北京市海淀区2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

海淀区2017-2018学年高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为A. 1B. 2C. D. 44. 已知:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|e x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=ln|x|B．f（x）=2﹣x C．f（x）=x3D．f（x）=﹣x23．（5分）已知向量=（1，0），=（﹣1，1），则（）A．∥B．⊥C．（）∥D．（）⊥4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=05．（5分）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．D．6．（5分）设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+cosα＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设f（x）=e sinx+e﹣sinx（x∈R），则下列说法不正确的是（）A．f（x）为R上偶函数 B．π为f（x）的一个周期C．π为f（x）的一个极小值点D．f（x）在区间上单调递减8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分的值等于．10．（5分）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为kPa．11．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为．12．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①=；②若，则x+y=．13．（5分）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=，φ=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．①f（﹣1）=；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{b n}满足b1=2，且{2b n+a n}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．17．（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）18．（13分）如图，在四边形ACBD中，，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求cos∠BAD的值；（Ⅱ）若CD=4，，求AB和AD的长．19．（14分）已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m ∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）20．（14分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n0，记M=max{a1，a2，…，a n0}，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|e x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|e x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜2}=（0，2）．故选：C．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=ln|x|B．f（x）=2﹣x C．f（x）=x3D．f（x）=﹣x2【解答】解：函数f（x）=ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）=2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）=x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）=﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．3．（5分）已知向量=（1，0），=（﹣1，1），则（）A．∥B．⊥C．（）∥D．（）⊥【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、向量=（1，0），=（﹣1，1），1×1≠0×（﹣1），则∥不成立，A 错误；对于B、向量=（1，0），=（﹣1，1），•=1×（﹣1）+0×1≠0，则⊥不成立，B错误；对于C、向量=（1，0），=（﹣1，1），﹣=（2，﹣1），2×1≠（﹣1）×（﹣1），则（﹣）∥不成立，C错误；对于D、向量=（1，0），=（﹣1，1），﹣=（0，1），（+）•=0×1+1×0=0，则（+）⊥成立，D正确；故选：D．4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=0【解答】解：数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），n=1时，a1=2a2；n=2时，a1+a2=2a2，可得a2=0．故选：D．5．（5分）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．D．【解答】解：的图象向左平移个单位，得y=sin[2（x+）+]，即y=sin[2x+]=cos2x，∴所得图象的函数解析式为y=cos2x．故选：B．6．（5分）设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+cosα＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α是第一象限角，∴根据正弦和余弦线知，sinα+cosα＞1，是充分条件，由“sinα+cosα＞1“，也可推出α是第一象限角，是必要条件，故选：C．7．（5分）设f（x）=e sinx+e﹣sinx（x∈R），则下列说法不正确的是（）A．f（x）为R上偶函数 B．π为f（x）的一个周期C．π为f（x）的一个极小值点D．f（x）在区间上单调递减【解答】解：∵f（x）=e sinx+e﹣sinx，∴f（﹣x）=e sin﹣x+e﹣sin﹣x=e sinx+e﹣sinx=f（x），即f（x）为R上偶函数，故A正确；f（x+π）=e sin（x+π）+e﹣sin（x+π）e sinx+e﹣sinx=f（x），故π为f（x）的一个周期，故B正确；f′（x）=cosx（e sinx﹣e﹣sinx），当x∈（，π）时，f′（x）＜0，当x∈（π，）时，f′（x）＞0，故π为f（x）的一个极小值点，故C正确；x∈时，f′（x）＞0，故f（x）在区间上单调递增，故D错误；故选：D．8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1∉A，5∉B，即5∈A，1∈B，此时有C40=1，若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则2∉A，4∉B，即4∈A，2∈B，此时有C41=4，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3∉A，3∉B，不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则4∉A，2∉B，即2∈A，4∈B，此时有C43=4，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则5∉A，1∉B，即1∈A，5∈B，此时有C44=1，故有序集合对（A，B）的个数是1+4+4+1=10，故选：A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分的值等于0．【解答】解：∵==﹣=0故答案为：010．（5分）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为81kPa．【解答】解：∵在海拔1000m处的大气压强为90kPa，∴90=100e1000a，即a=，当x=2000时，y=100e ax=100=81，故答案为：8111．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为2．【解答】解：令x=2，则，故答案为：212．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①=3；②若，则x+y=．【解答】解：∵△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①==•2•=3，②若，则==，即x=﹣，y=2，故x+y=故答案为：（1）3（2）13．（5分）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=2，φ=﹣．【解答】解：由图象可知f（x）的周期为T==π，∴=π，解得ω=2．由图象可知f（）=1，即=1，∴+φ=+kπ，k∈Z．∴φ=﹣+kπ，又，∴φ=﹣．故答案为：2，．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．①f（﹣1）=﹣1；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1﹣a+a）=﹣1；②若f（x）的值域是R，由f（x）的图象关于原点对称，可得当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，图象与x轴有交点，可得△=a2﹣4a≥0，解得a≥4或a≤0，即a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故答案为：①﹣1 ②（﹣∞，0]∪[4，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，=，=1．（Ⅱ），=，=2sinxcosx+2cos2x﹣1，=sin2x+cos2x，=，因为，所以，所以，故当，即时，f（x）有最大值当，即时，f（x）有最小值﹣1．16．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{b n}满足b1=2，且{2b n+a n}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【解答】（本题13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，则…（2分）解得a1=﹣2，q=﹣3…（3分）所以，…（5分）令c n=2b n+a n，则c1=2b1+a1=2，c n=2+（n﹣1）×2=2n…（7分）…（9分）（Ⅱ）∵，∴数列{b n}的前n项和：S n=（1+2+3+…+n）+[（﹣3）0+[（﹣3）+（﹣3）2+（﹣3）3+…+（﹣3）n﹣1] =+，∴．…（13分）17．（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，，，…（1分）此时，f（1）=﹣1，f'（1）=0，…（2分）故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．…（3分）（Ⅱ）的定义域为（0，+∞）…（4分）…（5分）令f'（x）=0得，x=a或x=1…（6分）①当0＜a≤1时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增…（7分）f（x）最小=f（1）=1﹣a…（8分）②当1＜a＜e时，x（1，a）a（a，e）f'（x）﹣0+f（x）↘极小↗…（10分）f（x）最小=f（a）=a﹣1﹣（a+1）•lna…（11分）②当a≥e时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减…（12分）…（13分）由①、②、③可知，．18．（13分）如图，在四边形ACBD中，，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求cos∠BAD的值；（Ⅱ）若CD=4，，求AB和AD的长．【解答】解：（Ⅰ）因为，∠CAD∈（0，π）所以所以cos∠BAD====（Ⅱ）设AB=AC=BC=x，AD=y，在△ACD和△ABD中由余弦定理得代入得解得或（舍）即，19．（14分）已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m ∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）因为=，令f'（x）=0，得因为0＜x＜π，所以…（3分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：xf'（x）+0﹣f（x）↗极大值↘…（5分）故f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：∵g（x）=（x﹣1）lnx+m∴（x＞0），…（7分）设，则故g'（x）在（0，+∞）是单调递增函数，…（8分）又∵g'（1）=0，故方程g'（x）=0只有唯一实根x=1…（10分）当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗…（12分）故g（x）在x=1时取得极小值g（1）=m，即1是g（x）的唯一极小值点．（Ⅲ）…（14分）20．（14分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n0，记M=max{a1，a2，…，a n0}，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ）∵数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．+1数列1，x，y，7为“U﹣数列”，∴所有可能的x，y为，或．…（3分）（Ⅱ）n的最大值为65，理由如下…（4分）+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1一方面，注意到：a k+1对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k ≥b k+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（★）﹣1当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得b i=（b i﹣b i﹣1）+（b i﹣1﹣b i）+…+（b2﹣b1）+b1≥i﹣1（2≤i≤n﹣1）﹣2此时即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65…（7分）另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时a65=1+0+1+2+…+63=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．…（9分）（Ⅲ）M的最小值为，证明如下：…（10分）当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）一方面：由（★）式，b k+1+…+（b k﹣b k）≥m．+1此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m﹣1﹣b m﹣1）≥m（m﹣1）•故…（13分）另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，…，b2m﹣1=m ﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且此时．综上，M的最小值为．…（14分）。

2018—2018年度上期海淀区高三数学期中练习试题2018.11一. 本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集Ｉ＝R，集合{{},02===<<A x y B x x 集合,则()I A B ð 等于( ) （A ）[1,)+∞（B ）(1,)+∞ （C ）[0,)+∞ （D ）(0,)+∞2. 在等差数列{}n a 中,若12343,5a a a a +=+=,则78a a +的和等于( ) (A)7 (B)8 (C)9 (D)103. 函数)1(log )(2+=x x f （x ＞0）的反函数是（ ） （A ）112)(--=x x f （R x ∈） （B ）12)(1-=-x x f （R x ∈） （C ）112)(--=x x f（x ＞0） （D ）12)(1-=-x x f （x ＞0）4.已知,,a b c R ∈，则“a b >”是“ac bc >”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5. 已知函数||)(x a x f -=（a ＞0，1≠a ），且8)3(=f ，则（ ）（A ）)2(f ＞)2(-f （B ）)3(-f ＞)2(-f （C ）)1(f ＞)2(f （D ）)1(-f ＞)2(-f 6. 函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为（ ）（A ）1[,1][2,3)3-（B ）148[1,][,]233-（C ）31[,][1,2)22-（D ）3148(,1][,][,3)2233--7. 某采访小组共8名同学，其中男生6名，女生2名.现从中按性别分层随机抽取4名同学参加一项采访活动，则不同的抽取方法共有（ ）（A ）40种 （B ）70种 （C ）80种 （D ）240种8. 某医药研究所开发一种新药.如果成年人按规定的剂量服用， 据检测，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）)之间的函数关系近似满足如图所示曲线.据进一步测定，每毫升血 液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效.则服药一次治 疗该疾病有效的时间为（ ）（A ） 4小时 ( B) 478 小时( C) 41516小时 ( D) 5小时二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9.21+ii的值等于 . 10.等比数列{}n a 中, a 3=8,S 5=S 3+16则5S = .11.若在2nx⎛⎝的展开式中含有常数项,则正整数n 的最小值是__________.12. 2111lim 132x x x x →⎛⎫+ ⎪--+⎝⎭的值等于 . 13.如果学生甲投篮的命中的概率为13，那么他连续投三次，恰好两次投进的概率为 ；至少有一次投进的概率为 (用数字作答) .14.已知函数f (x )=x 2-5x +10.当x ∈(,1]n n + ( n =1,2,3,…)时，函数f (x )的值域为D n ，将D n 中整数的个数记为a n ，则1a 的值等于 ;数列{ a n }的通项公式为a n = . 三.解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题共12分） 已知集合222|{-+=x x x A ＜}1， B={x | x 2+4x -5>0 },|||{m x x C -=＜1，}R m ∈. （Ⅰ）求B A ⋂; （Ⅱ）若()AB C ⊆，求m 的取值范围.16.（本小题共13分）已知函数2)(23++=ax x x f （)R a ∈在2x =处有极小值. 求： （Ⅰ）实数a 的值；（Ⅱ）)(x f 在区间]3,1[-上的最大值和最小值.17.（本小题共13分）某学校举办一场以“为希望工程献爱心”为主题的图书义卖活动.同学甲随机地从10本书中买两本，已知这10本书中有3本单价定为10元，4本单价定为15元，3本单价定为20元.（假设每本书被售出的概率相同），记甲同学买这两本书所付金额为ξ（元）. 求： （Ⅰ）随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）随机变量ξ的期望E ξ.18．（本小题共14分）已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)－ax .（Ⅰ）若函数f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若|a |＜1，求f (x )的单调增区间.19.（本小题共14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足S n =2-a n n =1,2,3,··· （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11,b =且1 +=+n n n b b a ，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设(3) =-n n c n b ，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（本小题共14分）设函数2()f x ax bx c =++的系数a b c 、、都是正实数,且(1)1f =. （Ⅰ）若0x >，证明：1()()1f x f x⋅≥；（Ⅱ）若正实数123,,x x x 满足1231x x x ⋅⋅=，证明：123()()()1f x f x f x ⋅⋅≥.参考答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．A 8．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．1+i 10．40或22（注：写出一个给2分，全写出给5分） 11．5 12．-113．29 1927 14． 2 2(1)1(2)24(3)n n a n n n =⎧⎪==⎨⎪-⎩…三、解答题15．解：（Ⅰ）∵222|{-+=x x x A ＜1} 得 2x +2x -2<1 ⇔ (x +4)（x -2)<0 …… 2分 ∴4|{-=x A ＜x ＜2} …… 3分 x 2+4x -5>0 ⇔ (x +5)（x -1)>0 …… 4分 ∴{|51}B x x x =<->或 …… 5分 ∴{|AB x =1＜x ＜}2 …… 6分（Ⅱ）∵|||{m x x C -=＜1，}R m ∈即1|{-=m x C ＜x ＜},1R m m ∈+ …… 8分∵()AB C ⊆1-m ≤1∴ 1+m ≥2 …… 10分 1-m ＜1+m∴1≤m ≤2 …… 12分16．解：（Ⅰ）ax x x f 23)(2'+= …… 2分∵)(x f 在x =2处有极小值∴0)2('=f …… 4分 ∴0443=+⨯a ∴3-=a …… 6分（Ⅱ）23)(23+-=x x x f x x x f 63)(2'-= …… 7分令0)('=x f 得01=x ， 22=x …… 9分当x 变化时，f ˊ(x ),)(x f 列表如下：…… 11分从上表可知 最大值是2，最小值是-2 (13)分17．（Ⅰ）解：ξ的所有可能值为20，25，30，35，40. 由等可能事件的概率公式，得151)20(21023===C C P ξ154)25(2101413===C C C P ξ 155)30(210131321024=+==C C C C C P ξ= 13 154)35(2101314===C C C P ξ 151)40(21023===C C P ξ …… 10分∴随机变量ξ的概率分布为…… 11分（Ⅱ）E ξ=20×151＋25×154＋30×155＋35×154＋40×151＝30 …… 13分18．解：（Ⅰ） f ˊ(x ) ＝2xx 2＋1 －a …… 2分(ⅰ) 当 f ˊ(x )>0, x ∈（,-∞+∞）时，f (x )是（,-∞+∞）上的增函数 f ˊ(x ) ＝2xx 2＋1－a ＞0在（,-∞+∞）上恒成立⇔a ＜2xx 2＋1在（,-∞+∞）上恒成立， …… 3分令g(x )＝2xx 2＋1当x 的值等于0时，g(x )的值等于0,当0x ≠时,2()1g x x x=+,由于1(,2][2,)x x+∈-∞-+∞,故()[1,0)(0,1]g x ∈-由上述,当(,)x ∈-∞+∞时, ()[1,1]g x ∈-,所以,当1a <-时, 即a ＜2xx 2＋1在（,-∞+∞）上恒成立 …… 5分 （ⅱ）当a ＝－1时， f (x )的值等于ln(x 2＋1)＋xf ˊ(x ) ＝2xx 2＋1＋1≥0所以f (x )是（,-∞+∞）上的增函数, …… 6分 (ⅲ) 当a >－1时，在（,-∞+∞）上存在一个区间其上有f ˊ(x )<0 所以f (x )不是（,-∞+∞）上的增函数综上所求a 的取值范围是(－∞,－1]． …… 7分 （Ⅱ）① 当a ＝0时，f ' (x )＞0⇒x ＞0，即函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增； ……8分②当a ≠0时，令f ' (x )＝0因为|a |<1,所以x ＝1－1－a 2a 或x ＝1＋1－a 2a …… 10分当0＜a ＜1时，有△＞0，f ' (x)＞0函数f (x )在（1－1－a 2a ，1＋1－a 2a ）上单调递增； ……12分当－1＜a ＜0时，有△＞0，f ' (x)＞0函数f (x )在（－∞，1＋1－a 2a ）、（1－1－a 2a ,＋∞）上单调递增． ……14分19．解：（Ⅰ）1n =时，11112a S a a +=+= ∴11a = …… 1分∵ 2n n S a =- 即2n n a S += ∴112n n a S +++= 两式相减：110n n n n a a S S ++-+-= 即110n n n a a a ++-+= 故有 12n n a a += ∵a n ≠0∴112n n a a += ()n N *∈ …… 3分∴数列{}n a 为首项11a =，公比12的等比数列.11()2n n a -= ()n N *∈ ……4分 （Ⅱ）∵ 1 (1,2,3)+=+=⋅⋅⋅n n n b b a n ∴111()2n n n b b -+-= …… 5分得 211b b -=3212b b -=2431()2b b -=… …211()2n n n b b ---=(n 2,3,)=⋅⋅⋅ …… 7分 将这n -1个等式相加,得 12321111()1111121()()()22()2222212-----=+++++==--n n n n b b 又11,b =∴1132()2n n b -=- (1,2,3)=⋅⋅⋅n ……9分 （Ⅲ）(3)n n c n b =-112()2n n -= (10)分∴0221111112[()2()3()(1)()()]22222--=++++-+n n n T n n ① …… 11分而 2311111112[()2()3()(1)()()]222222-=++++-+n n n T n n ② ①-② 得：01211111112[()()()()]2()]222222-=++++-n nn T n11()1244()1212n n n T n -=-⋅-81184()8(84)222n n n n n =--=-+ ……14分20．证明：（Ⅰ）f （1）=1 ∴a +b +c =1 ……1分22111()()()()f x f ax bx c a b c x x x⋅=++⋅++22222111()()()a b c ab x bc x ca x x x x=++++++++ …… 3分222222a b c ab bc ca ≥+++++2()a b c =++= 1 …… 5分x >0, ∴当且仅当1x =时取得等号. …… 6分（Ⅱ）若1231x x x ===，则显然有123()()()1f x f x f x ⋅⋅=. …… 7分若123,,x x x 不全相等,则其中必有1,1i j x x ><,,{1,2,3}i j ∈(i j ≠),不妨设121,1x x ><,a ,b ,c 为正实数 ∴当x >0时， f （x ）>0 …… 8分 由（Ⅰ）可知123()()1f x x f x ⋅⋅≥,故只需证1212()()()f x f x f x x ⋅≥⋅即可,12 ()()⋅f x f x221122()()=++⋅++ax bx c ax bx c222222222121212121212()()()a x x b x x c ab x x x x bc x x ca x x =++++++++ ……9分 12(1)()⋅⋅f f x x221212()()=++⋅++a b c ax x bx x c222222222121212121212()(1)(1)a x x b x x c a b x x x x b c xx c a x x =++++++++ …… 11分 ∴ 1212()()(1)()⋅-⋅⋅f x f x f f x x1212()()()=⋅-⋅f x f x f x x222212121212121212(1)(1)(1)=+--++--++--abx x x x x x bc x x x x ca x x x x2212121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)=--+--+--abx x x x bc x x ca x x>0因此有 1212()()()f x f x f x x ⋅≥⋅,又3()0f x >,∴123123()()()()()1f x f x f x f x x f x ⋅⋅≥⋅⋅≥. ……14分说明：其他正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

1.若会合，，则（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】由于会合，,因此,应选 C.2. 以下函数中，既是偶函数又在区间上单一递加的是（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】对于A, , 是偶函数，且在区间上单调递加，切合题意；对于B, 对于对于 C,是奇函数，不合题意；对于不合题意，只有合题意，应选3. 已知向量，，则既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；D,在区间上单一递减，A.（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】向量错误；错误；错误；，4. 已知数列知足正确，应选，则D.（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】依据条件获得：可设，，故两式做差获得：，故数列的每一项都为0，故 D 是正确的。

A ， B， C，都是不正确的。

故答案为 D 。

5. 将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数分析式为（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】将函数的图象向左平移个单位，获得函数的图象 ,所求函数的分析式为，应选 B.6. 设，则“ 是第一象限角”是“”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】充足性：若是第一象限角，则, ,可得，必需性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“ 是第一象限角”是“”的充足必需条件，应选 C.【方法点睛】此题经过随意角的三角函数主要考察充足条件与必需条件，属于中档题.判断充要条件应注意：第一弄清条件和结论分别是什么，而后直接依照定义、定理、性质试试.对于带有否认性的命题或比较难判断的命题，除借助会合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、抗命题和否命题的等价性，转变为判断它的等价命题；对于范围问题也能够转变为包括关系来办理.7. 设（），则以下说法不正确的选项是（）A.为上偶函数B.为的一个周期C.为的一个极小值点D.在区间上单一递减【答案】 D【分析】对于 A ，，为上偶函数，A正确；对于B, , 为的一个周期 ,B 正确；对于 C，), ，, 为的一个极小值点 ,C 正确，综上，切合题意的选项为D, 应选 D.8. 已知非空会合知足以下两个条件：（ⅰ ），；（ⅱ ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序会合对的个数为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，有，若会合中只有个元素，则，即，此时有，，同理，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，有，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，则，不知足条件，因此知足条件的有序会合对的个数为，应选 A.【方法点睛】此题主要考察会合的交集、并集及会合与元素的关系、分类议论思想的应用 . 属于难题 .分类议论思想解决高中数学识题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，特别在解决含参数问题发挥着奇异功能，大大提升认识题能力与速度.运用这类方法的重点是将题设条件研究透，这样才能迅速找准打破点. 充足利用分类议论思想方法能够使问题条理清楚，从而顺利解答，希望同学们能够娴熟掌握并应用与解题中间.第二部分（非选择题，共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向3．函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．44．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数8．如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则•=．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为℃．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是．14．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为．（填出所有符合要求的函数序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．18．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求CD的长；（Ⅱ）求sin∠BAD的值．19．已知函数f （x ）=e x （x 2+ax +a ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a ≥4时，函数f （x ）存在最小值．20．已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=3，求a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n }中∃a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D．3．函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式化简求解即可．【解答】解：函数y=2x+≥2=2，当且仅当x=时，等号成立．故选：C．4．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解．故选：A．5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=log c x是对数函数，且x=2时，y=log c2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若|+|＞|﹣|，则等价为|+|2＞|﹣|2，即||2+||2+2•＞||2+||2﹣2•，即4•＞0，则•＞0成立，反之，也成立，即“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的充要条件，故选：C．7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】根据奇偶性的定义，判断函数f（x）是偶函数；化简函数f（x），求出它的最小值为；化简f（x），求出它的最小正周期为；判断f（x）在x∈（0，）上无单调性．【解答】解：对于A ，函数f （x ）=cos 4x +sin 2x ，其定义域为R ，对任意的x ∈R ，有f （﹣x ）=cos 4（﹣x ）+sin 2（﹣x ）=cos 4x +sin 2x=f （x ）， 所以f （x ）是偶函数，故A 正确；对于B ，f （x ）=cos 4x ﹣cos 2x +1=+，当cosx=时f （x ）取得最小值，故B 正确；对于C ，f （x ）=+=+=+=+=+，它的最小正周期为T==，故C 正确；对于D ，f （x ）=cos4x +，当x ∈（0，）时，4x ∈（0，2π），f （x ）先单调递减后单调递增，故D 错误．故选：D ．8．如图所示，A 是函数f （x ）=2x 的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数g （x ）=2x +2的图象于点B ，若函数f （x ）=2x 的图象上存在点C 使得△ABC 为等边三角形，则称A 为函数f （x ）=2x 上的好位置点．函数f （x ）=2x 上的好位置点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．大于2【考点】函数的图象．【分析】根据题意，设出A 、B 、C 的坐标，由线段AB ∥x 轴，△ABC 是等边三角形，x=log 2（m ﹣）=log 2m ﹣1，求出m 的值，计算出结果． 【解答】解：根据题意，设A ，B 的纵坐标为m ， 则A （log 2m ，m ），B （log 2m ﹣2，m ）， ∴AB=log 2m ﹣log 2m +2=2， 设C （x ，2x ），∵△ABC 是等边三角形，∴点C 到直线AB 的距离为，∴m﹣2x=，∴x=log2（m﹣），∴x=（log2m+log2m﹣2）=log2m﹣1，∴log2（m﹣）=log2m﹣1=log2，∴m﹣=，解得m=2，∴x=log2（m﹣）=log2，函数f（x）=2x上的好位置点的个数为1个，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=24．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】直接利用数列的和，化简求解即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=3n+1，S1=31+1=4，S3=33+1=28，a2+a3=28﹣4=24．故答案为：24．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵角θ的终边过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinθ=﹣，则sin（θ﹣π）=﹣sinθ=，故答案为：．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得=0，AD=AB=1，再根据•=（+）•（﹣），计算求得结果．【解答】解：由题意可得=0，AD=AB=1，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣=1﹣0﹣=，故答案为：．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为31℃．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据题意，把x、y的值代入函数解析式，列出方程求出函数y的解析式，再计算x=8时y的值即可．【解答】解：函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数），当x=6时y=22；当x=12时y=4；即，化简得，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin（x+），当x=8时，y=13﹣18sin（×8+）=31．故答案为：31．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为（﹣，﹣]∪（0，+∞）；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据指数函数和对数函数的性质，分别求其值域，再求并集即可，（2）由题意可得a的不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（1）当a=时，若x≤1，则f（x）=2x﹣，则其值域为（﹣，﹣]，若x＞1，f（x）=log x，则其值域为（0，+∞），综上所述函数f（x）的值域为（﹣，﹣]∪（0，+∞），（2）∵f（x）在R上是增函数，∴a＞1，此时f（x）=2x﹣a的最大值为2﹣a，f（x）=log a x＞0，∴2﹣a≤0，解得a≥2，故a的取值范围为[2，+∞），故答案为：（1）：（﹣，﹣]∪（0，+∞），（2）：[2，+∞）14．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为①②．（填出所有符合要求的函数序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．【解答】解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．故答案为：①②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{a n}的通项公式可求；﹣b n=a n，利用累加法求得b n，结合二次函数求得b n取（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n+1得最小值时n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d=2，﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，再由b n+1则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴a n=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（Ⅱ）b n﹣b n=2n﹣10，+1∴b2﹣b1=2×1﹣10，b3﹣b2=2×2﹣10，…=2（n﹣1）﹣10（n≥2），b n﹣b n﹣1累加得：b n=b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+=．∴当n=5或6时，b n取得最小值为b5=b6=﹣30．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，计算f（）的值即可；（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期与单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x，∴f（）=cos（﹣）﹣cos=﹣（﹣）=1；（Ⅱ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=cos2xcos+sin2xsin﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）；∴函数f（x）的最小正周期为T==π；由y=sinx的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）；令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+；∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．17．已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数和切线的斜率和方程，设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），求出g（x）的导数，由切线的斜率可得方程，求得a的值；（Ⅱ）记F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣9x的导数为f′（x）=3x2﹣9，f（0）=0，f′（0）=﹣9，直线l的方程为y=﹣9x，设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），g′（x）=6x，g′（m）=6m=﹣9，解得m=﹣，g（m）=﹣9m，即g（﹣）=+a=，解得a=；（Ⅱ）记F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，F′（x）=3x2﹣6x﹣9，由F′（x）=0，可得x=3或x=﹣1．当x＜﹣1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当﹣1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）递减；当x＞3时，F′（x）＞0，F（x）递增．可得x=﹣1时，F（x）取得极大值，且为5﹣a，x=3时，F（x）取得极小值，且为﹣27﹣a，因为当x→+∞，F（x）→+∞；x→﹣∞，F（x）→﹣∞．则方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为：5﹣a＞0，﹣27﹣a＜0，解得﹣27＜a＜5．18．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求CD的长；（Ⅱ）求sin∠BAD的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及等边三角形的性质可得AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理即可解得CD的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求BD=3CD=3，由正弦定理即可解得sin∠BAD的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD，∴AC=2CD，∠ACD=120°，∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD，可得：7=4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，解得：CD=1．（Ⅱ）在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理，可得：sin∠BAD==3×=．19．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）得到函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），而x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=e x[x（x+a）+a]＞0，从而求出f（x）的最小值是f（﹣2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（﹣2）即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x（x+2）（x+a），由f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=﹣a，①﹣a=﹣2即a=2时，f′（x）=e x（x+2）2≥0恒成立，∴函数f（x）在R递增；，（﹣a ，+∞）递增，在（﹣2，﹣a ）递减，a ＞2时，f （x ）在（﹣∞，﹣a ），（﹣2，+∞）递增，在（﹣a ，﹣2）递减；（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得：a ≥4时，函数f （x ）在x ∈[﹣a ，+∞）上f （x ）≥f （﹣2）， 且f （﹣2）=e ﹣2（4﹣a ）≤0，∵a ≥4，∴x ∈（﹣∞，﹣a ）时，x （x +a ）≥0，e x ＞0，x ∈（﹣∞，﹣a ）时，f （x ）=e x [x （x +a ）+a ]＞0，∴a ≥4时，函数f （x ）存在最小值f （﹣2）；法二：由（Ⅰ）得：a ≥4时，函数f （x ）在x ∈[﹣a ，+∞）上f （x ）≥f （﹣2）， 且f （﹣2）=e ﹣2（4﹣a ）≤0， x →﹣∞时，x 2+ax +a →+∞，∴f （x ）＞0，由（Ⅰ）可知，函数f （x ）在（﹣∞，﹣a ）递增，∴x ∈（﹣∞，﹣a ）时，f （x ）＞0，∴a ≥4时，函数f （x ）的最小值是f （﹣2）．20．已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=3，求a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n }中∃a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由a 1=2，a 2=3，结合lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）可得a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；（Ⅲ）利用反证法，假设数列{a n }中不存在a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2，则0＜a k ＜1或a k ≥2（k=1，2，3，…）．然后分类推出矛盾得答案．【解答】（Ⅰ）解：∵a 1=2，a 2=3，lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），∴lga 3=|lg3﹣lg2|=，即；，即a 4=2；，即；（Ⅱ）证明：必要性、已知数列{a n }中有无数多项是1，则数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0．∵数列{a n }中有无数多项是1，∴数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得a k =1，即数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0．充分性：已知数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0，则数列{a n }中有无数多项是1．假设数列{a n }中没有无数多项是1，不妨设是数列{a n }中为1的最后一项，则a m +1≠1，若a m +1＞1，则由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得lga m +2=lga m +1， ∴lga m +3=|lga m +2﹣lga m +1|=0，则lga m +3=1，与假设矛盾；若0＜a m +1＜0，则由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得lga m +2=﹣lga m +1， ∴lga m +3=|lga m +2﹣lga m +1|=﹣2lga m +1，lga m +4=|lga m +3﹣lga m +2|=|﹣2lga m +1+lga m +1|=﹣lga m +1，lga m +5=|lga m +4﹣lga m +3|=|﹣lga m +1+2lga m +1|=﹣lga m +1，∴lga m +6=|lga m +5﹣lga m +4|=0，得lga m +6=1，与假设矛盾．综上，假设不成立，原命题正确；（Ⅲ）证明：假设数列{a n }中不存在a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2， 则0＜a k ＜1或a k ≥2（k=1，2，3，…）．由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得（n=1，2，3，…）*，且a n ＞0（n=1，2，3，…），∴当n ≥2时，a n ≥1，a n ≥2（n=3，4，5，…）．若a 4=a 3≥2，则a 5=1，与a 5≥2矛盾；若a 4≠a 3≥2，设b m =max {a 2m +1，a 2m +2}（m=1，2，3，…），则b m ≥2．由（*）可得，，，∴，即（m=1，2，3，…）， ∴，对于b 1，显然存在l 使得．∴，这与b m ≥2矛盾． ∴假设不成立，原命题正确．2016年11月17日。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准2018．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDABACBD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z .因为,cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分9． 2 10．4511. (0,1)；4 12．2313．214．43；①②③cos sin x x =+π2sin()4x =+，-------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分所以24sin 1cos 5A A =-=,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=.-----------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()2sin()4f x x =+,所以()f x 的最小正周期2πT =.-----------------------------------10分 因为函数sin y x=的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,-----------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75++=----------------------------------4分由题意可知随机变量X的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分 事件“Xk=”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------8分即X 的分布列为X123P16496427642764所以X的期望是1927279()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.------------------------10分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O = ,所以O为,AC BD中点.-------------------------------------1分 又因为,PA PC PB PD ==,所以,PO AC PO BD⊥⊥,---------------------------------------3分 所以PO ⊥底面ABCD.----------------------------------------4分（Ⅱ）由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥,又由（Ⅰ）可知,PO AC PO BD ⊥⊥. 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.由PAC ∆是边长为2的等边三角形，6PB PD ==，可得3,3PO OB OD ===.所以(1,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)A C B P -.---------------------------------------5分所以(1,0,3)CP = ,(1,0,3)AP =-.由已知可得133(,0,)444OF OA AP =+=-----------------------------------------6分设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即30,330.44y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则3z =-，所以(1,0,3)=-n .----------------------------------------8分因为1cos 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n ，----------------------------------------9分PAFB CDOx yz所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30 . -----------------------------------------10分（Ⅲ）设BM BPλ=(01)λ≤≤，则(1,3(1),3)CM CB BM CB BP λλλ=+=+=-.---------------------------------11分若使CM ∥平面BDF ，需且仅需0CM ⋅=n 且CM ⊄平面BDF ，---------------------12分解得1[0,1]3λ=∈,----------------------------------------13分所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF .此时BM BP=13.-----------------------------------14分 18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R.------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：x(,2)-∞ 2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x↘ 极小值↗所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分（Ⅱ）(2)'()'()e xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(1)10F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10e aF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分 ②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分 因为(2)(1)0F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分x(,2)-∞ 2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x↘ 极小值↗x(,2)-∞2 (2,)+∞ '()f x+0 -()f x↗ 极大值↘所以此时函数()F x 总存在零点. --------------------------------------------13分综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得1c =, ---------------------------------------1分 由12c a =可得2a =, ------------------------------------------2分所以2223b a c =-=, -------------------------------------------3分所以椭圆的方程为22143x y +=.---------------------------------------------4分（Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -,------------------------------------------6分所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.------------------------------------------7分设1122(,),(,)B x y C x y ， 由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=.由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.-------------------------8分21212,3x x n x x n +=-=-.-------------------------------------9分因为1212332211MB MCy y k k x x --+=+-------------------------------------10分 121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++2(1)(2)102n n n n -+=-=+-， ---------------------------------13分 所以直线,MB MC 关于直线m 对称. ---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分（Ⅱ）函数()21x f x =+不是等比源函数. ------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列，2(21)(21)(21)n m k +=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，-------------------------5分等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.*,d b ∀∈N ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++， 所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++*{()|}g n n ∈∈N ，所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分（Ⅲ）法2：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.由2()(1)()g m g g k =⋅，（其中1m k <<）可得2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得(1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-，令(1)1m g =+，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-，所以2(1)(1)1=++，k g g d所以*,d b∀∈N，数列{()}+++成g g g g g g dg n中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]等比数列.所以*∀∈N，函数(),d bg x dx b=+都是等比源函数.-------------------------------------------13分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2018.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}|0A x x a =-≤，{}1,2,3B =，若A B φ=I ，则a 的取值范围为A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (,3]-∞D. [3,)+∞2. 下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递增的是A. 2()f x x x =-B. 21()f x x =Ｃ. ()ln f x x = D.()x f x e = 3. 11edx x=⎰ A. 1- B. 0 C. 1 D.e4.在等差数列{}n a 中，1=1a ,652a a =，则公差d 的值为 A. 13- B.13C. 14-D. 14 5.角θ的终边经过点(4,)P y ，且sin θ=35-，则n ta θ= A. 43- B. 43 C. 34- D. 34 6.已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n=+，则“21a a f ”是“数列{}n a 单调递增”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知向量a,b,c 满足a +b+c =0，且222f f a b c ，则g a b 、g b c 、g c a 中最小的值是A. g a bB. g b cC. g c aD. 不能确定的8.函数()f x x =，2()3g x x x =-+.若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ，则n 的最大值为A. 5B. 63C.7D.8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2018届高三第一学期期末数学试题（理科）1. 复数A. B. C. D.【答案】A【解析】由，故选A.2. 在极坐标系中，方程表示的圆为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，方程表示以，半径为的圆，故选D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，方程表示双曲线，则或，所以“”是方程“表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D.6. 从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】从编号为的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，共有种不同的取法，恰好有两个小球编号相邻的有：，共有种，所以概率为，故选C.7. 某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】D【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是腰长为的等腰直角三角形，高为的三棱锥，即平面，则三棱锥的体积为，故①是正确的；其中为边长为的等边三角形，所以②不正确；其中为面积最大的面，其面积为，所以③是正确的，故选D.8. 已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是（）A. 使得为等腰三角形的点有且仅有4个B. 使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C【解析】由为等腰三角形，若，则有两个点，若，则不存在，若，则有两个点，使得为等腰三角形，的点有四个点；由中，为直角的点有两个点，为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为等腰三角形，的点有且仅有四个点；若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的只有两个；使得的点在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程，可得，可得点有两个，若点在第四象限，由对称性可得也有两个，则使得的点有且仅有四个，故选选C.点睛：本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用问题，此类问题的解答通常是把直线的方程代入曲线的方程，转化为一元二次方程，利用根于系数的关系和韦达定理求解是解答的关键，同时考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用.9. 点到双曲线的渐近线的距离是___________.【答案】【解析】由双曲线的方程，可得双曲线的一条渐近线的方程为，级，所以点到渐近线的距离为.10. 已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为__________.【答案】5050【解析】由题意得，构成等比数列，所以，即，解得，所以数列的前项的和为.11. 设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则________.【答案】2【解析】由抛物线的焦点为，经过抛物线的焦点且垂直与的直线和抛物线交于两点，则,所以.12. 已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则_____.【答案】6【解析】由题意得，令，可得展开式中各项的系数和为，由展开式中各项的二项式系数的和为，则.13. 已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____.【答案】【解析】由题意得，过点作平面，垂足为，在点在线段上，分别连接,在直角中，，在平面内过点作，则，即到直线的最短距离为，又，当时，此时,所以的最小值为.14. 对任意实数，定义集合.①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是______；②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为_______.【答案】(1). (2).【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，观察图形可得只要满足时，满足题设条件，对于任意，有恒成立，则恒成立，因为表示与定点的斜率，当过点时，此时有最小值，最小值为，即，存在，使得成立，则，平移目标函数，当直线和重合时，此时最小，最小值为，则，综上所述的取值范围是.点睛：本题主要考查了简单的线性规划的应用，利用图象分析目标函数的取值范围是解得关键，其中线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用.15. 如图，在中，点在边上，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，设，则，，在在中，由余弦定理列出方程，即可求解的长；（Ⅱ）在中，由正弦定理，求得进而的值，进而得到，即可求解的值；或在中，由余弦定理，求解的值，得，求出，从而得到结论.试题解析：（Ⅰ）如图所示，，故，设，则，.在中，由余弦定理即，解得，即.（Ⅱ）方法一.在中，由，得，故在中，由正弦定理得：即，故，由，得，方法二. 在中，由余弦定理由，故，故16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。

2018届北京市海淀区高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为集合，,所以,故选C.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A,,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A.3. 已知向量，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向量错误；错误；错误；，正确，故选D.4. 已知数列满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据条件得到：可设，，故两式做差得到：，故数列的每一项都为0，故D是正确的。

A，B，C，都是不正确的。

故答案为D。

5. 将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象,所求函数的解析式为，故选B.6. 设，则“是第一象限角”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：若是第一象限角，则,,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 设（），则下列说法不正确的是（）A. 为上偶函数B. 为的一个周期C. 为的一个极小值点D. 在区间上单调递减【解析】对于A，，为上偶函数，A正确；对于B,,为的一个周期,B正确；对于C，), ，,为的一个极小值点,C正确，综上，符合题意的选项为D,故选D.8. 已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，有，若集合中只有个元素，则，即，此时有，，同理，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，有，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，不满足条件，所以满足条件的有序集合对的个数为，故选A.【方法点睛】本题主要考查集合的交集、并集及集合与元素的关系、分类讨论思想的应用. 属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

试卷编号：1732北京市海淀区2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学(理)班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合A={x|x−2<0},B={x|e x>1},则A∩B=( )(A)R(B)(−∞,2)(C)(0,2)(D)(2,+∞)2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )(A)f(x)=ln|x|(B)f(x)=2−x(C)f(x)=x3(D)f(x)=−x23.已知向量a=(1,0),b=(−1,1),则( )(A)a∥b(B)a⊥b(C)(a−b)∥b(D)(a+b)⊥a4.已知数列{a n}满足a1+a2+···+a n=2a2(n=1,2,3,···),则( )(A)a1<0(B)a1>0(C)a1 a2(D)a2=05.将y=sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位,则所得图象的函数解析式为( )(A)y=sin2x(B)y=cos2x(C)y=sin(2x+π3)(D)y=sin(2x−π6)6.设α∈R,则“α是第一象限角”是“sinα+cosα>1”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件7.设f(x)=e sin x+e−sin x(x∈R),则下列说法不正确的是( )(A)f(x)为R上偶函数(B)π为f(x)的一个周期(C)π为f(x)的一个极小值点(D)f(x)在区间(0,π2)上单调递减8.已知非空集合A,B满足以下两个条件:①A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=∅;②A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为( )(A)10(B)12(C)14(D)16二、填空题共6小题。

2018届北京地区高三上学期期中考试数学（理）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合，，则（ ）．A ．B ．C ．D ． 答案：D2、“”是“函数的最小正周期为”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要 答案：A3．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“”的否定是“”C ．命题“若，则”的逆否命题为假命题D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题 答案：D4、定积分的值为（ ）A.B. C. D. 答案：A 5．已知函数两相邻对称轴间的距离为，则的值为（ ）．A ．B ．C ．D ．答案：B{}220,A x x x x R =--≤∈{}230,y B y y y Z =-<∈A B = ∅{}02x x <≤{}01x x <≤{}12,x x x Z ≤≤∈1=a ax ax y 22sin cos -=π12=x 1=x 12=x 1≠x 01,2<-+∈∃x x R x 01,2>-+∈∀x x R x y x =y x sin sin =0⎰4π2πππ26.函数满足，则的值为（ ）A. B. C.D. 答案：C7. 已知为等比数列,,,则（ ）A ． B. C ． D. 答案：D8.已知是公差d ≠0的等差数列的前项和，若，则A BCD答案：A9．已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心答案：A10、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）．A. B. C. D. 答案：B11、设函数，，若实数，分别是，的零点，则（ ）A. B. C. D.答案：D12．设函数在上存在导数，，有，在上，()3sin(2),(0,)3f x x πφφπ=-+∈)()(x f x f =φ6π3π56π32π{}n a 472a a +=568a a =-110a a +=75-5-7n S {}n a n 739a a =()95S S =95185925,,A B C O ABC P ABC ∆1(),[0,)2OP OA AC CB λλ-=+∈+∞AP ABC ∆[1,1]-()sin f x x =2()ln 2x f x x -=+()|1|f x x =-+1()()2x xf x e e -=-()42-+=x e x f x ()52ln 2-+=x x xg a b ()x f ()x g ()()a g b f <<0()()0<<a g b f ()()b f a g <<0()()b f a g <<0若，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．答案：B第II 卷（非选择题 共计90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若，且，则=. 答案：114．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________． 答案：-115、不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________. 答案：或16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a 的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2的最大值为________．答案：4三、解答题（本大题共6个小题，共计70分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6的值．解： (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.2(2)()220f m f m m m -+--+-≥[1,1]-[1,+∞）()()()1,2,,1,1,2a b x c =-==()a b c +⊥ x 2|3||1|3x x a a +--≤-x a 1a ≤-4a ≥由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24.又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由asin A＝csin C，得sin C ＝158.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cosA ＝15－7316.18．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.19.已知正项等比数列满足成等差数列,且. （Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设,求数列的前项和. （Ⅰ）设正项等比数列的公比为（1）由,因为,所以.又因为成等差数列,所以 所以数列的通项公式为.（Ⅱ）(方法一)依题意得,则…………………… 由 - 得[来源:学§科§网]所以数列的前项和(方法二)因为,所以20．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，sin x ，n ＝(1，sin x )，f (x )＝m ·n －12.{}n a 6,2,321+a a a 51249a a a ={}n a ()n n n a a b ⋅+=1log 3{}n b n n T {}n a ()0>q q 399923242235124±=⇒==⇒==q a a q a a a a 0>q 3=q 6,2,321+a a a ()3012690461111231=⇒=-++⇒=-++a a a a a a a {}n a n n a 3=()n n n b 312⋅+=()n n n T 312373533321⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=()()14323123123735333+⋅++⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n T ()()2321333323122-+⋅⋅⋅++⋅-⋅+=+nn n n T ()1212132331332312+++⋅=---⋅-⋅+=n n n n n {}n b n 13+⋅=n n n T ()()[]()n n n n n n n n n n b 3133133121⋅--⋅=⋅--=⋅+=+13+⋅=n n n T(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＝12，若3sin(A＋C )＝2cos C ，求b 的大小．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1－cos 2x 2－12＝32sin 2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故f (x )的单调递减区间是k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＝12和f (x )＝32sin 2x ，得sin A ＝33.①若cos A ＝63，则sin(A ＋C )＝33cos C ＋63sin C ，又3sin(A ＋C )＝2cos C ，所以cos C ＝2sin C .因为0<C <π，所以co s C ＝63.②若cos A ＝－63，同理可得：cos C ＝－63，显然不符合题意，舍去．所以sin B ＝sin(A ＋C )＝23cos C ＝223.故b ＝a sin B sin A＝4 2.21.（本小题满分12分）已知函数. ⑴求函数的单调增区间；⑵记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由 解：（Ⅰ）函数的定义域是.由已知得，. ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增 ⅱ 当时，①当时，即时, 令,解得或;函数在和上单调递增②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；③当时，即时, 令,解得或函数在和上单调递增.综上所述:⑴当时,函数在上单调递增 ⑵当时,函数在和上单调递增 ⑶当时,函数在上单调递增； ⑷当时,函数在和上单调递增.(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.设,是曲线上的不同两点，且，则，.21()ln (1)(0)2f x x ax a x a R a =-+-∈≠，()f x ()F x C 1122(,)(,)A x y B x y 、C C 00(,)M x y 1202x x x +=C M AB ()F x ()f x ()f x (0,)+∞1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-0a >'()0f x >01x <<∴()f x (0,1)0a <11a -<1a <-'()0f x >10x a<<-1x >∴()f x 1(0,)a-(1,)+∞11a -=1a =-()f x (0,)+∞11a ->10a -<<'()0f x >01x <<1x a>-∴()f x (0,1)1(,)a -+∞0a >()f x (0,1)1a <-()f x 1(0,)a-(1,)+∞1a =-()f x (0,)+∞10a -<<()f x (0,1)1(,)a-+∞()f x 11(,)A x y 22(,)B x y ()y f x =120x x <<211111ln (1)2y x ax a x =-+-222221ln (1)2y x ax a x =-+-.曲线在点处的切线斜率， 依题意得：. 化简可得 ， 即=.设 ()，上式化为：, ,令,. 因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.所以在内不存在,使得成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”． [来源:学*科*网]（22）（本小题满分10分） 设函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若不等式f (x )≤|a －2|的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，当x ≤－1时，f (x )≥2不成立；当－1<x <2时，由f (x )≥2得，2x －1≥2， ∴32≤x <2； 当x ≥2时，f (x )≥2恒成立．2121ABy y k x x -=-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+--=-211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x -=-++--00(,)M x y 0()k f x '=12()2x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+2121ln ln x x x x --122x x =+21ln x x 21212()x x x x -+21212(1)1x x x x -=+21x t x =1t >2(1)4ln 211t t t t -==-++4ln 21t t +=+4()ln 1g t t t =++214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+1t >'()0g t >()g t (1,)+∞()2g t >(1,)+∞t 4ln 21t t +=+()f x∴不等式f (x )≥2的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞.(2)∵f (x )＝|x ＋1|－|x －2|≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a －2|≥3，∴a ≥5或a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．。

北京市海淀区2018届高三数学上学期期中试题文本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合，集合, 则（A）（B）（C）（D）（2）命题“”的否定是（A）（B）（C）（D）（3）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（A）（B）（C）（D）（4）已知数列满足，则（A）（B）（C）（D）（5）在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上.在△中，若，则点的横坐标为（A）（B）（C）（D）（6）已知向量是两个单位向量，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为（A）（B）（C）（D）（8）若函数的值域为，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知等差数列满足，则公差=_____.（10）已知向量，，若与平行，则的值为______.（11）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时,，则.（12）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.（13）能够说明“设是实数.若，则”是假命题的一个实数的值为______.（14）已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）集合的元素个数不是中的元素，集合的元素个数不是中的元素.那么用列举法表示集合为 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间.（16）（本小题13分）已知等比数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）设，求数列的前项和.（17）（本小题13分）如图，△为正三角形，，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求，的长.（18）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.（19）（本小题14分）已知数列满足，，（N*）.（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）设，求的通项公式；（Ⅲ）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.(20) （本小题14分）已知函数.（Ⅰ）求证：1是函数的极值点;（Ⅱ）设是函数的导函数，求证：.海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 2017.11数学（文科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 C D C D A C B D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)9. 10. 11.12.； 13. 14. 或（答对一个给3分）三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15.（本题13分）解：（I）…………1分……3分（、值各1分）…………4分（II）…………8分（一个公式2分）. …………10分令…………12分得所以函数的单调递增区间为. …………13分说明：①如果没有代入的过程或没有和的函数值，但最后结果正确扣1分；如果第（I）问先化简的，按照第（II）问相应的评分标准给分。