性方程组2X1- X2+3X3= 24X1+2X2+5X3= 4-3X1+4X2-3X3= -3答：6、用主元素消元法求解线性方程组2X1- X2+3X3= 24X1+2X2+5X3= 4-3X1+4X2-3X3= -3答：7、用高斯消去法求解线性方程组1231231232344272266x x x x x x x x x -+=++=-++=答：8、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组12341231521917334319174262113x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 答：9、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组123421111443306776081011112x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 答：10、用高斯消元法解方程组1237811351341231x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦答案：二、计算（每小题10分，共20分）1、已知节点x1,x2及节点处函数值f(x1)，f(x2)，构造线性插值多项式p1(x). 答：2、设f(xi)=i(i=0,1,2),构造二次式p2(x)，使满足： p2(xi)=f(xi)(i=0,1,2)答：。

1．设I n 1 x ndx ，0 5 x（ 1）由递推公式 I n 5I n 11，从 I 0的几个近似值出发，计算I 20；n解：易得： I 0 ln6-ln5=0.1823, 程序为：I=0.182;for n=1:20I=(-5)*I+1/n;endI输出结果为： I 20= -3.0666e+010（ 2）粗糙估计 I 20，用 I n 1 1I n 1 1 ，计算 I 0；5 5n0.0079 1 x 20 1 x 200.0095因为dx I 20dx 6 5所以取 I 20 1(0.0079 0.0095) 0.0087 2程序为： I=0.0087;for n=1:20I=(-1/5)*I+1/(5*n);endII 0= 0.0083（ 3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因 )。

首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为E0 I 0 I 0，递推过程的舍入误差不计。

并记 E n I n I n，则有 E n 5E n 1 ( 5) n E0。

因为 E20( 5) 20 E0 I 20，所此递推式不可靠。

而在第二种递推式中E0 1E1 (1)n E n，误差在缩小，5 5所以此递推式是可靠的。

出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。

2．求方程e x10x 2 0 的近似根，要求x k 1x k 5 10 4，并比较计算量。

（1）在 [0， 1]上用二分法；程序： a=0;b=1.0;while abs(b-a)>5*1e-4c=(b+a)/2;if exp(c)+10*c-2>0b=c;else a=c;endendc结果： c =0.0903（ 2）取初值x0 0，并用迭代 x k 1 2 e x ；10程序： x=0;a=1;while abs(x-a)>5*1e-4a=x;x=(2-exp(x))/10;endx结果： x =0.0905（3）加速迭代的结果；程序： x=0;a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4a=x;y=exp(x)+10*x-2;z=exp(y)+10*y-2;x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);b=x;endx结果： x =0.0995（ 4）取初值x00 ，并用牛顿迭代法；程序： x=0;a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4a=x;x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); b=x;end x 结果： x =0.0905（ 5） 分析绝对误差。

计算方法作业第二章插值1.（1（2）用二次Lagrange插值多项式求当X=0.15时Y的近似值。

（3）写出余项R(x)=f(x)-Pn(x)的表达式。

解：（1）Pn (x) =knknkjj jkj yxxxx)(00∑∏=≠=--n=3P 3(x)=321321))()(())()((yxxxxxxxxxxxx------+13121132))()(())()((yxxxxxxxxxxxx------+23212231))()(())()((yxxxxxxxxxxxx------+32313321))()(())()((yxxxxxxxxxxxx------x 0=0.0 x1=0.1 x2=0.2 x3=0.3y 0=0.0000 y1=0.0998 y2=0.1987 y3=0.2955P 3(x)=0000.0)3.00.0)(2.00.0)(1.00.0()3.0)(2.0)(1.0(⨯------xxx+0998.0)3.01.0)(2.01.0)(0.01.0()3.0)(2.0)(0.0(⨯------xxx+1987.0)3.02.0)(1.02.0)(0.02.0()3.0)(1.0)(0.0(⨯------xxx+2955.0)2.03.0)(1.03.0)(0.03.0()2.0)(1.0)(0.0(⨯------xxx(2) y(0.15) = P2(0.15) = 0.1494（3）R(x) = f(x)-Pn (x)=)!1()()1(++nf nξnk0=∏(x - x k)=!4)(4ξf(x – 0.0) (x – 0.1)(x – 0.2)(x – 0.3)第三章 方程求根5．求解方程12-3x+2cosx=0的迭代法n n x x cos 3241+=+（1）证明对于任意的x 0€R 均有*lim x x n x =∞→ (x *为方程的根)（2）取x 0=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10-３，列出各次的迭代值。

高等数学基础第一次作业点评第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A.2)()(x x f =，x x g =)( B.2)(x x f =，xx g =)(C.3ln )(x x f =，xx g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g 点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也相同。

而与自变量或因变量所用的字母无关。

⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A.坐标原点 B.x 轴C.y 轴D.xy =点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于Y 轴对称。

⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A.)1ln(2x y += B.x x y cos =C.2xx a a y -+=D.)1ln(x y +=点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。

若)()(x f x f =-，则函数为偶函数；若)()(x f x f -=-，则函数为奇函数。

⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）．A.1+=x y B.x y -=C.2xy = D.⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y 点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。

⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A.12lim 22=+∞→x x x B.0)1ln(lim 0=+→x x C.0sin lim =∞→xx x D.01sinlim =∞→xx x 点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如C ，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。

⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．A.xx sin B.x1C.xx 1sinD.2)ln(+x 点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

第一章 气体分子动理论（说明：由于时间仓促，所给答案仅作参考）三、计算题：解：（1）由理想气体的压强和温度的关系nkT p =得：3252351044.2)27273(1038.11001.1--⨯=+⨯⨯⨯==m KTP n（2）由理想气体的状态方程RT MPV μ=得：)/(30.130031.81001.11032353m kg RTP VM =⨯⨯⨯⨯===-μρ(3) n 个分子占据一单位体积，所以每个分子平均占据1/n 的立方空间，因此分子间的平均距离：m nd 932531047.31044.211-⨯=⨯==2、解：（1）由理想气体状态方程RT RT MpV νμ==及VM =ρ得：摩尔质量：)/(283.10127331.81025.13mol g PRT =⨯⨯⨯==-ρμ由此判断该双原子气体为氮气或者是一氧化碳。

（2）气体分子的方均根速率：2v s m PRT/4931025.13.1013)3(321321≈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯===-ρμ(3) 气体分子得平均平动动能：J KT t 21231056.522731038.1323--⨯≈⨯⨯⨯==ε气体分子得平均转动动能： J kT r 21231077.32731038.1--⨯≈⨯⨯==ε（4）单位体积内的气体分子数：kTP n =单位体积内气体分子的总平动动能：J P kT n E 21052.13.101232323⨯=⨯==⋅=平（5）0.3mol 该气体的内能：J RT E 31070.127331.8253.0253.0⨯=⨯⨯⨯=⨯=3、解：设使用前质量为M ，则使用后质量为2M ，则可列出使用前后的理想气体状态方程： μ11MRT V P =①μ2221MRT V P =②联立①②两式，得：12122P P T T =平均速率之比：12v v ===212P P第二章 热力学基础五、计算题：1、解：(1)CA 过程为等容过程，则：CC AA T P T P =得：K T P P T A AC C 75300400100=⨯==BC 过程为等压过程，则：CC BB T V T V =得：6752252B BC CV T T K V ==⨯=(2)由题意40.1=γ得，5=i ，R C V 25=，R C P 27=，摩尔数A A AP V RT υ=A C →过程：0C A A J = 540025()225150023002A A C A V A C AP V E C T R T T J RT υ⨯∆=∆=⨯⨯⨯-=⨯⨯=540025()225150023002A A C A C A V A C AP V Q E C T R T T J RT υ⨯∆=∆=∆=⨯⨯⨯-=⨯⨯=C B →过程：()100(4)400BC C C B A P V V J =⨯-=⨯-=-540025()(75225)100023002A A BC V CB AP V E C T R T T J RT υ⨯∆=∆=⨯⨯⨯-=⨯⨯-=-1400BC BC BC Q E A J ∆=∆+=-B A →过程：1(400100)4()()100022A B A B B A A P P V V J +⨯=⨯+⨯-==540025()(225300)50023002A A AB V B A AP V E C T R T T J RT υ⨯∆=∆=⨯⨯⨯-=⨯⨯-=-500AB AB AB Q E A J ∆=∆+=2、解： ab ，cd 过程为等压过程，bc ，da 为等温过程，则有：J T C Q p ab 5.2908)200300(31.8271=-⨯⨯⨯=∆=νJ P P RT Q cb b bc 17282ln 30031.81ln=⨯⨯⨯==ν718.31(200300)-2908.52cd p Q C T J ν=∆=⨯⨯⨯-=ln-18.31200ln 21152a da adP Q RTJ P ν==⨯⨯⨯=-所以，循环效率： cd 2908.511521112.4%2908.51728da ab bcQ Q A Q Q Q η++==-=-=++吸3、证明：1到2过程，3到4过程为绝热过程，有12340Q Q == 112211V T V T γγ--⋅=⋅ ① 113344V T V T γγ--⋅=⋅ ②由①和②联立可得：1412321()T T V T T V γ--=- ③2到3过程，4到1过程为绝热过程，有2332()V Q nC T T =- 4114()V Q nC T T =-循环过程的效率：4124112332111Q Q T T Q Q T T η-=-=-=--利用③式，可得：1211()V V γη-=-即1-121()V V γη=-第三章 静电场三、证明：如图，设球壳的介电常数为ε，在球壳区域内作一半径为r 的闭合圆球面为高斯面。

吉林大学网络教育学院2018-2019学年第二学期期末考试《计算方法》大作业学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日一、构造次数不超过三次的多项式P3（X），使满足：（10分）P3（0）= 1;P3（1）=0；P3′（0）=P3′（1）=0。

二、设f(x i)=i(i=0,1,2),构造二次式p2(x)，使满足：（10分） p2(x i)=f(x i)(i=0,1,2)三、设节点x i=i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造次数不超过3次的多项式p3(x),满足p3(x i)=f(x i),i=0,1,2,3 （10分）四、对于上题的问题，构造Newton插值多项式。

（10分）五、构造三次多项式P 3（X ）满足：P 3（0）= P 3（1）=0，P 3′（0）=P 3′（1）=1。

（10分）六、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b 即解方程组 （15分） 12341231521917334319174262113x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：用公式七、基于迭代原理证明（10分）+++=22 (22)八、构造二次多项式2()x p 满足： （10分）'010222()1;()0;()1p p p x x x ===九、构造一个收敛的迭代法求解方程3210x x --=在[1.3,1.6]内的实根。

合理选择一个初值，迭代一步，求出1x 。

（15分）作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word 文档内，最终word文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word 文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。

补充题：123x*=36.43598x =36.43666,x =36.43647,x =36.43628已知，问各有几位有效数字？2-4123|36.4366636.43598| 0.000680.510 ,x x x x *-≤-=≤⨯解：||故该值有4位有效数字 同理可求各有5位有效数字。

1.5 古代数学家祖冲之曾以355113作为圆周率的近似值，问其有多少位有效数字？-7-61-7|355/113 3.1415936| 3.2035100.5100.510x x *-≤-≤⨯≤⨯≤⨯解：||故该值有七位有效数字2.1、试构造收敛的迭代公式求解下列方程cos sin (1) (2)424xx xx x +==-cos sin (), [0,1],0()1,4cos sin [0,1] |()|||14()[0,1]k+1k 00.500.3392,0.3188,0.3392,0.3157,0.3112345x xx x x x xx x x x x xx x x x x ϕϕϕϕ+=∈≤≤-+'∈=<=∈======解：(1)记取有， 则迭代公式对于任意的均收敛于方程的根取 51,0.315160.3151x x=*=()log (4-), [1,2],1()2,24 [1,2] |()|||1ln 2()[1,2]k+1k 01.501.3219, 1.4212, 1.3667, 1.3969, 1.3802, 1.3894, 1.38441234567x x x x x x x x x x xx x x x x x x xϕϕϕϕ=∈≤≤-'∈=<=∈========*=(2)记取有， 则迭代公式对于任意的均收敛于方程的根取 1.3832k+122k13223k+1k 2k+1002.2 10, 1.5111,11,(11,11.5 1.5x x x x x xx x x x x x x x x x --===+=+=+=+==-==方程在附近有根，把方程写出三种 不同的形式： （1）对应迭代公式 ；（2）对应迭代公式)； （3）对应迭代公式；判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出 附近的根到4位有效数字。

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1.6 横撑式板桩土压力分布有何特点？ 1.7 水泥土墙设计应考虑哪些因素？水泥土搅拌桩施工应注意哪些 问题？ 1.8 板桩设计应考虑哪些因素？ 1.9 试绘：“相当梁法”计算单锚嵌固板桩的计算简图，说明反弯点 确定的方法？ 1.10 井点降水有何作用？ 1.11 简述流砂产生的机理及防止途径？ 1.12 轻型井点系统有哪些部分组成？其高程和平面布置有何要 求？ 1.13 单斗挖土机有几种形式？分别适用开挖何种土方？1文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1.14 土方填筑应注意哪些问题？叙述影响填土压实的主要因素？习题1 某建筑场地方格网如图 1-60 所示，方格网边长 20 m，双向泄水边坡 ix=iy=0.3%,试按挖填平衡的原则确定设计标高（不考虑土的可松性）。

170.002 求图 1-61 场地170.50 171.00171.00图 1-60171.50的最佳设计平面 （ c, ix, 170.500y42.5842.90图 1-6114731.2.530iy ）。

172.00 43.6744.17 x43.24171.00 43.0743.9444.3444.8042.9443.3543.7644.1744.673 用表上作业法求下表所示土方调配的最优方案，并计算运输工程 量（m3·km）2文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.填方区挖方区W1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.T1T2T3T4挖方量（m3）30307080200W2506012070700W320803040700填 方 量 400300400500（m3）1600注：方框右上角为运距（km）。