测评网学习资料-新人教A版高二数学 同步测试(8)

第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβD.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（ ）A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（ ）A.8B.7C.6D.54.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（ ）A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（ ） A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（ ） A.30 B.18 C.15D.127.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）B.1D.2+8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ）A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（ ）A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==.求证： （1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点。

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为( ) A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】将区间均分成个小区间，记第个区间为，此区间长为，用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，则近似地等于速度曲线与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得，∴解得a＝3.【考点】定积分的概念.2.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时,运行程序如下,,当时,,则,故选D.【考点】程序框图二次函数3.已知圆的方程：，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得的弦的长.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求的取值范围;(Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出的值,结合直线的弦长公式进行求解即可.试题解析：（Ⅰ）圆的方程可化为令,所以（Ⅱ）圆,圆心,半径圆圆心,半径因为圆与圆相外切所以解得圆心到直线的距离为所以4.过点引直线分别交轴正半轴于两点，当面积最小时，直线的方程是__________．【答案】【解析】设直线方程为(当且仅当即时取等号 ) .【点晴】本题主要考查直线方程和重要不等式，属于中档题型.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.5.用0，1，2， 3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？【答案】（1）156（2）216（3）270【解析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数；（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和；（3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和试题解析：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种）,十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．（2）符合要求的五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个；个位数上的数字是5的五位数有个．故满足条件的五位数的个数共有个．（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；第二类：形如14□□，15□□，共有个；第三类：形如134□，135□，共有个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个．【考点】排列、组合及简单计数问题6.由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A．B．3C．D．【答案】B【解析】由题意，直线及曲线所围成的封闭的图形如图，直线与曲线的交点为，所以阴影部分的面积为：，故选B.【考点】利用定积分求曲边形的面积.7.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1) (2) 最大值是，最小值是．【解析】(1)利用函数为奇函数,建立恒等式⋯①,切线与已知直线垂直得⋯②导函数的最小值得⋯③.解得的值;(2)通过导函数求单调区间及最大值,最小值.试题解析：(1)因为为奇函数，所以即，所以， 2分因为的最小值为，所以， 4分又直线的斜率为，因此，，∴． 6分(2)单调递增区间是和． 9分在上的最大值是，最小值是． 12分【考点】奇函数的性质,求函数的导数,及通过导数研究函数的单调区间及最值.8.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．9.定积分的值为 .【答案】【解析】由定积分的几何意义知表示半圆与所围图形的面积，，所以．【考点】定积分的几何意义．10.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：；根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是21，则___________.【答案】11【解析】由已知，，故，所以11【考点】推理与证明11.某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃181310-1由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为．【答案】【解析】因，将，代入，可得，所以当代人可得.【考点】线性回归方程及运用．【易错点晴】线性回归方程是高中数学的统计中的内容之一，也是高中数学中的重要知识点，属于统计学中工具的范畴.由于这个知识点在日常生活与实际运用中的价值性，因此这部分内容常常涉及到的内容都是较为广泛.如本题的解答中要求先建立符合题设条件的线性回归方程，再运用这个线性回归方程求出当时用电量的度数，使得实际问题得以获解.12.已知幂函数图像的一部分如下图，且过点，则图中阴影部分的面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，因为幂函数图像过点，所以，解得，所以幂函数，则阴影部分的面积为，故选B.【考点】幂函数的解析式；定积分的应用.13.如图,正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图象，得矩形的面积为，阴影部分的面积为，则由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率是；故选C．【考点】1.几何概型；2.定积分的应用．14.下列函数中，最小正周期是且在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】B.的最小正周期是，C.的最小正周期为，A,D的最小正周期都是，当时，，是先减后增，是增函数，故选D.【考点】三角函数的性质15.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）A．164石B．178石C．189石D．196石【答案】C【解析】由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为，则由此估计总体中谷的含量约为石. 故选C.【考点】抽样中的用样本去估计总体.16.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．【答案】【解析】设球的半径为，则球的表面积为，两圆锥的底面积为，所以圆锥的底面半径满足，解得；由几何体的特征值球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者构成一个直角三角形，由此求出球心到圆锥底面的距离，所以圆锥体积较小者的高为，同理得圆锥体积较大者的高，所以则两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的比值为.【考点】球的体积和表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的表面积以及球内接圆锥的表面积的应用问题，也考查了计算能力与空间能力，是基础题目，本题的解答中，根据题意，设出球的半径，求出球的面积及圆锥的底面积，由此求出球心到圆锥底面的距离，所以圆锥体积较小者的高为，同理得圆锥体积较大者的高，由此求出圆锥的底面半径和两圆锥的高的比值.17.已知是递增的等差数列，，是方程的根。

人教版高中数学必修第二册8.1——8.3同步测试滚动训练(时间:45分钟分值:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列说法中正确的是()A.三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B.水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C.一个几何体的正视图和侧视图都是矩形,则该几何体是长方体D.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台2.图G5-1中的几何体有()图G5-1A.圆柱、圆锥、圆台和球B.圆柱、球和圆锥C.球、圆柱和圆台D.棱柱、棱锥、圆锥和球3.将选项中所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到图G5-2所示的几何体的是()图G5-2ABCD图G5-34.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为()A.1∶3B.1∶9C.1∶33D.1∶(33-1)5.某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形,俯视图是圆,记该柱体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,且S1=λS2,则λ=()A.1B.23C.43D.326.在如图G5-4所示的多面体ABCDB1C1D1中,四边形ABCD,四边形BCC1B1,四边形CDD1C1都是边长为6的正方形,则该多面体的体积为()图G5-4A.72B.144C.180D.2167.将一个体积为36π的金属球切割加工成一个底面积为8π的圆柱,则当圆柱的体积最大时,其侧面积为()A.82πB.83πC.62πD.93π8.若圆锥的体积与球的体积相等,且圆锥的底面半径与球的直径相等,则圆锥的侧面积与球的表面积之比为()A.5∶2B.5∶4C.1∶2D.3∶4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.将一个等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体的体积为V1,绕其一直角边所在直线旋转一周所得几何体的体积为V2,则 1 2=.10.关于斜二测画法,有如下说法:①在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同;②等腰三角形的直观图仍然是等腰三角形;③梯形的直观图仍然是梯形;④正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中正确说法的序号是.11.在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD的面积为16,一条侧棱的长为211,则该棱锥的高为.12.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且 1 2=94,则 1 2的值是.三、解答题(本大题共3小题,共40分)13.(10分)如图G5-5,该几何体上半部分是母线长为5,底面半径为3的圆锥,下半部分是下底面半径为2,母线长为2的圆台,计算该几何体的表面积和体积.图G5-514.(15分)已知一个圆锥的底面半径为2,母线长为4.(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;(2)若圆锥中内接一个高为3的圆柱,求圆柱的表面积.15.(15分)如图G5-6,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,且AB=BC=2,A1A=2.(1)求该直三棱柱的表面积;(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱,求大棱柱表面积的最小值.图G5-6参考答案与解析1.D[解析]对于选项A,三棱柱的每个侧面都是平行四边形,但是全部展开以后,那些平行四边形未必可以构成一个“大”平行四边形,故A错误.对于选项B,水平放置的正方形的直观图是平行四边形,不可能是梯形,故B错误.对于选项C,一个几何体的正视图和侧视图都是矩形,则该几何体不一定是长方体,也可能是圆柱,故C错误.对于选项D,根据圆台的定义可知D正确.故选D.2.B[解析]由图可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故选B.3.B4.D[解析]由题意得,截得的小锥体与原来大锥体的体积之比为1∶33,故锥体被截面所分成的两部分的体积之比为1∶(33-1),故选D.5.D[解析]由已知可得,该柱体为底面直径与高相等的圆柱,设底面圆的半径为r,则高为2r,则S1=2πr2+2πr·(2r)=6πr2.易知该圆柱内切球的半径为r,则S2=4πr2,则λ= 1 2=6π 24π 2=32,故选D.6.C[解析]如图,把该多面体补成正方体ABCD-A1B1C1D1,则该多面体的体积V=正方体 쪨૕ - 1쪨1૕1 1- 三棱锥 - 1쪨1 1=63-13×12×63=180.故选C.7.A[解析]设球的半径为R,则由题意知43πR3=36π,解得R=3.当圆柱的体积最大时,圆柱轴截面对角线的长等于球的直径.设圆柱的底面半径为r,则πr2=8π,解得r=22,所以圆柱的高h=2 2- 2=29−8=2,所以圆柱的侧面积S=2πr·h=2π×22×2=82π,故选A.8.A[解析]设圆锥的底面半径为r,圆锥的高为h,则球的半径为 2,由题知13πr2h=43π· 23,解得h= 2,∴圆锥的母线长为 2+ 2=,∴圆锥的侧面积S1=12×2πr2,又球的表面积S2=4π 22=πr2,∴ 1 2=A.9[解析]设等腰直角三角形的斜边长为2,则直角边长为2,则V1=2π3,V21 2=10.①③[解析]由斜二测画法规则可知,正三角形、等腰三角形的直观图不一定是等腰三角形,故②④错误,易知①③正确.11.6[解析]如图,取正方形ABCD的中心O,连接VO,AO,则VO就是正四棱锥V-ABCD的高.∵底面ABCD的面积为16,∴AO=22,又VA=211,∴VO= 2- 2=44−8=6,∴正四棱锥V-ABCD的高为6.12.32[解析]由题意可得甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1r2的高分别为h1= 1 1,h2= 2 2,因为它们的侧面积相等,所以2πr1h1=2πr2h2· 1 1=· 2 2,整理得 1 2==32.13.解:圆锥的侧面积S1=π×3×5=15π,圆台的侧面积S2=π×(3+2)×2=10π,π×22=4π,圆台的下底面面积S底=所以该几何体的表面积S=S1+S2+S底=15π+10π+4π=29π.根据题意得,圆锥的高为4,圆台的高为3,则圆锥的体积V1=13×π×32×4=12π,圆台的体积V2=13×π×3×(32+2×3+22),所以该几何体的体积V=V1+V2=12π.14.解:(1)所求圆心角为2×π×24=4π4=π.(2)由题可知,圆锥的高为23,因为圆柱的高为3,所以圆柱的底面半径为1,则圆柱的表面积S=2×π×12+2×π×1×3=(2+23)π.15.解:(1)该直三棱柱底面的面积为12×2×2=1,侧面积为2×(2+2+2)=42+4,故其表面积S=6+42.(2)设两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱时重合的面的面积为S1,则大棱柱的表面积为2S-2S1,所以当重合的面的面积最大时,大棱柱的表面积最小.因为侧面AA1C1C的面积最大,所以大棱柱表面积的最小值为2S-2四边形 1૕1૕=4+82.。

2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图，点是圆上的一个动点，点是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（ ）A.B.C.D.2.( )A.B.C.D.3. 已知直线和曲线相切，则的取值范围是( )A.B.C.D.4. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 A.P C :+(y −2=1x 22–√)2Q l :x −y =0O OP −→−OQ −→−32+2–√232–√1++++...+=11×312×413×514×61n(n +2)1n(n +3)(1−)121n +2(−−)12321n +11n +2(1−)121n +1y =kx (k >0)f (x)=x −a ln x (a ≠0)a (−∞,0)∪(0,e)(0,e)(0,1)∪(1,e)(−∞,0)∪(1,e){}a n {}b n n A n B n =A n B n 3n +5n +3=(a 5b 5)5213B.C.D. 5. 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为 （ ）A.B.C.D.6. 已知为直线＝上一点，设点到定点距离为，点到＝的距离为，若＝，这样的点个数为（ ）A.个B.个C.个D.个7. 椭圆与椭圆有 A.相同短轴B.相同长轴C.相同离心率D.以上都不对8. 已知函数在区间的值域为，则＝（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）133351383C x 12=8y x 23–√C +=1x 216y 212+=1x 24y 23+=1x 212y 29+=1x 24y 22P l :2x −3y +40P F(0,1)d 1P y 0d 2−d 1d 21P 0123+=1x 225y 29+=1x 2a2y 29()f(x)=−2sin x +31+13x x 3[−2,2][m,n]m +n −2−11C :+=422l :(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)9. 已知圆，直线．则下列四个命题正确的是A.直线恒过定点B.当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于C.圆与曲线：恰有三条公切线，则D.当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点10. 已知数列 ，均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ）A.数列是等比数列B.数列是等比数列C.数列是等差数列D.数列是等差数列11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长轴长为12. 函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.，，，，，，则最大卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，数列满足，则________.C :+=4x 2y 2l :(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)( )l (−3,3)m =0C l 1C +−6x −8y +m =0x 2y 2m =16m =13l P C PA PB A B AB (−,−)16949{}a n {}b n {}a n b n {+}a n b n {lg }∣∣∣b n a n ∣∣∣{lg()}a 2n b 2n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2||=2F 1F 2P (1,1)Q |Q |+|QP|F 12a −1C 2C (0,)−15–√2=PF 1−→−Q F 1−→−C +5–√17−−√f(x)＝ln x x ≠x 1x 2f()=f()=m x 1x 2πe =2.71828⋯0<m <1e f(2)<f(3)<x 1x 2e 2a =e 3b =3ec =e πd =πe s =3πt =π3s f(x)=+sin(x −)1212{}a n =f(0)+f ()+f ()+…+f ()+f(1)a n 1n 2n n −1n =a 201714. 已知双曲线，过点作直线交双曲线于，两点．若恰为弦的中点，则直线的方程为________．15. 在三棱锥中，面，，，＝，则三棱锥外接球表面积为________．16. 已知椭圆，过点作两条斜率互为相反数且不平行于坐标轴的直线，分别与椭圆相交于异于的不同两点，，则直线的斜率为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 求下列函数的导数：；.18. 已知圆与圆相切于点，求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的两个三等分点．求证：平面；若平面平面，求证：．20. 在数列中，＝＝．（1）证明：数列是等差数列；（2）若＝，求数列的前项和．21. 设抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点．当与轴垂直时，面积为，其中为坐标原点．求抛物线的标准方程；若的斜率存在且为，点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，设直线的斜率为，证明：为定值．22. 设函数（）.C :−=1y 2x 23P(2,1)l C A B P AB l P −ABC PA ⊥ABC AB ⊥BC AB =BC =2–√PA 2P −ABC C :+=1x 2y 24P (−,1)3–√2C P A B AB (1)y =x ⋅cos x +x −√(2)y =5(2x +1)log 2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2M M C P −ABCD PA ⊥ABCD ABCDEF PD (1)BE //ACF (2)PAC ⊥PCD PC ⊥CD {}a n a 10b n {}b n n S n E :=2px (p >0)y 2F F l E A B l x △AOB 8O (1)E (2)l k 1P (3,0)AP E C BP E D CD k 2k 2k 1（1）讨论函数的极值；4a （2）若函数在区间上的最小值是，求的值.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】向量的投影【解析】设夹角为，则向量上的投影等于．分析出应为锐角，设，不妨取，转化为求的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解．【解答】解：设夹角为，则向量上的投影等于，若取得最大值则首先为锐角．设，不妨取，则根据向量数量积的运算得出①由于是圆上的一个动点，设②将②代入①得出，而的最大值为，所以故选．2.【答案】C【考点】数列的求和【解析】利用裂项相消法可求得数列的和．【解答】解：∵，∴，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θ=OP |−→−−||OQ −→−˙θP(x,y)Q(1,1)x +y ，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θOP |−→−−θP(x,y)Q(1,1)|cos θ==OP |−→−−||OQ −→−˙x +y 2–√P C ：+(y −2=1x 22–√)2{x =cos αy =2+sin α2–√|cos θ=(cos α+sin α+2)OP |−→−−2–√22–√cos α+sin α2–√|cos θ≥×3=3OP |−→−−2–√22–√A =(−)1n(n +2)121n 1n +2++++...+11×312×413×514×61n(n +2)=[(1−)+(−)+(−)+(−)+...1213121413151416(−)+11−)11(−)]11.故选.3.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：函数的定义域为，设直线和曲线相切于点，∵，∴切线斜率，又切点在曲线上，∴整理，得解得∵，∴，且，∴的取值范围是 .故选.4.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】因为数列和为等差数列，所以＝，＝，将转化为即可．【解答】+(−)+1n −21n (−)1n −11n +1+(−)]1n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=(−−)12321n +11n +2C f(x)=x −a ln x(a ≠0)(0,+∞)y =kx >0f(x)=x −a ln x(a ≠0)(,k )(>0)x 0x 0x 0(x)=1−f ′a x k =()=1−f ′x 0a x 0f (x) k =−a ln ，x 0x 0x 0k =1−，a x 0 (k −1)=−a ln ，x 0x 0k −1=−，a x 0{=e ，x 0a =−e (k −1)，k >0a =−e(k −1)<e a ≠0a (−∞,0)∪(0,e)A {}a n {}b n A 99a 5B 99b 5a 5b 5A 9B 9{}{}b解：∵数列和为等差数列，∴，同理可得，，∴．故选.5.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设椭圆的标准方程为，因为它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，所以.又因为，所以 解得，即椭圆的标准方程为．故选.6.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】由题意，设，则＝，分类讨论，即可得出结论．【解答】由题意，设，则＝，，可化为＝，∴方程有两个正根；，可化为＝，方程无解，综上所述，有两解，即点有个，7.【答案】{}a n {}b n =×9=9A 9+a 1a 92a 5=B 99b 5====a 5b 5A 9B 93×9+59+3321283D +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(0,b)=8y x 23–√(0,2)3–√b =23–√e =12=,−12a 2a 214=16a 2+=1x 216y 212A P(x,y)−|y |+(y −1x 2)2−−−−−−−−−−√1P(x,y)−|y |+(y −1x 2)2−−−−−−−−−−√1y ≥09−40y +16y 20y <09−24y +16y 20y P 2D【考点】椭圆的定义和性质【解析】直接讨论，再判断各选项，即可得到答案.【解答】解：椭圆，短轴为，长轴为，离心率为，若，此时椭圆的短轴为，故错误；此时长轴为，故错误；此时离心率为，不恒等于，故错误；故均不正确.故选.8.【答案】D【考点】利用导数研究函数的最值【解析】构造函数，易知函数为奇函数，利用奇函数的性质即可得解．【解答】，令，则，∴函数为奇函数，∴当时，＝，即，则＝，二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】<9a 2+=1x 225y 2961045<9a 2+=1x 2a 2y 292a <6A 6≠10B 9−a 2−−−−−√345C ABC D g(x)=f(x)−12g(x)f(x)−=−−2sin x +3=−2sin x +3=−−2sin x +3121+13x 12x 32−−13x 2(+1)3x x 3−13x 2(+1)3x x 3g(x)=f(x)−=−−2sin x +312−13x 2(+1)3x x 3g(−x)=−−2sin(−x)+3(−x =−+2sin x −3=+2sin x −3=−g(x)−13−x 2(+1)3−x )31−3x 2(1+)3x x 3−13x 2(+1)3x x 3g(x)x ∈[−2,2]g(x +g(x )max )min 0m −+n −=01212m +n 1直线与圆的位置关系命题的真假判断与应用直线与圆相交的性质圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．【解答】解：，直线方程可化为，令，则，，，直线恒过定点，故正确；，当时，直线方程为，圆心到直线的距离.圆半径，，故圆上有四个点到直线的距离等于，故错误；，圆，曲线，即，两圆心的距离，，解得：，故正确；，当时，直线，化简为：.是直线上一动点，设，圆，圆心，半径，以线段为直径的圆方程为：，即：，又圆的方程为，圆与圆的公共弦方程为，公共弦即为，则解得直线经过点，故正确． 故选．10.【答案】A,C,D【考点】等比数列的性质等差数列的性质等比数列的通项公式A m(x +3)+3x +4y −3=0x +3=03x +4y −3=0∴x =−3y =3∴l (−3,3)A B m =0l 3x +4y −3=0C (0,0)l d ==|−3|+3242−−−−−−√35∵r =2∴r −d =2−=>13575C l 1B C ∵C :+=4x 2y 2+−6x −8y +m =0x 2y 2+=25−m (x −3)2(y −4)2t ==5(0−3+(0−4)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√∴5=2+25−m −−−−−−√m =16C D m =13l :16x +4y +36=04x +y +9=0∵P l P (t,−9−4t)C :+=4x 2y 2C (0,0)r =2PC M (x −t)x +(9+4t +y)y =0+(−t)x ++9y +4ty =0x 2y 2∵C +=4x 2y 2∴C M −tx +4ty +9y +4=0l AB (4y −x)t +9y +4=0{4y −x =0,9y +4=0, x =−,169y =−,49∴AB (−,−)16949D ACD【解析】利用等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算性质即可判断出正误．【解答】解：设等比数列，的公比分别为，，，∴数列是公比为的等比数列，正确；，数列不一定是等比数列，例如取数列，分别为：，，故错误；，∵为一常数，∴数列是等差数列，故正确；，∵为一常数，∴数列}是等差数列，故正确.故选．11.【答案】A,C,D【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率椭圆的定义【解析】【解答】解：选项，由椭圆的第一定义得，当且仅当，，三点共线，且在与中间时，等号成立，故正确；选项，若，即，因为，所以，则椭圆方程为，所以，点在椭圆外，故错误；选项，因为在椭圆内部，所以，解得，所以，故正确；选项，因为，所以点的坐标为，所以，故正确.{}a n {}b n p qA =pq a n+1b n+1a nb n{}a n b n pq A B {+}a n b n {}a n {}b n =a n 2n =−b n 2n B C lg||−lg||=lg|⋅|=lg||b n+1a n+1b n a n b n+1b n an a n+1q p {lg||}b na nC D lg()−lg()a 2n+1b 2n+1a 2n b 2n =lg((=lg a n+1a n )2b n+1b n )2p 2q 2{lg()}a 2n b 2n D ACD A |Q |+|QP|=2a −|Q |+|QP|F 1F 2≥2a −|P|=2a −1F 2F 2P Q P F 2Q B 2b =2b =1c =1a =2–√+=1x 22y 2+1>112P C P =>1b 2a −1a 2a a >+15–√2e =∈(0,)c a −15–√2D =PF 1−→−Q F 1−→−Q (−3,−1)2a =|Q |+|Q |F 1F 2=+(−3+1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−3−1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=+5–√17−−√ACD故选.12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】作出的大致图象，结合图象可判断选项；由，可得，由此判断选项；若，则，构造函数，可知矛盾，由此可判断选项；这六个数的最大数在与中取，而，由此判断选项．【解答】解：，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，，作出函数的大致图象如图所示，，由于，即有且仅有两个交点，由图象可知，，故选项正确；，易知，即，即，即，故选项正确；，由图象不妨设，故等价于，又，，故等价为，即，设，，则，∴在上单调递增，故，即矛盾，故选项错误；，由于，由指数函数和幂函数的性质可知，，，，，故这六个数的最大数在与中取，由及的单调性可知，，即，即，故，综上，这六个数中最大数是，故选项正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）ACD f(x)A ln 8<ln 9<ln 22ln 33B <x 1x 2e 2f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()，1<x <e e 2x f()<f()x 1e 2x 1C 3ππ3<π33πD (x)＝(x >0)f ′1−ln xx 2(x)>0f ′0<x <e (x)<0f ′x >e f(x)(0,e)(e,+∞)x →0f(x)→−∞x →+∞f(x)→0f(e)＝1ef(x)A f()=f()=m x 1x 2f(x)=m 0<m <1eB ln 8<ln 93ln 2<2ln 3<ln 22ln 33f(2)<f(3)C 1<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 2e 2x 1x 2∈(e,+∞)e 2x 1f()>f()x 2e 2x 1f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()e2x1<x <e (x)＝(x)+()g ′f ′e 2x 2f ′e 2x ＝+1−ln x x 2ln x −1e 2=(1−ln x)(−)>01x 21e 2g(x)(1,e)g(x)<g(e)=0f()<f()x 1e 2x 1D e <3<π>e πe 3>3π3e >ππ3>3πe π3ππ3e <3<πf(x)f(π)<f(3)<ln ππln 33ln <ln π33π<π33πs ABD13.【答案】【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为的图象关于原点对称，的图象由向上平移个单位，向右平移个单位得到，所以的图象关于对称，所以，,,，两式相加可得：,所以,所以.故答案为：.14.【答案】【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】1009y =sin x f(x)=+sin(x −)1212y =sin x 1212f(x)(,)1212f(x)+f(1−x)=1[f(0)+f(1)]=[f ()+f ()]=⋯1n n −1n =[f(1)+f(0)]=1=f(0)+f ()+…+f ()+f(1)a n 1n n −1n =f(1)+f ()+…+f ()+f(0)a n n −1n 1n2=[f(0)+f(1)]+[f ()+f ()]+…+a n 1n n −1n[f(1)+f(0)]=n +1=a n n +12=1009a 201710092x −3y −1=0:−=12设，，则，，把，代入双曲线，利用点差法求解．【解答】解：设，，∵恰为弦的中点，∴，，把，代入双曲线，得两式相减，得：，∴，∴，∴直线的方程为，整理，得．故答案为：．15.【答案】【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】利用勾股定理逆定理得出为直径三角形，并计算出的外接圆直径，然后利用公式计算出三棱锥的外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】∵，，∴的外接圆直径为，设该三棱锥的外接球半径为，则，∴，因此，三棱锥的外接球的表面积为．16.【答案】-【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，得关于的一元二次方程，根据根与系数的关系两根之和可求点的横坐标，代入直线方程可得点的纵坐标，根据两直线斜率互为相反数，可得点的坐标．进而由两点连线的斜率公式可得直线的斜率．A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=4x 1x 2+=2y 1y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C :−=1y 2x 23A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2P(2,1)AB +=4x 1x 2+=2y 1y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C:−=1y 2x 23{3−=3，①y 21x 213−=3，②y 22x 223(+)(−)−(+)(−)=0y 1y 2y 1y 2x 1x 2x 1x 26(−)−4(−)=0y 1y 2x 1x 2k ==−y 1y 2−x 1x 223l y −1=(x −2)232x −3y −1=02x −3y −1=08π△ABC △ABC AC 2R =P +A A 2C 2−−−−−−−−−−√P −ABC R AB ⊥BC AB =BC =2–√△ABC AC ==2A +B B 2C 2−−−−−−−−−−√R 2R ==2P +A A 2C 2−−−−−−−−−−√2–√R =2–√P −ABC 4π=4π×(=8πR 22–√)223–√PA y −1=k (x +)3–√2x A A B AB【解答】解：设直线的斜率为，则直线的斜率为．所以直线的方程为，设点，，由得，所以，所以，，，，所以，直线的斜率为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.设 ，，则.【考点】简单复合函数的导数导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】PA k PB −k PA y −1=k (x +)3–√2A (⋅)x A y AB (⋅)x B y B y −1=k (x +)，3–√2+=1，x 2y 24(4+)+(2k +)x ++k −3=0k 2x 23–√k 234k 23–√+=−x A x p 2k +3–√k 24+k2=−−x A 2k +3–√k 24+k 2x p =−+2k +3–√k 24+k23–√2=k (+)+1y A x A 3–√2=−+k +12+k 23–√k 34+k 23–√=−x B 2k −3–√k 24+k 2x p=+2k −3–√k 24+k 23–√2=−k (+)+1y B x B 3–√2=−k +1−2+k 23–√k 34+k 23–√tAB −y B y A−x B x A=−k +1−(−+k +1)−2+k 23√k 34+k 23–√2+k 23√k 34+k 23–√+−(−+)2k−3√k 24+k 23√22k+3√k 24+k23√2=−23–√−23–√(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2=+=cos x −x ⋅sin x +11解：.设 ，，则.18.【答案】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程【解析】利用圆与圆相切，求出，设，由题知，或，求出的坐标，即可求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．19.【答案】证明：连接，交于，∴是的中点（平行四边形对角线互相平分），∵是的中点（由三等分点得到），∴是的中位线，∴，∵面，面，∴平面．过作于，∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x−12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m )2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m −−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2m M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M M C C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m )2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m −−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2(1)BD AC O O BD F DE OF △DEB BE //OF OF ⊂ACF BE ⊂ACF BE //ACF (2)A AH ⊥PC H PAC ⊥PCD AH ⊥PCD CD ⊂PCD AH ⊥CD PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，∵平面，∴．【考点】平面与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）连结，相交于，证明，即可证明平面；（2）过作于，利用面面垂直的性质证明平面，从而证明，然后利用线面垂直的性质证明．【解答】证明：连接，交于，∴是的中点（平行四边形对角线互相平分），∵是的中点（由三等分点得到），∴是的中位线，∴，∵面，面，∴平面．过作于，∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，∵平面，∴．20.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA ⊥CD PA ∩AH =A CD ⊥PAC PC ⊂PAC PC ⊥CD BD AC O BE //OF BE //ACF A AH ⊥PC H AH ⊥PCD AH ⊥CD PC ⊥CD (1)BD AC O O BD F DE OF △DEB BE //OF OF ⊂ACF BE ⊂ACF BE //ACF (2)A AH ⊥PC H PAC ⊥PCD AH ⊥PCD CD ⊂PCD AH ⊥CD PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA ⊥CD PA ∩AH =A CD ⊥PAC PC ⊂PAC PC ⊥CD【答案】证明：＝＝，可得-＝，，则数列是首项为；由（1）可得＝＝，即有＝，＝＝＝（-），则前项和＝（-+-+…+-）＝（-）＝．【考点】等差数列的性质数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，a 10342+4(n −1)3n −2a nb n n S n (1)A(,p)p 2B(,−p)p2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4=k++==−162∴．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．22.【答案】（1）当时，函数在上无极值；当时，的极小值为，无极大值．（2）【考点】利用导数研究函数的极值已知函数极最值求参数问题【解析】（1）求得函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，此时最小值不满足题意；当时，由（1）得是函数在上的极小值点，分类讨论，即可求解．【解答】==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y2===y 1y 2−24−16−2423(1)A(,p)p 2B(,−p)p2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423a ≤0f (x)R a >0f (x)a −a ln a +3g −1(x)=−a f ′e x a ≤0f (x)R a >0x =ln a f (x)R (x)=−af ′x（1）当时，在上单调递增；无极值当时，，解得由，解得函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在上无极值；当时，的极小值为，无极大值．（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，．函数在上的最小值为，即，矛盾．当时，由（1）得是函数在上的极小值点．①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件．②当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾．③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即令，则在上单调递减，而，∴在上没有零点，即当时，方程无解．综上，实数的值为(x)=−af ′e x a ≤0(x)>0f (x)f ′R a >0(x)>0f ′x >ln a (x)<0f ′x <ln af (x)(−∞,ln a)f (x)(ln a,+∞)f (x)f (ln a)=a −a ln a +3a ≤0f (x)R a >0f (x)a −a ln a +3a ≤0f (x)R f (x)[1,2]f (1)=e −a +3=4a =e −1>0a >0x =ln a f (x)R ln a ≤10<a ≤e f (x)[1,2]f (x)f (1)=e −a +3=4a =e −1ln a ≥2a ≥e 2f (x)[1,2]f (x)f (2)=−2a +3=4e 2a =∴−1e 22e 21<ln a <2e <a <e 2f (x)[1,ln a]f (x)[ln a,2]f (x)f (ln a)=−a ln a +3=4e |a a −a ln a −1=0h (a)=a −a ln a −1(e <a <)e 2(a)=−ln a <0h ′h (a)(e,)e 2h (e)=−1h (a)(e,)e 2e <a <e 2a −a ln a −1=0ag −1。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016学年度第一学期海南省三亚市店中学高二数学同步测试—圆锥曲线综合姓名 班级 座位号一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 （ ）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12 ,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ）A ．π22B ．πC ．π)21(+D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 （ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为（ ）F xy ABCOA ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值 （ ）A ．21B ．33C ．23 D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ） A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个.13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|P A |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积； （2） 求P 点的坐标．（12分）16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线yP 上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）． （1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）19．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222b y a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222by a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD的面积相等．（1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）y l BC xO A参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCACABCDCB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321( 14． 25三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P 16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y aaa a x ，yPO xAB表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ．又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x .（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22m m m --，∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ． 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当y p =2时，x p=8又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=()（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-即221020p y y p y y +=-+,所以y y y 1202+=-, 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB ,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以ky y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21b bx y y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及ax ≠得，得[]0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a .20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-by a a x ，又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PB PD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+b y a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。

新课标高二数学同步测试（8）—（2－2第二章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．已知α∩β＝l ，a ⊂α、b ⊂β，若a 、b 为异面直线，则 （ ） A ． a 、b 都与l 相交 B ． a 、b 中至少一条与l 相交 C ． a 、b 中至多有一条与l 相交 D ． a 、b 都与l 相交 2．已知),....3,2,1(,,n i R b a i i =∈，1.. (2)2221=+++n a a a ，1 (2)2221=+++n b b b ，则n n b a b a b a +++.....2211的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．2nD ．n 23．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 （ ） A ．计算机行业好于化工行业 B ．建筑行业好于物流行业. C ．机械行业最紧张. D ．营销行业比贸易行业紧张 4．已知33q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是 （ ）A ．一定不大于2B ．一定不大于22C ．一定不小于22D ．一定不小于25．从棱长为32的正方体的一个顶点A 0出发，在体内沿一条直线进行到另一条上的点A 1，使得|A 0A 1|=1，再从A 1出发，在体内沿一条直线进行到另一条上的点A 2，使得|A 1A 2|=1，……，如此继续走下去，如果限定所走的路径不重复，则总路程最多等于 （ ） A ．18 B ．8 C ．12 D ．106．已知数列{a n }满足a n+1=a n －a n －1(n ≥2)，a 1=a ，a 2=b ，设S n =a 1+a 2+……+a n ，则下列结论正确的是 （ ） A ．a 100=－a S 100=2b －a B ．a 100=－b S 100=2b －a C ．a 100=－b S 100=b －a D ．a 100=－a S 100=b －a 7．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两相互垂直，则可得” （ ） A ．AB 2+AC 2+ AD 2=BC 2 +C D 2 +BD 2 B ．BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯2222C ．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ D ．AB 2×AC 2×AD 2=BC 2 ×C D 2 ×BD 28．已知函数n mx x x f ++=22)(，则)1(f 、)2(f 、)3(f 与1的大小关系为 （ ） A ．没有一个小于1 B ．至多有一个不小于1 C ．都不小于1 D ．至少有一个不小于1 9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题： （1）若α∥β，则l ⊥m ；（2）若l ⊥m ，则α∥β； （3）若α⊥β，则l ∥m ；（4）若l ∥m ，则α⊥β； 其中正确命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数)(x f y =，对任意的两个不相等的实数21,x x ，都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+成立，且0)0(≠f ．则)2006()2005(...........)2005()2006(f f f f ⋅⋅-⋅-的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2006！ D ．（2006！）2 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若函数,)(k n f =其中N n ∈，k 是......1415926535.3=π的小数点后第n 为数字，例如4)2(=f ，则)]}7([.....{f f f f （共2005个f ）= ． 12．已知结论 “若+∈Ra a 21,，且121=+a a ，则41121≥+a a ”，请猜想若+∈R a a a n .......,21，且1....21=+++n a a a ，则≥+++na a a 1....1121 ．13．数列的前几项为2，5，10，17，26，……，数列的通项公式为 ．14．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD 是正方形、菱形等）时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b ．16．（12分）若01>a 、11≠a ，nnn a a a +=+121),,(，⋯=21n（1）求证：n n a a ≠+1；（2）令211=a ，写出2a 、3a 、4a 、5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ；（3）证明：存在不等于零的常数p ，使}{nn a pa +是等比数列，并求出公比q 的值.17．（12分）对于直线l ：y =kx +1，是否存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2=1的交点A 、B 关于直线y =ax （a 为常数）对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）由下列各式：图112111123111111312345672111122315>++>++++++>++++>你能得出怎样的结论，并进行证明.19．（14分）设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R,a ≠0)满足条件：①当x ∈R 时，f (x -4)=f (2-x )，且f (x )≥x ；②当x ∈(0,2)时，f (x )≤2)21(+x ③f (x )在R 上的最小值为0．求最大值m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x .20．（14分）（反证法）对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点．如果函数),()(2N c b c bx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,21)2(-<-f（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{=⋅nn n a f S a 满足，求数列通项n a ； （3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3<n a 成立参考答案一、1．B ；2．A ；3．B ；4．A ；5．A ；6．A ；7．C ；8．D ；9．B ；10．B ； 二、11．1；12．2n ；13．12+n ；14．AC ⊥BD ； 三、15．证法1：（分析法） 要证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b 只需证明 1113b c c a a ba ab bc c+-++-++-> 即证6b c c a a ba ab bc c+++++> 而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c +>+>+> ∴ 6b c c a a ba ab bc c+++++> ∴3b c a a c b a b ca b c+-+-+-++>得证． 证法2：（综合法） ∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与cb全不相等． ∴2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+> 三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++> ∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即3b c a a c b a b ca b c+-+-+-++>． 16．解：(1)采用反证法. 若n n a a =+1，即n nna a a =+12, 解得 .10，=n a 从而1011,===⋯⋯==-a a a n n 2a 与题设01>a ,11≠a 相矛盾，故n n a a ≠+1成立. (2) 211=a 、322=a 、543=a 、984=a 、17165=a , 12211+=--n n n a . （3）因为n n n n a p a p a p a 2211++=+++)( 又q a pa a p a nn n n ⋅+=+++11,所以02122=-+-+)()(q p a q p n ,因为上式是关于变量n a 的恒等式，故可解得21=q 、1-=p . 17．证明：（反证法）假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y =ax 对称，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+-=)3(22)2(2)()1(121212121x x a y y k x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④由②、③有a （x 1+x 2）=k （x 1+x 2）+2 ⑤ 由④知x 1+x 2=232k k- 代入⑤整理得：ak =－3与①矛盾．故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y =ax 对称．18．分析：对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，一般的有2n -1，对应各式右端为一般也有2n . 解：归纳得一般结论*1111()23212nn n N ++++>∈- 证明：当n=1时，结论显然成立. 当n ≥2时，3333111111111111()()2321244222211111111()()2222222222n n n n n n n n n n ++++>+++++++++-++++-=-=+->故结论得证.∴21)2(41)21(-=-=f f ，),()21()21(1N n u n n ∈⋅-=-.故 ).(1)21(211])21(1[21N n S n n n ∈-=---=19．特殊—一般—特殊：其解法是先根据若干个特殊值，得到一般的结论，然后再用特殊值解决问题．分析：本题先根据题设求出函数f （x ）解析式，然后假设t 存在，取x =1得t 的范围，再令x =m 求出m 的取值范围，进而根据t 的范围求出m 的最大值． 解法一：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x = -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又a b +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有 f (t m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒m 2(1t )m +(t 2+2t +1)≤0⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f (x 4)x =41(x 210x +9)=41(x 1)(x 9)≤0 ∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x = 1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，又a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2 由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立令 x =1有t 2+4t ≤0⇒4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解 令t = 4得，m 210m +9≤0⇒1≤m ≤9即当t = 4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(x 210x +9)=41(x 1)(x 9)≤0 ∴ m m in =9点评：本题属于存在性探索问题，处理这道题的方法就是通过x 的特殊值得出t 的大致范围，然后根据t 的范围，再对x 取特殊值，从而解决问题．20．解：依题意有x cbx ax =-+2,化简为 ,0)1(2=++-a cx x b 由违达定理, 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=+,102,102b a bc 解得 ,210⎪⎩⎪⎨⎧+==c b a 代入表达式c x c x x f -+=)21()(2， 由,2112)2(-<+-=-c f 得 x x f b c N b N c c ===∈∈<)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点，).1(,)1(2)(,2,22≠-===∴x x x x f b c 故 （2）由题设得,2:1)11(2)1(422n n n nn n a a S a a S -==-⋅得 （*） 且21112:1,1----=-≠n n n n a a S n n a 得代以 （**）由（*）与（**）两式相减得：,0)1)((),()(2112121=+-+---=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即,2:(*)1,1211111a a a n a a a a n n n n -==-=--=∴--得代入以或解得01=a （舍去）或11-=a ，由11-=a ，若,121=-=-a a a n n 得这与1≠n a 矛盾，11-=-∴-n n a a ，即{}n a 是以-1为首项，-1为公差的等差数列，n a n -=∴；（3）采用反证法，假设),2(3≥≥n a n 则由（1）知22)(21-==+n nn n a a a f a ),2(,143)211(21)111(21)1(211N n n a a a a a a a n n n n n n n ∈≥<<=+<-+⋅=-=∴++即,有 21a a a n n <<<- ，而当,3;338281622,21212<∴<=-=-==n a a a a n 时这与假设矛盾，故假设不成立，3<∴n a .关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上: 由2121)211(21,22)(21211≤+--=-==+++n n n n n n n a a a a a a f a 得得1+n a <0或.21≥+n a ,30,011<<<++n n a a 则若结论成立； 若1+n a 2≥，此时,2≥n 从而,0)1(2)2(1≤---=-+n n n n n a a a a a 即数列{n a }在2≥n 时单调递减，由3222=a ，可知2,33222≥<=≤n a a n 在上成立. 比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.。

第八章综合测试答案解析一、1【答案】B【解析】A 正确，根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形；B 错误，90︒角的直观图可以是45︒角，也可以是135︒角；由斜二测画法规则知C 、D 正确2【答案】B【解析】A 中，m β∥，故A 错误；易知B 正确；C 、D 中，m β⊂或m β∥或m 与β相交，故C 、D 错误 3【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，其中一条边（即圆木的高）长为24尺，其邻边长为5尺，因26=（尺）故选C4【答案】C【解析】对于A ，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得A 正确；对于B ，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得B 正确；对于C ，,m n 可能异面，也可能平行，故C 错误；对于D ，由m n ∥，n β⊥可知m β⊥，又m α⊂，所以αβ⊥，故D 正确。

故选C5【答案】B【解析】过点M 作MN AC ⊥于点N ，连接BN ，则MBN ∠为直线BM 与底面ABC 所成的角由已知，可得4MN =，3BN =，所以4tan 3MBN ∠=，故选B 6【答案】A【解析】设正八面体的楼长为a ，则28=，1a ∴=，∴球的半径为，∴球的体积为34323π⎛⨯= ⎝⎭7【答案】C【解析】已知PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线 23PA =3AB =，4AC =∴=，∴外接球的内接正方体的体对角线长为，∴正方体的棱长为4，∴正方体的体积为64，故选C8【答案】D【解析】在A 中，点A 与点C 一定不重合，故A 正确；在B 中，存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒，故B 正确；在C 中，当平面ABF ⊥平面BEDF ，平面DCE ⊥平面BEDF 时，直线AF 与直线CE 垂直，故C 正确；在D 中，直线AB 与直线CD 不可能垂直，9【答案】A【解析】设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意得3343V R a ==π，所以a =，R =，所以26S a ==正方体24S R π==球S S 正方体球＞10【答案】D【解析】由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在线段11,,AB AC AD 上，如图所示，设线段1AB 上的切点为1,E AC 与平面1A BD 的交点为2O ，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为1O E ，记为r ，设1AB 与平面1A BD 的交点为F正方体1111ABCD A B C D -，1113,AC A B BD A D ∴====由题意知，21133O F DF ===21113AO AC == 由21O E O F ∥11AO =，11AO E ∴，则圆柱的高为1323AO -=-，22(3)4S r r π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭测2r ⎛=-+ ⎝⎭当r =二、11【答案】BD【解析】A 错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C 错，比如,,a b c ααα⊥⊂⊂，显然有,a b a c ⊥⊥，但b 与c 也可能相交故选BD12【答案】AD【解析】如图所示，正方体''''ABCD A B C D -连接,AC BD M P 、分别为其所在棱的中点，∴MP AC ∥四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，'BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，'BB AC ∴⊥，AC BD ⊥，'BD BB B =，AC ∴⊥平面'DBB ，'DB ⊂平面'DBB ，'AC DB ∴⊥MP AC ∥，'DB MP ∴⊥，同理，可证','DB MN DB NP ⊥⊥，MP NP P =，MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，'DB ∴⊥平面MNP ，即l 垂直平面MNP ，故A 正确在D 中，由A 中证明同理可证l MP ⊥，l MN ⊥，又MP MN M =，l ∴⊥MNP 正确 故选AD三、13【答案】3π【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据题意，得2π2πr =，解得1r =，根据勾股定理，=所以圆锥的表面积221π2π13π2S =⨯⨯+⨯=，体积21π13V =⨯⨯= 14【答案】3 【解析】如图，过点S 作SO ⊥平面ABCD ，连接OC ，则60SCO ∠=︒，sin 603SO SC ∴=︒⋅==15【答案】209【解析】因为A a ∉，所以点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD 因为a α∥，且α平面ABD EG =，所以a EG ∥，即BD EG ∥，所以AF EG AC BD =于是5420=549AF BD EG AC ⋅⨯==+16【解析】解析由题意，知'AED △为等腰直角三角形，平面'AED ⊥平面ABCE ，'AD ∴在底面的射影在AE 上，'D AE ∴∠为直线'AD 与平面ABC 所成角，且'45D AE ∠=︒ 四、17【答案】解：由题意，得2π3h h V ⋅=圆锥液， 2π2a V h ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭圆锥液，由已知得23ππ32h a h ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以h 18【答案】（1）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB D C ∥，11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，11AD BC ∴∥，1AD ⊄平面1C BD ，1BC ⊂平面1C BD ，1D A ∴∥平面1C BD（2）解：由（1）知，11AD BC ∥，∴异面直线1D A 与BD 所成的角即为1C BD ∠易知1C BD △为等边三角形，160C BD ︒∴∠=，即异面直线1D A 与BD 所成的角为60︒19【答案】（1）证明：如图，去AB 的中点O ，连接11,,OC OA A B因为CA CB =，所以OC AB ⊥因为1AB AA =，160BAA ∠=︒，所以1AA B △为等边三角形，所以1OA AB ⊥因为1OC OA O ⋂=，所以AB ⊥平面1OA C又1A C ⊂平面1OA C ，所以1AB A C ⊥（2）由题设知ABC △与1AA B △都是边长为2的等边三角形，所以1OC OA ==又1A C =，所以22211A C OC OA =+，故1OA C O ⊥因为OC AB O ⋂=，所以1OA ⊥平面ABC ，1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高。

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时,运行程序如下,,当时,,则,故选D.【考点】程序框图二次函数2.过点引直线分别交轴正半轴于两点，当面积最小时，直线的方程是__________．【答案】【解析】设直线方程为(当且仅当即时取等号 ) .【点晴】本题主要考查直线方程和重要不等式，属于中档题型.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.3.如图，输入时，则输出的________.【答案】【解析】由算法流程图提供的算法程序可知：当时，输出，应选答案C。

4.二项式的展开式中常数项是（）A．-28B．-7C．7D．28【答案】C【解析】常数项，故选B.【考点】二项式的展开式.5.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.6.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，||+||，利用零点分段法解不等式或者利用图象解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，则，因为时，，故恒成立，，．试题解析：（1）解：||+||，即或或或或所以原不等式的解集为[]（2）||+||对一切恒成立,,恒成立，即恒成立，当时，，【考点】1、绝对值不等式解法；2、函数的最值.7.已知函数，设为的导函数，根据以上结果，推断_____________.【答案】【解析】.8.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.9.若，则的值是（）A．6B．4C．3D．2【答案】D【解析】略10.某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）A．B．C．6D．10【答案】B【解析】由三视图设长方体中同一顶点出发的三条棱长为、、，则有，解方程组得到，所以该长方体的面积为，故选B.【考点】1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的表面积.11.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A．1项B．项C．项D．项【答案】D【解析】由题意得，当时，不等式的左侧为，当时，不等式的左侧为，所以变成时，左边增加了，共有项，故选D.【考点】数学归纳法.12.已知圆与圆的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点满足直线的斜率之积为．（1）求的方程；（2）证明直线恒过定点，并求定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）确定，可得曲线是长轴长，焦距的椭圆，即可求解椭圆的方程；（2）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合直线的斜率之积为，即可证直线恒过定点，并求出定点的坐标．试题解析：（1）设⊙，⊙的公共点为,由已知得，，故，因此曲线是长轴长，焦距的椭圆，所以曲线；（2）由曲线的方程得，上顶点，记，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线，代入椭圆：①因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，故，又，，由，得即所以化简得：，故或，结合知，即直线恒过定点．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系的应用、判定直线过定点问题等知识点的综合考查，解答中设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用判别式和根与系数的关系及韦达定理，结合直线的斜率之积为是解答本题的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝．（1）求cos B的值；（2）若，b＝2，求a和c的值．【答案】（1）（2）【解析】解：(1)∵cos＝，∴sin＝， 2分∴cos B＝1－2sin2＝. 5分(2)由可得a·c·cos B＝2，又cos B＝，故ac＝6， 6分由b2＝a2＋c2－2ac cos B可得a2＋c2＝12， 8分∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝10分【考点】解三角形点评：解决的关键是根据诱导公式以及二倍角公式和向量的数量积结合余弦定理来求解，属于中档题。

2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.2. 正项数列满足，则( )A.B.C.D.3. 若直线与函数和的图象都相切，则( )A.B.C.D.4. 在和两数之间插人个数，使它们与，组成一个等差数列，则当时，该数列的ABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3){}a n =1,−(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 1a 2n a n−1a n a n−1++⋯+1a 1a 31a 3a 5=1a 2019a 202112003534101060611220202120205461y =kx f (x)=e x g(x)=ln x +a a =32112n (n ∈)N +12n =10所有项和为（ ）A.B.C.D.5. 曲线与曲线的（ ）A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等6. 已知两条互相平行的直线分别过点，，并且各自绕着，旋转，如果两条平行直线间的距离为，则的最大值是( )A.B.C.D.7. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，，点为坐标原点，则( )A.B.C.D.8. 设函数是定义在上的函数， 是函数的导函数，若，，则不等式的解集是（ ）A.15161718+=1x 216y 29+=1(9<k <16)x 216−k y 29−kA(6,2)B(−3,−1)A B d d 34310−−√410−−√F 1F 2C +=1x 24y 2D C ∠D =F 1F 2120∘O |OD|=6–√25–√2132f (x)R (x)f ′f (x)f (x)+(x)>−(x)f ′e −x f ′f (0)=1f (x)>2+1e x (0,+∞)(1,+∞)B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列结论正确的是( )A.已知点在圆上，则的最小值是B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D.若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是 10. 已知数列的前项和为，且，（为非零常数），则下列结论正确的是( )A.是等比数列B.当时，C.当时，D.数列是递减数列11. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ）A.为偶函数B.在上单调递减C.关于对称D.12. 椭圆的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的值可能是 A.B.(1,+∞)(−∞,0)(0,1)P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y +2x 43kx −y −k −1=0M (−3,1),N (3,2)k −≤k ≤1232P (a,b)+=x 2y 2r 2l ax +by =r 2l M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2N (1,0)1r (4,6){}a n n S n =p a 12−=2p S n+1S n p {}a n p =1=S 374p =12⋅=a m a n a m+n {}a n f (x)R x =−3f (x +3)=f (x −3)x ∈[0,3]f (x)=+2x −112x f (x)f (x)[−6,−3]f (x)x =3f (2021)=−7C :+=1x 29y 25F P C |PF|()23C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若数列满足，且，则________．14. 斜率为的直线被双曲线截得的弦长为，则直线的方程是________．15. 已知四面体，，，，，则该四面体外接球半径为________．16. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 求下列函数的导数：；.18. 已知圆与圆相切于点，求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程． 19. 如图，已知四边形中，且．是正三角形，且，是的中点，平面．（1）求证：；（2）求四棱锥的体积．20. 已知等差数列满足＝，＝．（1）求的通项公式；（2）等比数列的前项和为，且＝，再从①＝，②＝，③这三个条件中选择两个作为已知条件，求的前项和．56{}a n ={a n+12a n −1a n (0≤≤1)a n (>1)a n =a 167=a 20172l −=1x 25y 2425–√l ABCD AB =4AC =AD =6∠BAC =∠BAD =60∘∠CAD =90∘f (x)=+ax e x x ≥0f (x)≥0a (1)y =x ⋅cos x +x −√(2)y =5(2x +1)log 2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2M M C ABDE AE//BD BD =AE 12△ABC AB =AE =2M AC AE ⊥ABC BM ⊥CE C −ABDE {}a n a 33+a 8a 928{}a n {}b n n S n b 1a 2b 3++a 2a 3a 4S 313>b n+1b n {||}a n b n n T n21. 已知函数.（1）证明：当时，不等式恒成立；（2）当时，若方程有两个不等实根，求实数的取值范围.22. 设抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点．当与轴垂直时，面积为，其中为坐标原点．求抛物线的标准方程；若的斜率存在且为，点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，设直线的斜率为，证明：为定值．E :=2px (p >0)y 2F F l E A B l x △AOB 8O (1)E (2)l k 1P (3,0)AP E C BP E D CD k 2k 2k 1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−−→−−→−，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.2.【答案】B【考点】数列的求和【解析】，，因为，，数列是，公差为的等差数列，．选 . 【解答】解：，.因为，，数列是，公差为的等差数列，=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A −(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 2n a n−1a n a n−1[−(+3)](+1)=0(n >1,n ∈N)a n a n+1a n >0a n −=3a n a n−1{}a n =1a 13=1+3(n −1)=3n −2a n ++⋯+=[−+⋯+−]=[1−]=1a 1a 31a 3a 51a 2019a 2021161a 11a 31a 20191a 202116160110106061B −(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 2n a n−1a n a n−1[−(+3)](+1)=0(n >1,n ∈N)a n a n−1a n >0a n −=3a n a n−1{}a n =1a 13=1+3(n −1)=3n −2a n ++⋯+1a1a 31a 3a 51a 2019a 2021=[−+⋯+−]=[1−]161a 11a 31a 20191a 202116160611010．故选 .3.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，由导数的几何意义可得切线的斜率，直线与函数的切点坐标为，则.，则有，解得，代入直线方程得，直线与的切点坐标为，将切点坐标代入得，，.故选.4.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】=10106061B (x)=f ′e x k =e x y =kx f (x)=e x (1,e)k =e (x)=g ′1x k =e =1x x =1e y =kx =1y =kx g(x)=ln x +a (，1)1eg(x)1=−1+a a =2B此题暂无解答5.【答案】C【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，可求得两直线间的距离；②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为，，利用两平行线间的距离公式可求得两直线间的距离的表示式，两端平方，整理成关于斜率的二次方程，利用其有解的条件即可求得的变化范围；【解答】解：如图所示，，显然有．而．故所求的的变化范围为．故的最大值是.故选.7.【答案】:y −2=k(x −6)l 1:y +1=k(x +3)l 2d k d 0<d ≤|AB ||AB |==3[6−(−3)+[2−(−1)]2]2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√10−−√d (0,3]10−−√d 310−−√CC【考点】椭圆的定义和性质余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以，即点与椭圆的上顶点重合，所以 .故选.8.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由题意，设出新函数，求导，将问题进行转化，求出新函数的单调性，进而求解即可.【解答】解：令，则，因为，即，所以，即，所以函数在上单调递增，因为，所以，即，解得，所以不等式的解集为.故选：.|D |=m F 2|D |=4−m F 1|=|D +|D −2|D |F 1F 2|2F 1|2F 2|2F 1|D |cos ∠D F 2F 1F 2+−2m(4−m)×(−)=12(4−m)2m 212−4m +4=0m 2m =2|D |=|D |=2F 1F 2D C |OD|=1C g(x)=(+1)f (x)e x (x)=f (x)+(+1)(x)g ′e x e x f ′f (x)+(x)>−(x)f ′e −x f ′f (x)+(1+)(x)>0e −xf ′f (x)+(+1)(x)>0e x e x f ′(x)>0g ′g(x)R f (x)>2+1e x (+1)f (x)>2e x g(x)>g(0)x >0f (x)>2+1e x (0,+∞)A二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】C,D【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质命题的真假判断与应用斜率的计算公式【解析】选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．【解答】解：选项，设 ，则，因为点在圆 上，所以直线与圆有交点，因此圆心到直线的距离 ，解得 或，故错误；选项，由得，所以即直线过点，因为直线和以，为端点的线段相交，所以只需或 ，故错误；A B kx −y −1−1=0P (1,−1),k PM k PN C P D N 1A k =y +2xy =kx −2P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y =kx −2C :+=2(x −1)2(y −1)2(1,1)y =kx −2d =≤|k −3|1+k 2−−−−−√2–√k ≤−7k ≥1A B kx −y −k −1=0k (x −1)−(y +1)=0{x =1，y =−1，kx −y −k −1=0P (1,−1)kx −y −k −1=0M (−3,1)N (3,2)k ≥==k PN 2−(−1)3−132k ≤==−k PM 1−(−1)−3−112B =2选项，圆的圆心到直线的距离 ，而点是圆外一点，所以 ，所以 ，所以直线与圆相交，故正确；选项，与点的距离为的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足 ，解得 ，故正确．故选．10.【答案】A,B,C【考点】等比数列的通项公式数列递推式等比数列的性质【解析】．由得，所以}是首项为中公比为的等比数列，选项正确；当时，，选项正确；当时，，选项正确；当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列，选项错误．故选．【解答】解：，，，即．，，，，所以}是首项为，公比为的等比数列，选项正确；当时，，选项正确；当时，，，选项正确；当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列，选项错误．C +=x 2y 2r 2(0,0)ax +by =r 2d =r 2+a 2b 2−−−−−−√P (a,b)+=x 2y 2r 2+>a 2b 2r 2d =<=r r 2+a 2b2−−−−−−√r 2r l C D N (1,0)1+=1(x −1)2y 2M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2+=1(x −1)2y 2d =MN =5r −1<d =5<r +14<r <6D CD 2−=2p,2−=2p,S n+1S n S n S n−12−=0,=(n ≥2)a n+1a n a n+112a n =p,2−a 1S 2=2p S 12(+)−−2p,−=a 1a 2a 1a 2p 212a 1{a n 12A p =1=1++=S 3121474B p =12=,⋅=a n ()12n a m a n a m+n C p >0{}a n p <0{}a n D ABC ∵2−=2p S n+1S n ∴2−=2p (n ≥2)S n S n−1∴2−=0a n+1a n =(n ≥2)a n+112a n ∵=p a 12−S 2=2p S 1∴2(+)−=2p a 1a 2a 1==a 2p 212a 1{a n p 12A p =1=1++=S 3121474B p =12=a n ()12n ⋅=a m a n a m+n C p >0{}a n p <0{}a n D ABC故选．11.【答案】A,C,D【考点】函数奇偶性的性质奇偶函数图象的对称性函数的图象与图象变化奇偶性与单调性的综合函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】略12.【答案】A,B,C【考点】椭圆中的平面几何问题椭圆的定义【解析】由是椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，可知，而，从而，所以可能取到的值是2,3,5.【解答】解：由题意，是椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，则由椭圆的几何性质可知，而，从而，所以可能取到的值是.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）ABC P F a −c ≤|PF|≤a +c c ==29−5−−−−√1≤|PF|≤5|PF|P F a −c ≤|PF|≤a +c c ==29−5−−−−√1≤|PF|≤5|PF|2,3,5ABC13.【答案】【考点】数列递推式【解析】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力.【解答】解：依题意得∴，，，，，，……可知数列为周期数列，且周期为，所以故答案为：．14.【答案】【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】先设出直线的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和判别式大于，再由弦长公式求出弦长，让弦长为，即可求出参数的值．【解答】解：设直线的方程为，与双曲线交于，两点．设，两点的坐标分别为，，127=2=a 2a 1127=−1=a 3a 257=2=a 4a 3107=−1=a 5a 437=2=a 6a 567=2=a 7a 6127{}a n 5==a 2017a 2127127y =2x ±125–√5l 025–√l y =2x +m A B A B A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=122将代入双曲线，并整理得：，，即为，解得或．∴，，∴，∴，解得：．∴所求直线的方程为：．故答案为：．15.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，为的外心，为球心，平面，，则，∴，，．设该四面体外接球半径为，，则，∴，，∴，故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数恒成立问题y =2x +m −=1x 25y 2416+20mx +5(+4)=0x 2m 2Δ=400−4×16×5(+4)>0m 2m 2>16m 2m >4m <−4+=−m x 1x 254=(+4)x 1x 2516m 2(−=(+−4=−(+4)x 1x 2)2x 1x 2)2x 1x 22516m 254m 2|AB =(1+)(−=5(−=−(+4)=20|2k 2x 1x 2)2x 1x 2)212516m 2254m 2m =±125–√5y =2x ±125–√5y =2x ±125–√525–√O'△ACD O BE ⊥ACD BF⊥AC EF ⊥AC AF =2AE =22–√BE ==216−8−−−−−√2–√R OO'=d 2+(2+d =+(32–√)2d 22–√)2d =2–√CD =62–√R ==22+18−−−−−√5–√25–√[−e,+∞)【解析】无【解答】解：由题意可得.因为，所以.当时，，则在上单调递增，从而恒成立，故符合题意.当时，令，得.因为在 上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，则.因为，所以，即，解得，综上，的取值范围为．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.设 ，，则.【考点】简单复合函数的导数导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：.设 ，，则.18.【答案】解：圆，可化为(x)=+a f ′e x x ≥0(x)≥a +1f ′a ≥−1(x)≥0f ′f (x)[0,+∞)f =f (0)=1>0(x)min a ≥−1a <−1(x)=0f ′x =ln(−a)(x)f ′R f (x)(0,ln(−a))(ln(−a),+∞)f =f (ln(−a))=−a +a ln(−a)(x)min f (x)≥0−a +a ln(−a)≥0ln(−a)≤1−e ≤a <−1a [−e,+∞)[−e,+∞)(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m)2)2O :+=122C :+−6x −8y +m =022∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程【解析】利用圆与圆相切，求出，设，由题知，或，求出的坐标，即可求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．19.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m−−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2m M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M M C C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m)2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m−−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2【答案】由题意，设等差数列的公差为，则，解得，∴＝＝，，由（1），可得＝＝，方案一：选择条件①②设等比数列的公比为，则＝＝＝，＝＝，∴，解得＝，∴＝＝，，方案二：选择条件①③设等比数列的公比为，则＝＝＝，∴＝＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，方案三：选择条件②③设等比数列的公比为，则＝＝＝，即＝，解得＝，或＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，∴＝，∴＝＝，＝，两式相减，可得＝＝……＝＝，∴＝．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】{}a n d a n −5+2×(n −1)5n −3n ∈N ∗b 1a 61{}b n q b 3++a 4a 3a 48+3+58S 3++b 1b 3b 313q 3b n 7⋅3n−18n−1n ∈N ∗{}b n q b 3++a 2a 3a 48+3+56q 29>b n+1b n q >3q 3b n 1⋅8n−13n−8n ∈N ∗{}b n q S 3++b 1b 3b31+q +q 413+q −12q 20q −6q 3>b n+1b n q >4q 3b n 1⋅4n−13n−8n ∈N ∗a n b n (2n −3)⋅6n−1T n ||+||+||+...+||a 1b 6a 2b 2a 3b 3a n b n 1×2+1×3+7×+...+(8n −3)⋅323n−23T n 1×4+1×+...+(2n −5)⋅+(2n −2)⋅387n−13n −2Tn 6+2×+...+2⋅−(2n −3)⋅363n−64n1+2×(++2236+)−(6n −3)⋅3n−13n6+2×−(2n −3)⋅4n−2(n −2)⋅−82n T n (n −2)⋅+47n {}d d（1）先设等差数列的公差为，然后根据已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；（2）先根据第（1）题计算出＝，然后分别根据两个已知条件列出关于公比的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出的前项和．【解答】由题意，设等差数列的公差为，则，解得，∴＝＝，，由（1），可得＝＝，方案一：选择条件①②设等比数列的公比为，则＝＝＝，＝＝，∴，解得＝，∴＝＝，，方案二：选择条件①③设等比数列的公比为，则＝＝＝，∴＝＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，方案三：选择条件②③设等比数列的公比为，则＝＝＝，即＝，解得＝，或＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，∴＝，∴＝＝，＝，两式相减，可得＝＝……＝＝，∴＝．21.{}a n d a 1d a 1d {}a n b 11q q {}b n {}a n b n {||}a n b n n T n {}a n d a n −5+2×(n −1)5n −3n ∈N ∗b 1a 61{}bn q b 3++a 4a 3a 48+3+58S 3++b 1b 3b 313q 3b n 7⋅3n−18n−1n ∈N ∗{}b n q b 3++a 2a 3a 48+3+56q 29>b n+1bn q >3q 3bn 1⋅8n−13n−8n ∈N ∗{}b n q S 3++b 1b 3b 31+q +q 413+q −12q 20q −6q 3>b n+1b n q >4q 3b n 1⋅4n−13n−8n ∈N ∗a n b n (2n −3)⋅6n−1T n ||+||+||+...+||a 1b 6a 2b 2a 3b 3a n b n 1×2+1×3+7×+...+(8n −3)⋅323n−23T n 1×4+1×+...+(2n −5)⋅+(2n −2)⋅387n−13n −2Tn 6+2×+...+2⋅−(2n −3)⋅363n−64n1+2×(++2236+)−(6n −3)⋅3n−13n6+2×−(2n −3)⋅4n−2(n −2)⋅−82n T n (n −2)⋅+47n【答案】（1）证明见解析；（2）【考点】利用导数研究函数的最值已知函数极最值求参数问题【解析】（1）将代入得到的表达式，根据不等式两边的式子，通过构造新函数，对新函数进行求导得到单调区间，进而得出结论．（2）方程有两个不等实根，等价于有两个不等实根，结合导数研究函数单调性的知识，从而求出的取值范围．【解答】（1）方程有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令则①若则有一个零点，不符合题意；②若，由可得令，得，所以在上单调递减，令，得，所以在上单调递增．所以若，即时，无零点，不符合题意；（ī）若，即时，有且只有一个零点，不符合题意；ⅲī若，即时，，又所以在（2）上有一个零点．当时，由（1）得所以令，得，取，因为，所以且，所以，在上有一个零点．⋅a <232a =1f (x)f (x)=x −+(a −1)x −(a −2)ln x =012x 2a f (x)=x −+(a −1)x −(a −2)ln x =012x 2F (x)=−+(a −1)x −(a −2)ln x (x >0)12x 2F (x)=−x +(a −1)−=−a −2x (x −1)[x −(a −2)]x a =2F (x)=−+x 12x 2F (x)=0x =2a <2x >0x −(a −2)>0(x)<0F ′x >1F (x)(1,+∞)(x)>0F ′0<x <1F (x)(0,1)F (x)≤F (1)=a −32(i)a −<032a <32F (x)i a −=032a =32F (x)()a −>032>>v 加v 加v 加F (1)>0F (2)=(a −2)(2−ln 2)<0F (x)0<x <11nx ∵x −1F (x)=−+(a −1)x −(a −2)ln x 12x 2=−+(a −1)x +(2−a)ln x <−+(a −1)x +(2−a)(x −1)12x 212x 2=−+x −(2−a)<x −(2−a)12x 2x −(2−a)<0x <2−a =2−a x 0>>v 加v 加v 加∈(0,)x 012F ()<0x 0F (x)(,1)x 0F (x)(0,+∞)即在上有两个不同的零点．所以实数的取值范围为22.【答案】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，F (x)(0,+∞)α<a <232(1)A(,p)p 2B(,−p)p 2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423(1)A(,p)p 2B(,−p)p 2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2−=(x −)8直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423。

2021届人教A 版第三册高二数学第八章成对数据的统计分析达标检测试题答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由线性相关系数10.78590r =>知x 与y 正相关， 由线性相关系数20.95680r =-<知u 与v 负相关，又12r r <，所以，变量u 与v 的线性相关性比x 与y 的线性相关性强，故选C ． 2．【答案】C【解析】①中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，故①错； ②中，由散点图可得，两相关变量呈正相关，且相关系数可能是0.75r；③中，若相关系数1r =-，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故③错；④中，若相关系数1r =，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故④错， 故选C ． 3．【答案】C【解析】从整体上看这些点大致分布在一条直线的周围，且该回归直线的斜率为正，在y 轴上的截距为负则ˆ0a<，ˆ0b >，故选C ．4．【答案】C【解析】根据散点图，可以看出，三点大致分布在一条“指数”函数曲线附近， 选项A 对应的“直线型”的拟合函数； 选项B 对应的“幂函数型”的拟合函数； 选项D 对应的“对数型”的拟合函数， 故选C ． 5．【答案】D【解析】由题意1617181917.54x +++==，50343111544m my ++++==，所以115 6.417.51514m+=-⨯+，解得41m =，故选D ． 6．【答案】D【解析】由题知：注射疫苗动物共40只，未注射为60只， 补充列联表，未发病 发病 总计 未注射疫苗 20 40 60 注射疫苗 30 10 40 总计5050100由此可得A 、B 正确；计算得22100(20104030)16.6710.82860405050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效，C 正确，D 错误，故选D ． 7．【答案】C【解析】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系，故A 正确；对于B ，令16x =，由0.93690.028516 1.0509y =+=，所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B 正确； 对于C ，非线性回归曲线不一定经过(),x y ，故C 错误； 对于D ，2R 越大，拟合效果越好，故D 正确， 故选C ． 8．【答案】B【解析】根据观测值求解的公式可以知道，当ad 与bc 差距越大，两个变量有关的可能性就越大， 检验四个选项中所给的ad 与bc 的差距： A ：10122ad bc -=-=-； B ：20911ad bc -=-=； C ：15123ad bc -=-=； D ：15123ad bc -=-=，显然B 中ad bc -最大，故答案为B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】ABC【解析】对于选项A ，该学校男生对运动场所满意的概率的估计值为182273=， 故A 正确；对于选项B ，该学校女生对运动场所满意的概率的估计值为823， 而2468243692369=>=，故B 正确； 因为 5.059 5.024k ≈>，有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，故C 正确，D 错误， 故选ABC ． 10．【答案】BD【解析】根据线性相关系数的意义可知，当r 的绝对值越接近于0时， 两个随机变量线性相关性越弱，则A 错误；用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，则B 正确； 拟合效果的好坏是由残差平方和来体现的，残差平方和越大，拟合效果越差， 则C 错误；样本中心点一定在回归直线上，则D 正确， 故选BD ． 11．【答案】ABD【解析】因为某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为y b x a ''=+，所以2b '=，2a '=-， 根据题意得 3.5x =，136y =， 160431*******i ii x y==+++++=∑，62114916253691i i x ==+++++=∑，所以62121665ˆ76i iii i x y xybxx ==-==-∑∑，135716723ˆˆa y bx =-=-⨯=-， 所以ˆbb '<，ˆa a '>，故选ABD ． 12．【答案】BCD 【解析】用113y x =+作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：222221410117(1)(22)(33)(4)(5)3333S =-+-+-+-+-=， 残差和为41011(1)(22)(33)(4)(5)33335-+-+-+-+-=；用1122y x =+作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为： 222222791(11)(22)(3)(44)(5)222S =-+-+-+-+-=，残差和为79(11)(22)(3)(44)(5)022-+-+-+-+-=，21S S <，∴①的残差和大于②的残差和，①的残差平方和大于②的残差平方和，则②的拟合效果更好，故A 错误，B 正确；残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线②拟合效果更好，故D 正确；()11234535y =++++=，()()()()()22222251()132333435310i i y y =-=-+-+-+-+-=∑，①的2723311030R =-=，②的2119211020R =-=，①的2R 小于②的2R ，②拟合效果更好，故C 正确， 故选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】②④【解析】对于①，正方形的边长a 和面积S 是函数关系，不是相关关系； 对于②，一般情况下，一个人的身高h 和右手一拃长x 是正相关关系；对于③，真空中的自由落体运动其下落的距离h 和下落的时间t 是函数关系，不是相关关系；对于④，一般情况下，一个人的身高h 和他的体重x 是正相关关系，故答案为②④．14．【答案】E【解析】由于点E 到回归直线的距离最大，所以去掉点E 后，剩下的5个点对应的相关系数会最大． 15．【答案】95%【解析】由条件可得22⨯列联表：22300(165304560)1004.762 3.841225752109021X ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为使用微信支付与年龄有关，故答案为95%． 16．【答案】ˆ8a =-，可靠 【解析】（1）由题得111213123x ++==，262632283y ++==，所以样本中心点为()12,28，所以ˆ28=312+a⨯，所以ˆ8a =-， 所以ˆ38yx =-． （2）由题得ˆ38yx =-． 12月1日的估计值为ˆ310822y=⨯-=，23221-=，没有超过1； 12月5日的估计值为ˆ38816y=⨯-=，16160-=，没有超过1， 所以求得的线性回归方程可靠．故答案为ˆ8a=-，可靠．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）ˆ0.658.25y x =-+；（2）月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大． 【解析】（1）1(24568)55x =++++=，1(75643)55y =++++=．()()61613iix x y y --=---=-∑，()2919120ix x -=+++=∑，∴13ˆ0.6520b-==-， ˆ50.6558.25a=+⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.658.25yx =-+． （2）依题意得利润2()(0.658.25)(3)0.6510.224.75f x x x x x =-+-=-+-， 当10.27.8520.65x =≈⨯时，()f x 最大，所以月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大．18．【答案】（1）0.04b =，80；（2）表格见解析，能有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．【解析】（1）由已知得()0.0150.03100.85b ++⨯=，解得0.04b =， 又()0.0051010.85a+⨯=-，解得0.01a =，所以评分的平均值为550.05650.1750.3850.4950.1580⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (2）由题意可得，22⨯列联表如下表：因此()22100201535309.091 6.63555455050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴能有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．19．【答案】（1）有；（2）分布列见解析，数学期望为1.5．【解析】（1）由已知，竞赛成绩在[)85,90的学生人数为0.06510030⨯⨯=， 竞赛成绩在[)90,95的学生人数为0.04510020⨯⨯=， 竞赛成绩在[]95,100的学生人数为0.02510010⨯⨯=，所以竞赛成绩不低于85（优秀）的学生人数为60，低于85（非优秀）的学生人数为40．因为成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25， 所以22⨯列联表如下：所以2K 的观测值()21001525352525 4.167505040606k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为4.167 3.841>，所以有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关． （2）由（1）知竞赛成绩在[)85,90的学生人数为30，竞赛成绩在[)90,95的学生人数为20，竞赛成绩在[]95,100的学生人数为10，所以用分层抽样的方法，应分别在竞赛成绩在[)85,90，[)90,95，[]95,100的组内抽3人，2人，1人，所以ξ的可能取值为0，1，2，3，所以()033336C C 10C 20P ξ⋅===，()123336C C 91C 20P ξ⋅===，()213336C C 92C 20P ξ⋅===，()303336C 13C 20C P ξ⋅===， 所以ξ的分布列为所以()19910123 1.520202020E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）ˆ9127=-+y x ；（2）46人；（3）没有97.5%的把握．【解析】（1）由表中数据知，1234535x ++++==，12010510095801005y ++++==，所以122114101500ˆ95545ni ii nii x y nx ybxnx ==--===---∑∑，所以()ˆˆ10093127ay bx =-=--⨯=， 故所求回归直线方程为ˆ9127=-+yx ． （2）由（1）知，令9x =，则ˆ9912746=-⨯+=y人． （3）提出假设0H ：“礼让行人”行为与驾龄无关，由表中数据得2270(24141616)140.311 2.7064030403045⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯K ，根据统计知，没有97.5%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关． 21．【答案】（1）详见解析；（2）252.5吨． 【解析】（1）由题意知，相关系数()()2070.8758iix x y y r --====∑．因为y 与x 的相关系数接近1，所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．（2）由题意可得()()()20120217008.7580iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑， 4000808.752008.7541652020a y bx =-⨯=-⨯==-， 所以8.75165y x =+．当10x =时，8.7510165252.5y =⨯+=，所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨．22．【答案】（1）模型x ty e λ+=的拟合程度更好；（2）（i ）0.180.56ˆx y e +=；（ii ）2021年的研发资金投入量约为26.32亿元．【解析】（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为{}1,i r x 和{}i v 的相关系数为2r ，由题意，()()101130.8715iiu u y y r --===≈∑，()()102120.9213iix x v v r --===≈∑，则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x ty eλ+=的拟合程度更好． （2）（i ）先建立ν关于x 的线性回归方程， 由x ty eλ+=，得ln y t x λ=+，即ln y t x λ=+，()()()101102112ˆ65iii i i x x v v x x λ==--==-∑∑，12ˆˆ 5.36260.5665tv x λ=-=-⨯=， 所以v 关于x 的线性回归方程为ˆ0.180.56vx =+， 所以ˆln 0.180.56yx =+，则0.180.56ˆx y e +=．（ii ）2021年盈利额200y =(亿元)，所以2021年的研发资金投入量约为26.32亿元．。

2022-2023学年全国高二下数学同步练习考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面( )A.若，，则B.若， ，则C.若，，则D.若，，则2. 等于（ ）A.B.C.D.3. 某校成立了舞蹈、机器人和无人机三个兴趣小组，甲、乙、丙名同学均报名参加，三人在不同的小组，且每人只参加一个兴趣小组，对于他们参加兴趣小组的情况，有如下三种猜测，每种猜测都只猜对了一半．第一种：甲参加了舞蹈组，乙参加了机器人组；第二种：丙没参加机器人组，乙参加了舞蹈组；第三种：甲没参加舞蹈组，乙参加了无人机组．则甲、乙、丙三名同学分别参加的是（ ）A.机器人组、舞蹈组和无人机组B.无人机组、机器人组和舞蹈组C.舞蹈组、无人机组和机器人组D.机器人组、无人机组和舞蹈组4. 若，是两条不同的直线，，是三个不同的平面，则下列判断中正确的是（ ）．m n αβm//αn//αm//nm//αm//βα//βm//n m ⊥αn ⊥αm//αα⊥βm ⊥β+C 512C 612C 513C 613C 1113A 712m n α,βγm ⊂βα⊥βA.若，，则B.若 ， ，则C.若，，则D.若，，则5. 如图，正方体 的棱长为，，分别是线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（ ）A. 存在某个位置，使 B. 存在某个位置，，使面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等6. 在正方体中，为的中点，为的中点，平面过顶点，且平面，平面，平面平面，则直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.7. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申，乙酉，丙戌，…，癸巳，…，共得到个组成，周而复始，循环记录，年是“干支纪年法”中的甲午年，那么年是“干支纪年法”中的（ ）A.乙亥年m ⊂βα⊥βm ⊥αm ⊥βm//αα⊥βα⊥γα⊥ββ//γm//αα//βm//βABCD −A 1B 1C 1D 11E F C A 1B 1C 1EF =32E ，F BE ⊥DFE F EF//BC A 1D 1−BEF B 1△AEF △BEF ABCD −A 1B 1C 1D 1P BC Q CC 1αC α//APQ α∩ABCD =m APQ∩AD =n D 1A 1m n −10−−√1010−−√103–√10−3–√1060201420208. 现有份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得一份，则不同的分法共有（ ）A.种B.种C.种D.种9. 一个正方形花圃，被分为份、、、、，种植红、黄、蓝、绿种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的种植方法有( )A. 种B. 种C.种D.种10. 现有个红球、个黄球、个白球，个黑球，同色球不加区分，将这个球排成一列，有多少种不同的方法（ ）A.B.C.D.11. 高三（）班某天安排节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节．若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ）A.种4101420285A B C D E 42448849622331024000252002560026540264212. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 A.种B.种C.种D.种卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 计算的值为________．14. 有个座位连成一排，人就坐，要求恰有两个空位相邻且甲乙两人不坐在相邻座位，则不同的坐法有________种（用数字作答）．15. 为庆祝中国共产党成立周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部个班级分别去个革命老区开展研学游，每个班级只去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）.16. 张，王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为________．（数字作答）三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17. 从名男生和名女生中选人担任个不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数.女生必须少于男生；女生甲担任语文课代表.18. 在三棱锥中，平面为的中点.APP ()192240432528+C 36C 2674100103135355(1)(2)P 一ABC PA ⊥ABC,AB =AC,M ，N BC ，AB求证：平面；求证：平面平面 19. 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．求证：；若，求二面角的余弦值．(1)MN//PAC (2)PBC ⊥PAM.ABC −A 1B 1C 1ACC 1A 1CBB 1C 1∠AC =∠C =C 1C 1B 160∘AC =2(1)A ⊥C B 1C 1(2)A =B 16–√C −A −B 1A 1参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】．根据线面平行的性质进行判断．．根据线面平行的性质和面面平行的判定定理进行判断．．利用线面垂直和直线平行的性质进行判断．．利用线面垂直和面面垂直的性质进行判断．【解答】解：，同时平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，也可能是异面直线，故错误；，同时平行于同条直线的两个平面，不一定平行，可能相交，故错误；，若，，则根据直线平行的性质可知，成立，故正确；，当，，则不一定成立，可能相交，可能平行，故错误．故选．2.【答案】B【考点】组合及组合数公式【解析】由组合数的性质可得答案．【解答】解：由组合数的性质可得，故选：．3.【答案】BA B C D A A B B C m//n m ⊥αn ⊥αC D m//αα⊥βm ⊥βD C +=C 512C 612C 613B进行简单的合情推理【解析】按第一种猜测，若甲参加了舞蹈组，则可以得到乙参加了无人机组，丙参加了机器人组，不满足第二种假设，若甲参加了无人机组，乙参加了机器人组，丙参加了舞蹈组，则三种假设全满足，问题得以解决．【解答】若甲参加了舞蹈组，乙参加了无人机组，丙参加了机器人组，则不满足第二种猜想，若甲参加了无人机组，乙参加了机器人组，丙参加了舞蹈组，则三种假设全满足，4.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】对选项，，举出反例，得到结论不成立，对于选项，通过面面垂直的判断定理即可论证【解答】解：，，，则与的关系有三种，即，或与相交，故选项错误；，，，则内存在与平行的直线与垂直，则 ，故选项正确；，若 ，，则与相交或平行，故选项错误；，若，，则有可能，故选项 错误；故选.5.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系异面直线及其所成的角A C DB A m ⊂βα⊥βm αm//αm ⊂αm αA B m ⊥βm//ααm βα⊥βBC α⊥γα⊥ββγCD m//αα//βm ⊂βD B此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角余弦定理【解析】由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，利用余弦定理求解即可.【解答】解：由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，则，，，在中，，即直线与所成角的余弦值为．故选．7.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】根据天干地支的纪年方法，经过了年，可以推算出年是庚子年．【解答】从年到年，总共经过了年，所以天干中的甲变为子，地支中的午变为子，即年是“干支纪年法”中的庚子年．8.m n AP PQ 2m n AP PQ 2AP =5–√PQ =2–√AQ =3△APQ cos ∠APQ ==−5+2−92××5–√2–√10−−√10m n 10−−√10B 620202014202062020B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：解：根据题意，假设个人为甲和乙，分种情况讨论：①、甲份而乙份，有种安排方法；②、甲乙各份，有种安排方法；③、甲份而乙份，有种安排方法；则一共有种分配方案；9.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】区域、、两两相邻，共有种不同的种植方法，讨论区域与区域种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果【解答】解：区域、、两两相邻，共有种不同的种植方法，当区域与区域种植相同颜色的花时，种植、有种不同的种植方法，当区域与区域种植不同颜色的花时，种植、有种不同的种植方法，∴不同的种植方法有种，故选.10.【答案】B【考点】2313=4C 142=6C 2431=4C 344+6+4=14A C D =24A 34E A A C D =24A 34E A B E 1×2=2E A B E 2×1=2×(2+2)=96A 34D排列、组合及简单计数问题【解析】10．第一步，从个位置中选出个位置，分给相同的红球，有种选法；第二步，从剩余的个位置中选出个位置，分给相同的黄球，有种选法；第三步，从剩下的个位置选出个分给个白球，有种选法，余下个位置给黑球．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有（种）【解答】B 11.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则课程编排方案共有种．故选．12.【答案】C【考点】排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：若“阅读文章”与“视听学习”相邻，则有种可能；若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题板块，则有种可能，故共有种可能.故选.B 102C 21082C 28633C 363=25200C 210C 28C 36C =12012A 25A 25C ×=240A 22A 55××=192A 22C 14A 44432C二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】组合及组合数公式【解析】直接展开组合数公式计算．【解答】解：．故答案为．14.【答案】【考点】分步乘法计数原理【解析】先将个人排好，将个空位看成一组与另一个空位插入前个人形成的个空位中，共有种方法．再减去其中甲乙相邻的排法，共计种，即得所求．【解答】解：先将个人排好，有种，将个空位看成一组与另一个空位插入前个人形成的个空位中，共有种方法．再除去甲乙相邻的情况：把甲乙看成一组，与另外个人排列，再把空位插入，方法有种．故满足条件的排法有种，故答案为：．15.【答案】【考点】35+=+=+=35C 36C 266!3!⋅3!6!2!⋅4!6×5×43×26×523533642455×4×A 44⋅×4×3A 22A 334A 442455×4×A 442⋅×4×3A 22A 335×4×−⋅×4×3=336A 44A 22A 3333612600排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】无【解答】解：由题意，个班级分别去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，分成组有，再把组分到三个革命老区有种，所以共有种.故答案为：．16.【答案】【考点】排列、组合的应用计数原理的应用【解析】根据题意，分步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：分步进行分析：①，先分派两位爸爸，必须一首一尾，有种排法，②，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有种排法，③，将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有种排法，则共有种排法.故答案为：．三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.【答案】解：先从名学生中任选名，共有种选法，其中女生比男生多的情况有：选名男生和名女生，共有种选法，10333==2100C 310C 37C 44A 22×10×9×83×2×17×6×53×2×12×13=3×2×1=6A 332100×6=12600126002433=2A 22=2A 22=6A 332×2×6=2424(1)85C 5823⋅C 25C 33(−⋅)523所以女生少于男生的选法为，再让选出的名学生分别担任门不同学科的课代表，有种，由分步乘法计数原理和，共有种不同的方法.从剩余人中选出人分别担任另门不同学科的课代表，共有种不同的方法.【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：先从名学生中任选名，共有种选法，其中女生比男生多的情况有：选名男生和名女生，共有种选法，所以女生少于男生的选法为，再让选出的名学生分别担任门不同学科的课代表，有种，由分步乘法计数原理得，共有种不同的方法.从剩余人中选出人分别担任另门不同学科的课代表，共有种不同的方法.18.【答案】证明：因为分别为的中点，所以，因为平面，平面平面因为平面，平面，所以.因为，为的中点，所以因为，所以平面.因为平面,所以平面平面【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】(−⋅)C 58C 25C 3355A 55(−⋅)⋅=5520C 58C 25C 33A 55(2)744⋅=840C 47A 44(1)85C 5823⋅C 25C 33(−⋅)C 58C 25C 3355A 55(−⋅)⋅=5520C 58C 25C 33A 55(2)744⋅=840C 47A 44(1)M ，N BC ，AB MN//AC MN ⊂PAC AC ⊂PAC ，∴MN//PAC.(2)PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA ⊥BC AB =AC M BC AM ⊥BC.AM ∩PA =A BC ⊥PAM BC ⊂PBC PBC ⊥PAM.此题暂无解析【解答】证明：因为分别为的中点，所以，因为平面，平面平面因为平面，平面，所以.因为，为的中点，所以因为，所以平面.因为平面,所以平面平面19.【答案】证明：连接，，则和皆为正三角形．取中点，连，，则，，则平面，则；解：由知，，又，所以．以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，因为，，所以取，设平面的法向量为，因为，，所以取，则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．(1)M ，N BC ，AB MN//AC MN ⊂PAC AC ⊂PAC ，∴MN//PAC.(2)PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA ⊥BC AB =AC M BC AM ⊥BC.AM ∩PA =A BC ⊥PAM BC ⊂PBC PBC ⊥PAM.(1)AC1CB1△ACC 1△C B 1C 1CC 1O OA OB1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C1B 1(2)(1)OA =O =B 13–√A =B 16–√OA ⊥OB 1OB 1OC 1OA C(0,−1,0)(,0,0)B 13–√A(0,0,)3–√CAB 1=(,,)m →x 1y 1z 1=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,−1,−)AC −→−3–√{+0×−=0，3–√x 1y 13–√z 10×−1×−=0，x 1y 13–√z 1=(1,−,1)m →3–√A A 1B 1=(,,)n →x 2y 2z 2=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,2,0)AA 1−→−{+0×−=0，3–√x 2y 23–√z 20×−1×−0×=0，x 2y 2z 2=(1,0,1)n →cos <，>===m →n →⋅m →n →||||m →n →2×5–√2–√10−−√5C −A −B 1A 1C −A −B 1A 1−10−−√5【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）证明：连，，证明，，得到平面，即可证明．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，求出，，，求出平面的法向量，平面的法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值．【解答】证明：连接，，则和皆为正三角形．取中点，连，，则，，则平面，则；解：由知，，又，所以．以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，因为，，所以取，设平面的法向量为，因为，，所以取，则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．AC 1CB 1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C 1B 1OB 1OC 1OA C B 1A CAB 1m →A A 1B 1n →C −A −B 1A 1(1)AC 1CB 1△ACC 1△C B 1C 1CC 1O OA OB 1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C 1B 1(2)(1)OA =O =B 13–√A =B 16–√OA ⊥OB 1OB 1OC 1OA C(0,−1,0)(,0,0)B 13–√A(0,0,)3–√CAB 1=(,,)m →x 1y 1z 1=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,−1,−)AC −→−3–√{+0×−=0，3–√x 1y 13–√z 10×−1×−=0，x 1y 13–√z 1=(1,−,1)m →3–√A A 1B 1=(,,)n →x 2y 2z 2=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,2,0)AA 1−→−{+0×−=0，3–√x 2y 23–√z 20×−1×−0×=0，x 2y 2z 2=(1,0,1)n →cos <，>===m →n →⋅m →n →||||m →n →2×5–√2–√10−−√5C −A −B 1A 1C −A −B 1A 1−10−−√5。

第八章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a 都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图8-7-1所示，若G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④3．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列表述：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥；③若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，则n 与α相交；④若m αβ=I ，m n ∥，且n α⊄，n β⊄，则n α∥且n β∥．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图8-7-2，在正三棱锥S ABC -中，异面直线SA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π5．如图8-7-3，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是（ ） A ．5B ．10C ．20D ．406．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（ ） ①DF ∥平面11D EB ；②异面直线DF 与1B C 所成角为60°； ③1ED 与平面1B DC 垂直； ④1112F CDB V -=． A ．0B ．1C ．2D ．37．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是AB ，1BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．2 C D ．138．如图8-7-4，直角梯形ABCD ，满足AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时，其表面积为（ ）A ．(12 B ．(12C ．(12D ．(129．在四面体ABCD 中，已知2AB AC CD ===，BC =，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的体积为（ ）A ．16πB ．12πC ．D ．6π10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧面PBC 两两互相垂直，且::PA PB PC =设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21=V V （ ）AB ．6πC ．3πD ．83π 12．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ＜，αγ＜B ．βα＜，βγ＜C ．βα＜，γα＜D ．αβ＜，γβ＜二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②m α∥；③l α⊥以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．14．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为________（相同质量的冰与水的体积比为10：9）15．如图8-7-5，1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，则1A B 与平面11D B BD 所成的角为________．16．如图8-7-6，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB △，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA ，OB 重合，则折叠后以A （B ），C ，D ，O 为顶点的四面体的体积为________． 三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．18．（12分）如图8-7-7，在三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点． （1）求证：直线1BC ∥平面1A CD ．（2）若12AB BB ==，E 是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积．19．（12分）如图8-7-8所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M ，N 分别是1A B ，11B C 的中点．（1）求证：MN ⊥平面1A BC ．（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成的角的大小．20．（12分）如图8-7-9所示，已知多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 为矩形，AB EF ∥，AF BF ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，O ，M 分别为AB ，FC 的中点． （1）求证：AF FC ⊥． （2）求证：OM ∥平面DAF ．（3）若过EF 的平面交BC 于点G ，交AD 于点H ，求证：EF GH ∥．21．（12分）某部门建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ，该部门拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是底面直径比原来增加4 m （高不变）；二是高度增加4 m （底面直径不变）． （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积． （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积． （3）哪个方案更经济些？为什么？22．（12分）如图8-7-10，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ．E ，M 分别为线段AB ，PD 的中点． （1）求证：PE ⊥平面ABCD ． （2）求证：PB ∥平面ACM ．（3）在棱CD 上是否存在点G ，使平面MAG ⊥平面ABCD ，请说明理由．第八章综合测试 答案解析一、 1.【答案】A【解析】①中，空间三点共线时不能确定一个平面；②中，点在直线上时不能确定一个平面；③中，两直线可能是异面直线，不只确定一个平面；④中，三条直线交于一点时可能确定三个平面。

第八章测评(时间:120分钟满分：150分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。

如图所示,△A’O’B'表示水平放置的△AOB的直观图,B’在x’轴上,A'O’与x’轴垂直,且A’O’=2,则△AOB的边OB上的高为（）A.2B.4 C。

2 D.4△AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=2S直观图,所以×OB×h=2×O’B'×2,又OB=O’B'，所以h=4.2。

如图，一圆锥的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（）A。

B.C。

πD。

π,此扇形的半径R=4，设其弧长为l,侧面积为扇形的面积，所以扇形的面积S1=Rl=4π，解得弧长l=2π,所以圆锥的底面周长为2π，由此可知底面半径r=1,所以底面面积为S=π,圆锥的高为h=，故圆锥的体积V=Sh=π.3。

在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1，M为AC的中点,沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为()A。

30°B。

60°C.90°D.120°,由A'B=BC=1，∠A’BC=90°知A'C=.∵M为A’C的中点，∴MC=AM=，且CM⊥BM,AM⊥BM,∴∠CMA为二面角C-BM—A的平面角。

∵AC=1，MC=MA=，∴∠CMA=90°,故选C。

4.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5,CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为(）A.(60+4)πB。

（60+8）πC.(56+8）πD。

(56+4)πABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π+π（r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×（2+5)×5+π×2×2=（60+4）π.故选A.5。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二数学同步测试 时间：100分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题6分。

每道小题中都只有一个正确答案，请填在答题卷上）1．△ABC 中, a = 1， b =3，A=30°，则B 等于 ( ) A ．60° B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，则a 等于 ( ) A ．221 B ．6 C ．221或6 D ．23615+3．已知{}n a 是等比数列，22=a ，415=a ，则公比q = ( ) A ． 21- B ．2- C ．2 D ．214．如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．355．△ABC 中，A 、B 的对边分别为a 、b ，5=a ，4=b ，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定6.若△ABC 的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.7．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且132+=n n T S n n ，则55b a（ ） A ．32 B ．149 C ．3120 D ．978．设{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 （ ）A ．1B ．2C ．2±D ．49．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为 （ ）Am 3400 Bm 33400 Cm 33200 D m 320010. 在数列{}n a 中，411-=a ，111--=n n a a )1(>n ，则2011a 的值为 （ ）A ．41- B. 5 C.54D.以上都不对二、填空题：（本大题共4道小题，每小题5分。

第八章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C. 2 倍 D ．2倍答案 D解析 设等边圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由已知得l ＝2r ，所以S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr＝2. 2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为( )A.4π3 B ．3πC.3π2D ．π答案 C解析 由三视图知，如图，此四面体的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32.所以球的体积为V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2. 3．如图所示是古希腊数学家阿基米德墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，1B.23，1C.32，32D.23，32 答案 C解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R . ∵V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR3＝32. ∵S 圆柱表面积＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球表面积＝4πR 2， ∴S 圆柱表面积S 球表面积＝6πR 24πR 2＝32. 4．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.143 B.173 C.203D ．8 答案 B解析 由三视图，知该几何体的直观图是如图所示的多面体B 1C 1D 1－BCDFE ，该多面体可补全为棱长为2的正方体，其中E ，F 分别为AB ，AD 的中点，多面体AEF －A 1B 1D 1为棱台，棱台高为2，上、下底面均为等腰直角三角形．则该几何体的体积是2×2×2－13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋2×12＝8－73＝173，故选B.5．用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A ′B ′C ′.已知点O ′是斜边B ′C ′的中点，且A ′O ′＝1，则△ABC 的边BC 上的高为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．2 2 答案 D解析 ∵△ABC 的直观图是等腰直角三角形A ′B ′C ′，∠B ′A ′C ′＝90°，A ′O ′＝1，∴A ′C ′＝ 2.根据直观图平行于y 轴的长度变为原来的一半，∴△ABC 的BC 边上的高为AC ＝2A ′C ′＝2 2.故选D.6．E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 四条边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EG 与FH 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．重合 答案 C解析 如图所示，连接BD ，EF ，FG ，GH ，HE ，EG ，HF ，由E ，F ，G ，H 是空间四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，有EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，EG 与FH 是对角线，故选C.7．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有且只有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的顶角为120°的圆锥的母线所在的直线，当BC与l平行时，直线AC，AB都满足条件．故选B.8．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线答案 C解析垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故D错误；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故C正确．9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 C解析本题可借助正方体模型求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角．在△A1BD1中，A1B＝A1D1＝BD1，所以BA1与BD1所成的角为60°.10．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案 C解析 如图，取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE . ∵AC ＝2，其余各棱长都为1， ∴BF ⊥CD ，AD ⊥CD ，∴EF ⊥CD . ∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角． ∵EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2.∴∠BEF ＝90°，∴cos ∠BFE ＝EFBF ＝33. 11．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )答案 A解析解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A.12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F 在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是( )A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N－ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF答案 C解析连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF.由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错误；若在A1C1上存在点N，则V N－ADF＝V D－AFN，当N与C1重合时，V D－AFN取最小值为36，故B错误；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又AD⊥平面CB1，CM⊂平面CB1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确．过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错误．故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．答案CD∥EF解析因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.14．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.答案 ①③④⇒②(或②③④⇒①)解析 ∵α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m ⊥n ，③n ⊥β，则m ∥β.又④m ⊥α，∴②α⊥β.即①③④⇒②.若②α⊥β，③n ⊥β，则n ∥α，又④m ⊥α，∴①m ⊥n .即②③④⇒①.15．若一个圆台的轴截面是腰长为a 的等腰梯形，下底边长为2a ，对角线长为3a ，则这个圆台的体积为________．答案7324πa 3解析 圆台的轴截面如图，由AD ＝a ，AB ＝2a ，BD ＝3a ，可知∠ADB ＝90°，∠DAB ＝60°.分别过点D ，C 作DH ⊥AB ，CG ⊥AB ，则DH ＝32a ，所以HB ＝BD 2－DH 2＝3a 2－34a 2＝32a ，所以DC ＝HG ＝a ，所以圆台的体积为V ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋12a 2＋a 2·32a ＝7324πa 3. 16．把由折线y ＝|x |和y ＝2围成的图形绕x 轴旋转360°，所得旋转体的体积为________． 答案32π3解析 由题意，y ＝|x |和y ＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×π3×22×2＝16π3，∴所求几何体的体积为16π－16π3＝32π3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50 cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm.现有制作这种纸篓的塑料制品50 m 2，问最多可以做这种纸篓多少个？解 根据题意可知，纸篓底面圆的半径r ′＝15 cm ，上口的半径r ＝20 cm ，母线长l ＝50 cm ，则纸篓的表面积S ＝πr ′2＋(2πr ′＋2πr )l 2＝π(r ′2＋r ′l ＋rl )＝π(152＋15×50＋20×50)＝1975π(cm 2)．因为50 m 2＝500000 cm 2，故最多可以制作这种纸篓的个数n ＝500000S≈80.18．(本小题满分12分)已知正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面内的正投影为底面的中心)S －ABC ，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm ，底面边长为12 cm ，内接正三棱柱的侧面积为120 cm 2.(1)求三棱柱的高；(2)求棱柱上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比． 解 (1)设正三棱柱的高为h cm ，底面边长为x cm ，如图，则15－h 15＝x12， ∴x ＝45(15－h )．①又S 三棱柱侧＝3x ·h ＝120， ∴xh ＝40.②解①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，h ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，h ＝5.故正三棱柱的高为10 cm 或5 cm. (2)由棱锥的性质，得S 三棱锥S －A 1B 1C 1侧S 三棱锥S －ABC 侧＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－10152＝19或S 三棱锥S －A 1B 1C 1侧S 三棱锥S －ABC 侧＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－5152＝49.19．(本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 在AD 1上移动，点N 在BD 上移动，D 1M ＝DN ＝a (0<a <2)，连接MN .(1)证明：对任意a ∈(0，2)，总有MN ∥平面DCC 1D 1；(2)当a 为何值时，MN 的长度最小？解 (1)证明：如图，作MP ∥AD ，交DD 1于点P ，作NQ ∥BC ，交DC 于点Q ，连接PQ .由题意得MP ∥NQ ，且MP ＝NQ ，则四边形MNQP 为平行四边形．∴MN ∥PQ . 又PQ ⊂平面DCC 1D 1，MN ⊄平面DCC 1D 1，∴MN ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)知四边形MNQP 为平行四边形，∴MN ＝PQ .∵DD 1＝AD ＝DC ＝BC ＝1，∴AD 1＝BD ＝ 2.∵D 1M ＝DN ＝a ，∴D 1P 1＝a 2，DQ 1＝a 2. 即D 1P ＝DQ ＝a2，∴MN ＝PQ ＝(1－D 1P )2＋DQ 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12(0<a <2)． 故当a ＝22时，MN 的长度有最小值，为22. 即当M ，N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长度最小，此时MN 的长度为22. 20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值．解(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.所以AE⊥平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥BB1，且DE＝BB1，从而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，所以平面AA1DE⊥BB1C1C，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，得EA＝EB＝ 2.又A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.21．(本小题满分12分)如图，△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，若A1D＝5，A1A2＝4，沿△BCD三边分别将△A1BD，△A2BC，△A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后记为A.(1)求证：AB⊥CD；(2)求平面BCD与平面ACD所成二面角的正切值．解在题图中，由A1，A2，A3三点可重合知A1B＝A2B＝2，A1D＝A3D＝5，A2C＝A3C.作DF⊥A2A3于点F，则FA3＝3⇒A3C＝A2C＝4.(1)证明：折叠后的图形如图所示，∵AB⊥AD，AB⊥AC，AD∩AC＝A，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.(2)作AE⊥CD于点E，连接BE.∵AB⊥CD，AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥BE，则∠AEB 为平面BCD 与平面ACD 所成二面角的平面角． 在△ACD 中，AE ＝DF ·AC CD ＝161717， ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AE ，∴tan ∠AEB ＝AB AE ＝178. 22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)点D 在边A 1C 1上且C 1D ＝13C 1A 1，证明在线段BB 1上存在点E ，使DE ∥平面ABC 1，并求此时BE BB 1的值． 解 (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴四边形ACC 1A 1是矩形．∵AA 1＝AC ，∴AC 1⊥A 1C .又BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1.∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1.(2)当BE BB 1＝13时，DE ∥平面ABC 1， 如图，在A 1A 上取点F ，使AF AA 1＝13， 连接EF ，FD .∵C 1D C 1A 1＝AF AA 1＝BE BB 1＝13， ∴EF ∥AB ，DF ∥AC 1.∵AB ∩AC 1＝A ，EF ∩DF ＝F ，∴平面EFD∥平面ABC1，∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面ABC1.。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年新疆高中数学人教A 版 必修二第九章 统计同步测试(8)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）甲得分的极差是11甲的单场平均得分比乙低甲有3场比赛的单场得分超过20乙得分的中位数是16.51. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 总体上，今年国庆长假期间客运站的客流比去年有所增长10月3日、4日的客流量比去年增长较多10月6日的客运量最小10月7日，同比去年客流量有所下滑2. 是今年国庆中秋长假期间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图.根据图中的信息，以下结论中不正确的是（ ）A. B. C. D. 81516183. 若样本数据 的标准差为8，则数据 的标准差为（ ）A. B. C. D. 4. 某工厂从一批产品中抽取一个容量为 的样本，根据样本数据分成，，，，五组，得到1503006001200频率分布直方图如图所示．若样本数据落在内的个数是66，则（）A. B. C. D. 2.5吨3吨 3.5吨4吨5. 为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照，…，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准 .使的居民用水量不超过，按平价收水费，超出的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准的是（）A. B. C. D. 91018206. 在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（ ）．A. B. C. D. 1人2人3人4人7. 某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A 班培训，低于130分的人到B 班培训，如果用分层抽样的方法从到A 班的人和到B 班的人中共选取5人，则5人中到A 班的有（）A. B. C. D. 81012158. 某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是（ ）A. B. C. D. 9. 利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）841114014146A. B. C. D. 60809010010. 某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区2000名男性居民和1600名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为180的样本，则应从女性居民中抽取的人数为（ ）A. B. C. D. 两组样本数据的样本标准差相同两组样本数据的样本中位数相同两组样本数据的样本平均数相同两组样本数据的样本众数相同11. 有一组样本数据 ，， …，， 由这组数据得到新样本数据，， …，， 其中（， 2，…，n），则（ ）A. B. C. D. 平均数、中位数、众数刻画了一组数据的集中趋势平均数、中位数、众数一定出现在原数据中极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致12. 数据的信息除了通过各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差这些统计量反映了数据的集中趋势或离散程度，下列表述不正确的是（ ）A. B. C. D. 13. 某企业三月中旬生产， 、 、 三种产品共 件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作如下的统计表格：产品类别产品数量（件） 样本容量（件）由于不小心，表格中 、 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 产品的样本容量比 产品的样本容量多，根据以上信息，可得 的产品数量是 件．14. 已知样本数据 ，…， 的平均数为5，方差为3，另一组样本数据 ，…， 的平均数为10，方差为4，则样本数据 ，…，，，…，的方差为 .15. 为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量（单位：克）如下：495 500 503 508 498 500 493 500 503 500质量落在区间[ ﹣s ， +s]（ 表示质量的平均值，s 为标准差）内的产品件数为 ．16. 用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是17. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（Ⅰ）记A表示时间“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.0500.0100.001K 3.841 6.63510.828K2= ．18. 一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示，将月用电量落入该区间的频率作为概率．若每月用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元．若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元．记X（单位：度，25≤X≤325）为该用户下个月的用电量，T（单位：元）为下个月所缴纳的电费．(1) 估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2) 将T表示为X的函数；(3) 根据直方图估计下个月所缴纳的电费T∈[37.5，115）的概率．19. 某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：出行方式步行骑行自驾公共交通比例5%25%30%40%同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如图所示：(1) 求m的值和这1200名乘客年龄的50%分位数；(2) 用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X的分布列和数学期望．20. 为了估计某校的一次数学考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在[40，10 0）上，将这些成绩分成六段[40，50），[50，60）…[90，100），后得到如图所示部分频率分布直方图．(1) 求抽出的60名学生中分数在[70，80）内的人数；(2) 若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校优秀人数．(3) 根据频率分布直方图算出样本数据的中位数．21. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用 (基准保费)统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费是与上一年度车辆发生道路交通安全违法行为或者道路交通事故的情况相联系的.交强险第二年价格计算公式具体如下：交强险最终保费基准保费（浮动比率 ).发生交通事故的次数越多，出险次数的就越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，为此搜集并整理了100辆这一品牌普通6座以下私家车一年内的出险次数，得到下面的柱状图：已知小明家里有一辆该品牌普通6座以下私家车且需要续保，续保费用为元.(1) 记为事件“ ”，求的估计值；(2) 求的平均估计值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)。