对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解

一类线性流形上矩阵方程X^TAX=B的最小二乘解
郁金祥
【期刊名称】《科技通报》
【年(卷),期】2008(24)5
【摘要】设Ω是实对称矩阵SRn×n中的一类线性流形,考虑问题Ⅰ:给定
X∈Rn×m,B∈Rm×m求A∈Ω,使得f(A)=XTAX-B=min;问题Ⅱ:给定A*∈Rn×n,求A)∈SE,使得A*-A)=minA∈SEA*-A),SE是问题Ⅰ的解集。

本文给出了问题Ⅰ、Ⅱ的解的通式,并给出了问题Ⅰ中f(A)=0成立的充分必要条件。

【总页数】6页(P601-605)
【关键词】线性流形;对称矩阵;Frobenius范数
【作者】郁金祥
【作者单位】嘉兴学院数学与信息工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.线性流形上一类次对称矩阵反问题的最小二乘解 [J], 张华珍;
2.线性流形上矩阵方程的对称次反对称最小二乘解 [J], 钱爱林;艾国荣
3.线性流形上一类双结构矩阵反问题的最小二乘解 [J], 袁永新;戴华
4.线性流形上矩阵方程(AX,XB)=(C,D)最小二乘自反解及其最佳逼近 [J], 张敏;林
卫国
5.线性流形上一类双结构矩阵反问题的最小二乘解 [J], 袁永新;戴华
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第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。

维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。

本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。

3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。

3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。

3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。

正交偏最小二乘法正交偏最小二乘法（Orthogonal Partial Least Squares, OPLS）是一种常用的多元统计分析方法，广泛应用于数据建模、特征选择、变量筛选等领域。

本文将介绍正交偏最小二乘法的原理、应用和优势，以及其在实际问题中的应用案例。

正交偏最小二乘法是基于偏最小二乘法（Partial Least Squares, PLS）的改进方法。

偏最小二乘法是一种回归分析的方法，通过将自变量和因变量进行线性组合，建立回归模型。

但是在应用过程中，偏最小二乘法可能存在多个潜在的自变量对应一个因变量的情况，这就导致了模型的不稳定性和可解释性差。

正交偏最小二乘法通过引入正交化的步骤，解决了偏最小二乘法的不足。

其基本思想是，在建立回归模型的过程中，除了考虑与因变量相关的部分（预测分量），还引入与因变量不相关的部分（正交分量），从而提高模型的解释能力和稳定性。

通过正交化的操作，正交偏最小二乘法能够将数据进行更好的降维，去除噪声和冗余信息，提取出对预测结果有用的信息。

正交偏最小二乘法在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在药物研发领域，研究人员可以利用正交偏最小二乘法对大量的分子结构和活性数据进行建模和预测，快速筛选出具有潜在药效的化合物。

在工业过程控制中，正交偏最小二乘法可以用于建立传感器数据与产品质量之间的关系，实现对产品质量的在线监测和控制。

此外，正交偏最小二乘法还可以应用于生物信息学、化学分析、图像处理等领域。

与其他方法相比，正交偏最小二乘法具有以下优势。

首先，正交偏最小二乘法能够解决多重共线性问题，降低模型的复杂度，提高模型的解释能力。

其次，正交偏最小二乘法能够处理高维数据，提取出对预测结果有用的特征，减少冗余信息的干扰。

此外，正交偏最小二乘法还可以进行特征选择，帮助研究人员挖掘出对预测结果具有重要影响的变量。

下面以一个实际应用案例来说明正交偏最小二乘法的应用。

假设我们需要建立一个模型来预测商品的销售量。

对称矩阵特征值反问题的最佳逼近解的一种数值解法何欢;孙合明;左环【摘要】利用复合最速下降法,给出了对称矩阵特征值反问题AX=XΛ有解和无解两种情况下最佳逼近解的通用数值算法,对任意给定的初始矩阵A0,经过有限步迭代可以得到对称矩阵特征值反问题的最佳逼近解,并分别给出有解和无解两种情况下的数值实例,证明了此算法的可行性.另外,结合投影算法,可以用此算法来求解其它凸约束下矩阵特征值反问题的最佳逼近解,从而扩大了此算法的求解范围.%By applying the hybrid steepest descent method, this paper gives a general numerical algorithm to find the optimal approximation solution to inverse eigenvalue problem, AX = X(A), for symmetric matrices. For any given initial matrix, the optimal approximation can be derived by finite iteration steps. Some numerical examples are provided to illustrate the feasibility of the algorithm. Moreover, combined with projection algorithm, the numerical algorithm can also be used to calculate the optimal approximation solution to other convex constrained inverse eigenvalue problem, thus extending the applicable scope of this algorithm.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)004【总页数】5页(P473-477)【关键词】复合最速下降法;特征值反问题;最佳逼近【作者】何欢;孙合明;左环【作者单位】河海大学理学院,江苏南京211100;河海大学理学院,江苏南京211100;河海大学理学院,江苏南京211100【正文语种】中文【中图分类】O24特征值反问题及其最佳逼近已被广泛地研究与应用.L.Zhang［1］首次提出特征值反问题的对称解及其最佳逼近问题;Z.Y.Peng［2］用谱分解的方法解决了厄尔米特反自反矩阵的特征值反问题及其最佳逼近;郭丽杰等［3］和梁俊平等［4］利用矩阵的奇异值分解解决了二次特征值反问题对称解及其最佳逼近;Y.B.Deng等［5］讨论了对称矩阵的特征值反问题有解的条件，并在有解的情况给出了通解形式及其最佳逼近;F.Z.Zhou等［6］研究了正交对称矩阵的特征值反问题有解的条件及其最佳逼近;于蕾等［7］利用正交对称矩阵的特殊性质，给出了一类对称正交反对称矩阵特征值反问题的最佳逼近解的数值算法;Z.Y.Liu等［8］解决了中心厄尔米特矩阵特征值反问题及其最佳逼近;S.F.Yuan等［9］研究了在谱约束下三对角化对称和三对角化双对称矩阵的特征值反问题及其最佳逼近;郭丽杰［10］和陈亚波［11］利用奇异值分解分别得出子矩阵约束下矩阵特征值反问题的对称、反对称解及其最佳逼近.本文拟给出凸约束下的矩阵特征值反问题最佳逼近解的通用数值解法.记Rn×m表示全体实n×m矩阵的集合，Rn×n代表全体实对称n×n矩阵的集合，AT是A的转置矩阵，‖·‖F表示矩阵的Frobenius范数，H代表一实希尔伯特空间.下面给出特征值反问题及其最佳逼近问题.问题1(a) 给定矩阵X∈Rn×m，Λ=diag(λ1，…，λm)∈Rm×m，求A∈Rn×n使得由于实际情况下X和Λ来自实验数据，所以问题1(a)通常无解.问题1(b) 给定矩阵X∈Rn×m，Λ=diag(λ1，…，λm)∈Rm×m，求A∈Rn×n使得问题2 假设SE是问题1解的集合，对给定的∈Rn×n，求A*∈SE使得复合最速下降法［12-14］作为一个三步优化算法，首次提出是为了最小化实希尔伯特空间里非扩展映射不动点集合上的一些凸函数.目前复合最速下降法已经被成功地用来计算对于给定的对称矩阵的最佳逼近解［15］，以及被成功应用到图像记忆［16］.本文拟利用复合最速下降法，求问题1有解和无解两种情况下问题2的最佳逼近解A*.1 用复合最速下降法求解问题2定义1.1 设U为H的一个开子集，映射Φ：H→R∪{∞}，如果对于所有的u∈U，存在a(u)∈H使得则称映射Φ：H→R∪{∞}是Gateaux可微，称Φ'：U→H：u|→a(u)为Φ在U上的Gateaux导数.定义1.2 映射T：H→H，若则映射T：H→H为非扩展映射.特别地，若存在非空集合S⊂H，κ＞0，使得对于所有的x，y∈S，恒有则T：H→H在S⊂H上κ-Lipschitzian.定义1.3 非空集合S⊂H，映射Φ：H→H在S⊂H上是单调的，如果存在η＞0，使得对于所有的u，v∈S，恒有则称Φ：H→H在S⊂H上η-强单调.设则Ψ(A)=min，Θ(A)=min，分别与问题1和问题2等价.易知其中，B=XΛ.要求解问题2，首先，证明下面的引理.引理1.4 Ψ(A)是凸函数.证明∀A1，A2∈SRn×n，α∈［0，1］，则有所以引理1.4得证.引理1.5 Θ(A)是凸函数.证明∀A1，A2∈Rn×n，α∈［0，1］，则有所以引理1.5得证.引理1.6 Ψ'(A)满足κ-Lipschitzian.证明Ψ'(A)=AXXT-BXT，其中，B=XΛ，则有其中，κ=‖X‖2，所以引理1.6得证.引理1.7 Θ'(A)满足γ-Lipschitzian且η-强单调.证明那么存在γ≥1，0＜η≤1满足引理1.7得证.定理 1.8(复合最速下降法［12-13］) 设 T：H→H是一非扩展映射，且Fix(T)≠Ø.假设Θ：H→R∪{∞}是一凸函数，Θ'：H→H在T(H)上满足γ-Lipschitzian和η-强单调.如果非负实数序列(λn)n＞1⊂［0，∞)满足：或者(λn)n＞1⊂［0，∞)满足：那么对任意的u0∈H，强收敛到唯一解u*∈Fix(T)，且定理1.9［14］设K⊂H是一闭凸子集.假设(I)Ψ：H→R∪{∞}是Gateaux可微凸函数，其G-导数Ψ'：H→H满足κ-Lipschitzian;(II)Θ：H→R∪{∞}是Gateaux可微凸函数，其G-导数Θ'：H→H在T(H)上γ-Lipschitzian和η-强单调，则T：=PK(I-vΨ')是非扩展映射，其中，v∈(0，2/κ］. 另外如果则对任意的u0∈H，应用复合最速下降法迭代公式un+1：=T(un)-λn+1Θ'(T(un))得到的序列(un)n＞1强收敛到点.当问题1的解集SE非空时，很容易得到SE是一个闭凸集［17］.定理1.10 令那么KΨ是一个闭凸集;Ψ(A)为凸函数且其G-导数Ψ'(A)满足κ-Lipschitzian;Θ(A)为凸函数且其G-导数Θ'(A)满足γ-Lipschitzian;并且η-强单调.对任意的v∈(0，2/κ］，T：=PK(I-vΨ')是非扩展映射应用复合最速下降法得到的序列(An)n＞1强收敛到点即问题2的解，其中T(An)=PK(An-v(AnXXT-BXT))，PK是到凸集K的投影，λn+1满足定理1.8的条件.证明该定理的条件已证明，仅需证明迭代公式如下：其中定理1.10得证.2 算法和数值例子根据定理1.10，得到下面的数值算法，可以求问题2的解A*.算法2.11)输入2)随机选择初始矩阵A0;3)计算B=XΛ;4)计算κ=‖X‖2，v=1/κ，n=0;5)λn+1=1/(n+1)，根据计算An+1，其中6)若‖An+1-An‖≤10-10，A*=An+1，停止迭代;否则，令n=n+1，转5).现在将给出一些数值例子来说明结果，所有的实验数据都由Matlab 7.0计算得到. 例2.2取得到问题2的解A*，并且得到‖A*X-XΛ‖=说明：例2.2中的X和Λ通过某一已知矩阵的特征值分解所得，结果表明在问题1有解的情况下此算法是可行的.例2.3 取X、Λ和并求得A*的值并有8.861 1.说明：例2.3表明通过取部分特征值和特征向量(问题1无解的情况)此算法是可行的.通过上面的例子表明提出的数值算法用来求解问题2是可行的.进而，可以用此算法去求解其它凸约束下的矩阵特征值反问题最佳逼近解.参考文献［1］Zhang L.A class of inverse eigenvalue problems of symmetric matrices［J］.Num Math J Chin Univ，1990，12(1)：65-71.［2］Peng Z Y.The inverse eigenvalue problem for Hermitian anti-reflexive matrices and its approximation［J］.Appl Math Comput，2005，162：1377-1389.［3］郭丽杰，周硕.二次特征值反问题的对称次反对称解及其最佳逼近［J］.吉林大学学报：理学版，2009，47(6)：1185-1190.［4］梁俊平，卢琳璋.二次特征值反问题的中心斜对称解及其最佳逼近［J］.福建师范大学学报：自然科学版，2006，22(3)：10-14.［5］Deng Y B，Hu X Y，Zhang L.The solvability conditions for the inverse eigenvalue problem of the symmetrizable matrices［J］.J Comput ApplMath，2004，163：101-106.［6］Zhou F Z，Hu X Y，Zhang L.The solvability conditions for the inverse problems of symmetric ortho-symmetric matrices［J］.Appl Math Comput，2004，154：153-166.［7］于蕾，张凯院，周丙常.一类对称正交反对称矩阵反问题的最佳逼近［J］.数学的实践与认识，2008，38(8)：158-163.［8］Liu Z Y，Tan Y X，Tian Z L.Generalized inverse eigenvalue problemfor centrohermitian matrices［J］.J Shanghai Univ：Eng Ed，2004，8(4)：448-453.［9］Yuan S F，Liao A P，Lei Y.Inverse eigenvalue problems of tridiagonal symmetric matrices and tridiagonal bisymmetric matrices［J］.Comput Math Appl，2008，55：2521-2532.［10］郭丽杰.子矩阵约束下矩阵反问题的对称解及其最佳逼近［J］.东北电力大学学报，2006，26(4)：74-78.［11］陈亚波.子阵约束下矩阵方程反问题的实反对称解及其最佳逼近［J］.湖南农业大学学报：自然科学版，2002，28(5)：444-446.［12］Yamada I，Ogura N，Yamashita Y，et al.Quadratic optimization of fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert space［J］.Num Funct Anal Optim，1998，19：165-190.［13］Yamada I.The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings［C］//Butnariu D，Censor Y，Reich S.Inherently Parallel Algorithm for Feasibility and Optimization and Their Applications.New York：Elsevier，2001：473-504.［14］Yamada I，Ogura N，Shirakawa N.A numerically robust hybrid steepest descent method for the convexly constrained generalized inverse problems［C］//Nashed Z，Scherzer O.Inverse Problems，Image Analysis，and Medical Imaging.Contemporary Mathematics，2002，313：269-305. ［15］Slavakis K，Yamada I，Sakaniwa putation of symmetric positive definite Toeplitz matrices by the hybrid steepest descent method ［J］.Signal Processing，2003，83：1135-1140.［16］Sun H M，Hasegawa H，Yamada I.Multidimensional associative memory neural network to recall nearest pattern from input［C］//Nonlinear Signal and Image Processing.Sapporo：IEEE-Eurasip，2005：39.［17］Paulo J，Ferreira S G.The existence and uniqueness of the minimum norm solution to certain linear and nonlinear problems［J］.Signal Processing，1996，55：137-139.。

一类半正定双对称矩阵反问题的最小二乘解摘要：基于矩阵的奇异值分解和对称矩阵谱分解,给出矩阵方程AX=B有秩约束最小二乘对称半正定解及其最佳逼近解的充分必要条件及有解时解的一般表达式;给出求解最佳逼近解的计算步骤;用数值例子说明结果的正确性。

关键词: 秩约束矩阵, 矩阵方程, 对称半正定矩阵, 最小二乘解, 最佳逼近Abstract: Based on the singular value deposition and spectral deposition of matrices, the necessary and sufficient conditions for the existence of solutionsto rank constraint least square symmetric semidefinite solutions and itsoptimal approximation solution of the matrix equation AX=B are established and, if the solutions exist, the general expression of thesolutions are proposed. The putational procedures of the optimal approximation solution, and the numerical examplesshowing the correctness of the theoretical results are given.Key words: rank constraint matrix, matrix equation, symmetric semidefinite matrices, least square solution, optimal approximation。

一类双对称矩阵反问题的最小二乘解
最小二乘法是一种常用的数值解法，它可以用来求解一类双对称矩阵反问题。

最小二乘法的基本思想是，通过最小化残差平方和来求解反问题。

首先，我们需要确定一类双对称矩阵反问题的模型，即模型的参数和变量。

然后，我们可以使用最小二乘法来求解反问题。

最小二乘法的基本步骤是：首先，我们需要构建一个残差平方和函数，即把反问题的参数和变量代入残差平方和函数，然后求解残差平方和函数的最小值。

接下来，我们可以使用梯度下降法来求解残差平方和函数的最小值，即求解反问题的最小二乘解。

最后，我们可以使用最小二乘法来求解一类双对称矩阵反问题。

最小二乘法的基本思想是，通过最小化残差平方和来求解反问题。

首先，我们需要确定反问题的模型，然后构建残差平方和函数，最后使用梯度下降法求解残差平方和函数的最小值，即求解反问题的最小二乘解。

兰州大学硕士学位论文对称次反对称矩阵的反问题姓名：***申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：***20050601摘要本文主要讨论了对称次反对称矩阵特征值反问题，即ＩＩＡＸ—ｚ１１２＋１１ｙ７Ａ—Ｗ７４２＝ｍｉｎ．ＩＩＡＸ—Ｂ｜｜＝ｍ－ｎ’Ｉ陋７丘ｒ—Ｂ１１＝ｍｉｎ的最小二乘解，ＡＸ：Ｚ且ｙ７Ａ＝Ｗ７解存在的充分必要条件，分别给出了解的具体表达式，对于给定的矩阵给出了存在最佳逼近解的充要条件以及最佳逼近解．关键词：对称次反对称矩阵．反问题，（左右）逆特征值问题最佳逼近解．ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｏｆｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｎｄｓｋｅｗａｎｔｉ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＳｕｃｈａｓＬｅａｓｔｓｑｎａｒｅｓ。

ｆＩ似一ｚｎ＂爿一矿｝１２＝ｍｉｎ，ＩＩＡＸ－ＢＩＩ＝ｍｉｎ，＂删一Ｂ０＝ｍｉｎ，ａｎｄｔｈｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅ＝ＺｗｉｔｈｗｈｉｌＹ７４＝Ｗ７，ＴｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍｓｉｓｇｉＶｅｎ．Ｔｈｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｍａｔｒｉｃｅｓｇｉｖｅｎａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ，ｔｈｅｏｐｔｉｍａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｋｅｙｖｏｒｄ：ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｎｄｓｋｅｗａｎｔｉ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｃｅｓｔｈｅｌｅｆｔａｎｄｒｉｇｈｔｅｉｇｅｎｖａｌｕｅＩｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｐｔｉｍａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ关于学位论文使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学。

本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。

原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。

除文中已经注明引用的内容外，刁ｉ包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责任由本人承担论文作者签名：盘ｌ量酞日期；堡竺曼！苎关于学位论文使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学本人完全了解兰州大学有关保森使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子舨，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文本人离校后发表使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学保密论文在解密后应遵守此规定论文作者签名：盔整数导师签名：生！：！薹日期：星翌点：苎：１２§１引言很多实际问题的求解范围并不是所有矩阵的集合，而是要在某一个特定的范围内求解。

应用最多的就是在某一个线性流形上求问题的解。

线性流形上的逆特征值问题在许多应用科学以及工程技术，如固体力学，结构振动设计，自动控制和系统物理参数识别等领域都具有重要而且广泛的应用，因此关于这方面的研究日益为人们所重视，近年来呈现出较热的趋势。

中心对称矩阵在信息论及线性系统理论领域有很广泛的应用，最近几年关于线性流形上中心对称矩阵的特征值反问题的研究已取得了一系列的成果。

周富照，胡锡炎等在文献１１２１中讨论了线性流形上中心对称矩阵的最佳逼近，赵人可，周富照在文献【２】中讨论了中心对称矩阵的左右逆特征僵问题，周富照等在文献１１３１中讨论了中心对称矩阵的最小二乘解问题，都可看作是本文的一种特殊情况。

本文是对上述问题的进一步推广。

令Ｒ…表示所有ｍＸｎ阶实矩阵的集合；Ｒ”＝Ｒ“１；Ｒ？”表示Ｒ…中秩为ｒ的子集；Ａ＋表示矩阵Ａ的ｍｏｏｒｅ一－ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆；Ａ”表示矩阵Ａ的共轭转置；ＯＲ…表示所有正交阵的集合；，。

线性流形上对称正交反对称矩阵反问题的最小二乘解
鲍文娣;李维国
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2006(022)002
【摘要】设P是n阶对称正交矩阵,如果n阶矩阵A满足AT=A和(PA)T=-PA,则称A为对称正交反对称矩阵,所有n阶对称正交反对称矩阵的全体记为SARnp.令S={A∈SARnp|f(A)=‖AX-B‖=min,X,B]∈Rn×m本文讨论了下面两个问题问题Ⅰ给定C∈Rn×p,D∈Rp×p,求A∈S使得CTAC=D;问题Ⅱ已知(A～)∈R n×n,求(A^)∈SE使得‖(A～)-(A^)‖=min[DD(X]A∈SE[DD)]‖(A～)-A‖其中SE是问题Ⅰ的解集合.文中给出了问题Ⅰ有解的充要条件及其通解表达式.进而,指出了集合SE 非空时,问题Ⅱ存在唯一解,并给出了解的表达式,从而得到了求解(A^)的数值算法.【总页数】8页(P216-222,262)
【作者】鲍文娣;李维国
【作者单位】石油大学数学与计算科学学院,山东,东营,257061;石油大学数学与计算科学学院,山东,东营,257061
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.线性流形上对称正交反对称矩阵的加权最小二乘解 [J], 苏永敏;邓继恩
2.线性流形上反对称正交反对称矩阵反问题的最小二乘解 [J], 邓继恩;苏永敏
3.线性流形上W准反对称矩阵反问题的最小二乘解 [J], 唐耀平;周立平
4.线性流形上对称正交反对称矩阵反问题的最小二乘解 [J], 邓继恩;苏永敏
5.线性流形上D反对称矩阵反问题的最小二乘解 [J], 张忠志;周富照;胡锡炎因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

对称矩阵反问题解的稳定性
对称矩阵反问题的稳定性在数值算法中有着重要的意义。

一个算法的稳定性是指其耐受输入数值误差的能力，即算法的输出结果在输入的小的变化的情况下不应出现显著的变化。

由于数值计算中的误差，解对称矩阵反问题的稳定性对于实现基于数值计算的稳定算法而
言是十分关键的。

在许多数值计算领域，尤其是科学和工程实践中，解对称矩阵反问题是常用的。

解决方案
中经常出现由于输入数据误差导致输出解法结果显著不一致的情况，因此很大程度上依赖对对称矩阵反问题解的稳定性。

那么，怎样才能确保对称矩阵反问题的解的稳定性呢？稳定的解决方案一般需要包括以下
几方面：
1. 选择合适的计算精度；
2. 保证矩阵的反正则性；
3. 使用鲁棒的计算算法；
4.使用精确的数值算法以保证算法的鲁棒性。

此外，对称矩阵反问题的解的稳定度还受到解决方案的实施环境诸如硬件、操作系统和编
程语言等的影响。

因此，实践中还需要考虑计算环境的其它方面。

总而言之，解对称矩阵反问题的稳定性可以通过选择合适的计算精度、保证矩阵的反正则性、使用鲁棒的计算算法和使用精确的数值算法等方式得到改善。

此外，选择合适的计算环境也能更好地保证对称矩阵反问题解的稳定性。

考虑到这一点，为了实现最大程度的稳定性，实施解决方案时可以考虑硬件、操作系统和编程语言等因素。

反分析的原理和计算方法3.1 概述地下工程开挖过程中，岩土体性态、水土压力和支护结构的受力状态都在不断变化，采用确定不变的力学参数分析不断变化的体系的力学状态，显然不可能得到预想的效果。

软件提供的反分析方法以现场位移或内力增量量测值等为依据，借助优化反分析方法确定地层性态参数值，并将可使以这些参数值为输入量算得的测点位移计算值与实测值相比误差为最小的量作为优化反分析解，尔后将其用作预测计算分析的依据。

位移反分析方法可分为正反分析法和逆反分析法两类。

后者为正分析的逆过程，计算过程简单，但须先建立求逆公式和编制相应的程序，适用性差。

前者为正分析计算的优化逼近过程，一般通过不断修正未知数的试算值逼近和求得优化解，计算机运作时间虽长，但可利用原有正算程序进行计算，便于处理各种类型的反分析问题，并可用于各类非线性问题的分析，适用性强。

本软件采用的方法为正反分析法。

地下结构的施工常采用分步开挖、分步支护的方式，其位移、结构内力及岩土层应力等随着施工阶段的变化呈现出一种动态响应过程。

因此，有必要将常规的反演分析法与施工模拟过程结合起来，建立一种施工动态反演分析方法。

在相同工程及地层条件下，通过利用当前施工阶段量测到的全量或增量信息，来反求地层性态参数和初始地应力参数，进而达到准确预测相继施工阶段的岩土介质和结构的力学状态响应，为施工监控设计提供指导性依据。

3.2 量测信息的种类及表达式在建立的反演分析计算法中,现场量测信息一般用作建立反演计算方程的输入量,因而通常是进行反演计算的主要依据。

岩土体在工程施工过程中受到扰动后发生的现象，主要是继续变形和破坏，如果归诸于力学原理，则是岩土体的应力场、应变场、位移场和稳定状态在受到扰动的过程中发生了变化。

鉴于受力物体的变形、内力、应力和荷载之间存在依存关系，可以推理如能取得岩土体在受到扰动的过程中发生的应力、应变、内力或位移变化值的量测信息，则可望通过正演计算的逆过程得出初始地应力的量值和作用方向，以及用于描述岩土介质的受力变形性态的特性参数。

合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型)(2012-04-05 13:58:14)标签：分类：工作篇校园合同矩阵在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。

两个矩阵和是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

性质合同关系是一个等价关系，也就是说满足：反身性：对称性：合同于，则可以推出合同于。

传递性：合同于，合同于，则可以推出合同于。

由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式，对于矩阵来说，就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。

根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。

如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。

对角线上的1的个数等于原来的矩阵的秩。

因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。

在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。

如果设1的个数是p，-1的个数是q,那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。

数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数其中1的个数p 称为正惯性指数，J 的个数q称为负惯性指数，p-q叫做符号差。

据此可以得出：合同关系将所有的对称矩阵分为个等价类。

正定二次型主条目：正定二次型一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。

如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。

一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是no正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

参看相似矩阵参考资料北京人学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》，高等教育出版社，2003年。