2012年高考真题汇编理科数学(解析版)7：立体几何

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何一、选择题错误！未指定书签。

．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上,A B C ∆是边长为1的正三角形,S C 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）A．6B．6C．3D．2错误！未指定书签。

．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．18错误！未指定书签。

．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直错误！未指定书签。

．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为和a ,且长为a 的棱异面,则a 的取值范围是 （ ）A ．(0,B ．(0,C ．D ．错误！未指定书签。

．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径C D 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A ．arccos 4R B ．4Rπ C ．arccos3R D ．3Rπ错误！未指定书签。

．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行错误！未指定书签。

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2， 0, 0），C (2, 22,0），E (1， 2， 1）,)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ,θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二］取PB 中点F ,连接EF 、AF ，则EF ∥BC ,从而∠AEF （或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π。

因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1）1111224ABC S ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC-的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ，所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 252.解析:(1)证法一 如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ，则,,b c n 共面，根据平面向量基本定理，存在实数,λμ使得c b n λμ=+ABCD P EF则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥，所以0a b ⋅= 又因为aπ,n π⊥，所以0a n ⋅=故0a c ⋅=，从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO π⊥，垂足为O ，则O c ∈ ∵PO π⊥，a π，∴直线PO a ⊥又a b ⊥，b平面PAO ,POb P =∴a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，∴a c ⊥（2）逆命题:a 是平面π内一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a c ⊥，则a b ⊥. 逆命题为真命题. 3. 解析：（Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==，在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面AED ，⊂AE 平面AED ，且A AE AD = ，故BD⊥平面AED ； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ，建立如图所示的空间直角坐标系，)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ，向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ，则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.zx y5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ，而二面角F —BD —C 的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ，连接1,CG FG ，由于CB CD =，因此CG BD ⊥， 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥，所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=︒，因为12CG CB=,又CB CF=，所以225GF CG CF CG =+=，故5cos 5FGC ∠=，因此二面角F BD C --的余弦值为55。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5-3 （B ）5-9 (C) 59 (D)53【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅱ卷 注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯=•=BC AB BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种 （3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解析】选C ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

1. 如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。

【答案】-2 -2. 如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=（如图2所示）． （Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在 棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．第19题图【答案】（Ⅰ）同解法1，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+． 令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<．所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==． 于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1(,1,0)2E ，且(1,1,1)BM =-．设(0,,0)N λ，则1(,1,0)2EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=，即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N . 所以当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥．DABCACDB图2图1 M E. ·设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =-，得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n ． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =--，(1,2,1)=-n ，可得|sin cos(90)||||EN EN θθ-⋅=-===⋅n n 60θ=．故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.3. 如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，平面PAB ⊥平面ABC 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。

在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。

（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。

在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。

2012高考真题分类汇编数 学 文—立体几何一、选择题 1．【2012高考新课标文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B【解析】选B 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B ． 2．【2012高考新课标文8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π【答案】B【解析】球半径3)2(12=+=r ，所以球的体积为ππ34)3(343=⨯，选B ．3．【2012高考全国文8】已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，2AB =，1CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B （C （D ）1 【答案】D【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离．因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选D ．4．【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）【答案】B ．【解析】根据．空间几何体的三视图的概念易知左视图1AD 是实线C B 1是虚线，故选B ． 5．【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．112B ．5C ．4D ．92【答案】D【解析】由三视图可知这是一个高为1的直六棱柱。

底面为六边形的面积为421231=⨯⨯+）（，所以直六棱柱的体积为414=⨯，选D ． 易错提示：本题容易把底面六边形看成是边长为1的正六边形，其实只有上下两个边长是1． 6．【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不．可能．．是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．是近年来热点题型．7．【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72π B． 48π C ． 30πD ． 24π 【答案】C【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积图1正视图 俯视图侧视图2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体．8．【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A ． 球B ． 三棱锥C ． 正方体D ． 圆柱 【答案】D ．【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形．可以排除ABC ，故选Ｄ．9．【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a 且长为a 的棱的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ）（C ）（D ）(1【答案】A 【解析】因为22211)22(12=-=-=BE 则BE BF <，222=<=BE BF AB ，选A ，10．【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A ． 1cm 3B ． 2cm 3C ． 3cm 3D ． 6cm 3 【答案】C【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为11123132⨯⨯⨯⨯=． 11．【2012高考浙江文5】 设l 是直线，a ，β是两个不同的平面 A ． 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥β B ． 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β C ． 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥β D ． 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β．如选项A ：l ∥a ，l ∥β时，a ⊥β或a ∥β；选项C ：若a ⊥β，l ⊥a ，l ∥β或l β⊂；选项D ：若若a ⊥β, l ⊥a ，l ∥β或l ⊥β．12．【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C【解析】A ．两直线可能平行，相交，异面故A 不正确；B ．两平面平行或相交；C ．正确；D ．这两个平面平行或相交． 13．【2012高考四川文10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A ．arccos4R B ．4Rπ C ．arccos3R D ．3Rπ【答案】A【解析】根据题意，易知平面AOB ⊥平面CBD,BOP AOB AOP ∠⋅∠=∠∴cos cos cos422122=⋅=,42arccos =∠∴AOP ，由弧长公式易得，A 、P 两点间的球面距离为arccos4R 14．【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+（B ）30+（C ）56+（D ）60+【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。

2012年高考真题数学试题（理）解答题汇编--立体几何（18）（2012安徽理科卷）（本小题满分12分）平面图形111ABB AC C 如图4所示，其中11BB C C 是矩形，12,4BC BB ==，AB AC ==，1111A B A C ==BC 和11B C 折叠，使ABC ∆与111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答 下列问题。

（Ⅰ）证明：1AA BC ⊥； （Ⅱ）求1AA 的长； （Ⅲ）求二面角1A BC A --的余弦值。

16．(2012北京卷理)（本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2. (I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小； (III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由1. （2012福建卷理科）（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点。

（Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若二面角11A A B A --的大小为030，求AB 的长。

18．（2012广东卷理科）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若1AD=，求二面角B PC APA=，2--的正切值．19.（2012湖北卷理科）（本小题满分12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC 上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC 的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小18. （2012湖南卷理科）（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点. （Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积.(18) (2012辽宁卷理科) (本小题满分12分)如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠= ，/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224cPF F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

绝密(ju ém ì)*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合；,则中所含元素的个数为（ ）【解析】选，，，共10个（2）将名教师，名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 种 ()B 种 ()C 种()D 8种【解析】选甲地由1名教师和2名学生：种（3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）的共轭复数为的虚部为()A ()B ()C ()D【解析】选，22:2p z i =，3:p z 的共轭复数(ɡòn ɡ è f ù sh ù)为，4:p z 的虚部为1-（4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）()A ()B ()C()D【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形（5）已知为等比数列，，，则（ ）()A ()B()C ()D【解析】选D472a a +=，或（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（ ）()A 为12,,...,n a a a 的和()B 为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格(w ǎn ɡ ɡé)纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B ()C ()D【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在轴上，C 与抛物线的准线交于,A B两点，；则C 的实轴长为（ ）()A ()B()C ()D 8【解析】选C 设交x y 162=的准线于得：（9）已知，函数在上单调递减。

2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。

将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A ()B ()C ()D 【答案】A4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P两点间的球面距离为（ ）A 、arccos 4RB 、4R πC 、RD 、3R π 【答案】A6.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）A.C.D. 35【答案】A.7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D8.【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8π3B．3πC．10π3D．6π【答案】B9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π【答案】C10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.11.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a，且长为a的棱异面，则a的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】A12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】B13.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2BC D 1【答案】D二、填空题14.【2012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.【答案】115.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

立体几何一、选择题的边长为1，1.【2012高考新课标理7】如图，网格纸上小正方形粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.BC=2。

将2.【2012高考浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．3.【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 26 ()B 36()C 23 ()D 22 【答案】A【解析】ABC ∆的外接圆的半径33r =，点O 到面ABC 的距离2263d R r =-=,SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2623d =此棱锥的体积为113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯⨯= 另：13236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.4.【2012高考四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 [答案]C[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 5.【2012高考四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A、arccos4R B 、4R π C、arccos 3R D 、3Rπ [答案]A[解析] 以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，则A )0,23,21(),22,0,22(R R P R R42arccos=∠∴AOP42arccos ⋅=∴R P A[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.6.【2012高考陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A.5B.3C. 5D. 35422=•=∠∴R PO AO AOP COS【答案】A.【解析】法1：设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ，),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴，55||||,cos 111111=⋅>=<∴BC AB BC AB BC AB ，故选A. 法2：过点1B 作11//B D C B 交Oz 轴于点D ，连结AD ，设122CA CC CB a ===，则113,5,22AB a B D a AD a ===，在1AB D ∆中，由余弦定理知直线1AB 与直线1BC 夹角的余弦值为2222221111958525235AB B D AD a a a AB B D a a+-+-==⋅⋅⋅. 7.【2012高考湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.8.【2012高考湖北理4】已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为侧视图2 正视图42 42A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π【答案】B考点分析：本题考察空间几何体的三视图.【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 9.【2012高考广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得πππ57533-53312222=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=圆柱圆锥V V V ．故选C ．10.【2012高考福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 【答案】D.【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念，以及考生的空间想象能力，难度一般.【解析】法1：球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ，故选Ｄ．法2：球的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。

2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。

将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A ()B ()C ()D 【答案】A4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P两点间的球面距离为（ ）A 、arccos 4RB 、4R πC 、RD 、3R π【答案】A6.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）A.C.D. 35【答案】A.7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D8.【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8π3B．3πC．10π3D．6π【答案】B9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π【答案】C10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.11.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a，且长为aa的取值范围是（A）（B）（C）（D）(1【答案】A12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】B13.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2BC D 1【答案】D二、填空题14.【2012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.【答案】115.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

2012 高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【 2012 高考真题新课标理 7】如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）( A) 6(B) 9 (C) (D)【答案】 B【分析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 ，所以几何体的体积为1 1 9,选 B.V6 3 3322.【2012 高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD ，AB=1，BC= 2 。

将△沿矩形的对角线 BD 所在 的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个地点，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 .B.存在某个地点，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 .C.存在某个地点，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 .D.对随意地点，三对直线“ AC 与 BD ”，“ AB 与 CD ”，“ AD 与 BC ”均不垂直【答案】 C【分析】最简单的方法是取一长方形着手依据其要求进行翻着，察看在翻着过程，即可知选项 C 是正确的．3.【 2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥 SABC 的全部极点都在球 O 的求面上， ABC是边长为1SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ；则此棱锥的体积为（ ）的正三角形， ( A)23 (C )2 26( B)3( D )62【答案】 A【分析】ABC 的外接圆的半径 r3 ，点O 到面 ABC 的距离 dR 2 r 26 , SC为33球O 的直径点 S 到面 ABC 的距离为2d2 63此棱锥的体积为 V1S ABC 2d1 32 6 233 4 36另： V1S ABC 2R3 清除 B,C, D ,选 A.364.【 2012 高考真题四川理 6】以下命题正确的选项是（）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个订交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】 C【分析】 A.两直线可能平行，订交，异面故 A 不正确； B.两平面平行或订交； C.正确； D.这两个平面平行或订交 .5.【 2012 高考真题四川理 10】如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内，过点 O 作平面的垂线交半球面于点A ，过圆 O 的直径 CD 作平面 成 45 角的平面与半球面订交，所得交线上到平面的距离最大的点为B ，该交线上的一点 P 知足BOP 60 ，则 A 、PABDPO两点间的球面距离为（ αC）A 、 R arccos2 B 、R C 、 R arccos 3D 、R4433【答案】 A【分析】依据题意，易知平面AOB ⊥平面 CBD, cos AOP cos AOB cos BOP2 1 2 AOP2 ，由弧长公式易得，A 、 P 两点间的球面距离为22,arccos44R arccos2.46.【 2012 高考真题陕西理 5 】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A 1 B 1C 1 ，CA CC 12CB ，则直线 BC 1 与直线 AB 1 夹角的余弦值为（）5 5 2 53A.B. C.5D.5355.【答案】 A.【分析】设 |CB |a ，则 |CA | | CC 1 | 2a ， A(2a,0,0), B( 0,0, a),C 1 (0,2a,0), B 1 (0,2a, a) ，AB 1 ( 2a,2a, a), BC 1(0,2a, a) ， cos AB 1 , BC 1AB 1 BC 1 5，应选 A.| AB 1 || BC 1 |57. 【 2012 高考真题湖南理 3】某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示，则该几何体的俯视图不行能是【答案】 D【分析】此题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所告知，原图下边图为圆柱或直四棱柱，上边是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不行能是该几何体的俯视图，由于它的正视图上边应为如图的矩形.【评论】此题主要考察空间几何体的三视图，考察空间想象能力 . 是最近几年高考取的热门题型 . 8.【 2012 高考真题湖北理 4】已知某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为A．8πB． 3π3C． 10πD． 6π3【答案】 B【分析】明显有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，而且有正视图知是一个1/2 的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选 B.9.【 2012 高考真题广东理6】某几何体的三视图如下图，它的体积为A． 12π B.45π C.57π D.81π【答案】 C【分析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，依据三视图中的数目关系，可得V V圆锥V圆柱13252 -32325 57 ．应选C．310.【 2012 高考真题福建理 4】一个几何体的三视图形状都同样、大小均相等，那么这个几何体不能够是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】 D.【命题立意】此题考察了空间几何体的形状和三视图的观点，以及考生的空间想象能力，难度一般 .【分析】球的三视图全部是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全部是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.能够清除 ABC，应选Ｄ．【2012高考真题重庆理9】设四周体的六条棱的长分别为1，，，，2和 a ，且长为 a11.111的棱与长为 2 的棱异面，则a的取值范围是（ A）(0,2)（ B）(0,3)（ C）(1, 2)（ D）(1,3)【答案】 A【分析】由于BE1(2)2112则 BF BE，AB2BF2BE2，222选 A，12.【 2012 高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如下图，该三梭锥的表面积是（）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】 B【分析】从所给的三视图能够获得该几何体为三棱锥，如下图，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表经过勾股定理的计算获得的边长。

食物中能量的释放 1.“探究不同食物贮存能量的差异”： (1)提出问题：_____________________________? (2)作出假设：富含_____的食品贮存的能量多,_____和_____ ___类食品贮存的能量少。

(3)制订计划：选取相同_____的不同_____。

(4)实验测量：分别将称量的不同样品放在自制热量测定仪里 进行充分_____。

(5)记录计算：根据测定数据进行_____、比较。

探究主题一 食物中贮存着能量 不同食品中贮存的能量一样多吗 油脂 淀粉 蛋白 质质量 食品 燃烧 计算 2.食物的热价： (1)概念：每___食物在体外充分燃烧时释放的_____。

(2)糖类的热价是___kJ/g,蛋白质的热价是___kJ/g,脂肪的热 价是___kJ/g。

(3)人体生命活动所需要的能量主要来自_____,其次为_____, _____还是贮备的能源物质。

【特别提醒】糖类是最主要的供能物质,三大供能物质中脂肪的热价最高。

克 能量 17 23 38 糖类 脂肪 脂肪 1.实验结果与所提供的参考数据之间有差异,是什么原因?如何减少这种差异? 提示：这是由于在收集食品燃烧释放的热量的过程中,一部分热量散失了,也可能食品燃烧不充分,从而产生了误差。

在点燃食品后应立即将它放入热量测定仪;改进测定仪,尽量减少热量散失。

尽量使食品充分燃烧。

2.在选择实验食品时应注意什么? 提示：应选择含水分较少、容易燃烧的食品。

探究主题二 细胞通过呼吸作用释放能量 1.阅读演示实验,思考以下问题： (1)呼出气体成分变化：与空气相比,呼出气体中_____含量少, _________含量多。

(2)变化原因：人体的每个细胞都能够利用_____分解葡萄糖等 有机物,产生_________和水,同时释放_____。

氧气 二氧化碳 氧气 二氧化碳能量 2.呼吸作用： (1)概念：生物体细胞内葡萄糖等有机物_________并_________ 的过程。

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2, 0, 0),C (2, 22,0),E (1, 2, 1),)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ,则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BCAE θ,θ=4π.由此可知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二]取PB 中点F ,连接EF 、AF ,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中,由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1)1111224ABCS ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC -的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ,所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 25 2.解析:(1)证法一 如图,过直线b 上任一点作平面π的垂线n ,设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ,则,,b c n 共面,根据平面向量基本定理,存在实数,λμ使得c b n λμ=+则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥,所以0a b ⋅=又因为a πÜ,n π⊥,所以0a n ⋅= 故0a c ⋅=,从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作PO π⊥,垂足为O,则O c ∈ ∵PO π⊥,a πÜ,∴直线PO a ⊥ 又a b ⊥,b Ü平面PAO ,POb P =ABCD P EF∴a ⊥平面PAO ,又c Ü平面PAO ,∴a c ⊥(2)逆命题:a 是平面π内一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a c ⊥,则a b ⊥. 逆命题为真命题.3. 解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==,在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面BD⊥平面AED,⊂AE 平面AED,且A AE AD = ,故AED;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ,建立如图所示的空间直角坐标系,)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ,向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ,则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ,而二面角F-BD-C 的平面角为锐角,则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ,连接1,CG FG ,由于CB CD =,因此CG BD ⊥, 又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥,所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中,由于120BCD ∠=︒,因为12CG CB =,又CB CF =,所以225GF CG CF CG =+=, 故5cos 5FGC ∠=,因此二面角F BD C --的余弦值为55. 4. 【答案及解析】(1) 证明:取''A B 中点P,连结MP,NP,而M,N 分别是A 'B 与'B 'C 的中点,所以,MP∥A 'A ,PN∥'A 'C ,所以,MP∥平面'A AC 'C ,PN∥平面'A AC 'C ,又MP NP p ⋂=,因此平面MPN∥平面'A AC 'C ,而MN ⊂平面MPN,所以,MN∥平面'A AC 'C , 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明. 5. 【解析】解:(1)证明:连接AO ,在1AOA 中,作1OE AA ⊥于点E ,因为11//AA BB ,得1OE BB ⊥,因为1AO ⊥平面ABC ,所以1A O BC ⊥,因为,AB AC OB OC ==, 得AO BC ⊥,所以BC ⊥平面1AA O ,所以BC OE ⊥, 所以OE ⊥平面11BB C C , 又2211,5AO AB BO AA =-==,得2155AO AE AA ==(2)如图所示,分别以1,,OA OB OA 所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), C(0,-2,0), A 1(0.0,2),B(0,2,0) 由(1)可知115AE AA =得点E 的坐标为42(,0,)55,由(1)可知平面11BB C C 的法向量是42(,0,)55,设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =,由10n AB n A C ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩,得200x y y z -+=⎧⎨+=⎩,令1y =,得2,1x z ==-,即(2,1,1)n =-所以30cos ,10||||OE n OE n OE n ⨯<>==⨯ 即平面平面11A B C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是3010. 【点评】本题考查线面垂直,二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中,立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直,平行有关的线面关系的证明;二、考查空间几何体的体积与表面积;三、考查异面角,线面角,二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问,第3种考查多出现在第2问;对于角度问题,一般有直接法与空间向量法两种求解方法.6. 【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC .又∵AD ⊂平面ABC ,∴1CC AD ⊥.ByOC AEzA 1B 1C 1x又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =，,∴AD ⊥平面11BCC B .又∵AD ⊂平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B . (2)∵1111A B AC =,F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥.又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ⊂平面111A B C ,∴11CC A F ⊥. 又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ,1111CC B C C =,∴1A F ⊥平面111A B C .由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD .又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系.【解析】(1)要证平面ADE ⊥平面11BCC B ,只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可.它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得.(2)要证直线1//A F 平面ADE ,只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可.7. 【解析】 解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC,由AB=4,3BC=,90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又E 是CD 的中点,所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE. (Ⅱ)过点B 作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接 由(Ⅰ)CD⊥平面PAE 知,BG⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知,PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意,知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形,故 3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中,4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以于是85.5PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为 解法2:如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为:(Ⅰ)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,,CD AP 分别是PAE 平面,ABCD 平面的法向量,而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以由(Ⅰ)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故解得855h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=,所以四棱锥P ABCD -的体积为 118512851633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由13V S PA =⨯⨯算得体积,或者建立空间直角坐标系,求得高几体积.8.考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解析:(Ⅰ)解法1:在如图1所示的△ABC 中,设(03)BD x x =<<,则3CD x =-.由AD BC ⊥,45ACB ∠=知,△ADC 为等腰直角三角形,所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知,折起后(如图2),AD DC ⊥,AD BD ⊥,且BD DC D =, 所以AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-.于是 312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦, 当且仅当23x x =-,即1x =时,等号成立,故当1x =,即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. 解法2:同解法1,得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+.令321()(69)6f x x x x =-+,由1()(1)(3)02f x x x '=--=,且03x <<,解得1x =.ABC D PE图 ②xy z 345h当(0,1)x ∈时,()0f x '>;当(1,3)x ∈时,()0f x '<. 所以当1x =时,()f x 取得最大值.故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. (Ⅱ)解法1:以D 为原点,建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==.于是可得(0,0,0)D ,(1,0,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)A ,(0,1,1)M ,1(,1,0)2E ,且(1,1,1)BM =-.设(0,,0)N λ,则1(,1,0)2EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=,即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=,故12λ=,1(0,,0)2N .所以当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时,EN BM ⊥. 设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =-,得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n . 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ,则由11(,,0)22EN =--,(1,2,1)=-n ,可得1|1|32sin cos(90)2||||262EN EN θθ--⋅=-===⋅⨯n n ,即60θ=. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60. 解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==. 如图b ,取CD 的中点F ,连结MF ,BF ,EF ,则MF ∥AD .由(Ⅰ)知AD ⊥平面BCD ,所以MF ⊥平面BCD . 如图c ,延长FE 至P 点使得FP DB =,连BP ,DP ,则四边形DBPF 为正方形,所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ,连结EN ,又E 为FP 的中点,则EN ∥DP , 所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ,又EN ⊂面BCD ,所以MF EN ⊥. 又MF BF F =,所以EN ⊥面BMF . 又BM ⊂面BMF ,所以EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥,而点F 是唯一的,所以点N 是唯一的.即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点),EN BM ⊥. 连接MN ,ME ,由计算得52NB NM EB EM ====, 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形,如图d 所示,取BM 的中点G ,连接EG ,NG ,则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中,过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN .故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角.在△EGN 中,易得22EG GN NE ===,所以△EGN 是正三角形, 故60ENH ∠=,即EN 与平面B M N 所成角的大小为60.C AD B 图aE Mx y z图b C AD BEF MN 图c BDP C F N EBG M N E H图d N9. 解析:(Ⅰ)因为PC ⊥平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面平面ABCD ,所以PA BD ⊥.而PC PA P =,PC ⊂平面PAC ,PA ⊂PAC ,所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BD ⊥平面PAC ,而AC ⊂平面PAC ,所以BD AC ⊥,而ABCD 为矩形,所以ABCD 为正方形,于是2A B A D ==.间直角法1:以A 点为原点,AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ,于是()0,2,0BC =,()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ,则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ,从而2020y x z =⎧⎨-=⎩,令1x =,得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =-.所以二面角B PC A --的余弦值为210cos ,10522⋅<>==⨯121212=n n n n n n ,于是二面角B PC A --的正切值为3. 法2:设AC 与BD 交于点O ,连接OE .因为PC ⊥平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,BE ⊂平面BDE ,所以PC OE ⊥,PC BE ⊥,于是OEB ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ,OE ⊂平面PAC ,所以O E B ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得O E P AO C P C=,而2AB AD ==,所以22AC =,2OC =,而1PA =,所以3PC =,于是12233PA OE OC PC =⨯=⨯=,而2OB =,于是二面角B PC A --的正切值为3OBOE=. 10. 【考点定位】本题考查直线与直线、直线与平面以及二面角等基础知识、考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想. 解:(1)以点A 为原点建立空间直角坐标系,设AB a =,则11011(1)102aAD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=,故11B E AD ⊥(2)假设在棱上存在一点(0,0,)P t ,使得//DP 平面1B AE ,则(0,1,)DP t =-设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =,则有100002ax z n AB ax y n AE +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪⋅=⎩⎩,取1x =,可得(1,,)2a n a =--,要使//DP 平面1B AE ,只要DP n ⊥1022a at t ∴-=⇒=,又DP ⊄平面1B AE ,∴存在点P 使//DP 平面1B AE ,此时12AP =.(3)连接11,A D B C ,由长方体11AA AD ==,得11A D AD ⊥11//B C A D ,11AD B C ∴⊥,由(1)知11B E AD ⊥,故1AD ⊥平面11DCB A .1AD 是平面11DCB A 的法向量,而1(0,1,1)AD =,则二面角是30︒,所以,即2AB =11. 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解. 解:设ACBD O =,以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0),(2,0,0),(2,0,2),A C P --设(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -.(Ⅰ)证明:由2PE EC =得22(,0,)33E , 所以(22,0,2)PC =-,22(,,)33BE a =,(0,2,0)BD a =,所以22(22,0,2)(,,)033PC BE a ⋅=-⋅=,(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a ⋅=-⋅=.所以P C ⊥,PC BD ⊥,所以PC ⊥平面BED ;(Ⅱ) 设平面PAB 的法向量为(,,n x y z =,又(0,0,2),(2,,0)AP AB a ==-,由0,0n AP n AB ⋅=⋅=得2(1,,0)n a =,设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =,又(2,,0),(22,0,2)BC a CP ==-,由0,0m BC m CP ⋅=⋅=,得2(1,,2)m a =-,由于二面角A PB C --为90,所以0m n ⋅=,解得2a =.所以(2,2,2)PD =-,平面PBC 的法向量为(1,1,2)m =-,所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为||12||||PD m PD m ⋅=⋅,所以PD 与平面PBC 所成角为6π.【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点E 的位置的选择是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.12. 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大.解:(1)CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1ACD , 又1A C ⊂平面1ACD , 又1AC CD ⊥, ∴1A C ⊥平面BCDE(2)如图建系C xyz -,则()200D -，，,()0023A ，，,()030B ，，,()220E -，， zyxA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M∴()10323A B =-，，,()1210A E =--，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，,则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()123n =-，，又∵()103M -，，∴()103CM =-，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒(3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，,()20DP a =，， 设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，,则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,∴31230a a ++=,612a =-,2a =- ∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直13. 【解析】(I)取11,BC B C 的中点为点1,O O ,连接1111,,,AO OO AO AO则AB AC AO BC =⇒⊥,面ABC ⊥面11BB C C AO ⇒⊥面11BB C C 同理:11A O ⊥面11BB C C 得:1111//,,,AO AO A O A O ⇒共面 又11,OO BC OO AO O ⊥=⇒BC ⊥面111AOO A AA BC ⇒⊥(Ⅱ)延长11A O 到D ,使1O D OA = 得:11////O D OA AD OO ⇒1OO BC ⊥,面111A B C ⊥面11BB C C 1OO ⇒⊥面111A B C ⇒AD ⊥面111A B C (Ⅲ)11,AO BC AO BC AOA ⊥⊥⇒∠是二面角1A BC A --的平面角 在11Rt OO A ∆中,222211114225A O OO AO =+=+=在1Rt OAA ∆中,22211115cos 25AO AO AA AOA AO AO +-∠==-⨯ 得:二面角1A BC A --的余弦值为55-.。