广东省东莞市2015届高三数学文小综合专题练习：函数与导数

第二章 函数与导数第5课时函数的图象1. 函数f(x)＝2x ＋1x －1图象的对称中心的坐标是________。

答案：(1、2)解析：f(x)＝2＋3x －1.2. 函数f(x)＝(2－a 2)x ＋a 的图象在区间[0、1]上恒在x 轴上方、则实数a 的取值范围是________。

答案：(0、2)解析：由题意、只需⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0，即可。

3. 设函数y ＝f(x)是定义在R 上、则函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线________对称。

答案：x ＝1解析：由y ＝f(1－x)＝f[－(x －1)]、知y ＝f(1－x)的图象是由y ＝f(－x)的图象向右平移1个单位而得、而函数y ＝f(x －1)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移1个单位而得、函数y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称、所以函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称。

4. 函数f(x)＝|x 2－ax ＋a|(a>0)的单调递增区间是________。

答案：⎣⎡⎦⎤－a 2，0和⎣⎡⎭⎫a2，＋∞ 5. 不等式lg(－x)<x ＋1的解集是________。

答案：(－1、0)6. 任取x 1、x 2∈(a 、b)、且x 1≠x 2、若f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>12[f(x 1)＋f(x 2)]、则称f(x)是(a 、b)上的凸函数。

在下列图象中、是凸函数图象的是________。

(填序号)答案：④7. 已知函数y ＝f(x)的周期为2、当x ∈[－1、1]时 f(x)＝x 2、那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lgx|的图象的交点共有________个。

答案：10解析：根据f(x)的性质及f(x)在[－1、1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时、y ＝|lg10|＝1；当0<x<10时、|lgx|<1；x>10时、|lgx|>1. 因此结合图象及数据特点y ＝f(x)与y ＝|lgx|的图象交点共有10个。

20.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（,a b 不同时为零的常数），导函数为()f x '.（1）当13=a 时，若存在[3,1]∈--x 使得()0f x '>成立，求ｂ的取值范围； （2）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点；（3）若函数()f x 为奇函数，且在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)->-t t 上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.20.（1）当13=a 时，()f x '=3122-++b bx x =31)(22-+-+b b b x ，其对称轴为直线x b =-，当2,(3)0b f -≥-⎧⎨'->⎩ ，解得2615<b ，当2,(1)0b f -<-⎧⎨'->⎩，b 无解，所以b 的的取值范围为26(,)15-∞．………………………………………………4分 （2）因为2()32()f x ax bx b a '=++-， 法一：当0=a 时，21-=x 适合题意………………………………………6分 当0≠a 时，0)1(232=-++a b x a b x ，令abt =，则0)1(232=-++t tx x ， 令2()32(1)h x x tx t =++-，因为11()024h -=-<， 当1>t 时，(0)10h t =->，所以()y h x =在1(,0)2-内有零点．当1≤t 时，(1)210h t -=-≥>，所以()y h x =在（)21,1--内有零点． 因此，当0≠a 时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点．综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点．……………………10分 法二：(0)f b a '=-，(1)2f a b '-=-，12()33b a f -'-=．由于,a b 不同时为零，所以1()(1)03f f ''-⋅-<，故结论成立．(3)因为()f x =32()ax bx b a x ++-为奇函数，所以0b =, 所以()f x =ax ax -3， 又()f x 在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ，所以1=a ，即3()f x x x =-．因为()3(f x x x '=-+ 所以()f x 在(,,)-∞+∞上是増函数，在[上是减函数，由()0f x =解得1,0=±=x x ，如图所示，当1-<≤t 时，1()04f t t ≥-≥，即43t t t -≥-，解得3323-≤≤-t ；当0<<t 时，1()04f t t >-≥ ，解得033<<-t ；当0=t 时，显然不成立； 当330≤<t 时，1()04f t t ≤-<，即43t t t -≤-当33>t 时，1()04f t t <-<t <<所以所求t 的取值范围是023<≤-t 或0t <<20. (本小题满分16分)设0a >，两个函数()ax f x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称. （1）求实数b a ,满足的关系式；（2）当a 取何值时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点；（3）当1=a 时，在),21(+∞上解不等式2)()1(x x g x f <+-．解：（1）设P()ax x e ，是函数()ax f x e =图像上任一点，则它关于直线y x =对称的点P ()ax e x ，，在函数g()ln x b x =的图像上，ln ax x b e abx ∴==，1ab ∴=.（2）当0a >时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线y x =对称，∴两个函数图像的交点就是函数()ax f x e =，的图像与直线y x =的切点.设切点为00A()ax x e，，00=ax x e ()ax f x ae =，，0=1ax ae ∴，0=1ax ∴，00==ax x e e ∴, ∴当011a x e==时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点x e =； （3）当a =1时，设 ()2()(1)+g r x f x x x =--1xe-=2ln x x +-，则()r x ，112x e x x -=-－＋，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112211,1x x e x --<-=<-－，()0r x ，＜，当[)1,+x ∈∞时，112121,0x x e x--≤-=<－－，()0r x ，＜．()r x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.又(1)r ＝0，∴不等式()2(1)+g f x x x -<解集是()1,+∞．20．(本小题满分16分)已知函数1(),()ln xf x keg x x k==，其中0k >．若函数(),()f x g x 在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行． （1）求k 的值；（2）是否存在直线l ，使得l 同时是函数(),()f x g x 的切线？说明理由 ．（3）若直线(0)x a a =>与)(x f 、()g x 的图象分别交于A 、B 两点，直线(0)y b b =>与()h x 的图象有两个不同的交点C 、D ．记以A 、B 、C 、D 为顶点的凸四边形面积为S ，求证：2S >． 解：（1）(),()f x g x 与坐标轴的交点分别为(0,),(1,0)k ， 由1(),()ln xf x keg x x k ==得1(),()x f x ke g x kx''==， 由题意知(0)(1)f g ''=，即1k k=，又0k >，所以1k =． （2）假设存在直线l 同时是函数(),()f x g x 的切线，设l 与(),()f x g x 分别相切于点(,),(,ln )m M m e N n n （0n >）， 则:()mml y e e x m -=-或表示为1ln ()y n x n n-=-， 则1(1)ln 1m m e ne m n ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，要说明l 是否存在，只需说明上述方程组是否有解． 由1me n=得m n e -=，代入(1)ln 1m e m n -=-得(1)1m e m m -=--，即(1)10me m m -++=， 令()(1)1mh m e m m =-++，因为2(1)20,(2)30h h e =>=-+<，所以方程(1)10me m m -++=有解，则方程组有解， 故存在直线l ，使得l 同时是函数(),()f xg x 的切线．（3）设00(,)xA x e ，00(,ln )B x x ，则00ln xAB e x =-，设00()ln xF x e x =-，∴001()()xG x F x e x '==-， ∴021()0xG x e x '=+>， 即()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1()20,(1)102G G e =<=->， 故()G x 在(0,)+∞上有唯一零点，设为1(,1)2t ∈，则10te t-=，因此1,ln te t t t==-，当(0,)x t ∈时，()()()0F x G x G t '=<=，∴()F x 在(0,)t 上单调递减； 当(,)x t ∈+∞时，()()()0F x G x G t '=>=，∴()F x 在(,)t +∞上单调递增， 因此1()()ln tF x F t e t t t≥=-=+，由于1(,1)2t ∈，∴ 1()2F x t t≥+>，则00ln 2xAB e x =->．设1122(,),(,ln )xC x eD x x ，则12ln x e x =，令12ln xe x u ==，则12ln ,u x u x e ==，∴ 21ln ()2uCD x x e u F u =-=-=>，故1122222S AB CD =⋅>⋅⋅=．18．（本小题满分15分）设()ln f x a x =（a R ∈），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为y x b =+（b R ∈） (1)求a 、b 的值；(2)设集合[1,)A =+∞，集合1{|()()0}B x f x m x x=--≤，若A B ⊆，求实数m 的取值范围． 18．【解析】(1)()a f x x'=， 由题设(1)1f '=，∴1a =，又切点为(1,0)在切线y x b =+上，∴1b =-。

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2015专题五：函数与导数在解题中常用的有关结论（需要熟记)：考点一：导数几何意义：角度一求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′错误!，f′（x)是f(x）的导函数，则过曲线y＝x3上一点P（a，b)的切线方程为( )A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0解析：选A 由f（x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x）＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a ＝f′错误!＝3－2sin错误!＋2cos错误!＝1。

由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3。

又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1，1）,故过曲线y ＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.角度二求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )A．(0，1）B．（1，－1）C．（1,3）D．(1,0）解析：选C 由题意知y′＝错误!＋1＝4，解得x＝1,此时4×1－y－1＝0，解得y＝3,∴点P0的坐标是(1，3)．角度三求参数的值3．已知f（x）＝ln x，g（x)＝错误!x2＋mx＋错误!（m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f（x）图像的切点为（1，f(1)),则m等于( ）A．－1 B．－3C．－4 D．－2解析：选D ∵f′（x)＝错误!,∴直线l的斜率为k＝f′（1）＝1,又f(1）＝0,∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m,设直线l与g(x）的图像的切点为（x，y0），则有x0＋m＝1,y0＝x0－1，y0＝12x2＋mx0＋错误!,m〈0，于是解得m＝－2,故选D。

规范练(六) 函数与导数1．已知函数f (x )＝ax 2＋x －x ln x . (1)若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (1)＝2，且在定义域内f (x )≥bx 2＋2x 恒成立，求实数b 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x －x ln x ，函数定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝－ln x ，由－ln x ＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(0,1)上是增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由f (1)＝2，得a ＋1＝2，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x －x ln x ，由f (x )≥bx 2＋2x ，得(1－b )x －1≥ln x . 又∵x ＞0，∴b ≤1－1x －ln xx 恒成立．令g (x )＝1－1x －ln x x ，可得g ′(x )＝ln xx 2，由g ′(x )＝0，得x ＝1. ∴g (x )在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，∴b 的取值范围是(－∞，0]． 2．设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)． (1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|＜2.(1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝a e x (x ＋1a )(x ＋2)， 当a ＝12时，由f ′(x )＝12e x(x ＋2)2≥0，所以f (x )在R 上单增递增； 当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－2或x ＜－1a ； 由f ′(x )＜0，得－1a ＜x ＜－2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，－2上单调递减．当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－1a 或x ＜－2， 由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜－1a ，∴f (x )在(－∞，－2)和⎝ ⎛－1a ，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1a 上单调递减． (2)证明 ∵x ＝1时，f (x )有极值， ∴f ′(1)＝3e(a ＋1)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x (－x 2＋x ＋1)，f ′(x )＝－e x (x －1)(x ＋2)． 由f ′(x )＞0，得－2＜x ＜1，∴f (x )在[－2,1]上单增． ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ，cos θ∈[0,1]，∴|f (cos θ)－f (sin θ)|≤f (1)－f (0)＝e －1＜2.3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f (x )在R 上有三个零点，且1是其中一个零点． (1)求b 的值；(2)求f (2)的取值范围；(3)设g (x )＝x －1，且f (x )＞g (x )的解集为(－∞，1)，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b∴当x ＝0时，f (x )取到极小值，即f ′(0)＝0，∴b ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝－x 3＋ax 2＋c ，∵1是函数f (x )的一个零点，即f (1)＝0，∴c ＝1－a . ∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝0的两个根分别为 x 1＝0，x 2＝2a 3.又∵f (x )在(0,1)上是增函数，且函数f (x )在R 上有三个零点， ∴x 2＝2a 3＞1，即a ＞32.∴f (2)＝－8＋4a ＋(1－a )＝3a －7＞－52. 故f (2)的取值范围为(－52，＋∞)．(3)法一 由(2)知f (x )＝－x 3＋ax 2＋1－a ，且a ＞32. ∵1是函数f (x )的一个零点，∴f (1)＝0，∵g (x )＝x －1，∴g (1)＝0，∴点(1,0)是函数f (x )和函数g (x )的图象的一个交点结合函数f (x )和函数g (x )的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f (x )和函数g (x )的图象只有一个交点(1,0)时， f (x )＞g (x )的解集为(－∞，1)．即方程组⎩⎨⎧ y ＝x －1y ＝－x 3＋ax 2＋1－a ①只有一解：⎩⎨⎧x ＝1y ＝0. 由－x 3＋ax 2＋1－a ＝x －1， 得(x 3－1)－a (x 2－1)＋(x －1)＝0， 即(x －1)[x 2＋(1－a )x ＋(2－a )]＝0， ∴x ＝1或x 2＋(1－a )x ＋(2－a )＝0， 由方程x 2＋(1－a )x ＋(2－a )＝0②， 得Δ＝(1－a )2－4(2－a )＝a 2＋2a －7， 当Δ＜0，即a 2＋2a －7＜0，又因为a ＞32，解得32＜a ＜22－1.此时方程②无实数解，方程组①只有一个解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，所以32＜a ＜22－1时，f (x )＞g (x )的解集为(－∞，1)． 法二 由(2)知f (x )＝－x 3＋ax 2＋1－a ，且a ＞32. ∵1是函数f (x )的一个零点， ∴f (x )＝－(x －1)[x 2＋(1－a )x ＋1－a ] 又f (x )＞g (x )的解集为(－∞，1)，∴f (x )－g (x )＝－(x －1)[x 2＋(1－a )x ＋2－a ]＞0的解集为(－∞，1)． ∴x 2＋(1－a )x ＋2－a ＞0恒成立． ∴Δ＝(1－a )2－4×1×(2－a )＜0. ∴a 2＋2a －7＜0，∴(a ＋1)2＜8. 又∵a ＞32，∴32＜a ＜22－1，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22－1.4．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数 (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数解． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，f (x )max ＝f (1)＝－1， (2)∵f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0不合题意． ②若a ＜－1e ，则由f ′(x )＞0⇒a ＋1x ＞0， 即0＜x ＜－1a .由f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，即－1a ＜x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e 上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，∴－1a ＝e －2，即a ＝－e －2.∵－e 2＜－1e ， ∴a ＝－e 2为所求．(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， ∴|f (x )|≥1又令g(x)＝ln xx＋12，g′(x)＝1－ln xx2.令g′(x)＝0，得x＝e.当0＜x＜e时，g′(x)＞0，g(x)在(0，e)上单调递增，当x＞e时，g′(x)＜0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(e)＝1e＋12＜1，∴g(x)＜1，∴|f(x)|＞g(x)，即|f(x)|＞ln xx＋12，∴方程|f(x)|＝ln xx＋12没有实数解．。

第二章 函数与导数第6课时二 次 函 数 1. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________．答案：[－6，12]解析：y ＝2(x －2)2－6.x ＝2时，y 最小为－6；x ＝－1时，y 最大为12.2. 设f(x)＝ x 2＋ax ＋3，不等式f(x)≥a 对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案：－6≤a ≤2解析：依题意，x 2＋ax ＋3－a ≥0对x ∈R 恒成立，故函数的图象恒在x 轴的上方或与x 轴最多只有一个公共点，从而Δ＝a 2－4(3－a)≤0.3. 二次函数f(x)＝2x 2＋5，若实数p ≠q ，使f(p)＝f(q)，则f(p ＋q)＝________．答案：5解析：由f(p)＝f(q)，知二次函数图象的对称轴为x ＝p ＋q 2，则f(p ＋q)＝f(0)＝5. 4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，满足题意；若a ≠0，则a ＞0且－1－3a 2a≤1. 5. 函数y ＝(sinx －a)2＋1，当sinx ＝a 时有最小值，当sinx ＝1时有最大值，则实数a 的取值范围是________．答案：[－1，0]解析：当sinx ＝a 时有最小值，则－1≤a ≤1；当sinx ＝1时有最大值，说明1比－1更远离a ，所以a ≤0，所以－1≤a ≤0.6. 若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．答案：－2x 2＋4解析：f(x)＝bx 2＋(ab ＋2a)x ＋2a 2.∵ f(x)是偶函数，∴ ab ＋2a ＝0，∴ a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f(x)＝bx 2不符．当b ＝－2时，f(x)＝－2x 2＋2a 2.∵ 值域为(－∞，4]，∴ 2a 2＝4.∴ f(x)＝－2x 2＋4.7. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A 、B 两点，若AC ⊥BC ，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由条件，a(t －x 1)(t －x 2)＝2，又AC ⊥BC ，利用斜率关系得，2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－12. 8. 设函数f(x)＝x|x|＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①当c ＝0时，y ＝f(x)是奇函数；②当b ＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③y ＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．上述命题中正确的是________．(填序号)答案：①②③解析：①由c ＝0，得f(x)＝x|x|＋bx 为奇函数；②当b ＝0，c ＞0时，f(x)＝x|x|＋c ，此时方程f(x)＝0有唯一一个实数根－c ；③在函数y ＝f(x)的图象上任取一点(x ，y)，其关于点(0，c)的对称点为(－x ，2c －y)，可判断该点仍在y ＝f(x)的图象上；④当c ＝0，b ＜0时，方程f(x)＝0有三个实数根．故①②③正确，④错误．9. 设a 为实数，函数f(x)＝x|x －a|，其中x ∈R .(1) 判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2) 写出函数f(x)的单调区间．解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝x|x|, 因为定义域为R ，它关于原点对称，且f(－x)＝ －x|－x|＝ －f(x)，所以f(x)为奇函数．当a ≠0时，因f(a)＝0，f(－a)＝ －a|2a|，所以f(－a)≠f(a)，f(－a)≠ －f(a)，所以f(x)是非奇非偶函数．(2) 当a ＝0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x<0，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x<a ，f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 2和(a ，＋∞)，f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，a .当a ＜0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x<a ， f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞，f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a 2. 10. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，且f(x)在闭区间[－2，2]上恒为非负数，求实数a 的取值范围．解：f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a －a 24.由题意，f(x)≥0在x ∈[－2，2]上恒成立，即[f(x)]min ≥0.当－a 2<－2，即a>4时，[f(x)]min ＝f(－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a>4矛盾，此时a 不存在．当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，[f(x)]min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24，由3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2.当－a 2>2，即a<－4时，[f(x)]min ＝f(2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7，此时－7≤a<－4.综上所述，实数a 的取值范围是[－7，2]．11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，c>0)的图象与x 轴有两个不同的公共点，且有f(c)＝0，当0<x<c 时，恒有f(x)＞0.(1) 当a ＝1，c ＝12时，解不等式f(x)<0； (2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围；(3) 若f(0)＝1，且f(x)≤m 2－2km ＋1对所有x ∈[0，c]，k ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 当a ＝1，c ＝12时，f(x)＝x 2＋bx ＋12.f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，因f ⎝⎛⎭⎫12＝0，设另一个根为x 2，则12x 2＝12，所以x 2＝1，于是f(x)<0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1. (2) f(x)的图象与x 轴有两个交点，因f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2＝c a ，故x 2＝1a.所以三交点的坐标分别为(c ，0)，⎝⎛⎭⎫1a ，0，(0，c)．又当0<x<c 时，恒有f(x)>0，则1a>c ，于是，以这三交点为顶点的三角形的面积为S ＝12⎝⎛⎭⎫1a －c c ＝8，故a ＝c 16＋c 2≤c 216c ＝18，于是a ∈⎝⎛⎦⎤0，18. (3) 由题意，当0<x<c 时，恒有f(x)>0，所以f(x)在[0，c]上是单调递减的，且在x ＝0处取到最大值1.要使f(x)≤m 2－2km ＋1对所有x ∈[0，c]，k ∈[－1，1]恒成立，必须f(x)max ＝1≤m 2－2km ＋1成立，即m 2－2km ≥0.令g(k)＝－2km ＋m 2，对所有k ∈[－1，1]，g(k)≥0恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≥0，g （－1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≥0，m 2＋2m ≥0，解得实数m 的取值范围为m ≤－2或m ＝0或m ≥2.。

2015高考数学（文）质量检测 函数、导数及其应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2014·日照模拟）已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫fx －1x ＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值是( ) A. 5 B. 6 C. 7D. 8解析：因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f x －1x ＝2对任意x ∈(0，＋∞)都成立，所以f (x )－1x ＝c >0(c 为常数)，即f (x )＝c ＋1x，且f (c )＝2，故2＝c ＋1c ，解得c ＝1，故f (x )＝1＋1x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1＋5＝6. 答案：B 2．若f (x )＝2lg (1－x )，则f (x )的定义域是( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，0)∪(0,1)解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x >0，1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，故函数定义域是(－∞，0)∪(0,1)．答案：D 3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则实数a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x ) ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，又a >1，所以a ＝2.答案：A4．（2014·江西模拟）已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：由f (2x －1)<f (13)，得f (|2x －1|)<f (13)，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|<13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23，故选A.答案：A5．已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象可能为( )解析：由图知a >1，排除A ，D ；又0<b <1，排除C ，故选B. 答案：B6．函数f (x )＝x 2＋(1－a 2)x －ax 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．±1解析：解法一：由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝(－x )2＋(1－a 2)(－x )－a －x ＝－f (x )＝－x 2＋(1－a 2)x －a x 对一切实数R 恒成立，即x 2－(1－a 2)x －a－x ＝x 2＋(1－a 2)x －a－x 对一切实数R 恒成立，所以－(1－a 2)x ＝(1－a 2)x 对一切实数R恒成立，故1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x 不满足在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )＝x 2－1x ＝x －1x 满足在(0，＋∞)上单调递增．综上，a ＝1.解法二：f (x )＝x －ax ＋(1－a 2)，若函数f (x )是奇函数，则1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x 不满足在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )＝x 2－1x ＝x －1x 满足在(0，＋∞)上单调递增．综上，a ＝1.答案：C7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x ，则( )A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a解析：因为x ∈(e －1,1)，所以－1<a <0,1<b <2，1e <c <1，故b >c >a .答案：D8．(2013年武汉调研测试)某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：依题意，设在A 地销售x 辆汽车，则在B 地销售(16－x )辆汽车， ∴总利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32，∵x ∈[0,16]且x ∈N ，∴当x ＝10辆或11辆时，总利润y max ＝43万元，故选C.答案：C9．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．b <1B ．b >1C ．0<b <1D ．b <12解析：f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝2x －2b ＝0在(0,1)内有解．∴b ∈(0,1)．答案：C10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．4解析：画出y ＝sin x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在同一坐标系下[0,2π)区间内的图象，可知有两个交点，故选B.答案：B11．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：由f (2－x )＝f (x )得f (1－x )＝f (x ＋1)，即函数f (x )的对称轴为x ＝1，结合图形可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (0)＝f (2)，故选C.答案：C12．(2013年福建六校联考)设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 012)>e 2 012f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 012)>e 2 012f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)解析：解法一 令f (x )＝|x |＋2，所以f (2)＝4，f (0)＝2，f (2 012)＝2 014，所以f (2)<e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)．解法二 因为f ′(x )<f (x )，所以f ′(x )e x <f (x )e x ，即f ′(x )·e x <f (x )·e x ，F ′(x )＝f ′(x )·e x －f (x )·e xe 2x<0，所以F (x )＝f (x )e x 在R 上为减函数，所以f (2 012)e 2 012<f (2)e 2<f (0)e 0，所以选择B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析：由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，a ＝2.答案：214．(2013年福建六校联考)已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的值为________．解析：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ 2.答案：－ 215．函数y ＝4x －1＋23－x 单调递减区间为________．解析：易知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，3，y >0.∵y 与y 2有相同的单调区间，而y 2＝11＋4－4x 2＋13x －3，∴原函数递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤138，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤138，316．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1， x ≥1，x 2－1x 3－1，x <1在点x ＝1处连续，则实数a ＝________.解析：x 2－1x 3－1＝x ＋1x 2＋x ＋1，则有f (1)＝a ＋1＝1＋11＋1＋1，因此a ＝－13.答案：－13三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )上点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )在区间[－3,1]上的最大值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为：y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)．而过y ＝f (x )上P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1，故⎩⎨⎧ 3＋2a ＋b ＝3，a ＋b ＋c －2＝1，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝0， ①a ＋b ＋c ＝3. ② ∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，故f ′(－2)＝0， ∴－4a ＋b ＝－12. ③由①②③联立，解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2).f (x )极大值f (1)＝13＋2×1－4×1＋5＝4，∴f (x )在[－3,1]上最大值为13. 18．已知函数f (x )＝a －1|2x －b |是偶函数，a 为实常数． (1)求b 的值；(2)当a ＝1时，是否存在n >m >0，使得函数y ＝f (x )在区间[m ，n ]上的函数值组成的集合也是[m ，n ]，若存在，求出m ，n 的值，否则，说明理由．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠b 2. ∵f (x )是偶函数，其定义域关于原点对称， ∴b ＝0.(2)a ＝1时，f (x )＝1－12|x |， x >0时，f (x )＝1－12x ，∵f (x )＝1－12x 在[m ，n ](m >0)上是增函数， ∴f (x )在[m ，n ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12m ，1－12n .又f (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－12m ＝m ，1－12n ＝n ，即⎩⎨⎧2m 2－2m ＋1＝0，2n 2－2n ＋1＝0. ∴m ，n 为方程2x 2－2x ＋1＝0的两正根，而方程2x 2－2x ＋1＝0无实数根， ∴满足条件的m ，n 不存在．19．(2012年北京海淀期末)已知函数f (x )＝e x (x 2＋ax －a )，其中a 是常数． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若存在实数k ，使得关于x 的方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：(1)由f (x )＝e x (x 2＋ax －a )可得f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]．当a ＝1时，f (1)＝e ，f ′(1)＝4e ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e.(2)令f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )≥0，所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根；当－(a ＋2)>0，即a <－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：由上表可知函数f (x )在[0，＋∞)上的极小值为f (－(a ＋2))＝ea ＋2.因为函数f (x )在(0，－(a ＋2))上是减函数，在(－(a ＋2)，＋∞)上是增函数，且当x ≥－a 时，有f (x )≥e －a (－a )>－a ，所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a .20．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对于任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x； (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，x ∈(－∞，0)．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈(1，＋∞)．∵g (t )＝1＋t ＋t 2在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (t )>g (1)＝3.∴f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)，故对于任意x ∈(－∞，0)，不存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，即函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数．(2)若f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈(0,1]．∴|1＋at ＋t 2|≤3，即－4≤at ＋t 2≤2在(0,1]上恒成立， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤a ≤2t －t 在(0,1]上恒成立．又0<t ≤1时，－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤－5，2t －t ≥1，∴－5≤a ≤1，即a 的取值范围是[－5,1]． 21．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x ，a ∈R . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x >1时，f (x )>ln x 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)若a ＝－1，f ′(x )＝x －1x (x >0)， 由f ′(x )>0得x 2－1x >0，又x >0，解得x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)依题意得f (x )－ln x >0，即12x 2＋a ln x －ln x >0， ∴(a －1)ln x >－12x 2，∵x >1，∴ln x >0，∴a －1>－12x 2ln x ， ∴a －1>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x 2ln x max ，设g (x )＝－12x 2ln x ，g ′(x )＝－x ln x ＋12x(ln x )2，令g ′(x )＝0，解得x ＝e 12，当1<x <e 12时，g ′(x )>0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 12上单调递增；当x >e 12时，g ′(x )<0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 12，＋∞上单调递减；∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 12＝－e ，∴a －1>－e ，即a >1－e.22．已知a ∈R ，函数f (x )＝ln (x ＋1)－x 2＋ax ＋2.(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围；(2)令a ＝－1，b ∈R ，已知函数g (x )＝b ＋2bx －x 2.若对任意x 1∈(－1，＋∞)，总存在x 2∈[－1，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数b 的取值范围．解：(1)函数f (x )在[1，＋∞)上为减函数⇒f ′(x )＝1x ＋1－2x ＋a ≤0在[1，＋∞)上恒成立⇒a ≤2x －1x ＋1在[1，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝2x －1x ＋1，由h ′(x )>0⇒h (x )在[1，＋∞)上为增函数⇒h (x )min ＝h (1)＝32，所以a ≤32； (2)若对任意x 1∈(－1，＋∞)，总存在x 2∈[－1，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则函数f (x )在(－1，＋∞)上的值域是函数g (x )在[－1，＋∞)上的值域的子集．对于函数f (x )，因为a ＝－1，所以f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－x ＋2，定义域(－1，＋∞)．f ′(x )＝1x ＋1－2x －1＝－2x 2－3x x ＋1.第 11 页 共 11 页 令f ′(x )＝0得x 3＝0，x 4＝－32(舍去)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以f (x )max 对于函数g (x )＝－x 2＋2bx ＋b ＝－(x －b )2＋b ＋b 2，①当b ≤－1时，g (x )的最大值为g (－1)＝－1－b ⇒g (x )值域为(－∞，－1－b ]，由－1－b ≥2⇒b ≤－3；②当b >－1时，g (x )的最大值为g (b )＝b 2＋b ⇒g (x )值域为(－∞，b 2＋b ]； 由b 2＋b ≥2⇒b ≥1或b ≤－2(舍去)，综上所述，b 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D 【解析】试题分析：()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．考点：线性规划．5.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且 b c <，则b =（ ）A ．3B ．2C ．22D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列 命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ． 考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率 为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =， 则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10.若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D 【解析】试题分析：当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ． 考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的 均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13.若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． 【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15.（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的 切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4A B =，C 23E =，则D A = ．【答案】3【解析】试题分析：连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3． 考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的 方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】（2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直， D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372． 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P （3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，22D D PE =P -E22437=-=，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =， 且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ． 【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 表示的是一段关于X 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ,而当直线L 与轨迹C 相切时，.2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <结合图形，可得对于X 轴对称下方的圆弧，当0752≤≤-k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知752752≤≤-k 或34±=k . 综上所述：当752752≤≤-k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）21≤a ；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x+有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a综上所述，a 的取值范围是21≤a . （2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22 对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增； 对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减. 综上，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min-==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f 令()4f x x +=0，即xx f 4)(-=（x>0）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f 而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2. (ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图像不难得当2>a ，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。

广东省东莞市2015届高三上学期期末教学质量检查数学文试题参考公式: 锥体的体积公式:.其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高.柱体的体积公式:V ＝Sh .其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 一、选择题（50分）1、设复数z 满足2z i i =-，i 是虚数单位，则z ＝（ ）A 、2－iB 、1＋2iC 、－1＋2iD 、－1－2i2、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜1＜x ≤3}，B ＝{x ｜x ＞2}，则U A C B 等于（ ） A 、{x ｜1＜x ≤2} B 、A ＝{x ｜1≤x ＜2} C 、A ＝{x ｜1≤x ≤2} D 、A ＝{x ｜1≤x ≤3}3、已知向量(1,1),(4,3),||AB AC BC =-==则（ ）A 、5B 、29C 、2D 、24、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60º，C ＝45º，c ＝10，则a ＝（ ）A 、6B 、8C 、56D 、1065、已知命题p ：对任意x R ∈，总有｜x ｜≥0；命题q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则下列命题为真命题的是（ ）A 、p q ∧⌝B 、p q ⌝∧C 、p q ⌝∧⌝D 、p q ∧ 6.一个侧棱与底面垂直的四棱柱的正视图和俯视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A ．3 B ．32 C ．33 D ．947. 函数 f (x ) =(x －a )(x －b )（其中a ＞ b ）的图象如下面右图所示，则函数g (x ) ＝ a x＋ b的大致图象是（ ）8. 设变量 x , y 满足约束条件,则目标函数z ＝x －y （ ）A ．有最小值－3，最大值2B ．有最小值1，无最大值C ．有最大值2，无最小大值D ．既无最小值，也无最大值9.已知f (x)为偶函数，当x≥0时，，则不等式f (x) ≤的解集10、在实数集R 内，我们用“ ＜”为全体实数排了一个“序”。

2015届高考数学一轮复习单元检测：集合函数导数(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B等于( A )(A){1,4} (B){2,3} (C){9,16} (D){1,2}解析:因n∈A,故B={1,4,9,16},所以A∩B={1,4}.故选A.2.(2013广州调研)函数g(x)=的定义域为( A )(A){x|x≥-3} (B){x|x>-3}(C){x|x≤-3} (D){x|x<-3}解析:由x+3≥0得,x≥-3.故选A.3.(2012年高考陕西卷)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D )(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y= (D)y=x|x|解析:y=x+1是非奇非偶函数但为增函数,y=-x3是奇函数但为减函数,y=是奇函数,定义域上不单调,y=x|x|为奇函数也为增函数.故选D.4.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( A )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:f(1)=2,当a>0时,f(a)=2a,则方程即为2a+2=0,无解,当a≤0时,f(a)=a+1,则方程即为a+1+2=0,∴a=-3.故选A.5.(2013哈尔滨模拟)幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m可能等于( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由题意知,3m-5<0,即m<,又m∈N,所以m可能为0,1.又f(x)为偶函数,所以3m-5为偶数,故m=1.故选B.6.(2013北京朝阳模拟)函数y=的图象大致是( B )解析:当x≥0时,函数图象是将y=2x的图象向下平移1个单位得到,由此可知选项B正确.故选B.7.(2013厦门质检)已知f(x)=则函数g(x)=f(x)-e x的零点个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:在同一坐标系中画出函数y=f(x)与y=e x的图象如图,结合图象可知,它们有两个公共点,因此函数g(x)=f(x)-e x有2个零点.故选B.8.(2014·厦门模拟)函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3，1)解析:y′＝－2xe x＋(3－x2)e x＝e x·(－x2－2x＋3)＞0⇒x2＋2x－3＜0⇒－3＜x＜1，∴函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是(－3，1)．故选D.9.(2013金华十校模考)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是( A )(A)-13 (B)-15 (C)10 (D)15解析:f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2).由此可得f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9,于是,f(m)+f′(n)的最小值为-13.故选A.10.定义在R上的偶函数f(x)满足xf′(x)<0,又a=f(lo2),b=f(ln2),c=f(),则( D )(A)a<b<c (B)b<c<a (C)c<a<b (D)b<a<c解析:由题知x>0时,f′(x)<0,故x>0时,函数f(x)单调递减.又f(x)为偶函数,所以a=f(lo2)=f(-log 32)=f(log32),log32=<ln2,log 32>log3=>=,∴b<a<c.故选D.二、填空题(每小题5分,共20分)11.(2013郑州质检)下列说法中错误的命题是.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x∈R,x2-x≥0”;③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题;④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件.解析:由于互为逆否命题等价,所以①真;命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x∈R,x2-x>0”.故②为假命题;由于命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是假命题,故③为假命题;“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件,因此④是假命题,所以假命题是②③④.答案:②③④12.若以曲线y=x3+bx2+4x+c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则实数b的取值范围为.解析:y′=x2+2bx+4,由导数的几何意义知x2+2bx+4≥0恒成立,所以Δ=4b2-16≤0,即-2≤b≤2.答案:[-2,2]13.设函数f(x)=x2-b,g(x)=-,若对m∈R函数F(x)=f2(x)·g′(x)-m2x在区间(-∞,0]上为单调递减函数,则实数a的取值范围是.解析:∵g′(x)=-=,∴F(x)=f2(x)·g′(x)-m2x=x2+(2a-m2)x+b.又F(x)在(-∞,0]上为单调减函数,∴≥0对任意m∈R恒成立,则a≤.因此,实数a的取值范围是(-∞,0].答案:(-∞,0]14.(2013汕头质检)若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有个.解析:设x<0,则问题转化为关于x的方程(2x2+4x+1)+=0,即e x=-x2-2x-有几个负数解问题.记y1=e x,y2=-(x+1)2+,当x=-1时,<,所以函数y1的图象与y2的图象有两个交点(如图),且横坐标均为负数,故所求“友好点对”共有2个.答案:2三、解答题(共80分)15.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).(1)当a=2时,解不等式f(x)-f(x-1)>2x-1;(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.解:(1)当a=2时,f(x)=x2+,f(x-1)=(x-1)2+,由x2+-(x-1)2->2x-1,得->0,x(x-1)<0,0<x<1,所以原不等式的解集为{x|0<x<1}.(2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=x2=f(x),所以f(x)是偶函数.当a≠0时,f(x)+f(-x)=2x2≠0(x≠0),f(x)-f(-x)=≠0(x≠0),所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)试确定f(x)的解析式;(2)若不等式()x+()x≥m在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的最大值.解:(1)将点A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·a x,得解得∴f(x)=3·2x.(2)不等式()x+()x≥m,即m≤()x+()x在x∈(-∞,1]时恒成立;易知函数y=()x+()x在x∈(-∞,1]上是减函数,∴m≤[()x+()x]min=+=,故实数m的最大值为.17.(本小题满分14分)(2013高三珠海质检)已知函数f(x)=ln x+,其中a为常数,且a>0.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+1垂直,求a的值;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为,求a的值.解:f′(x)=+=-=(x>0).(1)因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+1垂直.所以f′(1)=-2,即1-a=-2,解得a=3.(2)当0<a≤1时,f′(x)>0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=a-1;当1<a<2时,由f′(x)=0,得x=a∈(1,2).∵对于x∈(1,a)有f′(x)<0,f(x)在[1,a]上为减函数,对于x∈(a,2)有f′(x)>0,f(x)在[a,2]上为增函数,∴f(x)min=f(a)=ln a;当a≥2时,f′(x)<0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为减函数,-1.∴f(x)于是,①当0<a≤1时,f(x)min=a-1≤0;②当1<a<2时,f(x)min=ln a,令ln a=,得a=;③当2≤a时,f(x)min=ln 2+-1≥ln 2>,综上所述,a=.18.(本小题满分14分)(2013中山市期末测试)某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到15-0.1x万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问:(1)每套丛书售价定为100元时,书商能获得的总利润是多少万元?(2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?解:(1)每套丛书售价定为100元时,销售量为15-0.1×100=5(万套),此时每套供货价格为30+=32(元),书商所获得的总利润为5×(100-32)=340(万元).(2)每套丛书售价定为x元时,由解得0<x<150,依题意,单套丛书利润P=x-(30+)=x--30,∴P=-[(150-x)+]+120,∵0<x<150,∴150-x>0,由(150-x)+≥2=2×10=20,当且仅当150-x=,即x=140时等号成立,此时,P max=-20+120=100(元).即每套丛书售价定为140元时单套丛书的利润最大.19.(本小题满分14分)设函数f(x)=-x2+4ax-3a2.(1)当a=1,x∈[-3,3]时,求函数f(x)的取值范围;(2)若0<a<1,x∈[1-a,1+a]时,恒有-a≤f(x)≤a成立,试确定a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=-(x-2)2+1,x∈[-3,3]时,f(x)max=f(2)=1,f(x)min=f(-3)=-24,故此时函数f(x)的取值范围为[-24,1].(2)∵f(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-2a)2+a2,且当0<a<时,1-a>2a,∴f(x)在区间[1-a,1+a]内单调递减.f(x)max=f(1-a)=-8a2+6a-1,f(x)min=f(1+a)=2a-1.∵-a≤f(x)≤a,∴此时,a∈ .当≤a<1时,f(x)max=f(2a)=a2.∵-a≤f(x)≤a,∴解之得,≤a≤.综上可知,实数a的取值范围为.20.(本小题满分14分)(2013珠海质检)已知函数f(x)=ax2+2x,g(x)=ln x.(1)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调减函数,求a的取值范围;(2)是否存在实数a>0,使得方程=f′(x)-(2a+1)在区间,e内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)当a=0时,f(x)=2x在[1,+∞)上是单调增函数,不符合题意. 当a>0时,y=f(x)的对称轴方程为x=-,由于y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,不符合题意.当a<0时,函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调减函数,则-≤1,解得a≤-2.综上,a的取值范围是a≤-2.(2)把方程=f′(x)-(2a+1)整理为=ax+2-(2a+1).即为方程ax2+(1-2a)x-ln x=0.设H(x)=ax2+(1-2a)x-ln x(x>0),原方程在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根,即函数H(x)在区间(,e)内有且只有两个零点.H′(x)=2ax+(1-2a)-==,令H′(x)=0,因为a>0,解得x=1或x=-(舍).当x∈(0,1)时,H′(x)<0,H(x)是减函数;当x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数.H(x)在(,e)内有且只有两个不相等的零点,只需即∴解得1<a<,所以a的取值范围是(1,).。

广东省东莞市高三数学小综合专题练习函数与导数文2015届高三文科数学小综合专题练习——函数与导数第一讲函数、基本初等函数的图像和性质一、选择题1．已知定义在R 上的奇函数，)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为． A ．1- B ．0 C ．1 D ．22．已知)(x f 是定义在R 上的周期为2的周期函数，当)1,0[∈x 时，14)(-=xx f ，则)5.5(-f 的值为A ．2B ．1-C ．21-D ．13．下列函数中，奇函数是A ．xx f 2)(= B ．x x f 2log )(= C ．1sin )(+=x x f D ．x x x f tan sin )(+=4．若函数ax y =与x by -=在),0(+∞上都是减函数，则bx ax y +=2在),0(+∞上是A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增5．已知实数4.0log ,21,5log 30==c b a ，则c b a ,,的大小关系为A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<6．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图象如图所示，其中b a ,为常数，则函数b a x g x+=)(的大致图象是．二、填空题1．设函数],2[,22a x x x y -∈-=，若函数的最小值为)(a g ，则=)(a g _______. 2．已知函数5)3(42)(2+-+=x a ax x f 在区间)3,(-∞上是减函数，则a 的取值范围是________．3．已知2)()(x x f x F +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g ________.4．已知函数≥+-<=0,4)3(0 ,)(x a x a x a x f x 满足对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是________．5．使1log )(log 22+<-x x 成立的x 的取值范围是________．6．已知mx g x x f x==21)(,)(2，若对]2,0[],3,1[21∈?-∈?x x 时有)()(21x g x f ≥成立，，则实数m 的取值范围是________．三、解答题1. 已知函数),0( )(2R a x x ax x f ∈≠+=．(1)判断函数)(x f 的奇偶性；(2)若)(x f 在区间),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．2．已知函数xa b x f ?=)((其中b a ,为常量，且1,0≠>a a)的图象经过点)24,3(),6,1(B A ．⑴ 求)(x f ；⑵ 若不等式011≥-+??? ??m b a xx 在]1,(-∞∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围．3.已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，且)(x f 的图象关于1=x 对称，当]1,0[∈x 时，12)(-=x x f .⑴ 求证：)(x f 是周期函数；⑵ 当]2,1[∈x 时，求)(x f 的解析式.4.设函数??≤<-≤≤=32 ,121,1)(x x x x f ，]3,1[,)()(∈-=x ax x f x g ，其中R a ∈，记函数)(x g 的最大值与最小值的差为)(a h ． (1)求函数)(a h 的解析式；(2)画出函数)(x h y =的图象并指出)(x h 的最小值．一选择题 B D D B D B 二、填空题≥-<≤--)1(, ,1)12(,22a a a a ； ]43,0[； 1-； ]41,0(； )0,21(-； ) ,41[+∞.三、解答题1.解 (1)当0=a 时，)0(,)(2≠=x x x f 为偶函数；当0≠a时，)()(),()(x f x f x f x f -≠-≠-，∴)(x f 既不是奇函数也不是偶函数． (2)解法一：设212≥>x x ，则])([)()(2121212122212121a x x x x x x x x x a x x a x x f x f -+-=--+=-,由212≥>x x ，得0,0,16)(21212121><->+x x x x x x x x . 要使)(x f 在区间),2[+∞上是增函数，只需0)()(21<-x f x f ，即0)(2121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a .解法二：利用)(x f 的导函数在),2[+∞上大于等于零恒成立解决.2.解析 (1)把)24,3(),6,1(B A 代入xa b x f ?=)(，得==3246a b ab ，结合1,0≠>a a ，解得??==32b a .∴xx f 23)(?=.(2)要使mx x ≥??? ??+??? ??3121在]1,(-∞ 上恒成立，只需保证函数xx y+??? ??=3121在]1,(-∞ 上的最小值不小于m 即可．∵函数xxy ??? ??+??? ??=3121在]1,(-∞ 上为减函数，∴当1=x 时，xxy ??? ??+??? ??=3121有最小值65.∴只需65≤m 即可．∴m 的取值范围]65,(-∞.3.解析 (1)证明函数)(x f 为奇函数，则)()(x f x f -=-，函数)(x f 的图象关于1=x 对称，则)()()2(x f x f x f -=-=+，所以)()2(]2)2[()4(x f x f x f x f =+-=++=+，所以)(x f 是以4为周期的周期函数．(2) 当]2,1[∈x 时，]1,0[2∈-x ，又)(x f 的图象关于1=x 对称，则]2,1[,12)2()(2∈-=-=-x x f x f x. 4.解 (1)由题意知≤<--≤≤-=32,1)1(21,1)(x x a x ax x g , 当)(x g 是]3,1[上的增函数，此时a g x g a g x g 21)1()(,32)3()(min max -==-==，所以a a h21)(-=；当1>a 时，函数)(x g 是]3,1[上的减函数，此时a g x g a g x g 21)1()(,32)3()(max min -==-==，所以12)(-=a a h ；当10≤≤a 时，若]2,1[∈x ，则ax x g -=1)(，有)1()()2(g x g g ≤≤；若]3,2(∈x ，则1)1()(--=x a x g ，有)3()()2(g x g g ≤<，因此a g x g 21)2()(min -==，而a a a g g 21)1()32()1()3(-=---=-，故当210≤≤a 时，a g x g 32)3()(max -==，有a a h -=1)(；当121≤>-≤<≤≤-<-=1 ,12121 ,210 ,10,21)(a a a a a a a a a h .(2)画出)(x h y =的图象，如图所示，数形结合可得21)21()(min ==h x h .第二讲函数的零点、函数的应用一、选择题1．“2-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是3．函数a x x f x --=22)(的一个零点在区间)2,1(内，则实数a 的取值范围是A ．)3,1(B ．)2,1(C ．)3,0(D ．)2,0(4．已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f y =的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．95．函数x x x f cos )(-=在),0[+∞内A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点6．甲、乙两人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1212,()v v v v <．甲一半路程使用速度1v ，另一半路程使用速度2v ，乙一半时间使用速度1v ，另一半时间使用速度2v ，甲、乙两人从A 地到B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴S 表示路程），其中正确的图示分析为A ．(1)B ．(3)C ．(1)或(4) D. (1)或(2)二、填空题 1．用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(,0)0(><="">∈0x ______，第二次应计算________．2．已知函数a x e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是________． 3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为km 3(不超过km 3按起步价付费)；超过km 3但不超过km 8时，超过部分按每千米15.2元收费；超过km 8时，超过部分按每千米85.2元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费6.22元，则此次出租车行驶了________km.三、解答题S 2 S S1．设函数).0(|,11|)(>-=x x x f(1)作出函数)(x f 的图象；(2)当b a <<0，且)()(b f a f =时，求b a 11+的值；(3)若方程m x f =)(有两个不相等的正根，求m 的取值范围．2．已知函数124)(+?+=xx m x f 有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．3．已知二次函数316)(2++-=q x x x f . (1)若函数在区间]1,1[-上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数)0(,≥t t ，当]10,[t x ∈时，)(x f 的值域为区间D ，且区间D 的长度为t -12(视区间],[b a 的长度为a b -)．4．已知函数)0(,)(,12)(22>+=-++-=x x e x x g m ex x x f ．(1)若m x g =)(有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得0)()(=-x f x g 有两个相异实根．5.某市出租车的计价标准是：km 3以内(含km 3)10元；超过km 3但不超过km 18的部分1元/km ；超出km 18的部分2元/km .(1)如果某人乘车行驶了km 20，他要付多少车费？某人乘车行驶了xkm ，他要付多少车费？ (2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？参考答案 A C C B B D1.)25,0(),5.0,0(f ；2.]22ln 2,(--∞；3.190；4.9. 1.解 (1)如图所示．(2)∵+∞∈-∈-=-=),1(,11]1,0(,11|11|)(x x x xx x f故)(x f 在]1,0(上是减函数，而在),1(+∞上是增函数，由b a <<0且)()(b f a f =，得b a <<<10，且211,1111=+∴-=-b a b a .(3)由函数)(x f 的图象可知，当10<2.解124)(+?+=x x m x f 有且仅有一个零点，即方程012)2(2=+?+xx m 仅有一个实根．设)0(,2>=t t x ，则012=++mt t .当0=?时，即042=-m ，2-=∴m 时，2,1==m t 时，1-=t (不合题意，舍去)，0,12==∴x x 符合题意．当0>?时，即2>m 或2-<="">=++mt t 有两正或两负根，即)(x f 有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：2-=m 时，)(x f 有唯一零点，该零点为0=x .3.解(1)∵函数316)(2++-=q x x x f 的对称轴是)(,8x f x ∴=x ＝8，在区间]1,1[-上是减函数．∵函数在区间]1,1[-上存在零点，则必有≥-≤0)1(0)1(f f ,即?≥+++≤++-0316103161q q ,1220≤≤-∴q . (2))(,100x f t <≤ 在区间]8,0[上是减函数，在区间]10,8[上是增函数，且对称轴是8=x . ①当60≤≤t 时，在区间]10,[t 上，)(t f 最大，)8(f 最小，t f t f -=-∴12)8()(，即520152+-t t ，解得21715,21715-=∴±=t t ；②当86≤<="">③当108<<="">t t f f -=-∴12)()10(，即072172=+-t t ，解得8=t 或9，9=∴t .综上可知，存在常数9,8,21715-=t 满足条件.4.解 (1)法一：ee x e x x g 22)(22=≥+= ，等号成立的条件是e x =，故)(x g 的值域是),2[+∞e ，因而只需e m 2≥，则m x g =)(就有零点．法二：作出)0(,)(2>+=x x e x x g 的大致图象如图：可知若使 m x g =)(有零点，则只需e m 2≥.法三：由m x g =)(得022=+-e mx x .此方程有大于零的根，故≥-=?>040222e m m等价于?-≤≥>e m e m m 220或，故e m 2≥.(2)若0)()(=-x f x g 有两个相异的实根，即)(x g 与)(x f 的图象有两个不同的交点，作出)0(,)(2>+=x x e x x g 的大致图象．2221)(12)(e m e x m ex x x f +-+--=-++-=.其图象的对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m +-. 故当e e m 212>+-，即122++->e e m 时，)(x g 与)(x f 有两个交点，即0)()(=-x f x g 有两个相异实根．∴m 的取值范围是),12(2+∞++-e e .5.解：(1)乘车行驶了km 20，付费分三部分，前km 3付费10(元)，km 3到km 18付费1)318(?-15=(元)，km 18到km 20付费42)1820(=?- (元)，总付费2941510=++(元)．设付车费y 元，当30≥x 时，车费112)18(225x x y =-+=.故??>-≤<+≤<=.18 ,112,183 ,7,30,10x x x x x y第三讲导数及其应用1．若函数32)(k x k x x h +-=在),1(+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是A ．),2(+∞-B ．),2(+∞C ．)2,(--∞D ．)2,(-∞2．函数bx ax x f +=3)(在a x 1=处有极值，则ab 的值为A ．2B ．2-C ．3D ．3-3．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()1(/≥-x f x ，则必有 A ．)1(2)2()0(f f f <+ B ．)1(2)2()0(f f f ≤+ C ．)1(2)2()0(f f f ≥+ D ．)1(2)2()0(f f f >+4．函数)(x f 是定义在),0(+∞上的可导函数，且满足0)()(,0)(/<+>x f x xf x f ，则对任意正数b a ,，若b a >，则必有A ．)()(a bf b af <B ．)()(a bf b af >C ．)()(b f a af <D ．)()(a f b bf <5．已知函数)(x f 的导函数为)(/x f ，且满足x xf x f ln )1(2)(/+=，则=)1(/fA ．e -B ．1-C ．1D ．e6．已知函数1)6()(23++++=xaaxxxf有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A．)2,1(-B．),6()3,(+∞--∞ C．)6,3(-D．),2()1,(+∞--∞7.函数)(xf在R上可导，其导函数),('xf且函数)(xf在2-=x处取得极小值，则函数)('xxfy=的图象可能是二、填空题1．若过原点作曲线xey=的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．2．若曲线xaxxf ln)(3+=存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．3．已知函数23)(nxmxxf+=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+yx平行，若)(xf在区间]1,[+t t上单调递减，则实数t的取值范围是________．4．已知函数xaxxxf ln1)(+-=，若函数)(x,1[+∞上为增函数，则正实数a的取值范围为________．5．已知函数bxbbxxy-++-+-=2)32(3123在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．三、解答题1．设)(,3)(2axaxxf∈-=，且2=x是)(xfy=的极值点，求函数) ()(xfexg x?=的单调区间．2．已知函数1 )(3--=axxxf.)(xf在),(+∞-∞上单调递增，求实数a的取值范围；A B C D(2)是否存在实数a ，使)(x f 在)1,1(-上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由．3．已知函数)(,3ln )(R a ax x a x f ∈--=． (1)求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为045，对于任意的]2,1[∈t ，函数]2)([)(/23m x f x x x g ++=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．4．设函数23)(,2)(223+-=+++=x x x g a bx ax x x f ，其中b a R x ,,∈为常数，已知曲线)(x f y =与)(x g y =在点)0,2(处有相同的切线l . (1)求b a ,的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程mx x g x f =+)()(有三个互不相同的实根21,,0x x ，其中21x x <，且对任意的],[21x x x ∈，)1()()(-<+x m x g x f 恒成立，求实数m 的取值范围．5．设函数x b=)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为01247=--y x .(1)求)(x f 的解析式；(2)证明：曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．6.已知定义在正实数集上的函数bx a x g ax x x f +=+=ln 4)(,23)(22，其中0>a ，设两曲线)(x f y =与)(x g y =有公共点，且在公共点处的切线相同. ⑴ 若1=a ，求两曲线)(x f y =与)(x g y =在公共点处的切线方程；⑵ 用a 表示b ，并求b 的最大值.7．设函数1ln )(-+=x ax x f 在??? ??e 1,0内有极值． (1)求实数a 的取值范围；(2)若),1(),1,0(21+∞∈∈x x )．求证：e e x f x f 12)()(12-+>-.注：e 是自然对数的底数．参考答案一、选择题A D CB B BC 二、填空题1.e e ),,1(；2.)0,(-∞；3.]1,2[--；4.),1[+∞；5. ),3()1,(+∞--∞1.解:)2(363)(2/-=-=ax x x ax x f ．因为2=x 是函数)(x f y =的极值点．所以0)2(/=f ，即0)22(6=-a ，因此1=a ，经验证，当1=a 时，2=x 是函数)(x f 的极值点，所以)3()(23x x e x g x -=g(x)＝ex(x3－3x2)，xe x x x x g )6)(6()(/-+=.因为0>x e ，所以)(x g y =的单调增区间是)0,6(-和),6(+∞；单调减区间是)6,(--∞和)6,0(．2.解 (1)a x x f -=2/3)(由0≤?，即012≤a 12，解得0≤a ，因此当)(x f 在),(+∞-∞上单调递增时，a 的取值范围是]0,(-∞．(2)若)(x f 在)1,1(-上单调递减，则对于任意)1,1(-∈x 不等式03)(2/≤-=a x x f 恒成立即23x a ≥，又)1,1(-∈x ，则332<="" bdsfid="1111" p="" ，因此3≥a="">函数)(x f 在)1,1(-上单调递减，实数a 的取值范围是),3[+∞．3.解：(1)根据题意知)0(,)1()(/>-=x x x a x f ，当0>a 时，)(x f 的单调递增区间为]1,0(，单调递减区间为),1(+∞；当0(2)2,12)2(/-=∴=-=a a f . 32ln 2)(-+-=x x x f .x m x x g 222)(3-??? ??+=∴.2)4(3)(2/-++=∴x m x x g .∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且2)0(/-=g ，><0 )3(0)(//g t g .由题意知：对于任意的0)(],2,1[/<∈t g t 恒成立， ??><<∴0)3(0)2(0)1(///g g g ，9337-<<-∴m .4.解:(1)32)(,43)(/2/-=++=x x g b ax x x f ，由于曲线)(x f y =与)(x g y =在点)0,2(处有相同的切线，故有1)2()2(,0)2()2(//====g f g f ，由此解得5,2=-=b a ；切线l 的方程为：02=--y x .(2)由(1)得x x x x g x f 23)()(23+-=+，依题意得：方程0)23(2=-+-m x x x 有三个互不相等的根21,,0x x ，故21,x x 是方程0232=-+-m x x 的两个相异实根，所以41,0)2(49->∴>--=?m m ；又对任意的)1()()(],,[21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立，特别地，取1x x =时，m mx x g x f -<-+111)()(成立，即0,0<∴>-m m ，由韦达定理知：02,032121>-=?>=+m x x x x ，故210x x <<，对任意的],[21x x x ∈，有0,012≥-≤-x x x x ，0>x ,则0))(()()(21≤--=-+x x x x x mx x g x f ；又0)()(111=-+mx x g x f ，所以函数在],[21x x x ∈上的最大值为0，于是当0<="">)1()()(],,[21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立．综上：m 的取值范围是)0,41(.5.解：(1)方程01247=--y x ，当2=x 时，21=y .又2/)(x ba x f +=，于是=+=-4742122b a b a ，解得==31b a ，故x x x f 3)(-=. (2)证明设),(00y x P 为曲线上任一点，由2/31)(x x f +=知，曲线在点),(00y x P 处的切线方程为)()31(020x x x y y -?+=-，即)()31()3(0200x x x x x y -?+=--．令0=x 得，06x y -=，从而得切线与直线0=x 交点坐标为)6,0(0x .令x y =，得02x x y ==，从而得切线与直线x y =的交点坐标为)2,2(00x x ．所以点),(00y x P 处的切线与直线x y x ==,0所围成的三角形面积为6|2||6|2100=?-x x .故曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值，此定值为6.6.解：（1）当1=a 时，)0(,ln 4)(,23)(2>+=+=x b x x g x x x f .x x g x x f 4)(,13)(//=+=. 设曲线)(x f y =与)(x g y =在公共点),(00y x 处的切线相同，0000()()'()'()f xg x f x g x =??=?2000034ln 2431x x x b x x ?+=++=??0000()()'()'()f xg x f x g x =??=?220002034ln 243x ax a x b a x a x ?+=++=??①②1111484454ln 22e e e e -=则有即解得25,10==b x （其中340-=x 舍去）∴公共点为)25,1(，公共点处的切线方程为0328=--y x .（2）x a x g a x x f 2//4)(,3)(=+=，设在点),(00y x 处的切线相同，则有即由②得0433220=-+a ax x ，即0)43)((00=+-a x a x ，得a x =0或340ax -=（舍去）于是aa a a a a ab ln 425ln 42322222-=-+=.令)0(,ln 425)(22>-=t a a a t h .则)ln 81(4ln 85)(/t t t t t t t h -=--=.于是当0)ln 81(>-t t ，即810e t <<时，0)(/>t h ，故)(t h 在),0(81e 上递增. 当0)ln 81(<-t t ，即81e t >时，0)(/<="" ，故)(t="">1+∞e 上递减. 所以，)(t h 在81e t =处取得最大值.所以，当81e a =时，b 取得最大值.7.解：(1)易知函数)(x f 的定义域为),1()1,0(+∞ ，2 2/)1(1)2()(-++-=x x x a x x f .由函数)(x f 在e 1,0内有极值函数，可知方程0)(/=x f 在e 1,0内有解，令1)2()(2++-=x a x x g))((βα--=x x ．。

2015年高考真题解答题专项训练：函数与导数（理科）学生版1．（2015•广东卷）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．2．（2015•重庆卷）（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）（1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。

3．（2015•新课标2卷）设函数 。

（1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；（2）若对于任意 ，都有 ，求m 的取值范围。

4． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，（Ⅲ）设实数k 使得对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．5．（2015•浙江卷）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.6．（2015•新课标1卷）已知函数， ． （1）当 为何值时， 轴为曲线 的切线；（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数．7．（2015•四川卷）已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >. （1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.8．（2015•陕西卷）设()21,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥（Ⅰ）求()2n f '；（Ⅱ）证明： ()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.9．（2015•福建卷）已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =∈ （Ⅰ）证明：当0x x x ><时，f()；（Ⅱ）证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x ∈任意，恒有f()()x g x >； （Ⅲ）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x ∈，t 恒有2|f ()()|x g x x-<．参考答案1．（1）f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）见解析（3）见解析【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）【解析】试题分析：（1）利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．解：（1）f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点（3）证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴…10分令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=e m﹣1，由g'（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0…12分∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分点评：本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．2．（1）0a =，切线方程为30x ey -=；（2【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析） 【解析】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得'()f x =，由已知得'(0)0f =，可得0a =，于是有,由点斜式可得切线方程；（2）由题意'()0f x ≤在[3,)+∞上恒成立，即2()3(6)g x x a x a =-+-+0≤在[3,)+∞上恒成立，利用二次函数试题解析：（1）对()f x 求导得因为()f x 在0x =处取得极值，所以(0)0f '=，即0a =.当0a =时,从而()f x 在点1(1)f （，）处的切线方程为化简得30x ey -= （2）由（1 令()2g()36x x a x a =-+-+由g()0x =，解得 当1x x <时，g()0x <,故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，g()0x >,故()f x 为增函数； 当2x x >时，g()0x <,故()f x 为减函数；由()f x 在[3,)+∞上为减函数，知故a考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．3．（1） 在 单调递减，在 单调递增；（2） .【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ带解析） 【解析】（Ⅰ） ．若 ，则当 时， ， ；当 时， ， ．若 ，则当 时， ， ；当 时， ， ．所以， 在 单调递减，在 单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的 ， 在 单调递减，在 单调递增，故 在 处取得最小值．所以对于任意 ， 的充要条件是： 即①，设函数 ，则 ．当 时， ；当 时， ．故 在 单调递减，在 单调递增．又 ， ，故当 时， ．当 时， ， ，即①式成立．当 时，由 的单调性， ，即 ；当 时， ，即 ．综上， 的取值范围是 ．考点：导数的综合应用．视频4．（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷带解析） 【解析】试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在0x =处的函数值及导数值，再用直线方程在()01x ∈，成立，可用作差，利用导数研究函数F(x)在区间（0，1）上的单调性，由于()0F x '>，()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数k 作讨论，首先[0,2]k ∈符合题意，其次当2k >时，不满足题意舍去，得出k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ），曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，对(0,1)x ∀∈()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，（Ⅲ）成立，()01x ∈，，()01x ∈，； 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 5．（1）详见解析；（2）3.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷带解析） 【解析】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤， |1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1，由||2a ≥，得，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得m a x {(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M ab ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b a b a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3..考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.6．（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.（Ⅱ）当时，，从而，∴在（1，+∞）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时， 在（0,1）有一个零点.…10分综上，当 或 时， 由一个零点；当 或时， 有两个零点；当时， 有三个零点.考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想 7．（1时，()g x 在区间 在时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）详见解析.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析） 【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，时，()g x 在区间时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. （2.故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ϕ=..知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增.即0(0,1)a ∈.当0a a =时，有000()0,()()0f x f x x ϕ'===，. 由（1）知，函数()f x '在区间(1,)+∞上单调递增.故当0(1,)x x ∈时，有0()0f x '<，从而0()()0f x f x >=； 当0(,)x x ∈+∞时，有0()0f x '>，从而0()()0f x f x >=； 所以，当(1,)x ∈+∞时，()0f x ≥.综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.考点：本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.8．（Ⅰ）()()2121nn f n =-+'；（Ⅱ）证明见解析，详见解析.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷带解析） 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设()112n n f x x nx -=++'+，所以()121222n n f n -=++'+⨯，此式等价于数列{}12n n -⋅的前n 项和，由错位相减法求得()()2121n n f n =-+'；（Ⅱ）因为()010f =-<， 222212120333nn f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一个零点，又，所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，因此， ()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个零点n a ，由于()111n n x f x x -=--，所以()1011n n n n na f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+>，故1223n a <<，继而得111112*********n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 试题解析：（Ⅰ）由题设()112n n f x x nx -=++'+， 所以()121222n n f n -=++'+⨯① 由()22212222n n f n '=⨯+⨯++②①-②得()21212222n n n f n --=++++-'，所以()()2121nn f n =-+' （Ⅱ）因为()010f =-<222133222112120233313n n n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一个零点， 又所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 因此， ()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个零点n a ，由于()111nn x f x x-=--， 所以()1011n n n n na f a a -==-- 由此可得1111222n n n a a +=+> 故1223n a << 所以111112*********n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列. 视频 9．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ） =1k ．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷带解析）【解析】解法一：（1）令()f ()l n (1),F x x x x x x =-=+-∈+∞则有1()11+1+x F x x x '=-=- 当(0,),x ∈+∞ ()0F x '<,所以()F x 在(0,)+∞上单调递减；故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x <f()．（2）令G ()f ()(x x g x x k x x =-=+-∈+∞则有1(1k )()1+1+kx G x k x x -+-'=-= 当0k ≤ G ()0x '>,所以G()x 在[0,)+∞上单调递增, G()(0)0x G >=故对任意正实数0x 均满足题意.当01k <<时，令()0,x '=G 得11=10k x k k -=->． 取01=1x k-，对任意0(0,),x x ∈恒有G ()0x '>,所以G ()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G >=,即f()()x g x >.综上，当1k <时，总存在00x >,使得对任意的0(0),x x ∈，恒有f()()x g x >．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x ∀∈∞+()f()g x x x >>，故()f()g x x >，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x+-'=--++故当8(k 1)0x ∈（时，M ()x '>,M()x 在[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ∈，恒有f()()x g x >． 此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--∈∞，+，则有2'1-2-(k +2()2=,11x x k N x k x xx -+=--++故当2)8(1k )0x ∈（时，N ()x '>,M()x 在[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x 1x ， 则当21(0)|f()()|x x x g x x ∈->，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x ∈∞当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有21-2H ()12=,11x x x x x x -'=--++ 当0x >时，H ()0x '<,所以H()x 在[0+∞，）上单调递减，故H()(0)0x H <=, 故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意.综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x ∀∈∞+()f()g x x x >>，，故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-，令2(k 1),01x x x k -><<-解得，从而得到当1k >时，(0,1)x k ∈-对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时，取11k+1=12k k k <<，从而 由（2）知存在00x >,使得0(0),x x ∈任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2k x g x x g x k x x --=->-=, 令21k 1k ,022x x x --><<解得，此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ∈->，时，恒有， 故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x ∈∞当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有212M ()12,11x x x x x x --'=--=++ 当0x >时，M ()0x '<,所以M()x 在[0+∞，）上单调递减，故M()M(0)0x <=, 故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意．综上，=1k .考点：导数的综合应用．。

2015届高三文科数学小综合专题练习——函数与导数第一讲 函数、基本初等函数的图像和性质 一、选择题1．已知定义在R 上的奇函数，)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 ． A ．1- B ．0 C ．1 D ．22．已知)(x f 是定义在R 上的周期为2的周期函数，当)1,0[∈x 时，14)(-=xx f ，则)5.5(-f 的值为A ．2B ．1-C ．21-D ．13．下列函数中，奇函数是A ．xx f 2)(= B ．x x f 2log )(= C ．1sin )(+=x x f D ．x x x f tan sin )(+=4．若函数ax y =与x by -=在),0(+∞上都是减函数，则bx ax y +=2在),0(+∞上是A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增5．已知实数4.0log ,21,5log 304=⎪⎭⎫⎝⎛==c b a ，则c b a ,,的大小关系为A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<6．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图象如图所示，其中b a ,为常数，则函数b a x g x+=)(的大致图象是．二、填空题1．设函数],2[,22a x x x y -∈-=，若函数的最小值为)(a g ，则=)(a g _______. 2．已知函数5)3(42)(2+-+=x a ax x f 在区间)3,(-∞上是减函数，则a 的取值范围是________．3．已知2)()(x x f x F +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g ________.4．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=0,4)3(0 ,)(x a x a x a x f x 满足对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是________．5．使1log )(log 22+<-x x 成立的x 的取值范围是________．6．已知mx g x x f x-⎪⎭⎫⎝⎛==21)(,)(2，若对]2,0[],3,1[21∈∃-∈∀x x 时有)()(21x g x f ≥成立，，则实数m 的取值范围是________．三、解答题1. 已知函数),0( )(2R a x x ax x f ∈≠+=．(1)判断函数)(x f 的奇偶性；(2)若)(x f 在区间),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．2．已知函数xa b x f ⋅=)((其中b a ,为常量，且1,0≠>a a )的图象经过点)24,3(),6,1(B A ．⑴ 求)(x f ；⑵ 若不等式011≥-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛m b a xx 在]1,(-∞∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围．3.已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，且)(x f 的图象关于1=x 对称，当]1,0[∈x 时，12)(-=x x f .⑴ 求证：)(x f 是周期函数； ⑵ 当]2,1[∈x 时，求)(x f 的解析式.4.设函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=32 ,121,1)(x x x x f ，]3,1[,)()(∈-=x ax x f x g ，其中R a ∈，记函数)(x g 的最大值与最小值的差为)(a h ． (1)求函数)(a h 的解析式；(2)画出函数)(x h y =的图象并指出)(x h 的最小值．一选择题 B D D B D B 二、填空题⎩⎨⎧≥-<≤--)1(, ,1)12(,22a a a a ； ]43,0[； 1-； ]41,0(； )0,21(-； ),41[+∞.三、解答题1.解 (1)当0=a 时，)0(,)(2≠=x x x f 为偶函数；当0≠a 时，)()(),()(x f x f x f x f -≠-≠-， ∴)(x f 既不是奇函数也不是偶函数． (2)解法一：设212≥>x x ，则])([)()(2121212122212121a x x x x x x x x x a x x a x x f x f -+-=--+=-,由212≥>x x ，得0,0,16)(21212121><->+x x x x x x x x . 要使)(x f 在区间),2[+∞上是增函数，只需0)()(21<-x f x f ， 即0)(2121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a .解法二：利用)(x f 的导函数在),2[+∞上大于等于零恒成立解决.2.解析 (1)把)24,3(),6,1(B A 代入xa b x f ⋅=)(，得⎩⎨⎧⋅==3246a b ab ，结合1,0≠>a a ，解得⎩⎨⎧==32b a .∴xx f 23)(⋅=.(2)要使mx x ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛3121在]1,(-∞ 上恒成立，只需保证函数xx y ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121在]1,(-∞ 上的最小值不小于m 即可．∵函数xxy ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121在]1,(-∞ 上为减函数，∴当1=x 时，xxy ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121有最小值65.∴只需65≤m 即可．∴m 的取值范围]65,(-∞.3.解析 (1)证明 函数)(x f 为奇函数，则)()(x f x f -=-，函数)(x f 的图象关于1=x 对称，则)()()2(x f x f x f -=-=+，所以)()2(]2)2[()4(x f x f x f x f =+-=++=+，所以)(x f 是以4为周期的周期函数．(2) 当]2,1[∈x 时，]1,0[2∈-x ，又)(x f 的图象关于1=x 对称，则]2,1[,12)2()(2∈-=-=-x x f x f x. 4.解 (1)由题意知⎩⎨⎧≤<--≤≤-=32,1)1(21,1)(x x a x ax x g , 当<a 时，函数)(x g 是]3,1[上的增函数，此时a g x g a g x g 21)1()(,32)3()(min max -==-==，所以a a h 21)(-=；当1>a 时，函数)(x g 是]3,1[上的减函数，此时a g x g a g x g 21)1()(,32)3()(max min -==-==，所以12)(-=a a h ；当10≤≤a 时，若]2,1[∈x ，则ax x g -=1)(，有)1()()2(g x g g ≤≤；若]3,2(∈x ，则1)1()(--=x a x g ，有)3()()2(g x g g ≤<，因此a g x g 21)2()(min -==，而a a a g g 21)1()32()1()3(-=---=-，故当210≤≤a 时，a g x g 32)3()(max -==，有a a h -=1)(；当121≤<a 时，a g x g -==1)1()(max ，有a a h =)(.综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<≤≤-<-=1 ,12121 ,210 ,10,21)(a a a a a a a a a h .(2)画出)(x h y =的图象，如图所示，数形结合可得21)21()(min ==h x h .第二讲 函数的零点、函数的应用 一、选择题1．“2-<a ”是“函数3)(+=ax x f 在区间]2,1[-上存在零点0x ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是3．函数a x x f x --=22)(的一个零点在区间)2,1(内，则实数a 的取值范围是A ．)3,1(B ．)2,1(C ．)3,0(D ．)2,0(4．已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f y =的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为 A ．6B ．7C ．8D ．95．函数x x x f cos )(-=在),0[+∞内A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 6．甲、乙两人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1212,()v v v v <．甲一半路程使用速度1v ，另一半路程使用速度2v ，乙一半时间使用速度1v ，另一半时间使用速度2v ，甲、乙两人从A 地到B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴S 表示路程），其中正确的图示分析为A ．(1)B ．(3)C ．(1)或(4) D. (1)或(2)（1） （2） （3） （4）二、填空题 1．用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(,0)0(><f f 可得其中一个零点∈0x ______，第二次应计算________．2．已知函数a x e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是________． 3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为km 3(不超过km 3按起步价付费)；超过km 3但不超过km 8时，超过部分按每千米15.2元收费；超过km 8时，超过部分按每千米85.2元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费6.22元，则此次出租车行驶了________km.三、解答题t 2t 1C B A t S t 2t 1C B A S t A B C t 1t 2S t t 2t 1C B A S t1．设函数).0(|,11|)(>-=x x x f(1)作出函数)(x f 的图象；(2)当b a <<0，且)()(b f a f =时，求b a 11+的值；(3)若方程m x f =)(有两个不相等的正根，求m 的取值范围．2．已知函数124)(+⋅+=xx m x f 有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．3．已知二次函数316)(2++-=q x x x f . (1)若函数在区间]1,1[-上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数)0(,≥t t ，当]10,[t x ∈时，)(x f 的值域为区间D ，且区间D 的长度为t -12(视区间],[b a 的长度为a b -)．4．已知函数)0(,)(,12)(22>+=-++-=x x e x x g m ex x x f ．(1)若m x g =)(有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得0)()(=-x f x g 有两个相异实根．5.某市出租车的计价标准是：km 3以内(含km 3)10元；超过km 3但不超过km 18的部分1元/km ；超出km 18的部分2元/km .(1)如果某人乘车行驶了km 20，他要付多少车费？某人乘车行驶了xkm ，他要付多少车费？ (2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？参考答案 A C C B B D1.)25,0(),5.0,0(f ；2.]22ln 2,(--∞；3.190；4.9. 1.解 (1)如图所示．(2)∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈-∈-=-=),1(,11]1,0(,11|11|)(x x x xx x f故)(x f 在]1,0(上是减函数，而在),1(+∞上是增函数，由b a <<0且)()(b f a f =，得b a <<<10，且211,1111=+∴-=-b a b a .(3)由函数)(x f 的图象可知，当10<<m 时，方程m x f =)(有两个不相等的正根．2.解124)(+⋅+=x x m x f 有且仅有一个零点，即方程012)2(2=+⋅+xx m 仅有一个实根．设)0(,2>=t t x ，则012=++mt t .当0=∆时，即042=-m ， 2-=∴m 时，2,1==m t 时，1-=t (不合题意，舍去)，0,12==∴x x符合题意． 当0>∆时，即2>m 或2-<m 时，012=++mt t 有两正或两负根，即)(x f 有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意． 综上可知：2-=m 时，)(x f 有唯一零点，该零点为0=x .3.解 (1)∵函数316)(2++-=q x x x f 的对称轴是)(,8x f x ∴=x ＝8，在区间]1,1[-上是减函数．∵函数在区间]1,1[-上存在零点，则必有⎩⎨⎧≥-≤0)1(0)1(f f ,即⎩⎨⎧≥+++≤++-0316103161q q ,1220≤≤-∴q . (2))(,100x f t <≤ 在区间]8,0[上是减函数，在区间]10,8[上是增函数，且对称轴是8=x . ①当60≤≤t 时，在区间]10,[t 上，)(t f 最大，)8(f 最小，t f t f -=-∴12)8()(，即520152+-t t ，解得21715,21715-=∴±=t t ；②当86≤<t 时，在区间]10,[t 上，)10(f 最大，)8(f 最小，t f f -=-∴12)8()10(，解得8=t ；③当108<<t 时，在区间]10,[t 上，)10(f 最大，)(t f 最小，t t f f -=-∴12)()10(，即072172=+-t t ，解得8=t 或9，9=∴t .综上可知，存在常数9,8,21715-=t 满足条件.4.解 (1)法一：ee x e x x g 22)(22=≥+= ，等号成立的条件是e x =，故)(x g 的值域是),2[+∞e ，因而只需e m 2≥，则m x g =)(就有零点．法二：作出)0(,)(2>+=x x e x x g 的大致图象如图：可知若使 m x g =)(有零点，则只需e m 2≥.法三：由m x g =)(得022=+-e mx x .此方程有大于零的根， 故⎪⎩⎪⎨⎧≥-=∆>040222e m m等价于⎩⎨⎧-≤≥>e m e m m 220或，故e m 2≥.(2)若0)()(=-x f x g 有两个相异的实根，即)(x g 与)(x f 的图象有两个不同的交点，作出)0(,)(2>+=x x e x x g 的大致图象．2221)(12)(e m e x m ex x x f +-+--=-++-=.其图象的对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m +-. 故当e e m 212>+-，即122++->e e m 时，)(x g 与)(x f 有两个交点，即0)()(=-x f x g 有两个相异实根．∴m 的取值范围是),12(2+∞++-e e .5.解：(1)乘车行驶了km 20，付费分三部分，前km 3付费10(元)，km 3到km 18付费1)318(⨯-15=(元)，km 18到km 20付费42)1820(=⨯- (元)，总付费2941510=++(元)．设付车费y 元，当30≥<x 时，车费10=y ；当183≤<x 时，车费7)3(10+=-+=x x y ； 当18>x 时，车费112)18(225x x y =-+=.故⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤<=.18 ,112,183 ,7,30,10x x x x x y第三讲 导数及其应用1．若函数32)(k x k x x h +-=在),1(+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是A ．),2(+∞-B ．),2(+∞C ．)2,(--∞D ．)2,(-∞2．函数bx ax x f +=3)(在a x 1=处有极值，则ab 的值为A ．2B ．2-C ．3D ．3-3．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()1(/≥-x f x ，则必有 A ．)1(2)2()0(f f f <+ B ．)1(2)2()0(f f f ≤+ C ．)1(2)2()0(f f f ≥+ D ．)1(2)2()0(f f f >+4．函数)(x f 是定义在),0(+∞上的可导函数，且满足0)()(,0)(/<+>x f x xf x f ，则对任意正数b a ,，若b a >，则必有A ．)()(a bf b af <B ．)()(a bf b af >C ．)()(b f a af <D ．)()(a f b bf <5．已知函数)(x f 的导函数为)(/x f ，且满足x xf x f ln )1(2)(/+=，则=)1(/fA ．e -B ．1-C ．1D ．e6．已知函数1)6()(23++++=xaaxxxf有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A．)2,1(-B．),6()3,(+∞--∞ C．)6,3(-D．),2()1,(+∞--∞7.函数)(xf在R上可导，其导函数),('xf且函数)(xf在2-=x处取得极小值，则函数)('xxfy=的图象可能是二、填空题1．若过原点作曲线xey=的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．2．若曲线xaxxf ln)(3+=存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．3．已知函数23)(nxmxxf+=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+yx平行，若)(xf在区间]1,[+t t上单调递减，则实数t的取值范围是________．4．已知函数xaxxxf ln1)(+-=，若函数)(xf在),1[+∞上为增函数，则正实数a的取值范围为________．5．已知函数bxbbxxy-++-+-=2)32(3123在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．三、解答题1．设)(,3)(23Raxaxxf∈-=，且2=x是)(xfy=的极值点，求函数)()(xfexg x⋅=的单调区间．2．已知函数1 )(3--=axxxf.(1)若)(xf在),(+∞-∞上单调递增，求实数a的取值范围；A B C D(2)是否存在实数a ，使)(x f 在)1,1(-上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由．3．已知函数)(,3ln )(R a ax x a x f ∈--=． (1)求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为045，对于任意的]2,1[∈t ，函数]2)([)(/23m x f x x x g ++=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．4．设函数23)(,2)(223+-=+++=x x x g a bx ax x x f ，其中b a R x ,,∈为常数，已知曲线)(x f y =与)(x g y =在点)0,2(处有相同的切线l . (1)求b a ,的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程mx x g x f =+)()(有三个互不相同的实根21,,0x x ，其中21x x <，且对任意的],[21x x x ∈，)1()()(-<+x m x g x f 恒成立，求实数m 的取值范围．5．设函数x bax x f -=)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为01247=--y x .(1)求)(x f 的解析式；(2)证明：曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．6.已知定义在正实数集上的函数bx a x g ax x x f +=+=ln 4)(,23)(22，其中0>a ，设两曲线)(x f y =与)(x g y =有公共点，且在公共点处的切线相同. ⑴ 若1=a ，求两曲线)(x f y =与)(x g y =在公共点处的切线方程； ⑵ 用a 表示b ，并求b 的最大值.7．设函数1ln )(-+=x ax x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内有极值． (1)求实数a 的取值范围；(2)若),1(),1,0(21+∞∈∈x x )．求证：e e x f x f 12)()(12-+>-.注：e 是自然对数的底数．参考答案 一、选择题A D CB B BC 二、填空题1.e e ),,1(；2.)0,(-∞；3.]1,2[--；4.),1[+∞；5. ),3()1,(+∞--∞1.解:)2(363)(2/-=-=ax x x ax x f ．因为2=x 是函数)(x f y =的极值点． 所以0)2(/=f ，即0)22(6=-a ，因此1=a ，经验证，当1=a 时，2=x 是函数)(x f 的极值点，所以)3()(23x x e x g x -=g(x)＝ex(x3－3x2)，xe x x x x g )6)(6()(/-+=.因为0>x e ，所以)(x g y =的单调增区间是)0,6(-和),6(+∞；单调减区间是)6,(--∞和)6,0(．2.解 (1)a x x f -=2/3)(由0≤∆，即012≤a 12，解得0≤a ，因此当)(x f 在),(+∞-∞上单调递增时，a 的取值范围是]0,(-∞．(2)若)(x f 在)1,1(-上单调递减，则对于任意)1,1(-∈x 不等式03)(2/≤-=a x x f 恒成立 即23x a ≥，又)1,1(-∈x ，则332<x ，因此3≥a .函数)(x f 在)1,1(-上单调递减，实数a 的取值范围是),3[+∞．3.解：(1)根据题意知)0(,)1()(/>-=x x x a x f ，当0>a 时，)(x f 的单调递增区间为]1,0(，单调递减区间为),1(+∞；当0<a 时，)(x f 的单调递增区间为),1(+∞，单调递减区间为]1,0(；当0=a 时，)(x f 不是单调函数．(2)2,12)2(/-=∴=-=a a f . 32ln 2)(-+-=x x x f .x m x x g 222)(3-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴.2)4(3)(2/-++=∴x m x x g .∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且2)0(/-=g ，⎪⎩⎪⎨⎧><0)3(0)(//g t g .由题意知：对于任意的0)(],2,1[/<∈t g t 恒成立， ⎪⎩⎪⎨⎧><<∴0)3(0)2(0)1(///g g g ，9337-<<-∴m .4.解:(1)32)(,43)(/2/-=++=x x g b ax x x f ，由于曲线)(x f y =与)(x g y =在点)0,2(处有相同的切线，故有1)2()2(,0)2()2(//====g f g f ，由此解得5,2=-=b a ； 切线l 的方程为：02=--y x .(2)由(1)得x x x x g x f 23)()(23+-=+，依题意得：方程0)23(2=-+-m x x x 有三个互不相等的根21,,0x x ，故21,x x 是方程0232=-+-m x x 的两个相异实根，所以41,0)2(49->∴>--=∆m m ；又对任意的)1()()(],,[21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立，特别地，取1x x =时，m mx x g x f -<-+111)()(成立，即0,0<∴>-m m ，由韦达定理知：02,032121>-=⋅>=+m x x x x ，故210x x <<，对任意的],[21x x x ∈，有0,012≥-≤-x x x x ，0>x ,则0))(()()(21≤--=-+x x x x x mx x g x f ；又0)()(111=-+mx x g x f ，所以函数在],[21x x x ∈上的最大值为0，于是当0<m 时对任意的)1()()(],,[21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立．综上：m 的取值范围是)0,41(.5.解：(1)方程01247=--y x ，当2=x 时，21=y .又2/)(x ba x f +=，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-4742122b a b a ，解得⎩⎨⎧==31b a ，故x x x f 3)(-=. (2)证明 设),(00y x P 为曲线上任一点，由2/31)(x x f +=知，曲线在点),(00y x P 处的切线方程为)()31(020x x x y y -⋅+=-，即)()31()3(0200x x x x x y -⋅+=--．令0=x 得，06x y -=，从而得切线与直线0=x 交点坐标为)6,0(0x .令x y =，得02x x y ==，从而得切线与直线x y =的交点坐标为)2,2(00x x ．所以点),(00y x P 处的切线与直线x y x ==,0所围成的三角形面积为6|2||6|2100=⋅-x x .故曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值，此定值为6.6.解：（1）当1=a 时，)0(,ln 4)(,23)(2>+=+=x b x x g x x x f .x x g x x f 4)(,13)(//=+=. 设曲线)(x f y =与)(x g y =在公共点),(00y x 处的切线相同，0000()()'()'()f xg x f x g x =⎧⎨=⎩2000034ln 2431x x x b x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩0000()()'()'()f xg x f x g x =⎧⎨=⎩220002034ln 243x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②1111484454ln 22e e e e -=则有 即 解得25,10==b x （其中340-=x 舍去）∴公共点为)25,1(，公共点处的切线方程为0328=--y x .（2）x a x g a x x f 2//4)(,3)(=+=，设在点),(00y x 处的切线相同， 则有即由②得0433220=-+a ax x ，即0)43)((00=+-a x a x ，得a x =0或340ax -=（舍去）于是aa a a a a ab ln 425ln 42322222-=-+=.令)0(,ln 425)(22>-=t a a a t h .则)ln 81(4ln 85)(/t t t t t t t h -=--=.于是当0)ln 81(>-t t ，即810e t <<时，0)(/>t h ，故)(t h 在),0(81e 上递增. 当0)ln 81(<-t t ，即81e t >时，0)(/<t h ，故)(t h 在),(81+∞e 上递减. 所以，)(t h 在81e t =处取得最大值.所以，当81e a =时，b 取得最大值.7.解：(1)易知函数)(x f 的定义域为),1()1,0(+∞ ，22/)1(1)2()(-++-=x x x a x x f .由函数)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0内有极值函数，可知方程0)(/=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0内有解，令1)2()(2++-=x a x x g))((βα--=x x ．不妨设ee ><<βα,10，又01)0(>=g ， 所以0121)1(2<++-=e a e e g ，解得21-+>e e a .(2)证明 由(1)知0)(/>x f 得α<<x 0或β>x ，0)(/<x f 得1<<x α或β<<x 1，所以函数)(x f 在),(),,0(+∞βα上单调递增，在),1(),1,(βα上单调递减．由)1,0(1∈x 得1ln )()(1-+=≤αααaf x f ，由),1(2+∞∈x 得1ln )()(2-+=≥βββaf x f ，所以)()()()(12αβf f x f x f ->-． 由(1)易知2,1+=+=⋅a βαβα，所以)1)(1(ln 211111lnln )()(---⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=-αββαβαβββαβa a f f ββββββ1ln 2)2(21ln 2-+=+--⋅+=a a .记)(,1ln 2)(e h >-+=βββββ，则)11(112)(22/>+=++=ββββh ,所以函数)(βh 在),(+∞e 上单调递增，所以e e e h h x f x f 12)()()()(12-+=>≥-β..。

2015届广东数学高考复习小题专题汇编答案一、集合与简易逻辑1. B2. 13. D4. D5. B3. [解析] 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}．∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0,1)∪(－∞，－1]．故选D. 二、复数1. B 因为z ＝－2i ，所以1z ＋1＝1－2i ＋1＝1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝15＋25i ，所以虚部为25.2. D [解析] ∵z ＝11＋i 3＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i. 3. D [解析]由|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，∴z 1＝z 2，所以z 1＝z 2，故A 为真命题；由于z 1＝z 2，则z1＝z 2＝z 2，故B 为真命题；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2，则有z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 为真命题，D 为假命题． 三、函数1. D [解析] 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(－x )．∴f (1100)＝lg 1100＝－2，f (f (1100))＝f (－2)＝－lg2.2. B [解析] 设f (x )＝x α，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∴f (x )＝x －3，由f (x )＝27得，x －3＝27，∴x ＝13.3. C [解析] 解法1：∵偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数，又f (13)＝0，∴f (－13)＝0，由f (log 18 x )>0得，log 18 x >13或log 18 x <－13，∴0<x <12或x >2，故选C.4. B [解析] 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称．显然不符．故选B.5. [2，＋∞) [解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＋3在[2，＋∞)上为增函数，f (x ＋a )在[0，＋∞)上为增函数，∴应将f (x )的图象至少向左平移2个单位得到f (x ＋a )的图象，∴a ≥2.6. (1)±1 (2) －207. 49<a ≤1 [解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ＝0，x ≤0，且方程x 2－3ax ＋a ＝0有两不等正根，∴0<a ≤1，且⎩⎪⎨⎪⎧3a >0，a >0，9a 2－4a >0，∴49<a ≤1. 8.D [解析] f (7－x )＝f (7＋x )＝f (2＋(5＋x ))＝f (2－(5＋x ))＝f (－3－x )，即f (x ＋10)＝f (x )，所以函数的周期为10，且对称轴为x ＝2，x ＝7，在[0,10]内，f (1)＝f (3)＝f (11)＝f (13)，所以一个周期内只有2个零点，在[0,2 011]内2 011＝201×10＋1有201×2＋1＝403个，在[－2 011,0]内－2 011＝201×(－10)－1，有201个周期且f (－1)≠0，此时有201×2＝402个零点，合计805，故选D. 四、导数1. B [解析] 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )， 又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，从而y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.2. (0，12) [解析] f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，解得0＜b ＜12.3. A [解析] 由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．4. 0<t <1或2<t <3 [解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x.由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.5. (316，65) [解析] 依题意得，f ′(1)＝0，又f ′(x )＝ax 2＋ax －b ，∴b ＝2a ，∴f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， ①当a ＝0时，不合题意；②当a >0时，要使图象过四个象限，只需⎩⎨⎧ f (－2)＝163a －1>0，f (1)＝56a －1<0，结合a >0，解得a ∈(316，65)；③当a <0时，要使图象过四个象限，只需⎩⎨⎧f (－2)＝163a －1<0，f (1)＝56a －1>0，结合a <0.可知不存在符合条件的实数a ；综上得，a 的取值范围是(316，65)．6. C [解析] f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )，知导函数图象为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a ＞0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3＋(－2)x 2＋1，可得f (1)＝－23.7. D [解析] x >0时⎣⎡⎦⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)．五、框图1. 62. A3. A4. B3.[解析]第一次循环，得a ＝2，S ＝1＋2＝3＜10；第二次循环，得a ＝4，S ＝3＋4＝7＜10；第三次循环，得a ＝8，S ＝7＋8＝15＞10，输出S ，故输出的S ＝15. 六、统计与概率1. D [解析] 把52人分成4组，每组13人，第一组抽6号，则第二组抽19号，故未知的学生编号是19.2. A [解析] 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.3. 80 [解析] 第四小组和第五小组的频率之和是5×(0.0125＋0.0375)＝0.25，故前三个小组的频率之和是0.75，则第二小组的频率是0.25，则抽取的男生人数是12÷0.25＝48人，抽取的女生人数是48×23＝32人，全校共抽取80人．4. A [解析] ①④正确，②③⑤错误，⑤设样本容量为n ，则3501500＝7n ，∴n ＝30，故⑤错．5. B [解析] 由题意知x ＝34，y ＝38，故样本中心为(34，38)，代入回归直线方程y ^＝13x ＋a ^，得a ^＝18.6. A [解析] 在△ABC 中，设AB ＝5，BC ＝6，AC ＝13，则cos B ＝52＋62－(13)22×5×6＝45，则sin B ＝35，S △ABC ＝12×5×6×35＝9，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率为S △ABC －12×π×12S △ABC＝1－π18.七、解析几何1. A [解析] “直线a 2x －y ＋1＝0与直线x －ay －2＝0互相垂直”的充要条件是a 2＋a ＝0，即a ＝－1或a ＝0，所以a ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．2. x ＝－3或5x －12y ＋15＝0 [解析] 因为直线被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离d ＝25－42＝3.当直线斜率不存在时，恰好符合，此时直线l 的方程为x ＝－3；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0，所以圆心(0，－2)到直线kx －y ＋3k ＝0的距离d ＝|2＋3k |k 2＋1＝3，解得k ＝512，所以直线l 的方程为y ＝512(x ＋3)，即5x －12y ＋15＝0.3. B [解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．4. C [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.5. A [解析] 依题意得2b 2a ＝2c ，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，(e －12)2＝54，又e >1，因此e －12＝52，e＝5＋12，故选A. 6. D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)，而y 1－y 2x 1－x 2＝12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又因为a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9. 7. D [解析] 设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，则有m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，因此12＋2mn ＝16，所以mn ＝2， 而(m －n )2＝(2a )2＝(m ＋n )2－4mn ＝16－8＝8，因此双曲线的a ＝2，c ＝3，则有e ＝32＝62. 8. a ≥1 [解析] 显然a >0，不妨设A (a ，a )，B (－a ，a )，C (x 0，x 20)，则CB →＝(－a －x 0，a －x 20)， CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°.∴CA →·CB →＝(a －x 0，a －x 20)·(－a －x 0，a －x 20)＝0.∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，则x 20－a ≠0.∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0.∴x 20＝a －1，又x 20≥0.∴a ≥1.八、数列1. D [解析] 由题意，7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝35，所以a 4＝5.2. D [解析] 设等差数列的公差为d ，由a 4－2a 27＋3a 8＝0，得a 7－3d －2a 27＋3(a 7＋d )＝0，从而有a 7＝2或a 7＝0(a 7＝b 7，而{b n }是等比数列，故舍去)，设{b n }的公比为q ，则b 7＝a 7＝2，∴b 2b 8b 11＝b 7q 5·b 7q ·b 7q 4＝(b 7)3＝23＝8.3. C [解析] ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.4. B [解析] 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1， －2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4， ∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.5. B [解析] 由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n ，所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.九、三角函数与解三角形1. D [解析] f (x )＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ， 令k ＝1，得x ＝2π3.2. B [解析] y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．3.(1) 52 [解析] sin 2α＋cos 2(π－α)1＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52. (2) －23 [解析] ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝169，∴2cos θcos θ＝79， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－79＝29，又θ∈(0，π4)，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.4. C [解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 5. C [解析] 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin C sin C ，因为sin(B ＋A )＝sin C ，所以sin C ＝1，C ＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cosA ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°.十、向量1. 5 [解析] ∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即x ＋2＝0，∴x ＝－2，∴|n|＝(－2)2＋12＝ 5.2. B [解析] 由题意可知向量a 与b 为基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠－3.3. 5 [解析] 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)，∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.4.A [解析] 依题意得，(3OA →＋5OC →)2＝(－4OB →)2,9OA →2＋25OC →2＋30OA →·OC →＝16OB →2，即34＋30cos ∠AOC＝16，cos ∠AOC ＝－35，sin ∠AOC ＝1－cos 2∠AOC ＝45，△AOC 的面积为12|OA →||OC →|sin ∠AOC ＝25.十一、不等式1.B [解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，∴－1d >－1c >0，又∵a >b >0，∴－a d >－b c >0，即a d <bc.选B.2.[－12，1)∪(1,3] 解析 ∵(x －1)2≥0且x ≠1，∴x ＋5(x －1)2≥2⇔x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1⇔2x 2－5x －3≤0且x ≠1，解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.3. [－1,4 ] [解析] 由绝对值的几何意义知，|x ＋3|＋|x －1|的几何意义为数轴上点x 到点－3,1的距离的和， 则|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，∴不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.∴a 的取值范围为[－1,4]．4.{x |－2≤x ≤5} [解析] 由|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．5. 8 [解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1.∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b)＝4＋b a ＋4ab ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a 时等号成立．十二、线性规划1. 3 [解析] OM →·ON →＝2x ＋y ，如图：当直线2x ＋y ＝z 经过点(1,1)时，达到最大值，z max ＝3.2. C [解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，表示的平面区域，直线kx －y ＋1＝0过定点(0,1)，则k ＝0或k ＝－12，如图所示：A (25，45)，B (12，1)，∴所求三角形的面积为15或14.3. D [解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M (x ，y )与点P (－1,1)连线斜率的取值范围．由图可知w min ＝1－0－1－1＝－12，w max <1，∴w ∈[－12，1)．4. 4 [解析] 画图后易知，目标函数在点(2,3)处取到最大值11，所以2k ＋3＝11，即k ＝4. 十三、立体几何第3题1.D [解析] 在选项A 中，a ，b 有可能不平行；在选项B 中，b 可能在平面α内；在选项C 中，缺少a 与b 相交的条件，故不正确．由此可知选D.2. [解析] AB 与CD 的长度不变，仍为6和4，高CB 为.3. A4.A [解析] 依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于 23＋14×43π×13＝8＋π3.十四、排列组合1. 14 [解析] 若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位、十位、百位、千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有16个4位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．2. B [解析] 甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，分组方案有C 14·C 33＋C 24C 22A 22＝7，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为7×A 22＝14；若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，分组方法数是C 24，分到三项比赛上去的分配方法数是A 33，故共有方案数C 24A 33＝36.根据两个基本原理共有方法数2×(14＋36)＝100(种)．3. 36 [解析] 先只考虑A 与产品B 相邻，此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有A 44＝24种方法，而A 和B 有2种摆放顺序，故总计24×2＝48种方法，再排除既满足A 和B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A 、B 、C 作为一个元素考虑，共有A 33＝6种方法，而A 、B 、C 有2种可能的摆放顺序，故总计6×2＝12种方法．综上，符合题意的摆放共有48－12＝36种．4. 8 [解析] 由已知从1,2,3，…，n 中取出的两数之和等于5，有以下情况：(1,4)，(2,3)，从n 个正整5. B [解析] 当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，故一次摸奖能够获奖的概率为1＋5C 26＝25，因此所求概率等于C 34·(25)3·(1－25)＝96625，选B.6.811[解析] 六个面的对角线共有12条，从中任取两条共有C 212＝66种不同的取法． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，A 1D ，AD 1，AB 1，A 1B ，DC 1，D 1C ，共8条，同理与DB 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其他四个相邻面上的对角线成60°角的情形共有16对，故6个面共有16×6＝96对，因为每对被计算了2次，因此共有12×96＝48对，∴所求概率P ＝4866＝811.十五、二项式1.D [解析] (x 2－1x)5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 5(－1)r x 10－3r.令r ＝1，则第二项的系数是C 15(－1)1＝－5.2.C [解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 3. B [解析] M ＝⎝⎛⎭⎫5×1－11n ＝4n ，N ＝2n ⇒4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4，T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r ·342rx - ⇒r ＝2，则(－1)2C 24·52＝150. 4.2 [解析] 本题考查二项式定理，均值不等式．T r ＋1＝C r 6·(ax 2)6－r ·(b x)r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，∴r ＝3，∴C 36a 3b 3＝20，即ab ＝1.∴a 2＋b 2≥2ab ＝2.十六、定积分 ）的图象与直线2. 23 [解析] 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x ＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.3. B [解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4，∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.十七、选做题 1. 66 [解析] ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD. ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66.2. 3,233[解析] ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD . ∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3. 在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2，∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233.3. 22 [解析] 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 4. (6－2，6＋2) [解析] 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos 5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2. 十八、推理与证明、新定义1. C 【解析】由数学归纳法易知当1=n 时，左端计算所得的项为21a a ++2. 1253.A.4.①④5. C11。

第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算1. 已知函数f(x)＝1＋1x 、则f(x)在区间[1、2]、⎣⎡⎦⎤12，1上的平均变化率分别为________。

答案：－12、－2 解析：f （2）－f （1）2－1＝－12；f （1）－f ⎝⎛⎭⎫121－12＝－2. 2. 某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(s 的单位为m 、t 的单位为s)、则t ＝2s 时、汽车的瞬时速度为________。

答案：4m/s 解析：注意带单位。

利用导数可求。

3. 若f(x)＝x 2－2x －4lnx 、则f′(x)>0的解集是________。

答案：(2、＋∞)解析：x>0、f ′(x)＝2x －2－4x>0、解得x>2. 4. 已知f(x)＝x 2＋2xf′(1)、则f′(－1)＝________。

答案：－6解析：f′(x)＝2x ＋2f′(1)、f ′(1)＝2＋2f ′(1)、∴ f ′(1)＝－2、∴ f(x)＝x 2－4x 、f ′(－1)＝－6.5. 曲线f(x)＝e x1－x在x ＝2处的切线斜率为________。

答案：0解析：f′(x)＝e x （1－x ）－e x （－1）（1－x ）2＝e x （2－x ）（1－x ）2、所以切线斜率为f′(2)＝0. 6. 曲线y ＝x 与y ＝8x在它们交点处的两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为________。

答案：6解析：两曲线交点为(4、2)、利用函数求导知、它们在交点处的切线方程分别为x －4y ＋4＝0与x ＋2y －8＝0、所以两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为6.7. 设P 是函数y ＝x(x ＋1)图象上异于原点的动点、且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ、则θ的取值范围是________。

答案：⎣⎡⎭⎫π3，π2 解析：tan θ＝y′＝12⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≥3、当且仅当x ＝13时、取等号、所以θ∈⎣⎡⎭⎫π3，π2. 8. 若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2lnx 相切、则实数k ＝________。

高考数学模拟题及答案：函数与导数的更新!高考数学模拟题及答案：函数与导数1．(2015·广东卷)设a 1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a。

(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤ e(2)－1。

解(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间。

(2)证明：∵a 1，∴f(0)＝1－a 0，且f(a)＝(1＋a2)ea－a 1＋a2－a 2a－a＝a 0。

函数f(x)在区间(0，a)上存在零点。

又由(1)知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点。

(3)证明：由(1)及f′(x)＝0，得x＝－1。

又f(－1)＝e(2)－a，即P－a(2)，∴kOP＝－1－0(－a－0)＝a－e(2)。

又f′(m)＝(1＋m)2em，∴(1＋m)2em＝a－e(2)。

令g(m)＝em－m－1，则g′(m)＝em－1，∴由g′(m) 0，得m 0，由g′(m) 0，得m 0。

∴函数g(m)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增。

∴g(m)min＝g(0)＝0，即g(m)≥0在R上恒成立，即em≥m＋1。

∴a－e(2)＝(1＋m)2em≥(1＋m)2(1＋m)＝(1＋m)3，即e(2)≥1＋m。

故m≤ e(2)－1。

2．已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)·(b∈R)。

(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间3(1)上单调递增，求b的取值范围。

解(1)当b＝4时，f′(x)＝1－2x(－5x(x＋2))，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0。