第十章多元函数微分学资料

多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。

它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。

本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。

1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。

多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。

在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。

多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。

2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。

偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。

全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。

全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。

3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。

类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。

对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。

4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。

多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。

多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。

第十章多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法．３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．二、要点解析问题１比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 (1)多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P，那么对于一元函数，点P在区间上变化；对于二元函数f(x,y)，点P(x,y)将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成u=f(P)，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成P→P0limf(P)=A,limf(P)=f(P0)．P→P0（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限limxy，x→0x2+y2y→0容易看出，如果先让x→0再让y→0，那么lim(limy→0x→0xy)=lim0=0，22y→0x+y同样，先让y→0再让x→0，也得到lim(limx→0y→0xy)=0， 22x+y但是如果让(x,y)沿直线y=kx(k≠0)而趋于(0,0)，则有xykx2klim2=lim=，2x→0x+y2x→0x2(1+k2)1+ky→kx它将随k的不同而具有不同的值，因此极限limxy x→0x2+y2y→0不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数⎧xy22,x+y≠0,⎪2z=f(x,y)=⎨x+y2⎪x2+y2=0,⎩0,fx'(0,0)=lim∆x→0 f(0+∆x,0)-f(0,0)0-0=lim=0，∆x→0∆x∆x同样fy'(0,0)=lim∆y→0f(0,0+∆y)-f(0,0)0-0=lim=0，∆y→0∆y∆y所以f(x,y)在(0,0)点可导．然而，我们已经看到极限limf(x,y)=limx→0y→0xy x→0x2+y2y→0不存在，当然f(x,y)在(0,0)不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数fx'(0,0)实质上是一元函数f(x,0)在x=0处关于x的导数．它的存在只保证了一元函数f(x,0)在点x=0的连续．同理，偏导数fy'(0,0)的存在保证了f(0,y)在y=0点的连续，从几何意义来看，z=f(x,y)是一张曲面，z=f(x,0)，y=0为它与平面y=0的交线，z=f(0,y)，x=0为它与平面x=0的交线．函数z=f(x,y)在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数z=f(x,y)即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若z=f(x,y)在(x0,y0)可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式∆z=fx'(x0,y0)∆x+fy'(x0,y0)∆y+o(ρ)其中当ρ→0时，o(ρ)→0，从而lim∆z=0，∆x=0∆y=0因此函数在(x0,y0)可微，那么它在(x0,y0)必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若f(x,y)在(x0,y0)不仅可导而且偏导数都连续，那么f(x,y)必在(x0,y0)可微．函数f(x,y)的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：dz=fx'(x,y)dx+fy'(x,y)dy．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连问题２如何求多元函数的偏导数？解析求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用．例1 设z=esiny,求xy∂z∂z,．∂x∂y∂z=yexysiny，∂x解直接求偏导数∂z=xexysiny+exycosy ，∂y利用全微分求偏导数dz=sinydexy+exydsiny=exysiny(ydx+xdy)+exycosydy =yexysinydx+(xexysiny+exycosy)dy，所以∂z∂z=yexysiny,=xexysiny+exycosy．∂x∂y∂z∂z,．∂x∂y例2 设z=f(exy,siny),求解由复合函数求导法则，得∂z=f1(exy,siynx)⋅yey，∂x∂z=f1(exy,siny)exy⋅x+f2(exy,siny)cosy，∂y其中f1,f2分别表示f(exy,siny)对exy,siny的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．例3 说明函数f(x,y)=1-x2+y2在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．-∆x1-(∆x)2-1f(0+∆x,0)-f(0,0)解 lim，=lim=lim∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆x此极限不存在，所以在(0,0)处fx'(0,0)不存在．同理∆y→0lim-∆yf(0,0+∆y)-f(0,0) ，=lim∆y→0∆y∆y此极限不存在，所以，在点(0,0)处，fy'(0,0)不存在．但函数f(x,y)=1-x2+y2≤f(0,0)=1，即f(x,y)在点(0,0)取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： 4（1）根据实际问题建立函数关系，确定定义域；（2）求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数z=x2+y2的极小值（无条件极值）显然在(0,0)点取得，其值为零．但是(0,0)显然不是此函数的约束条件x+y-1=0下的条件极小值点．事实上x=0,y=0根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点(,)处取得，其值为11221，从几何2上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面z=x2+y2所有竖坐标中的最小⎧z=x2+y2,者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面x+y-1=0上，即空间曲面⎨⎩x+y-1=0上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条件y=1-x代入函数z=x2+y2，便将原来的条件极值化成了一元函数y2z=x2+(1-x)2=2x2-2x+1 的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断．22例4 求z=x+y+5在约束条件y=1-x下的极值．解作辅助函数则有F(x,y,λ)=x2+y2+5+λ(1-x-y)， Fx'=2x-λ,Fy'=2y-λ，⎧⎪2x-λ=0,解方程组⎨2y-λ=0,⎪⎩1-x-y=0,1x=y=,λ=1．得 211 现在判断P(,)是否为条件极值点： 2222由于问题的实质是求旋转抛物面z=x+y+5与平面y=1-x的交线，即开口向上5的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点P(,)处取得极小值z=问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？解析二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处的方向导数112211．2∂f刻画了函数在这点当自变量∂l沿着射线l变化时的变化率，梯度grad z的方向则是函数在点(x,y)处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助．例5 求函数u=xy2z在点P(1,-1,2)处函数值下降最快的方向．解负梯度方向是函数值下降最快的方向，因grad u=∂u∂u∂uk =y2zi +2xyzj +xy2k，i +j +∂x∂z∂y(1,-1,2) grad u(1,-1,2)=2i-4j+k，故所求方向为a=-grad u=-2i+4j-k．三、例题精选例6 求函数z=2x-y2ln(1-x-y)22的定义域，并作出定义域图形．解要使函数有意义，需满足条件 2⎧y≤2x,⎧2x-y≥0,⎪2⎪221-x-y>0, 即⎨⎨x+y<1, 21-x-y≠1,⎪(x,y)≠(0,0),⎪⎩⎩2定义域如图阴影部分所示．u例7 设f(u,v)=esinv,求 df(xy,x+y)． u解一因为 f(u,v)=esinv,所以 f(xy,x+y)=esin(x+y)，xy∂f=yexysin(x+y)+exycos(x+y)，∂x∂f=xexysin(x+y)+exycos(x+y)，∂yxyxy所df(xy,x+y)=[ysin(x+y)+cos(x+y)]edx+[xsin(x+y)+cos(x+y)]edy．解二由复合函数求导法则得∂f∂f∂u∂f∂v=+=exysin(x+y)y+exycos(x+y)，∂x∂u∂x∂v∂x∂f∂f∂u∂f∂v=+=exysin(x+y)x+exycos(x+y)，∂y∂u∂y∂v∂y所以df(xy,x+y)=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+exy[xsinx(+y+)cxo+sy(]y．) dy，验证 x例8 设z=f(x,y,u)=xy+xF(u)，其中F为可微函数，且u=x∂z∂z+y=z+xy．∂x∂y证这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．∂z∂f∂f∂uydF⎛dF∂u⎫， =+=[y+F(u)]+ x⎪=y+F(u)-∂x∂x∂u∂xxdu⎝du∂x⎭同理有∂z∂f∂f∂udF∂udF=+=x+x=x+，∂y∂y∂u∂ydu∂yduxz y∂z∂zdFdF=2xy+xF(u)=z+xy． +y=xy+xF(u)-y+xy+y∂x∂ydudux2例９设f(x,y,z)=eyz，其中z=z(x,y)由方程x+y+z-xyz=0所确定，求fx'(0,1,-1)．解 f(x,y,z=)x2对eyzx求偏导，并注意到z是由方程所确定的x,y的函数，得 x2xfx'[x,y,z(x,y)]=eyz+2eyz⋅∂z ∂x ①下面求∂zF'∂z1-zy，由F(x,y,z)=x+y+z-xyz=0得，代入①得 =-x=-∂x∂xFz'1-yx于是 fx'[x,y,z(x,y)]=exyz2-2exyz⋅1-zy， 1-yx1-1⋅(-1)=5． 1-0⋅1fx'(0,1,-1)=e0⋅1⋅(-1)2-2e0⋅1⋅(-1)⋅222例10 求曲面x+2y+3z=21平行于平面x+4y+6z=0的切平面方程．解析此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为(x0,y0,z0)，则曲面过该点的法7向量可由x0,y0,z0表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出．解设曲面F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21=0 平行于已知平面的切平面与曲面相切于(x0,y0,z0)，故该切平面的法向量n=Fx'(x0,y0,z0),Fy'(x0,y0,z0),Fz'(x0,y0,z0) {}过(x0,y0,z0)的切平面方程为2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0，①该切平面与已知平面x+4y+6z=0平行，所以2x04y06z0==， 146 ②又由于(x0,y0,z0)在曲面上，所以222x0+2y0+3z0=21，③联立②与③式，解得⎧x01=1,⎪⎨y01=2,⎪z=2.⎩01⎧x02=-1,⎪⎨y02=-2, ⎪z=-2.⎩02将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为及3 2x+4y+6z-21=0, x+4y+6z+21=0.2例11 求函数z=x-4x+2xy-y的极值．解第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点⎧∂z2=3x-8x+2y=0,⎪∂x⎨∂z =2x-2y=0,⎪⎩∂y解出{x=2,x1=0, 2 y1=0,y2=2.{第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下： 8因此z(0,0)=0．例12 求曲线y=lnx与直线x-y+1=0 之间的最短距离．解一切线法．若曲线上一点到已知直线的距离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线．据此，我们先求y=lnx的导数y'=1,令y'=1（已知直线上的斜率为1），得 xx=1，这时y=0，故曲线y=lnx上点(1,0)到直线x-y+1=0的距离最短，其值为d=-0+1+(-1)22=2．解二代入条件法（利用无条件极值求解）．设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则点(x,y)到已知直线的距离为d=12x-y+，将y=lnx代入上式得d=12x-lnx+1， 12易知x=lnx-1>0(x>0)，故d=(x-lnx+1)．①令u=x-lnx+1，则u'=1-1，由u'=0，得x=1，这是函数u=x-lnx+1在x(0,+∞)内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为d=12(1-ln1+1)=2．解三拉格朗日乘数法．设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则该点到直线的距离为d=x-y+1+(-1)22=12x-y+，令z=d，则2z=12121x+y-xy+x-y+， 222显然，在上式中y=lnx，即y-lnx=0．引入辅导函数 F(x,y)=解方程组12121x+y-xy+x-y++λ(y-lnx)， 222'⎧⎪Fx(x,y)=x-y+1-λx=0,⎨Fy'(x,y)=y-x-1+λ=0, ⎪⎩y-lnx=0,①②③1①+②，得λ(1-)=0．因为λ≠0，故x=1，代入③，得y=0，于是(1,0)是唯一x可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线y=lnx上点(1,0)到已知直线的距离最短，其值为d=12(1-0+1)=2．四、练习题1．判断正误(1) fx(x0,y0)=fx(x,y)x=x0=fx(x,y0)x=x0表达式成立；（√ ）y=y0解析 fx(x0,y0)表示f(x,y)在(x0,y0)对x的偏导数；fx(x,y)x=x0表示f(x,y)对y=y0函数f(x,y0)x的偏导数在(x0,y0)处的值；fx(x,y0)x=x表示f(x,y)先固定y=y0后，在x=x0处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．(2) 若z=f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在，则z=f(x,y)在(x0,y0)处一定可微；（⨯）解析由可微的充分条件知，只有z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在且连续时，函数z=f(x,y)在该点一定可微．⎧2xy⎪,(x,y)≠(0,0)例如f(x,y)=⎨x2+y2在（0，0）处偏导数存在，但不可微．⎪(x,y)=(0,0)⎩0,(3) 若(x0,y0)为z=f(x,y)的极值点，则(x0,y0)一定为驻点；解析偏导数不存在的点也可能是极值点．（⨯）⎧∂z=⎪∂x⎪22例如 z=x+y在（0，0）处取得极小值，但⎨在（0，0）处偏导∂z⎪=∂y⎪⎩数不存在，不是驻点．(4)∂f∂xx=0y=0就是函数f(x,y)在(0,0)处沿x轴方向的方向导数．（√ ）解析沿x轴方向的方向导数2．选择题∂f∂f∂fπ∂f=cos0+co s=．∂l∂x∂y2∂x(1) 设f(x,y)=xy，则下列式中正确的是（ C ）；22x+y(A) f x,⎛⎝y⎫⎪=f(x,y)； (B)f(x+y,x-y)=f(x,y)； x⎭(C) f(y,x)=f(x,y)； (D) f(x,-y)=f(x,y)．解析 f(x,y)=xy是关于x，y的对称函数，故f(y,x)=f(x,y)． 22x+y∂2z(2)设z=ecosy，则； =（ D ）∂x∂yxx (A) esiny； (B) ex+exsiny；(C) -excosy； (D) -exsiny．∂z∂2zx=ecoys，解析 =-exsiny．∂x∂x∂y(3)已知f(x+y,x-y)=x2-y2，则∂f∂f； +=（ C ）∂x∂y(A) 2x+2y； (B) x-y； (C) 2x-2y (D) x+y．解析设 x+y=u，x-y=v，则 f(x+y,x-y)=x2-y2=(x+y)(x-y)变换为 f(u,v)=uv．∂f∂f∂u∂f∂v∂f∂f∂u∂f∂v=⋅+⋅=v+u， =⋅+⋅=v-u，∂x∂u∂x∂v∂x∂y∂u∂y∂v∂y所以∂f∂f+=(v+u)+(v-u)=2v=2x-2y．∂x∂y(4)函数z=x3+y3-3xy的驻点为（ B ）； (A)(0,0)和(-1,0)； (B)(0,0)和(1,1)；(C)(0,0)和(2,2)；(D)(0,1)和(1,1)．⎧∂z2=3x-3y=0,⎪∂xx=0,与x=1, 解析求两个偏导数⎨∂z ⇒ y=0,y=1,2⎪=3y-3x=0,⎩∂y{{所以驻点为(0,0)和(1,1)．(5)函数z=x2-y2+1的极值点为（ D ）． (A)(0,0)； (B)(0,1)； (C)(1,0)；(D)不存在．⎧∂z⎪∂x=2x=0,解析求两个偏导数⎨∂z 得驻点为（0，0），⎪=-2y=0,⎩∂y∂2z∂2z∂2z=2，B=又因为A==0，C=2=-2，则B2-AC=4>0，所以，驻点2∂x∂x∂y∂y 不是极值点，极值点不存在．3．填空题(1) z=y-x2+1的定义域为{(x,y)y≥x2-1} ；22解要使函数有意义，应满足y-x+1≥0，即y≥x-1(2) 已知f(x,x+y)=x2+xy，则解设 x+y=u，则∂f= 2x+y ；∂xf(x,x+y)=x2+xy=x(x+y)=xu，关于x的偏导数∂f∂f∂f∂u=()+=u+x=2x+y．∂x∂x∂u∂xx=1y=1 (3) 设z=ln(x2+y2)，则dz=dx+dy；解设 x2+y2=u，则 z=lnu，所以∂zdz∂u1∂zdz∂u1==⋅2x， ==⋅2y，∂xdu∂xu∂ydu∂yu从而dzx=1y=1=∂z∂xx=1dx+y=1∂z∂yx=1y=1dy=dx+dy．yππ(4) 曲面z=arctan()在点M(1,1,)处的切平面方程为 x-y+2z-=0 ； x42解令 F(x,y,z)=z-arctan(y)， xyy12=则 Fx=-，，F=xπ(1,1,)2x2+y2241+()x11-xF=-，， Fy=-=2yπ(1,1,)y2x+y2241+()x11π曲面的切平面方程为 (x-1)-(y-1)+(z-)=0 ， 224π即 x-y+2z-=0． 2-(5) 设z+ez=xy，则x∂z= ；z1+e∂yz解一令F(x,y,z)=z+e-xy，则 Fz=1+ez， Fy=-x，Fyx∂z=-所以 =．∂yFz1+ez解二设z=z(x,y)，两边对y求偏导数，有x∂zz∂z∂z+e=x ，即 =．z∂y∂y∂y1+e4．解答题 (1)设可微函数z=f(x,u),u=ϕ(x,t),t=sinx,求解偏导数为 dz；dxdz∂z∂z∂u∂z∂udt⋅⋅⋅ =++dx∂x∂u∂x∂u∂tdx∂f∂f∂ϕ∂f∂ϕ⋅⋅⋅cost．=++∂x∂u∂x∂u∂t(2)设z=f(x2+y2)，且f(u)可微，证明 y解设 x2+y2=u，则z=f(u)，∂z∂z-x=0．∂x∂y从而∂zdz∂u∂zdz∂u⋅=f'(u)⋅2x，⋅=f'(u)⋅2y，==∂xdu∂x∂ydu∂y则 y所以，原结论成立．∂z∂z-x=yf'(u)⋅2x-xf'(u)⋅2y=0，∂x∂yz∂z(3) 设x2+z2=yf()，其中f为可微函数，求．y∂y解令F(x,y,z)=x+z-yf()， 22zy设u=z，则 F(x,y,z)=x2+z2-yf(u)， yzz∂F∂F∂u)+⋅=-f(u)-yf'(u)⋅(-2)=f'(u)-f(u)，∂y∂u∂yyy∂F∂F∂u1)+⋅=2z-yf'(u)⋅=2z-f'(u)，∂z∂u∂zy从而 Fy=(Fz=(zzzzf'(u)-f(u)f()-f'()Fy∂zyyyy==-所以． =-2z-f'(u)∂yFz2z-f'()y⎧x=t,⎪(4) 在曲线⎨y=t2,上求一点，使其在该点的切线平行与平面x+2y+z=4，并写出⎪z=t3⎩23解设所求点为（t0，t0，t0），切线方程； dxdtt=t0=1，dydtt=t0=2t0，dzdtt=t02=3t0，23x-t0y-t0z-t0故切线方程为， ==212t03t02由于切线与平面平行，切线的方向向量s={1，2t0，3t0}与平面的法向量n={1，2，1}垂直，有s⋅n ={1，2t0，3t02}·{1，2，1}=1+4t0+3t02=0，解方程，得 t0=-1或-1， 3y-1z+1=； -2311y-z+11111= ，当t0=-时，切点为（-，，-），切线方程为x+=31339273-2311x+y-==z+1．即 3-227当t0=-1时，切点为（-1，1，-1），切线方程为 x+1= (5)用a元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的1.2倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解设水池底面的长为x，宽和高为y（如图），底面单位面积材料费为b，则侧面单位面积材料费为1.2b，有bxy+1.2b(2xy+2y)=a，即 3.4bxy+2.4by=a，长方体体积 V=xy，22应用条件极值，设A=xy+λ(3.4bxy+2.4by-a)， 222得偏导方程，有⎧∂A2=y+λ⋅3.4by=0,⎪∂x⎪⎪∂A=2xy+λ(3.4bx+4.8by)=0, ⎨⎪∂y⎪∂A=3.4bxy+2.4by2-a=0,⎪∂λ⎩整理，得 x=45a15a，y=， 17b6b由于驻点（45a15a，）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为17b6b45a15a，宽和高为时，长方体水池容积最大． 17b6b。

多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。

在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。

本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。

多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。

在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。

而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。

偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。

对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。

它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。

偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。

第二个知识点是全微分。

全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。

全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。

全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。

例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。

最后一个知识点是梯度。

梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。

对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。

梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。

通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。

多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。

在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。

在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。

在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。

综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。

多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。

对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。

对于一般的 n 元函数也可类似定义。

2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。

一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。

3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。

4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。

二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。

2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。

3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。

三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。

在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。

2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。

梯度为零的点可能为极值点。

多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个重要分支，它研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

在这个领域中，我们主要关注多元函数的变化率和方向导数，以及求解相关的极值和最优化问题。

在一元函数微分学中，我们研究的是只有一个自变量的函数。

而在多元函数微分学中，我们研究的是有多个自变量的函数。

多元函数可以表示为f(x1, x2, ... , xn)，其中x1,x2, ..., xn分别为自变量。

用微分学的语言来描述，我们要研究的是这个函数在一个点p上的切平面的性质。

首先，我们来看一下多元函数的导数。

多元函数的导数分为偏导数和全导数两种。

偏导数表示的是函数在某一变量上的变化率，而全导数则表示的是函数在所有变量上的综合变化率。

用数学符号来表示，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数为∂f/∂xi，也可以记为f'xi。

全导数可以用向量∇f表示。

接下来，我们来看一下多元函数的微分。

微分是导数的线性逼近，可以看作是函数在某一点上的局部线性近似。

多元函数的微分可以表示为df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2+ ... + ∂f/∂xn*dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为自变量的微小变化量。

在多元函数微分学中，我们还需要研究方向导数和梯度。

方向导数表示的是函数在某一方向上的变化率，可以用向量的点积来表示。

梯度是一个向量，它的方向指向函数变化最快的方向，大小表示变化率最大的值。

方向导数和梯度在求解优化问题中具有重要应用。

最后，我们来看一下多元函数微分学的应用。

在实际问题中，多元函数微分学可以应用于求解极值、最小二乘法、约束优化等各种问题。

例如，在工程领域中，我们可以用多元函数微分学来求解最优设计、最优控制等问题。

总结起来，多元函数微分学是微积分的一个重要分支，研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是现代科学和技术发展中不可或缺的工具。

多元函数微分法讲义第十章 多元函数微分学§10.1 多元函数：一、平面点集1、定义：把全体有序实数对(,)x y 组成的集合，{(,)|,}x y x R y R ∀∈∀∈称为二维空间，记为2R （或R R ⨯），（实际上这里的二维空间的概念就是解析几何中的二维空间概念）。

下面我们看一看这里的二维空间有一个什么样的几何意义，显然2),(R b a ∈∀都唯一对应着直角坐标平面的一个点，反之然，∴2R 中的有序数对与直角平面上的点是一一对应的，它们的本质是一样的，可以不加区别，所以：可以把2R 看成直角坐标平面，坐标平面也可以看成是二维空间2R ，以后把),(b a 叫点P 的坐标，而把2R 看成是平面全体点的集合.2、平面上两点的距离（由解析几何知：）：设2R 中的两点111(,)P x y 222(,)P x y ，则称12||d P P =-=P 1与P 2两点间的距离. 2123,,P P P R ∀∈有121323PP PP P P ≤+叫三角不等式.请同学们回忆：数轴上邻域的概念（一维空间的领域）：3、定义2：设2(,)P a b R ∈，以点(,)P a b 为中心，0r ∀>为半径的全体点),(y x 组成的集合：{}(,)x y r <叫以点(,)P a b 为中心，r 为半径的圆形领域记为(,)U P r ：即(,)U P r={}(,)|x y r < 从几何上看：圆形领域就是平面上的一个开圆：讨论：集合{}(,)|||,||x y x a r y b r -<-<表示一 个什么图形？以(,)P a b 为中心，2r 为边长的开矩形的全体点组成的集合{}(,)|||,||x y x a r y b r -<-<叫以(,)P a b 为中心的r 半径的方形邻域.∵圆中有方，方中有圆，∴方形领域与圆形领域是等价的.∴以后在证明题目时，a r - a r +a · · ·可以取圆形领域，也可以取方形领域，都一样.把圆形领域和方形领域统称为(,)P a b 为心，r 为半径的领域，记为(,)U P r . 去掉邻域中心P 后的集合叫去心领域，记为(,)oU P r . 讨论：去心领域怎样表示：圆形去心领域，{}(,)|0x y r << 方形去心领域：{}(,)|0||,0||x y x a r y b r <-<<-< 当不需指出半径时，领域可简写为()()o U P U P 或有了领域的概念后，就可以定义两个特殊的概念：开区域和闭区域。

多元函数微分学一：全微分函数在处可微的充分条件：(,)z f x y =00(,)x y ''22(,)(,)()()x y z f x y x f x y y x y ∆-∆-∆∆+∆22()()0x y ∆+∆→当时是无穷小量222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩例1：函数在[(0,0)(0,0)]()x y z f x f y o ρ∆-∆+∆＝（0，0）处是否可微？0(0,0)(0,0)lim x y z f x f yρρ→∆-∆-∆22222201[()()]sin ()()lim ()()x y x y x y ρ→∆+∆∆+∆=∆+∆0=即函数f (x , y )在原点(0,0)可微.sin 2yz y x e μ=++例2：计算的全微分11,cos ,22yz yz u u y u ze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂解：1(cos )22yz yz y du dx ze dy ye dz =+++所求全微分：二：复合函数求偏导1、偏导数求法(1) 求关于x的偏导数，把z=f (x , y) 中的y看成常数，对x仍用一元函数求导法求偏导.(2) 求关于y的偏导数，把z=f (x , y) 中的x看成常数，对y仍用一元函数求导法求偏导.(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.2：链式法则的几种情况：1:),(,),(,),(,)x y x y x y z f u f v f w x u x v x w xz f u f v f w y u y v y w yμυωμμυυωω===∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂中间变量多于两个的情况：设z=f(,,''2:),(,)(),()x y z f u u z f u u f u f u x u x x y u y yμμμ=∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂中间变量只有一个的情况：设z=f(3:,),(),(),v x v v x z x z f u f v x u x u xμμμ==∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂自变量只有一个的情况：设z=f(则是的一元复合函数，它对x 的导数称为全导数，有(,,),(,),(,),,z f x y t x x s t y y s t z f x f y z f x f y f s x s y s t x t y t t===∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂4:设则例3：).1())),(,(,()(,)1,1(,)1,1(,1)1,1(,),(2ϕϕ'=='='=求，可微x x f x f x f x b f a f f y x f y x解⋅='))),(,(,(2)(x x f x f x f x ϕ⋅'+'))),(,(,())),(,(,({21x x f x f x f x x f x f x f ⋅'+')),(,()),(,([21x x f x f x x f x f ))]},(),((21x x f x x f '+')]}([{12)1(b a b a b a +++⋅⋅='ϕ)(232b ab ab a +++=解：3个方程, 4个变量的方程组,)(),(),(x z z x y y x u u ===确定3个1元函数:方程组两边对x 求导=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=xz h z d d ⋅+0=⎪⎩⎪⎨⎧===.0),(,0),,(),,()(z x h z y x g y x f u x u 由方程组设函数例4：,0,0,≠∂∂≠∂∂zh y g 且所确定.d d x u 求=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +)1(x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=)2(x z h z d d ⋅+0=)3(代入可得：d d y x y z x x y y zf g f g h u f x g g h ⋅⋅⋅=-+⋅三：高阶偏导定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．215()(),y z z f xy xf f y x x y ∂=+∂∂例：有连续二阶偏导数，求'()'()'()z y y y f xy f f x x x x ∂=+-∂解：2()z z x y y x ∂∂∂=∂∂∂∂11''()''()'()''()y y y y xf xy f f f x x x x x x=+--22222222(0,0)(0,0)22(),06:(,),|,|0,0xy x y x y f f f x y x y x y y x x y ⎧-+>∂∂⎪=+⎨∂∂∂∂⎪+=⎩例求22232222222222()(3)2(),0()0,0x y x y y x y x y x y f x y x x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩解：2(0,)(0,0)(0,0)0|||lim 1y y f f f x x x y y →∂∂-∂∂∂==-∂∂22322222222222()(3)2(),0()0,0x y x xy xy x y x y f x y y x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩(,0)(0,0)2(0,0)0|||lim 1x y f f f y y y x x→∂∂-∂∂∂==∂∂注：对不连续的函数求导，用定义法四：隐函数求导1：一个方程的情况:1．1 显化法:(一元隐函数）把一元隐函数化为显函数后，再利用显函数求导的方法，来求该一元隐函数的导数，即(,)0F x y =()y y x ='()xdy dy x y dx dx==2'ln()0,(x y x xy y x+-=例7：设求一元隐函数）22ln()x y y x xy xy e x x -=--⇒-=21x e y x x -⇒=-利用显函数求导方法，有：22222'211(12)(12)11()()x x x e x y x x y x x x x -----==--1．2公式法: .x yF dy dx F =-1．3对数求导法:80,,x zz z z y x y ∂∂-=∂∂例：设求（多元隐函数）ln ln x zz y x z z y ==解：原方程可化为，方程两边同时取对数得:2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2：方程组的情况：2.1直接对方程两边求偏导，再解关于偏导数的方程sin ,,cos uu x e u v u u x y y e u v ⎧=+∂∂⎪⎨∂∂=-⎪⎩例9：设求1sin cos 0s cos (sin )u u x u u v e v u v x x xu u v e v u v x x x∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂两个方程两边关于求偏导，得：(1)(2)(1)sin (2)cos v v v x ∂⨯-⨯∂，消去得22sin (sin cos )(sin cos )uu u v e v v v v x x ∂∂=-++∂∂sin 1sin cos u u u v x e v e v∂=∂+-同理可求：cos 1sin cos u u u v y e v e v∂-=∂+-Thanks for your listening!。

多元函数微分法讲义2多元函数微分法讲义第十章 多元函数微分学§10.1 多元函数：一、平面点集1、定义：把全体有序实数对(,)x y 组成的集合，{(,)|,}x y x R y R ∀∈∀∈称为二维空间，记为2R （或R R ⨯），（实际上这里的二维空间的概念就是解析几何中的二维空间概念）。

下面我们看一看这里的二维空间有一个什么样的几何意义，显然2),(R b a ∈∀都唯一对应着直角坐标平面的一个点，反之然，∴2R 中的有序数对与直角平面上的点是一一对应的，它们的本质是一样的，可以不加区别，所以：可以把2R 看成直角坐标平面，坐标平面也可以看成是二维空间2R ，以后把),(b a 叫点P 的坐标，而把2R 看成是平面全体点的集合.2、平面上两点的距离（由解析几何知：）：设2R 中的两点111(,)P x y 222(,)P x y ，则称12||d P P =-=P 1与P 2两点间的距离. 2123,,P P P R ∀∈有121323PP PP P P ≤+叫三角不等式.请同学们回忆：数轴上邻域的概念（一维空间的领域）：3、定义2：设2(,)P a b R ∈，以点(,)P a b 为中心，0r ∀>为半径的全体点),(y x 组成的集合：{}(,)x y r <叫以点(,)P a b 为中心，r 为半径的圆形领域记为(,)U P r ：即(,)U P r={}(,)x y r <从几何上看：圆形领域就是平面上的一个开圆：讨论：集合{}(,)|||,||x y x a r y b r -<-<表示一个什么图形？以(,)P a b 为中心，2r 为边长的开矩形的全体点组成的集合{}(,)|||,||x y x a r y b r -<-<叫以(,)P a b 为中心的r 半径的方形邻域.∵圆中有方，方中有圆，∴方形领域与圆形领域是等价的.∴以后在证明题目时，a r - a r + a · · ·3 可以取圆形领域，也可以取方形领域，都一样.把圆形领域和方形领域统称为(,)P a b 为心，r 为半径的领域，记为(,)U P r .去掉邻域中心P 后的集合叫去心领域，记为(,)o U P r .讨论：去心领域怎样表示：圆形去心领域，{}(,)|0x y r <方形去心领域：{}(,)|0||,0||x y x a r y b r <-<<-<当不需指出半径时，领域可简写为()()o U P U P 或有了领域的概念后，就可以定义两个特殊的概念：开区域和闭区域。