2020届中考数学一轮复习提分专练(07) 以圆为背景的综合计算与证明

提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题|类型1| 圆与切线有关的问题1.[2018·咸宁]如图T7-1,以△ABC的边AC为直径的☉O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若AB=2,BC=,求DE的长.图T7-12.[2018·徐州]如图T7-2,AB为☉O的直径,点C在☉O外,∠ABC的平分线与☉O交于点D,∠C=90°.(1)CD与☉O有怎样的位置关系?请说明理由.(2)若∠CDB=60°,AB=6,求的长.图T7-2|类型2| 圆与四边形结合的问题3.[2017·宜昌]如图T7-3,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,ED=EC,以AE为直径的☉O与边CD相切于点D,B点在☉O上,连接OB.(1)求证:DE=OE;(2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD是菱形.图T7-34.[2018·镇江]如图T7-4①,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的☉P与对角线AC交于A,E两点.(1)如图②,当☉P与边CD相切于点F时,求AP的长;(2)不难发现,当☉P与边CD相切时,☉P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,☉P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的长的取值范围.图T7-4|类型3| 圆与三角函数结合的问题5.[2018·贵港]如图T7-5,已知☉O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.(1)求证:BD是☉O的切线;(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的长及☉O的半径.。

中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。

考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。

提分专练(七)圆中的相关计算与证明|类型1|切线性质的相关证明或计算1.[2018·平谷二模]已知在△ABC中,AB=BC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交AC于点E,过点E作☉O切线EF,交BC于点F.(1)求证:EF⊥BC;(2)若CD=2,tan C=2,求☉O的半径.图T7-12.[2018·怀柔二模]如图T7-2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是Rt△ABC的外接圆,过点C作☉O的切线交BA的延长线于点E,BD⊥CE于点D,连接DO交BC于点M.(1)求证:BC平分∠DBA;(2)若=,求的值.图T7-23.[2018·密云期末]如图T7-3,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,=.过点B作☉O的切线l,连接AC并延长交l于点E,连接AD并延长交l于点F.(1)求证:AC=CE;(2)若AE=8,sin∠BAF=,求DF长.图T7-34.[2018·石景山第一学期期末]如图T7-4,AC是☉O的直径,点D是☉O上一点,☉O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交☉O于点E,连接AE.(1)求证:∠ABC=∠AED;(2)连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长.图T7-45.[2019·石景山一模]如图T7-5,AB是☉O的直径,过☉O上一点C作☉O的切线CD,过点B作BE⊥CD于点E,延长EB交☉O于点F,连接AC,AF.(1)求证:CE=AF;(2)连接BC,若☉O的半径为5,tan∠CAF=2,求BC的长.图T7-5|类型2|切线的证明与计算6.[2019·顺义一模]已知:如图T7-6,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,点P在AB的延长线上,且∠A=∠P=30°.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)连接BC,若AB=4,求△PBC的面积.图T7-67.[2019·昌平二模]如图T7-7,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D,点Q为CA延长线上一点,延长QD交BC于点P,连接OD,∠ADQ=∠DOQ.(1)求证:PD是☉O的切线;(2)若AQ=AC,AD=2时,求BP的长.图T7-78.[2019·燕山一模]如图T7-8,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AC边上,以AD为直径作☉O交BD的延长线于点E,CE=BC.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若CD=2,BD=2,求☉O的半径.图T7-8【参考答案】1.解:(1)证明:连接BE,OE.∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.∵AB=BC,∴点E是AC的中点.∵点O是AB的中点,∴OE∥BC.∵EF是☉O的切线,∴EF⊥OE.∴EF⊥BC.(2)连接AD.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵CD=2,tan C=2,∴AD=4.设AB=x,则BC=x,BD=x-2.在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,∴x2=16+(x-2)2.解得x=5,∴☉O的半径为.2.解:(1)证明:连接OC,∵DE与☉O相切于点C,∴OC⊥DE.∵BD⊥DE,∴OC∥BD,∴∠1=∠2.∵OB=OC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,即BC平分∠DBA.(2)∵OC∥BD,∴△EBD∽△EOC,△DBM∽△OCM, ∴,,∴.∵,设EA=2k,AO=3k,∴OC=OA=OB=3k.∴.3.解:(1)证明:连接BC.∵AB是☉O的直径,C在☉O上,∴∠ACB=90°.∵,∴AC=BC,∴∠CAB=45°.∵AB是☉O的直径,EF切☉O于点B,∴∠ABE=90°,∴∠AEB=45°,∴AB=BE,∴AC=CE.(2)在Rt△ABE中,∠ABE=90°,AE=8,AB=BE,∴AB=8.在Rt△ABF中,AB=8,sin∠BAF=,易得BF=6.连接BD,则∠ADB=∠FDB=90°,∵∠BAF+∠ABD=90°,∠ABD+∠DBF=90°,∴∠DBF=∠BAF.∵sin∠BAF=,∴sin∠DBF=,∴,∴DF=.4.解:(1)证明:连接CD.∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°.∵BC是☉O的切线,∴∠ACB=90°,∴∠DAC+∠ABC=90°,∴∠ABC=∠ACD.∵∠AED=∠ACD,∴∠ABC=∠AED.(2)∵∠AED=∠ACD=∠ABC,∴tan∠ACD=tan∠AED=tan∠ABC=,∴tan∠ACD=,即,∴CD=.∴AC=8.∵AF=6,∴FC=2,∵tan∠ABC=,即,∴BC=6,∴BF=2.5.解:(1)证明:连接CO并延长,交AF于点G.∵CD是☉O的切线,∴∠ECO=90°.∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=90°.∵BE⊥CD,∴∠CEF=90°,∴四边形CEFG是矩形,∴GF=CE,∠CGF=90°,∴CG⊥AF,∴GF=AF,∴CE=AF.(2)连接CF,如图,∵CG⊥AF,∴GF=GA,CF=CA,∴∠CF A=∠CAF.∵∠CBA=∠CF A,∴∠CBA=∠CAF.∴tan∠CBA=tan∠CAF=2.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△CBA中,设BC=x,则AC=2x, ∴AB=x=5×2,∴BC=x=2.6.解:(1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠1=∠A,又∵∠A=∠P=30°,∴∠1=30°,∠ACP=120°,∴∠OCP=90°,∴PC是☉O的切线.(2)∵AB=4,∴OA=OB=OC=2,∵∠OCP=90°,∠P=30°,∴OP=4,PC=2,∴BP=OB,∴S△PBC=S△OPC,∵S△OPC=2×2×=2,∴S△PBC=.7.解:(1)证明:连接DC.∵,∴∠DCA=∠DOA.∵∠ADQ=∠DOQ,∴∠DCA=∠ADQ.∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠DCA+∠DAC=90°,∴∠ADQ+∠DAC=90°,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠ADQ+∠ADO=90°,∴DP是☉O切线.(2)∵∠ACB=90°,OC为半径,∴PC是☉O切线,∴PD=PC.连接OP,∴∠DPO=∠CPO.∴OP⊥CD.∴OP∥AD.∵AQ=AC=2OA,∴.∵AD=2,∴OP=3.易知OP是△ACB的中位线, ∴AB=6.∴BD=AB-AD=4.∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴△BCD∽△BAC,∴, ∴BC2=BD·BA=24.∴BC=2,∴BP=.8.解:(1)证明:如图,连接OE,∵∠ACB=90°,∴∠1+∠5=90°.∵CE=BC,∴∠1=∠2.∵OE=OD,∴∠3=∠4.又∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,∴∠2+∠3=90°,即∠OEC=90°, ∴OE⊥CE.∵OE是☉O的半径,∴CE是☉O的切线.(2)解法一:在Rt△BCD中,∠DCB=90°,CD=2,BD=2, ∴BC=CE=4.设☉O的半径为r,则OD=OE=r,OC=r+2,在Rt△OEC中,∠OEC=90°,∴OE2+CE2=OC2,∴r2+42=(r+2)2,解得r=3,∴☉O的半径为3.解法二:如图,连接AE,∵AD为☉O直径,∴∠AED=90°.∵∠AED=∠ACB=90°,∠4=∠5,∴∠6=∠1.∵∠1=∠2,∴∠6=∠2.又∵∠ACE=∠ECD,∴△ACE∽△ECD,∴.在Rt△BCD中,∠DCB=90°,CD=2,BD=2,∴BC=CE=4.∴AC==8,∴AD=AC-CD=6,∴☉O的半径为3.。

提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题|类型1| 圆与切线有关的问题1.[2017·南充]如图T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若CF=2,DF=4,求☉O直径的长.图T7-12.[2018·沈阳]如图T7-2,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.图T7-2|类型2| 圆与平行四边形结合的问题3.如图T7-3,AB是半圆O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为半圆O的切线;(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.图T7-34.如图T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ;②连接OD,OE,当∠A的度数为时,四边形ODME是菱形.图T7-4|类型3| 圆与三角函数结合的问题5.[2017·咸宁]如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若AE=4,cos A=,求DF的长.图T7-56.[2018·金华、丽水]如图T7-6,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若BC=8,tan B=,求☉O的半径.图T7-6|类型4| 圆与相似三角形结合的问题7.[2017·天门]如图T7-7,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交☉O于点E,连接CE,CB,AC.(1)求证:CE=CB;(2)若AC=2,CE=,求AE的长.图T7-78.如图T7-8,AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6 cm,CO=8 cm.(1)求证:BO⊥CO;(2)求BE和CG的长.图T7-8参考答案1.[解析] (1)连接OD,欲证DE是☉O的切线,需证OD⊥DE,即需证∠ODE=90°,而∠ACB=90°,连接CD,根据“等边对等角”可知∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,进而得出∠ODE=90°,从而得证.(2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解:(1)证明:连接OD,CD.∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°.∴∠BDC=90°.又E为BC的中点,∴DE=BC=CE.∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴∠ODE=90°.∴DE是☉O的切线.(2)设☉O的半径为x.在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2,即x2+42=(x+2)2,解得x=3.∴☉O的直径为6.2.解:(1)如图,连接OA,∵AC为☉O的切线,OA是☉O半径, ∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°.∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°.∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°. (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,3∠C=90°,∠C=30°.∴OA=OC.设☉O的半径为r,∵CE=2,∴r=(r+2).∴r=2.∴☉O的半径为2.3.解:(1)证明:如图,连接OD,∵点C,D为半圆O的三等分点,∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.∵OA=OD,∴△AOD为等边三角形, ∴∠DAO=60°,∴AE∥OC.∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴CE为半圆O的切线.(2)四边形AOCD为菱形.理由:∵OD=OC,∠COD=60°,∴△OCD为等边三角形,∴CD=CO.同理:AD=AO.∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC,∴四边形AOCD为菱形.4.解:(1)证明:在Rt△ABC中,∵点M是AC的中点,∴MA=MB,∴∠A=∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形,∴∠ADE+∠ABE=180°,又∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.同理可证:∠MED=∠A,∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.(2)①2[解析] 由MD=ME,MA=MB,得DE∥AB,∴=,又AD=2DM,∴=,∴=,∴DE=2.②60°[解析] 当∠A=60°时,△AOD是等边三角形,这时易证∠DOE=60°,△ODE和△MDE都是等边三角形,且全等,∴四边形ODME是菱形.5.解:(1)证明:连接OD.∵OB=OD,∴∠ODB=∠B.又∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∴∠ODF=∠DFC=90°,∴DF是☉O的切线.(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G.∴AG=AE=2.∵cos A=,∴OA==5,∴OG==.∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,∴四边形OGFD是矩形,∴DF=OG=.6.解:(1)证明:连接OD.∵OB=OD,∴∠3=∠B.∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°, ∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°.∴OD⊥AD.∴AD是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r.在Rt△ABC中,AC=BC·tan B=8×=4,∴AB===4.∴OA=4-r.在Rt△ACD中,tan∠1=tan B=,∴CD=AC·tan∠1=4×=2,∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,∴(4-r)2=r2+20.解得r=.故☉O的半径是.7.解:(1)证明:连接OC,∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠1=∠3.又∵OA=OC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∴CE=CB.(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AC=2,CB=CE=,∴AB===5.∵∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠2,∴△ADC∽△ACB.∴==,即==,∴AD=4,DC=2.在Rt△DCE中,DE===1,∴AE=AD-ED=4-1=3.8.解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∵AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°, ∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO.(2)如图,连接OF,则OF⊥BC.∴Rt△BOF∽Rt△BCO,∴=.∵在Rt△BOC中,BO=6 cm,CO=8 cm,∴BC==10(cm),∴=,∴BF=3.6 cm.∵AB,BC,CD分别与☉O相切, ∴BE=BF=3.6 cm,CG=CF.∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm), ∴CG=CF=6.4 cm.。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《圆的综合》1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D．（1）若AB＝8，∠ABC＝30°，求⊙O的半径；（2）若点E是边BC的中点，连结DE，求证：直线DE是⊙O的切线；（3）在（1）的条件下，保持Rt△ACB不动，将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，当⊙O′与直线AB相切时，m＝．2．如图，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为；（2）在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；（3）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO ≥BO ．以OF 为半径的⊙O 与直线AB 交于点M ，N ． （1）如图1，若点O 为AB 中点，且点D ，点C 都在⊙O 上，求正方形BEFG 的边长． （2）如图2，若点C 在⊙O 上，求证：以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．（3）如图3，若点D 在⊙O 上，求证：DO ⊥FO ．4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ． （1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．5．定义：当点P在射线OA上时，把的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA 上的射影值均为＝．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．其中真命题有．A．①②B．①③C．②③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O 上任意点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为．6．问题发现：（1）如图1，△ABC内接于半径为4的⊙O，若∠C＝60°，则AB＝；问题探究：（2）如图2，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，若∠B＝120°，求四边形ABCD的面积最大值；解决问题：（3）如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条弧形道路围成，点M 是AB道路上的一个地铁站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝60°，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．8．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．9．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．（Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC的大小．10．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM．（1）求证：AM平分∠CAB；（2）若AB＝4，∠APE＝30°，求的长．11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F，交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．12．已知，点A为⊙O外一点，过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C，连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP＝∠DPA．（1）求证：PO＝PD；（2）若AC＝，求⊙O的半径．13．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．（1）求证：FC＝FD．（2）当E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝30，则OP＝．14．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N 为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）15．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM的值．16．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．17．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC 边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．（2）△ABC中，BC＝9，tan B＝，tan C＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠CAB＝2∠BCP；（2）若⊙O的直径为5，sin∠BCP＝，求△ABC内切圆的半径；（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△CAB的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．参考答案1．解：（1）在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠ABC＝30°，∴AC＝AB sin∠ABC＝8sin30°＝4，∴⊙O的半径为2；（2）证明：连接OD，CD，∵AC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝CB，∴∠DCE＝∠CDE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；（3）连接OO′交AB于F，设⊙O′与AB相切于G，连接O′G，则∠O′GF＝90°，∵将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，∴OO′∥BC，AO＝O′G，∴∠AOF＝∠ACB＝90°，∵∠AFO＝∠O′FG，∴△AOF≌△O′GF（AAS），∴O′F＝AF，∵在Rt△AOF中，∵∠A＝60°，AO＝2，∴AF＝4，OF＝2，∴O′F＝AF＝4，∴OO′＝4+2，∴m＝4+2．故答案为：4+2．2．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD∥AB，CD＝AB＝13，∴∠EAB＝∠DEA，∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝，∴tan∠DEA＝＝＝．故答案为：．（2）证明：连接OF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，又CE＝DE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA＝∠EBA．∴OF∥EB．∵FG⊥BE，∴FG⊥OF，∴FG是⊙O的切线．（3）解：若BE能与⊙O相切，由AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．设DE＝x，则EC＝13﹣x．由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即（36+x2）+[（13﹣x）2+36]＝132，整理得x2﹣13x+36＝0，解得：x1＝4，x2＝9，∴DE＝4或9，当DE＝4时，CE＝9，BE＝＝＝3，当DE＝9时，CE＝4，BE＝＝＝2，∴BE能与⊙O相切，此时BE＝2或3．3．解：（1）如图1，连接OC，∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，BE＝EF，∠OEF＝∠ABC＝90°，∵点O为AB中点，∴OB＝AB＝，设BE＝EF＝x，则OE＝x+，在Rt△OEF中，∵OE2+EF2＝OF2，∴，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2＝OC2，∴＝OC2，∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC＝OF，∴，解得：x＝，∴正方形BEFG的边长为；（2）证明：如图2，连接OC，设OB＝y，BE＝EF＝x，同（1）可得，OE2+EF2＝OF2，OB2+BC2＝OC2，∴OF2＝x2+（x+y）2，OC2＝y2+12∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC＝OF，∴x2+（x+y）2＝y2+12，∴2x2+2xy＝1，∴x2+xy＝，即x（x+y）＝，∴EF×OE＝，∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为．（3）证明：连接OD，设OA＝a，BE＝EF＝b，则OB＝1﹣a，则OE＝1﹣a+b，∵∠DAO＝∠OEF＝90°，∴DA2+OA2＝OD2，OE2+EF2＝OF2，∴12+a2＝OD2，（1﹣a+b）2+b2＝OF2，∵OD＝OF，∴12+a2＝（1﹣a+b）2+b2，∴（b+1）（a﹣b）＝0，∵b+1≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴OA＝EF，在Rt△AOD和Rt△EFO中，，∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），∴∠FOE＝∠ODA，∵∠DAO＝90°，∴∠ODA+∠AOD＝90°，∴∠FOE+∠AOD＝90°，∴∠DOF＝90°，∴DO⊥FO．4．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2， ∴EA 2+CF 2＝EF 2，∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ，即S △ABC ＝S 矩形BGKH ， ∴S △ABC ＝S 矩形BGKH ，∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，∵BM 平分∠GBH ，∴BG ：BH ＝9：8，设BG ＝9k ，BH ＝8k ，∴CH ＝3+k ，∵AG ＝3，∴AE ＝3， ∴CF ＝（k +3），EF ＝（8k ﹣3），∵EA 2+CF 2＝EF 2， ∴+＝，整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣（舍去），k 2＝1．∴AB ＝12，∴AO ＝AB ＝6，∴⊙O的半径为6．5．解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB 不一定是锐角三角形；②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形；③正确．点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，故△OAB是钝角三角形；故答案为：B．（2）①如图2，作BH⊥OC于点H，∵点B在射线OA上的射影值为，∴＝，＝，CA＝OA＝OB＝1，∴＝，又∵∠BOH＝∠COB，∴△BOH∽△COB，∴∠BHO＝∠CBO＝90°，∴BC⊥OB，∴直线BC是⊙O的切线；②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，当∠DOB＜90°时，设DM＝h，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DN＝OC×DM，∴DN＝2h，∵在Rt△DON和Rt△DOM中，OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，∴4h2+y2＝h2+x2，∴3h2＝x2﹣y2①，∵BD2＝CD2，∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，①②消去h得：y＝2x﹣．如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DO＝OC×DM，∵CA＝OA＝OB＝1，∴OD＝2DM，∴sin∠DOM＝，∴∠DOM＝30°，设DM＝h，则OD＝2h，OM＝h，∴h2+＝1+4h2，∴h＝，∴OM＝，当点B在OC上时，OD＝，综上所述，当≤x≤时，y＝0；当＜x≤时，y＝2x﹣．故答案为：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．6．解：（1）如图1，连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰三角形，∵OH⊥AB，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，∴AH＝OA sin∠AOH＝4×＝2，则AB＝2AH＝4；故答案为4；（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，∵四边形ABCD的面积S＝AC×DE AC×BF＝AC×（DE+BF），∴当D、E、F、B四点共线且为直径时，四边形ABCD的面积S最大；∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠AOC＝120°，在△AOC中，由（1）知，AC＝2×OA sin60°＝2×6×＝6，∴四边形ABCD的面积S的最大值为：×AC×BD＝6×12＝36，故四边形ABCD的面积的最大值为36；（3）如图3，过点D作DK⊥AB于点K，连接CD，在△ADM中，DK＝AD•sin A＝1×＝，同理AK＝，则KM＝AM﹣AK＝2﹣＝，则tan∠DMK＝＝∴∠DMK＝30°，故△ADM为直角三角形，同理△CMB为直角三角形，在Rt△ADM中，DM＝＝＝，∴∠DMC＝180°﹣∠DMA﹣∠CMB＝60°∵AD＝BM，AM＝BC，∠A＝∠B＝60°，∴Rt△ADM≌Rt△BMC（SAS），∴DM＝CM，∴△CDM为等边三角形；设所在的圆的圆心为R，连接DR、CR、MR，∵DM＝CM，RM＝RM，DR＝CR，∴△DRM≌△CRM（SSS），∴∠DMR＝∠CMR＝∠DMC＝30°，在△DMR中，DR＝1，∠DMR＝30°，DM＝＝CM，过点R作RH⊥DM于点H，则RM＝＝＝1＝RD，故D、P、C、M四点共圆，∴∠DPC＝120°，如图4，连接MP，在PM上取PP′＝PC，∵△CDM为等边三角形，∴∠CDM＝60°＝∠CPM，∴△P′PC为等边三角形，则PP′＝P′C＝PC，∵∠PMC＝∠PDC，∠CP′M＝180°﹣∠PP′C＝120°＝∠DPC，CD＝CM，∴△PDC≌△P′MC（AAS），∴PD＝P′M，∴PD+PC＝PP′+PD＝PP′+P′M＝PM，故当PM是直径时，PD+PC最大值为2；∵四边形DMCP的周长＝DM+CM+PC+PD＝2+PD+PC，而PD+PC最大值为2；故四边形DMCP的周长的最大值为：2+2，即四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大为2+2．7．（1）证明：∵OQ∥AP，∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，又∵OP＝OA，∴∠APO＝∠OAP，又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ与△POQ中，，∴△POQ≌△BOQ（SAS），∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，∵点P在⊙O上，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：①∵△POQ≌△BOQ，∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB＝2；②∵PE⊥AB，∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，∵OC＝OA＝1，∴PC＝＝＝，∴PE＝2PC＝2．故答案为：2；2．8．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵DC为⊙O的切线，切点为C，∴DC＝DA，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，∴∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°；（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∠DEA＝∠EAB，∴∠ADC＝90°，∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝60°，∴∠EAB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°．9．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DC与⊙O相切，∴∠OCD＝90°，∵OB＝BD，∴BC＝OD＝OB＝BD，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°，∴∠BCD＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠A＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，∴∠ACF＝∠ABE，∴∠FAC＝∠EAB＝18°，答：∠FAC的大小为18°．10．解：（1）连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB；（2）∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为＝．11．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC＝90°；又∵OC⊥AD，∴∠OFA＝90°，∴∠AOC+∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．又∵∠BED＝∠BAD，∴∠C＝∠BED．（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，∴tan∠C＝，∴tan∠C＝＝，且OA＝AB＝6，∴，解得AC＝8，∴＝10，∵OC•AF＝OA•AC，∴．∴＝＝．12．（1）证明：∵PA与⊙O相切于点P，∴BP⊥AP∴∠OPD+∠DPA＝90°，∠OAP+∠AOP＝90°∵∠OAP＝∠DPA．∴∠OPD＝∠AOP∴OD＝PD∵PO＝OD∴PO＝PD．（2）连接PC，∵PB为⊙O的直径∴∠BCP＝90°∵PO＝PD＝OD∴∠AOP＝60°设⊙O的半径为x，则PB＝2x，＝tan60°∴PA＝x∴AB＝＝x∵∠BPA＝∠BCP＝90°，∠B＝∠B∴△BAP∽△BPC∴＝∵AC＝∴＝∴7x﹣＝4x∴x＝∴⊙O的半径为．13．证明：（1）连接OC，（1）证明：连接OC∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠DCF＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∴∠BDP＝∠DCF，∵∠BDP＝∠CDF，∴∠DCF＝∠CDF，∴FC＝FD；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，∴AC＝18，BC＝24，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，∴S△OBE由勾股定理得OP＝＝＝9．故答案为：9．14．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，∴△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF ＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，解得：a＝，在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，∴AG＝，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，解得：x＝t，∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，解得：t＝，∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，故答案为：1＜t≤．15．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．16．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．17．解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x，则BE＝3x，CE＝6x，∴BC＝9x＝9，∴x＝1，∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，设DE＝a，①如答图2，若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0，解得，a＝﹣2（舍去），2∴．②如答图3，若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0，＝2，（舍去）解得a1∴BD＝3+a＝3+2＝5．∴或5．（5）①∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH∴△AHC∽△DHB，∴，即AH•BH＝CH•DH，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴BH2＝CH•DH∴点H是△BCD中CD边上的“好点”．②．理由如下：如答图4，连接AD，BD，∵∠ABD＝90°，∴AD是直径，∴AD＝18．又∵OH⊥AB，∴OH∥BD．∵点O是线段AD的中点，∴OH是△ABD的中位线，∴BD＝2OH＝12．在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3．在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3．又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝．∴＝＝，即．18．解：（1）如图，连接AN，∵AC为直径，∴AN⊥BC，∵AB＝AC，∴AN平分∠BAC，∵PC是圆的切线，∴∠ACP＝90°，∵∠NAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝90°，∴∠NAC＝∠BCP，即∠BAC＝2∠BCP；（2）由（1）知，AN平分∠BAC，则∠NAC＝∠BCP，故sin∠NAC＝sin∠BCP＝，则tan∠NAC＝，在Rt△NAC中，AC＝5，NC＝AC•sin∠NAC＝5×＝，同理AN＝2，则BC＝2NC＝2；S＝×BC•AN＝2×2＝10，△ABC设△ABC内切圆的半径为r，则S＝（AB+AC+BC）•r＝×（5+5+2）＝10，△ABC解得：r＝；故△ABC内切圆的半径为；（3）在△ABC中，设AC边长的高为h，则S＝AC•h＝×5×h＝10，解得：h＝4，△ABCsin∠BAC＝＝，在Rt△ACP中，∵sin∠BAC＝＝，设PC＝4m，则AP＝5m，则AC＝3m＝5，解得m＝，△ACP的周长＝3m+4m+5m＝12m＝20．19．（1）证明：如图1，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°．∵＝，∴∠ABD＝∠DCA，∵∠FAD＝∠ABD，∴∠FAD＝∠DCA，∴∠FAD+∠DCA＝90°，∴CA⊥AF，∴AF为⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接OD，∵＝，∴∠ABD＝∠AOD，∵＝，∴∠DBC＝∠DOC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DOA＝∠DOC，∴DA＝DC．（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∵DA＝DC，∴DO⊥AC，∴∠FAC＝∠DOC＝90°，∴AF∥OM，∵AO＝OC，∴OM＝AF．∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°．∴∠ODE＝∠OCM．∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC，∴∴△ODE≌△OCM，∴OE＝OM，设OM＝m，∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m，∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°，∴∠AEN＝∠ADE，∵∠EAN＝∠DPE，∴△EAN∽△DPE，∴＝，∴＝，∴m＝，∴AN＝，AE＝，∴勾股定理得NE＝．20．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2＝OG•OA，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．。

专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD̂=CD̂，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解答】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，̂=CD̂，∴BD∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A＝30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∵OB＝OC，OC=12 OA，∴∠C＝∠OBC，OB=12OA，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，则∠C+∠OBC＝60°，∴∠C＝30°．故选：B．3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【解答】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB=12∠COG＝30°，故B选项正确；∵OC＝OE，FC＝FG，∴OF垂直平分CG，故C选项正确；∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；故选：D．4．（2020•石景山区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，弦AD 的延长线与弦BC 的延长线相交于点E ．用①AB 是⊙O 的直径，②CB ＝CE ，③AB ＝AE 中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题， 理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， 在△ACB 和△ACE 中， {AC =AC∠ACB =∠ACE BC =EC， ∴△ACB ≌△ACE （SAS ）， ∴AB ＝AC ；当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题， 理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， 在Rt △ACB 和Rt △ACE 中， {AB =AE AC =AC， ∴Rt △ACB ≌Rt △ACE （HL ）， ∴CB ＝CE ；当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题， 理由：在△ACB 和△ACE 中，{AB =AE AC =AC CB =CE， ∴△ACB ≌△ACE （SSS ）， ∴∠ACB ＝∠ACE ，又∵∠ACB +∠ACE ＝180°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径； 故选：D ．5．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB ＝90°，然后根据∠CAB ＝65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【解答】解：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠CAB ＝65°，∴∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝25°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝25°， 故选：D ．6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ̂上，将弧BC ̂沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为√5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√652【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD ＝BD =12AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AĈ=CD ̂，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝3√2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD =√(√5)2−22=1， ∵将弧BĈ沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴AC ̂=CD ̂， ∴AC ＝DC ， ∴AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF ＝EF ＝1，在Rt △OCF 中，CF =√(√5)2−12=2， ∴CE ＝CF +EF ＝2+1＝3， 而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3， ∴BC ＝3√2．故选：B．7．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD＝4，tan C=12，则AB的长为（）A．2.5B．4C．5D．10【分析】首先根据垂径定理和CD的长求得CE和DE的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B＝∠C，根据正切的定义求得AE和BE的长即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝4，∴CE＝DE＝2，∵∠B＝∠C，tan C=1 2，∴tan B=1 2，∴AE＝1，BE＝4，∴AB＝AE+BE＝1+4＝5，故选：C．8．（2020•朝阳区一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CD D．CE＝AE 【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正确；故选：C．9．（2020•大兴区一模）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝40°．【解答】解：∵∠AOB＝80°∴∠ACB=12∠AOB＝40°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．（2020•燕山一模）已知⊙O．如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．̂=AD̂，再根据垂径定理即可判断；【分析】①连接OC，根据作图过程可得AC②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，̂=AD̂，∴AC根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确； ③方法一：∵∠CAO ＝60°，∠ACB ＝90°，∠CBE ＝30°， ∴BC ＝2CE ． 所以③正确． 方法二：由△ACE ∽△CBE ，∴AC ：AE ＝BC ：CE ＝2：1， ∴BC ＝2CE ， 所以③正确．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝ ．【分析】根据切线长定理得出∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan ∠OCB 的值． 【解答】解：连接OB ，作OD ⊥BC 于D ， ∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切， ∴∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°， ∴tan ∠OBC =ODBD ， ∴BD =ODtan30°=√333=3，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5， ∴tan ∠OCB =ODCD =√35． 故答案为√35．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE 的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝CB＝2，∠OBA＝60°，根据OA＝AB tan∠OBA可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2√3，∴光盘的直径为4√3，故答案为：4√3．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到MN=12AB，再根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝4√3，由于AB＝AD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值．【解答】解：作直径AD，如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴NM为△CAB的中位线，∴MN=12AB，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°∴CD=√33AC＝2√3，AD＝2CD＝4√3，当AB＝AD时，AB的值最大，∴AB最大值为4√3，MN的最大值为2√3．故答案为2√3．15．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．【分析】利用垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AE，从而得到AC的长．【解答】解：∵点D为AĈ的中点，∴OD⊥AC，∴AE＝CE，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝30°，∴OE=12OA＝2，AE=√3OE＝2√3，∴AC＝2AE＝4√3．故答案为4√3．三．解答题（共14小题）16．（2020•燕山一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．【分析】（1）如图，连接BC，OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得OD⊥BC，得到OD⊥EF，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AE＝3，AF＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接BC，OD，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， 又∵EF ⊥AE ， ∴BC ∥EF ， ∵点D 为BC ̂中点， ∴OD ⊥BC ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F =35， ∴AE ＝3，AF ＝5， ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE=OF AF，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF ﹣AO ＝5﹣r ， ∴r3=5−r 5，解得r =158， ∴⊙O 的半径为158．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 边的中点，以AD 为直径作⊙O ，分别与AB ，AC 交于点E ，F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ． （1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝6，⊙O 的半径为5，求BE 的长．【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE＝AE，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，AE=2−AF2=8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接DC，根据等边三角形的性质和直径所对圆周角是直径即可求出CF的长．【解答】解：（1）如图，依题意补全图形．证明：∵等边△ABC，∴AB＝AC，̂=AĈ，∴AB∵AD过圆心O，由垂径定理，∠AEC＝90°，∵DF∥BC，∴∠ADF＝90°，∴DF与⊙O相切．（2）解：连接DC，∵等边△ABC，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴DC=2√3，∵∠DCF＝90°，∠F＝60°，∴CF＝2．19．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只要证明CD⊥OC即可．（2）连接AC，BD交于点E．求出BE，再根据BD＝2BE可得结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵OB＝OC，∠B＝45°，∴∠BCO＝∠B＝45°．∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠OCD＝∠BOC＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：连接AC，BD交于点E．∵AB是直径，AB＝8，∴∠ACB＝90°．∴BC=AC=4√2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE=12AC=2√2，∴BE=2+CE2=√40=2√10，∴BD=2BE=4√10．20．（2020•东城区一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l 上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，由余角的性质可求∠ABO＝90°，可得结论；（2）过点O作OD⊥BP于D，设AP＝x，AC＝2x，由勾股定理可求AP＝2，AC＝4，由勾股定理可求CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，可求PD的长，由等腰三角形的性质可求BP的长．【解答】证明：（1）连接OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵OA⊥l，∴∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CP A＝90°，∴∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，过点O作OD⊥BP于D，∵tan ∠ACB =AP AC =12， ∴设AP ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝2x ，OP ＝OB ＝5﹣x ， ∵AO 2＝OB 2+AB 2， ∴25＝（5﹣x ）2+4x 2， ∴x ＝2， ∴AP ＝2，AC ＝4 ∴OB ＝OP ＝3， ∴CP =√AC 2+AP2=√16+4=2√5，∵∠CAP ＝∠ODP ＝90°，∠APC ＝∠OPD ， ∴△ACP ∽△DOP ， ∴PD PA=OP CP=OD CA，∴PD =OP⋅PA CP=35√5， ∵OB ＝OP ，OD ⊥BP ， ∴BP ＝2PD =6√55． 21．（2020•石景山区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作▱OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F ． （1）求证：AF ⊥CF ；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan ∠OCB ＝3，⊙O 的半径是5，求BD 的长．【分析】（1）连接OC，如图，根据平行四边形的性质得到DC∥OB，DC＝OB，推出四边形OCDA是平行四边形，得到AF∥OC，根据切线的性质得到∠OCQ＝90°，于是得到结论；（2）过点B作BN⊥OC于点N，如图，根据平行四边形的性质得到BD＝2BH，CH=12CO=52．tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，求得ON＝5﹣x．根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴DC∥OB，DC＝OB，∵AO＝OB，∴DC∥AO，DC＝AO，∴四边形OCDA是平行四边形，∴AF∥OC，∵直线PQ与⊙O相切于点C，OC是半径，∴∠OCQ＝90°，∴∠AFC＝∠OCQ＝90°，即AF⊥CF；（2）解：过点B作BN⊥OC于点N，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴BD＝2BH，CH=12CO=52．在Rt△BNC中，tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，∴ON＝5﹣x．在Rt△ONB中，（5﹣x）2+（3x）2＝52，解得x1＝0（舍），x2＝1．∴BN＝3x＝3，HN=52−x=32．在Rt△HNB中，由勾股定理可得BH=3√5 2．∴BD=2BH=3√5．22．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD̂=AĈ，①补全图形；②求证：OF＝OB．【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠OAC+∠BCA＝∠OCA+∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）①解：补全图形如图2；②证明：∵∠OAB＝90°，∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，∴BA＝BC，∵BA＝BC，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，̂=CD̂，∴AD̂=AĈ，∵AD̂=CD̂=AĈ，∴AD∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．23．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．【分析】（1）直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；（2）①按题意画出图形即可；②连接OB，OC，证明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，则结论得证；③得出∠BOD＝60°，设OD＝x，则OB＝OE＝2+x，得出cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，求出x＝2，得出tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，则可求出EF的值．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求．（2）①如图2，补全图形：②证明：连接OB，OC，∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴AE⊥BC．∵直线EF为⊙O的切线，∴AE⊥EF，∴EF∥BC；③解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵DE＝2，设OD＝x，∴OB＝OE＝2+x，在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，∴cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，∴x＝2，∴OD＝2，OB＝4，∴AE＝8，在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，∴tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，∴EF=8√3 3．24．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．【分析】（1）依据几何语言进行画图即可；（2）连接OD．求得∠FDO＝90°，即可得到直线EF是⊙O的切线；（3）连接AD．依据△ABD∽ADE，即可得到AE＝3.2．设BF＝x，则OF＝2.5+x，AF＝5+x．再根据△ODF∽△AEF，即可得到BF=45 7．【解答】解：（1）如图所示：（2）相切，理由如下：如图，连接OD．∵点D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠F AE．∴OD∥AE．∴∠FDO＝∠E．∵AE⊥EF，∴∠E＝90°．∴∠FDO＝90°．∴直线EF是⊙O的切线．（3）如图，连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝5，BD＝3，∴AD＝4．∵∠E ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝∠DAE ， ∴△ABD ∽ADE ， ∴AE AD=AD AB，∴AE ＝3.2．设BF ＝x ，则OF ＝2.5+x ，AF ＝5+x ． ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD OF=AE AF，∴2.52.5+x=3.25+x，解得x =457． ∴BF =457． 25．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥P A ，分别交射线P A ，PB 于E ，F ．（1）根据题意补全图形； （2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC ＝2CF ，且DF =√3，求PE 的长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）欲证明DE 是⊙O 的切线，只要证明DE ⊥OD 即可．（3）首先证明OF ＝2OD ，推出∠OFD ＝30°，解直角三角形求出OD ，OF ，PF 即可解决问题． 【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接OD．∵OD＝OP，∴∠ODP＝∠OPD，∴PD平分∠APB，∴∠APD＝∠POD，∴∠APD＝∠ODP，∴OD∥P A，∵DE⊥P A，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（3）解：∵PC＝2CF，∴可以假设CF＝x，则PC＝2x，OD=12OF，∵∠ODF＝90°，∴∠OFD＝30°，∵DF=√3，∴OD＝DF•tan30°＝1，∴OF＝2OD＝2，PF＝3，在Rt△PEF中，∵∠PEF＝90°，∠PFE＝30°，∴PE=12PF=32．26．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．【分析】（1）根据题意可得三角形ABC是直角三角形，再根据切线长定理即可求出a的值；（2）①根据题意可得点O是三角形ABC的内心，再根据三角形内角和即可得结论；②作OE⊥MN于点E，根据角平分线的性质可得OD＝OE，所以得OE为圆O的半径，进而可得MN为圆O的切线，即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴33+42＝52，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，由题意可知：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，∴四边形AFOD为正方形，∴AF＝AD＝OF＝OD＝a，根据切线长定理可知：BF＝BQ＝3﹣a，CD＝CQ＝4﹣a，∴3﹣a+4﹣a＝5，解得a＝1；（2）①由题意可知：点O是△ABC的内心，∴∠ABM＝∠CBM，∵MA⊥AB，MB⊥BC，∴∠A＝∠BNM＝90°，∴∠BMA＝∠BMN；②如图，作OE⊥MN于点E，∵∠BMA＝∠BMN，∵OD⊥AC，∴OD＝OE，∴OE为圆O的半径，∴MN为圆O的切线，∴直线MN与图形G的公共点个数为1．27．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．【分析】（1）连接OC，可证明OC∥DE，由于CE⊥DB，∠CED＝90°，所以∠OCE＝90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．（2）连接BC，由于∠BDC＝∠BAC，所以tan∠BAC＝tan∠BDC=12，设BC＝x，AC＝2x，所以AB=√5x，列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）连接OC，∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠COB ＝2∠OAC ，∵∠BDC ＝∠OAC ，∠ABD ＝2∠BDC ，∴∠COB ＝∠ABD ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥DB ，∠CED ＝90°，∴∠OCE ＝90°，OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线．（2）连接BC ，∵∠BDC ＝∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝tan ∠BDC =12，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴BC AC =12， 设BC ＝x ，AC ＝2x ，∴AB =√5x ，∵⊙O 的半径为√5，∴√5x ＝2√5，∴x ＝2，∴AC ＝2x ＝4．28．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．【分析】（1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE＝90°即可；（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据三角函数的定义得到AD＝AB•sin B=8√55，求得∠B＝∠ADE，得到sin B＝sin∠ADE=AEAD=√55，求得AE=√55AD=√55×8√55=85，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝8，sin B=√5 5，∴AD＝AB•sin B=8√5 5，∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，∴∠BDO＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE，∴sin B＝sin∠ADE=AEAD=√55，∴AE=√55AD=√55×8√55=85，∵OD∥AE，∴△F AE∽△FOD，∴FAFO =AEOD，∵AB＝8，∴OD＝AO＝4，∴FAFA+4= 2 5∴F A=8 3．29．（2020•丰台区一模）在Rt ABC∆中，90A∠=︒，22.5B∠=︒，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC 延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE BD⊥交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当2a=时，求线段EF的长．【分析】（1）连接AP，根据圆周角定理得到45APD∠=︒，求得DA AP a==，得到45D APD∠=∠=︒，推出D A PA⊥，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到22.5BAP B∠=∠=︒，求得67.5PAC PCA∠=∠=︒，推出点C在P上，根据垂径定理得到AC CE=，求得90APE∠=︒，于是得到结论．【解答】解：（1）直线DA与图形W的公共点的个数为1个；点P到点A，B的距离都等于a，∴点P为AB的中垂线与BC的交点，到点P的距离等于a的所有点组成图形W，∴图形W是以点P为圆心，a为半径的圆，根据题意补全图形如图所示，连接AP，∠=︒，22.5B∴∠=︒，45APD点D到点A的距离也等于a，∴==，DA AP aD APD∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，PAD90∴⊥，DA PA∴为P的切线，DA∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个；（2）AP BP=，∴∠=∠=︒，BAP B22.5BAC∠=︒，90∴∠=∠=︒，PAC PCA67.5∴==，PA PC a∴点C在P上，⊥交图形W于点E，AE BD=，∴AE CE∴=，AC CEDPE APD∴∠=∠=︒，45APE∴∠=︒，90===，2EP AP a∴=，45AE∠=︒，E⊥，∠=︒，AE BDB22.567.5BAE ∴∠=︒，67.5AFE BAE ∴∠=∠=︒．EF AE ∴==。

中考数学专项练习：与圆有关的证明与计算题本文档中含有大量公式，转换为网页过程中可能会出现公式位置错误的可能，但下载后均可正常显示，欢迎下载！一、单选题1．如图，AB 是O e 的弦，OC AB ⊥交O e 于点C ，点D 是O e 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D 【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC =∠OCA =∠AOC ，得出△OAC 是等腰三角形，得出∠BOC =∠AOC =60°即可．【详解】解：如图，∵30ADC ∠=︒，∴260AOC ADC ∠=∠=︒．∵AB 是O e 的弦，OC AB ⊥交O e 于点C ，∴»»AC BC=． ∴60AOC BOC ∠=∠=︒．故选：D ．2．如图，AB 为O e 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O e 交于点C ，延长BO 与O e 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为( )A ．54oB ．36oC ．32oD ．27o【答案】D 【分析】由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=o903654AOB ∴∠=-=o o oOD OA =QOAD ODA ∠=∠∴AOB OAD ODA ∠=∠+∠Q27ADC ADO ∴∠=∠=o故选D3．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为（ ）A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°【答案】A 【分析】根据题意连接OC ，COP ∆为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的COP ∠的度，再根据直角三角形可得P ∠的度数.【详解】根据题意连接OC .因为119A ∠=︒所以可得BC 所对的大圆心角为2119238BOC ︒︒∠=⨯=因为BD 为直径，所以可得23818058COD ︒︒︒∠=-=由于COP ∆为直角三角形所以可得905832P ︒︒︒∠=-=故选A .【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是这段弧所在圆的圆心，40AB m =，点C 是¶AB 的中点，且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A 【分析】根据题意，可以推出AD ＝BD ＝20，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣10，OB ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．【详解】解：OC AB ⊥Q ，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+，设半径为r 得：()2221020r r =-+，解得：25r m =， ∴这段弯路的半径为25m故选：A ．5．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC ∆沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB上的点D 处，且¼¼:1:3BD AD ''=（¼BD'表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1:3B ．1:πC ．1:4D ．2:9【答案】D 【分析】连接OD ，求出∠AOB ，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.【详解】解：连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：12OM OA =，90OMA ∠=︒， 30OAM ∴∠=︒，60AOM ∴∠=︒，Q 且¼¼:1:3BD AD ''=，80AOB ∴∠=︒设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，802180l r ππ=， :2:9r l ∴=．故选：D ．6．如图，边长为ABC ∆的内切圆的半径为( )A ．1B C ．2 D ．【答案】A 【分析】连接AO 、CO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，利用内心的性质得CH 平分∠BCA ，AO 平分∠BAC ，再根据等边三角形的性质得∠CAB =60°，CH ⊥AB ，则∠OAH =30°，AH =BH =1 2 AB =3，然后利用正切的定义计算出OH 即可．【详解】设ABC ∆的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，∵ABC ∆为等边三角形，∴CH 平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠，∵ABC ∆为等边三角形，∴60CAB ︒∠=，CH AB ⊥，∴30OAH ︒∠=，12AH BH AB ===在Rt AOH ∆中，∵OH tan tan30AHOAH ︒∠==，∴1OH ==， 即ABC ∆内切圆的半径为1．故选A ．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB=BC =2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A．42π- B．42π+ C．π D．2π【答案】A【分析】连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，则有AD =2AH ，∠AHO =90°，在Rt △ABC 中，利用∠A 的正切值求出∠A =30°，继而可求得OH 、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD 进行计算即可.【详解】连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，则有AD =2AH ，∠AHO =90°，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB=BC =2，tan ∠A=BC AB ==， ∴∠A =30°，∴OH =12OAAH =AO •cos ∠A32=，∠BOC =2∠A =60°， ∴AD =2AH =3，∴S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD=2601123222360π⨯⨯-⨯⨯-2π-，故选A.8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF 为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴11()22AB AC BC r AB AC++=⋅，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r ²=4，故选A .9．如图，AB 是O e 的直径，C ，D 是O e 上的两点，且BC 平分ABD ∠，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．OC BD PB ．AD OC ⊥ C ．CEF BED ∆≅∆ D ．AF FD =【答案】C 【分析】由圆周角定理和角平分线得出90ADB ∠=︒，OBC DBC ∠=∠，由等腰三角形的性质得出OCB OBC ∠=∠，得出DBC OCB ∠=∠，证出OC BD P ，选项A 成立；由平行线的性质得出AD OC ⊥，选项B 成立；由垂径定理得出AF FD =，选项D 成立；CEF ∆和BED ∆中，没有相等的边，CEF ∆与BED ∆不全等，选项C 不成立，即可得出答案．【详解】∵AB 是O e 的直径，BC 平分ABD ∠，∴90ADB ∠=︒，OBC DBC ∠=∠，∴AD BD ⊥，∵OB OC =，∴OCB OBC ∠=∠，∴DBC OCB ∠=∠，∴OC BD P ，选项A 成立；∴AD OC ⊥，选项B 成立；∴AF FD =，选项D 成立；∵CEF ∆和BED ∆中，没有相等的边，∴CEF ∆与BED ∆不全等，选项C 不成立，故选C ．10．如图，在Rt ABC ∆中，90304ACB A BC ∠=︒∠=︒=，，，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43πB ．232π-C ．132π-D ．13π【答案】A 【分析】根据三角形的内角和得到60B ∠︒＝，根据圆周角定理得到12090COD CDB ∠︒∠︒＝，＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，9030ACB A ∠︒∠︒＝，＝，60B ∴∠︒＝，120COD ∴∠︒＝，4BC Q ＝，BC 为半圆O 的直径，90CDB ∴∠︒＝，2OC OD ∴＝＝，CD ∴==图中阴影部分的面积2120214136023COD COD S S ππ∆⋅⨯-⨯=扇形＝﹣＝ 故选：A ．二、填空题11．如图，O e 的两条相交弦AC 、BD ，60ACB CDB ︒∠=∠=，AC =O e 的面积是_______．【答案】4π．【分析】由A BDC ∠=∠，而60ACB CDB ︒∠=∠=，所以60A ACB ︒∠=∠=，得到ACB ∆为等边三角形，又AC =O e 的面积．【详解】解：∵A BDC ∠=∠，而60ACB CDB ︒∠=∠=，∴60A ACB ︒∠=∠=，∴ACB ∆为等边三角形，∵AC =∴圆的半径为2，∴O e 的面积是4π，故答案为4π．12．如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)【答案】π－1【分析】延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ， 则图中阴影部分的面积＝14×（S 圆O −S 正方形ABCD ）＝14×（4π−4）＝π−1， 故答案为：π−1．13．如图，CD 为O e 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，»»AB BF=，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为______．【答案】485【分析】连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，利用垂径定理得到3AE BE ==，设O e 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =，根据勾股定理得到22231()r r +-=，解得=5r ，再利用垂径定理得到OB AF ⊥，AG FG =，则2225AG OG +=，222()56AG OG +-=，然后解方程组求出AG ，从而得到AF 的长．【详解】连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，∵AB CD ⊥，132AE BE AB ∴===， 设⊙O 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =， 在Rt OAE ∆中，22231()r r +-=，解得=5r ，∵»»AB BF=， OB AF ∴⊥，AG FG =，在Rt OAG ∆中，2225AG OG +=，①在Rt ABG ∆中，222()56AG OG +-=，② 解由①②组成的方程组得到245AG =， 4825AF AG ∴==． 故答案为485． 14．如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a ，则勒洛三角形的周长为__________．【答案】a π【分析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，计算弧长即可.【详解】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为：60πa 1πa.1803⋅= 则勒洛三角形的周长为：1πa 3πa.3⨯=故答案为：πa.15．如图，在平面直角坐标系中，已知D e 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为(0,，OC 与D e 交于点C ，30OCA ∠=︒，则圆中阴影部分的面积为_____．【答案】2π-【分析】由圆周角定理可得30OBA C ∠=∠=︒，在Rt △AOB 中，利用解直角三角形求出OA 、AB 的长，然后根据S 阴=S 半-S △ABO 求解即可.【详解】连接AB ，∵90AOB ∠=︒，∴AB 是直径，根据同弧对的圆周角相等得30OBA C ∠=∠=︒，∵OB =∴tan tan 302OA OB ABO OB ︒=∠===，sin 304AB AO ︒=÷=，即圆的半径为2，∴2212222ABO S S S ππ⨯=-=-⨯⨯=-△阴影半圆故答案为：2π-．16．如图，AB 是圆O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧¶AB 沿弦AB 折叠交于OC的中点D ，若AB =，则圆O 的半径为_____．【答案】【分析】连接OA ，设半径为x ，用x 表示OC ，根据勾股定理建立x 的方程，便可求得结果．【详解】解：连接OA ，设半径为x ，Q 将劣弧»AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ， 23OC x ∴=，OC AB ⊥， 1102AC AB ∴==， 222OA OC AC -=Q ，222()103x x ∴-=， 解得，32x =．故答案为32．17．如图，扇形OAB 中，90AOB ∠=︒.P 为弧AB 上的一点，过点P 作PC OA ⊥，垂足为C ，PC 与AB 交于点D ，若2,1PD CD ==，则该扇形的半径长为___________【答案】5【分析】连接OP ，设半径为r ，在直角三角形OCP 中利用勾股定理将CO 用r 表示，得到AC ，又有△ACD ∽△AOB ，利用AC DC AO BO=，解出r 即可 【详解】连接OP ，设半径为r ，则OP =OA =OB =r ，PC =PD +CD =3,在直角三角形OCP 中，222OC PC OP +=，即得OC 2=r 2-9，得到OC得到AC =r ACD ∽△AOB ，所以AC DC AO BO =1r =，得到r 1=，解出r =5；故填518．如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，2OB =，P 为»AB 上任意一点，过点P 作PE OB ⊥于点E ，设M 为OPE ∆的内心，当点P 从点A 运动到点B 时，则内心M 所经过的路径长为_____．【答案】2【分析】以OB 为斜边在OB 的右边作等腰/Rt P OB ∆，以/P 为圆心PB 为半径作⊙/P ，在优弧OB 上取一点H ，连接HB ，HO ，BM ，MP ．求出135OMP ︒∠=，证()OMB OMP SAS ∆≅∆，得135OMB OMP ︒∠=∠=，由180H OMB ︒∠+∠=，证,,,O M B H 四点共圆，故点M 的运动轨迹是»OB，由弧长公式可得. 【详解】如图，以OB 为斜边在OB 的左边作等腰/Rt P OB ∆，以/P 为圆心/P B 为半径作⊙/P ，在优弧OB 上取一点H ，连接HB ，HO ，BM ，MP ．∵PE OB ⊥，∴90PEO ∠=o ，∵点M 是内心，∴135OMP ︒∠=，∵OB OP =，MOB MOP ∠=∠，OM OM =，∴()OMB OMP SAS ∆≅∆，∴135OMB OMP ︒∠=∠=， ∵1452H BPO ︒∠=∠=， ∴180H OMB ︒∠+∠=，∴,,,O M B H 四点共圆，∴点M 的运动轨迹是»OB，∴内心M 所经过的路径长==，． 19．如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影部分的面积为_____.【答案】34π【分析】根据题意连接OC ，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC 所对的阴影部分面积等于弧AC 所对圆心角的面积减去OAC ∆的面积，而不规则图形BCD 的面积等于OBC ∆的面积减去弧DC 所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接OC,90903060OA OC OAB B ︒︒︒︒=∠=-∠=-=QACO ∴∆为等边三角形60AOC ︒∴∠=∴阴影部分面积1=26013333cos3036022ππ︒⨯⨯-⨯⨯=-∴阴影部分面积2=21330332236044ππ⨯-⨯⨯=- ∴阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=34π 故答案为34π。

2020中考数学一轮专项复习《圆》中考真题综合提升卷1．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．（Ⅰ）如图①，求∠BOD及∠A的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E，连接OC．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝，DE＝3，求⊙O的半径及AC的长．4．如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BM﹣BN的值．5．如图①，在平行四边形OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求∠OAB的度数；（2）如图②，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠COE的度数．6．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径．（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．7．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、DE、AE．（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．8．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△P AB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求P A的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠P AD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．9．如图1，在平面内，不在同一条直线上的三点A，B，C同在以点O为圆心的圆上，且∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作DE⊥BA，垂足为点E，作DF⊥BC，垂足为点F，延长DF交⊙O于点M，连接CM．若AD＝CM，请判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．11．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．12．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，E为DA延长线上一点，且∠E＝∠DBC，若DB平分∠ADC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）若CB＝10，tan∠ABE＝，求⊙O的面积．13．点C，D是半圆弧上的两个动点，在运动的过程中保持∠COD＝80°．（1）如图1，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOC＝x°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．14．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，点C是弧BG的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，求CE和AG的长．15．已知：AB、AC是⊙O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，∠AEO＝∠BDO．（1）如图1，若∠CAD＝∠COE，求证：＝；（2）如图2，连接OA，若∠OAB＝∠COE，求证：AE＝CD；（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交⊙O于点F，点G在AB上，连接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求线段BG的长．参考答案1．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．（Ⅰ）如图①，求∠BOD及∠A的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵点C，D是半圆O的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD，∵AB为直径，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝×180°＝60°，∵OC＝OA，∴∠A＝60°；即∠BOD及∠A的大小烦恼为60°，60°；（Ⅱ）如图②，连接OC，∵CF⊥AB，∴CF＝HF，在Rt△OCF中，∵∠COF＝60°，∴OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴CH＝2CF＝2．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．解：（1）相切证明：连接OD，OE∵点E是AB中点，点O是BC中点∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC∴∠1＝∠4，∠2＝∠3∵OC＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2∴△OBE≌△ODE∴∠ODE＝∠OBE＝90°∴OD⊥DE，∴直线DF与⊙O相切．（2）设⊙O半径为x，则OD＝x，OF＝8﹣x在Rt△FOD中，OD2+FD2＝OF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3∴⊙O半径为3；∵∠FBE＝∠FDO＝90°，∠F＝∠F，∴△FBE∽△FDO，∴，∵BF＝FC﹣BC＝2，OD＝3，DF＝4，∴BE＝，∵点E是AB中点，∴AB＝2BE＝3在Rt△ABC中，AC＝＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E，连接OC．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝，DE＝3，求⊙O的半径及AC的长．∴△OCB≌△OC D（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（3﹣r）2＝r2+（）2，∴r＝1∴OE＝3﹣1＝2Rt△ABC中，∴∠E＝30°∴∠ECD＝90°﹣30°＝60°Rt△BCO中，OC＝2OB＝2×1＝2，Rt△ABC中，4．如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BM﹣BN的值．（1）证明：如图1﹣1，连接AO1，∵⊙O1与x轴相切于点A，∴∠OAO1＝90°，又∠AOB＝90°，∴AO1∥OB，∴∠ABO＝∠O1AB，∵O1A＝O1B，∴∠O1AB＝∠ABO1，∴∠ABO1＝∠ABO；（2）解：如图1﹣2，过点O1作O1H⊥BC于H，则CH＝BH＝BC＝4，∴∠O1HO＝∠HOA＝∠OAO1＝90°，∴四边形AO1HO是矩形，∴AO1＝AO＝3，∴在Rt△O1HB中，O1B＝＝5，∴HO＝O1A＝O1B＝5，∴OB＝HO﹣BH＝1，∴在Rt△AOB中，AB＝＝＝；（3）解：如图2，作点B关于x轴的对称点B'，则点OB'＝OB＝1，AB＝AB'，∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1，∴∠ABO1＝∠AB'O，∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O，即∠ABN＝∠AB'M，又∵，∴∠AMB'＝∠N，∴△AMB'≌△ANB（AAS），∴MB'＝NB，∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2，∴BM﹣BN的值为2．5．如图①，在平行四边形OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求∠OAB的度数；（2）如图②，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠COE的度数．解：（1）如图①，连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°；（2）如图②，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，∵OH⊥EC，∴EF＝2HE＝2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝CO＝EF＝2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝t，则HO＝＝＝t，∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°，∴∠COE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．6．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径．（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．（1）证明：如图1，连接OA，OD，则∠OAF＝∠D，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴，∴∠EOD＝∠BOD＝×180°＝90°，∴∠OFD+∠D＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∴∠CAF+∠∠OAF＝90°，即∠CAO＝90°，∴OA⊥CA，∴AC是⊙O的切线；（2）如图1，设半径为r，则OF＝BF﹣OB＝8﹣r，∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，∴（8﹣r）2+r2＝（）2，解得，r1＝6，r2＝2（舍去），∴⊙O的半径为6；（3）如图2，连接EH，由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，又∵AE＝AE，∴△CAE≌△HAE（SAS），∴∠C＝∠EHA，∵，∴∠EHA＝∠ABE，∴∠C＝∠ABE，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BE为⊙O的直径，∴∠EAB＝90°，∴∠OAB+∠OAE＝90°，又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°，∴∠CAE＝∠OAB，∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE，∴AC＝AB，∴△CAE≌△BAO（ASA），∴AE＝AO＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠AEO＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，∵CA＝AH，CA＝AB，∴AH＝AB，又AHB＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝BH＝AH，∵GB，GA是⊙O的切线，∴GB＝GA，又∠ABG＝60°，∴△ABG是等边三角形，∴AB＝BG＝AG，∴BH＝AH＝BG＝AG，∴四边形AHBG是菱形．7．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、DE、AE．（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．（1）证明：如图1，连接CO，CE，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠COA＝2∠B＝90°，∵，∴∠CAD＝∠CED，∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，即∠AED﹣∠CAD＝45°；（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，则∠CAN＝90°，∵AC＝BC，AO＝BO，∴CN⊥AB，∴AB垂直平分CN，∴AN＝AC，∴∠NAB＝∠CAB，∵AB垂直平分DE，∴AD＝AE，∴∠DAB＝∠EAB，∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB，即∠GAD＝∠NAE，∵∠CAN＝∠CME＝90°，∴AN∥EB，∴∠NAE＝∠MEA，∴∠GAD＝∠MEA，又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA，∴△ADG≌△EAM（AAS），∴AG＝EM，AM＝DG，又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°，∴∠MEF＝∠GAD，又∵∠G＝∠FME＝90°，∴△ADG≌△EFM（ASA），∴DG＝MF，∵DG＝AM，∴AF＝AM+MF＝2DG；（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA，∴△FCD∽△DCA，∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA，∵AC＝BC，AB为直径，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°，∴△GFD为等腰直角三角形，设GF＝GD＝a，则FD＝a，AF＝2a，∴＝＝，∵∠F AK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°，∴△AFK∽△ADG，∴＝＝，在Rt△AFK中，设FK＝x，则AK＝3x，∵FK2+AK2＝AF2，∴x2+（3x）2＝（2a）2，解得，x＝a（取正值），∴FK＝a，在Rt△FKD中，FK2+DK2＝FD2，∴（a）2+32＝（a）2，解得，a＝（取正值），∴GF＝GD＝，AF＝，∵△FCD∽△DCA，∴＝，∴CD2＝CA•FC，∵CD2＝CG2+GD2，∴CG2+GD2＝CA•FC，设FC＝n，则（﹣n）2+（）2＝（+n）n，解得，n＝，∴AC＝AF+CF＝+＝，∴AB＝AC＝，⊙O的半径为．8．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△P AB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求P A的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠P AD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．解：（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝2，AH＝AB•sin60°＝2，∴HP＝BP﹣BH＝1，∴在Rt△AHP中，AP＝＝，∵AB是直径，∴∠APM＝90°，在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，∴AM＝＝＝，∴⊙O的半径为，即P A的长为，⊙O的半径为；（2）当∠APB＝2∠PBE时，∵∠PBE＝∠P AE，∴∠APB＝2∠P AE，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠APB＝∠P AD，∴∠P AD＝2∠P AE，∴∠P AE＝∠DAE，∴AE平分∠P AD；（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴r＝AB＝2；②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，∴＝，在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，∴AF＝AB•sin60°＝2，BF＝AB＝2，∴＝，∴EF＝，在Rt△BFE中，BE＝＝＝，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴r＝；③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，∴AE为⊙O的直径，∴∠BPE＝90°，如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，∴DN＝DC•sin60°＝2，CN＝CD＝2，∴PQ＝DN＝2，设QE＝x，则PE＝2﹣x，在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，∴AE＝2QE＝2x，∵PE∥DN，∴△BPE∽△BND，∴＝，∴＝，∴BP＝10﹣x，在Rt△ABE与Rt△BPE中，AB2+AE2＝BP2+PE2，∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2，解得，x1＝6（舍），x2＝，∴AE＝2，∴BE＝＝＝2，∴r＝，∴⊙O的半径为2或或．9．如图1，在平面内，不在同一条直线上的三点A，B，C同在以点O为圆心的圆上，且∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作DE⊥BA，垂足为点E，作DF⊥BC，垂足为点F，延长DF交⊙O于点M，连接CM．若AD＝CM，请判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．证明：（1）∵BC平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）直线DE与⊙O相切；理由：连接OD，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．解：（1）如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．EODCBA∵BD是△ABC的外角平分线，∴∠DBE＝∠OBD．∴∠DBE＝∠ODB，∴BE∥OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵DE∥AC，∴∠DEB＝90°，∴OD⊥DE且点D在⊙O上．∴直线DE与⊙O相切；（2）如图1，连接OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形．∴∠OBC＝60°，∵BE∥OD，∴∠DOB＝60°，∴∠DOB＝∠BOC，∴BD＝BC．11．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．（1）证明：连接OB，∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°，∴∠ABE+∠OBA＝90°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠ABE+∠OAB＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠OAB+∠ADB＝90°，∴∠ABE＝∠ADB，∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，∴∠EAB＝∠C，∵∠E＝∠DBC，∴∠ABE＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BDC，即DB平分∠ADC；（2）解：∵tan∠ABE＝，∴设AB＝x，则BD＝2x，AD＝＝x，∵∠E＝∠E，∠ABE＝∠BDE，∴△AEB∽△BED，∴BE2＝AE•DE，且＝＝，设AE＝a，则BE＝2a，∴4a2＝a（a+x），∴a＝x，∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，∴△AEB∽△CBD，∴，∴＝，解得＝3，∴AD＝x＝15，∴OA＝．12．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，E为DA延长线上一点，且∠E＝∠DBC，若DB平分∠ADC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）若CB＝10，tan∠ABE＝，求⊙O的面积．（1）证明：连接OB，∵∠EAB＝∠C，∠E＝∠DBC，∴△AEB∽△CBD，∴∠ABE＝∠BDC，∵DB平分∠ADC，∴∠BDC＝∠BDA，∴∠ADE＝∠BDA，∵AD是⊙O的直径，∴∠BDA+∠DAB＝90°，∵∠BAD＝∠OBA，∴∠EBA+∠ABO＝90°，∴BE为⊙O的切线；（2）解：∵∠BDC＝∠BDA，∴＝，∴AB＝BC＝10，∵∠ABE＝∠ADB，∴tan∠ABE＝tan∠ADB＝，∴＝，∴BD＝20，∴AD＝＝10，∴⊙O的面积＝（）2•π＝125π．13．点C，D是半圆弧上的两个动点，在运动的过程中保持∠COD＝80°．（1）如图1，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOC＝x°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（1）解：如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOD＝∠BOD，又∵∠COD＝80°，∴∠AOC+∠BOD＝100°﹣80°＝100°，∴∠MON＝∠COD+∠MOC+∠NOD＝80°+×100°＝130°；（2）解：如图2，∠AOC＝x°，则∠AOD＝x°+80°，∠BOD＝100°﹣x°，∵OM平分∠AOD∴∠AOM＝∠AOD＝x°+40°；又∵ON平分∠BOC∴∠BON＝∠BOC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（x°+40°+90°﹣x°）＝180°﹣130°＝50°．14．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，点C是弧BG的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，求CE和AG的长．（1）证明：连接OC，∵点C是弧BG的中点，∴＝，∴∠EAC＝∠CAF，∵OA＝OC，∴∠CAF＝∠OCA，∴∠OCA＝∠EAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∵OC为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）连接CG，∵＝，∴CG＝BC，∵AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，∴AF＝6，BF＝2，∴AB＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CF⊥AB，∴AC2＝AF•AB＝6×8＝48，BC2＝BF•AB＝16，∴AC＝4，BC＝4，∴tan∠CAB＝＝，∴∠CAE＝∠CAB＝30°，∴CE＝AC＝2，AE＝AC＝6，∵CG＝BC＝4，∴EG＝＝＝2，∴AG＝4．15．已知：AB、AC是⊙O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，∠AEO＝∠BDO．（1）如图1，若∠CAD＝∠COE，求证：＝；（2）如图2，连接OA，若∠OAB＝∠COE，求证：AE＝CD；（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交⊙O于点F，点G在AB上，连接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求线段BG的长．（1）证明：设OE与AB交于点H，∵∠CAD＝∠COE，∠EHA＝∠DHO，∴∠AEO＝∠ODA，∵∠AEO＝∠BDO，∴∠BDO+∠ADO＝180°，∴∠ADO＝∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴；（2）证明：∵∠AEO+∠CEO＝180°，∠BDO+∠ADO＝180°，∴∠AEO＝∠BDO，∴∠CEO＝∠ADO，在△CEO和ODA中，∵∠COE＝∠OAD，∠CEO＝∠ADO，OC＝OA，∴△CEO≌△ODA（AAS），∴CE＝OD，∠ECO＝∠AOD，∴OA＝AC＝OC，∴△AOC为等边三角形，∵AE＝AC﹣CE，CD＝OC﹣OD，∴AE＝CD；（3）证明：延长FG交OC于点S，延长CO到点T，使OT＝OS，连接AT，BF，设∠BGF＝α，则∠BGF＝∠SGD＝α，∵∠ADC＝2∠BGF＝2α，∠ADC＝∠GSD+∠SGD∴∠DSG＝∠DGS＝α∴SD＝DG＝1∵AE＝CD＝5∴CS＝CD﹣SD＝4在△FOS和△AOT中，∵OS＝OT，∠SOF＝∠AOT，OF＝OA，∴△FOS≌△AOT（SAS）∴∠ATO＝∠FSO＝α，∵∠ADC＝2α，∴∠DAT＝∠DTA＝α，∴AD＝DT，设OA＝OC＝AC＝r，∴OT＝OS＝r﹣4，OD＝r﹣5，AD＝DT＝2r﹣9，在△ADC中，CD＝5，AC＝r，AD＝2r﹣9，∠ACD＝60°，解△ADC得，r＝8，AD＝7，过点D作DK⊥OA，在△DOK中，∵OD＝3，∠DOK＝60°，∴OK＝，AK＝，cos∠DAK＝＝，在△ABF中，AB＝AF×cos∠DAK＝，∴BG＝AB﹣AG＝．。

2020年中考数学一轮复习之圆的综合（切线证明、面积、动点问题）1．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴∠ADE＝∠BDC，∴＝．∴AB＝BC．（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．2．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：CG＝3：2，AB＝16．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝30°，将沿弦CE翻折，交CB于点F，求图中阴影部分的面积．解：（1）连接AO，如右图所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝16，∴AG＝＝8，∵OG：CG＝3：2，∴OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+82＝（5k）2，解得，k＝2或k＝﹣2（舍去），∴5k＝10，即⊙O的半径是10；（2）如图所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝30°，由对称性可知，∠DCM＝60°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝120°，∴∠MOC＝60°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝10×＝5，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝﹣×10×5＝﹣25．3．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CD⊥AB，∴∠OBC+∠BCD＝90°，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①线段CF与CD之间满足的数量关系是：CF＝2CD，理由如下：如图2，过O作OH⊥CF于点H，∴CF＝2CH，∵∠FCE＝2∠ABC＝2∠OCB，且∠BCD＝∠BCE，∴∠OCH＝∠OCD，∵OC为公共边，∴△COH≌△COD（AAS），∴CH＝CD，∴CF＝2CD；②∵CD＝4，BD＝2，∴BC＝＝2，由①得：CF＝2CD＝8，设OC＝OB＝x，则OD＝x﹣2，在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即OB＝5，∵OC⊥GE，∴∠OCF+∠FCG＝90°，∵∠OCD+∠COD＝90°，∠FCO＝∠OCD，∴∠GCF＝∠COB，∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形，∴∠GFC＝∠ABC，∴△GFC∽△CBO，∴＝，∴＝，∴FG＝．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s 的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，△DPQ的面积为28 cm2；（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由题意得：AP＝t，BQ＝2t，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2t，当t＝2时，AP＝2，BQ＝4，BP＝AB﹣AP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝8，∴△DPQ的面积＝12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8＝28（cm2），故答案为：28；（2）不能；理由如下：根据题意得：△DPQ的面积＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程无实数根，∴△DPQ的面积不可能为26cm2；（3）∵∠A＝90°，∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°，∵PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，DQ2＝62+（12﹣2t）2，DP2＝t2+122，PQ2+DQ2＝DP2，∴（6﹣t）2+（2t）2+62+（12﹣2t）2＝t2+122；解得t1＝6，t2＝，∴t＝6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．（4）如图1，⊙Q与边AD相切时，过点Q作QE⊥AD，∵⊙Q与边AD相切，∴QE＝QP，由勾股定理得：62＝（6﹣t）2+（2t）2；解得t1＝0（舍去），t2＝，如图2，⊙Q过点D时，则QD＝QP，由勾股定理得：（6﹣t）2+（2t）2＝62+（12﹣2t）2；解得：（舍去）∴当＜t＜时，⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点．5．如图，已知直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）若⊙O的半径为2，说明直线AB与⊙O的位置关系；（2）若△ABO的内切圆圆心是点M，外接圆圆心是点N，则MN的长度是；（直接填空）（3）设F是x轴上一动点，⊙P的半径为2，⊙P经过点B且与x轴相切于点F，求圆心P的坐标．解：（1）∵直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，∴当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4；∴A（﹣4，0），B（0，3），∴OB＝3，OA＝4，AB＝＝＝5，过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：∵sin∠BAO＝＝，∴＝，∴OC＝＞2，∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图2所示：则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE＝BD，∴MC＝MD＝ME＝OD＝（OA+OB﹣AB）＝×（4+3﹣5）＝1，∴BE＝BD＝OB﹣OD＝3﹣1＝2，∵∠AOB＝90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，∴AN＝BN＝AB＝，∴NE＝BN﹣BE＝﹣2＝，在Rt△MEN中，MN＝＝＝；故答案为：；（3）连接PB、PF，作PC⊥OB于C，如图3所示：则四边形OCPF是矩形，∴OC＝PF＝BP＝2，BC＝OB﹣OC＝3﹣2＝1，∴PC＝＝＝，∴圆心P的坐标为：（，2）．6．联想我们曾经学习过的三角形外心的概念，我们可引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长；（3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝，求AD的值．解：（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q，如图1所示：则QA＝QB，点Q为△ABC的准外心；（2）连接BP，如图2所示：∵△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝＝4，∵准外心P在AC边上，①当PB＝PC时，设PB＝PC＝x，则PA＝4﹣x，在Rt△ABP中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴PA＝4﹣＝；②当PA＝PC时，PA＝AC＝2；③当PA＝PB时，∵△ABC是直角三角形，此情况不存在；综上所述，准外心P在AC边上，PA的长为或2；（3）∵BD＝BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，如图3所示：则∠ABD＝2∠ACD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，则DE＝CE＝CD＝，DF＝AF＝AD，∠ABD＝2∠DBF，∠BEC＝∠DFB＝90°，∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC＝∠BCA＝2∠ACD＝2∠DBF＝2∠BCE，∴∠DBF＝∠BCE，在△BDF和△CBE中，，∴△BDF≌△CBE（ASA），∴DF＝BE，设DF＝BE＝x，则AD＝2x，BD＝2AD＝4x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+（）2＝（4x）2，解得：x＝，∴AD＝2x＝．7．如图，在平面直角坐标系中，AB＝AC＝10，线段BC在x轴上，BC＝12，点B的坐标为（﹣3，0），线段AB交y轴于点E，过A作AD⊥BC于D，动点P从原点出发，以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动的时间为t秒．（1）当△BP E是等腰三角形时，求t的值；（2）若点P运动的同时，△ABC以B为位似中心向右放大，且点C向右运动的速度为每秒2个单位．△ABC放大的同时高AD也随之放大，当以EP为直径的圆与动线段AD 所在直线相切时，求t的值和此时点C的坐标．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝6，∴AD＝＝＝8，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∴OD＝BD﹣OB＝6﹣3＝3，∴A（3，8），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+4，∴E（0，4），∴OE＝4，BE＝＝＝5，当△BPE是等腰三角形有三种情况：①当BE＝BP时，则3+3t＝5，解得：t＝；②当BE＝EP时，则3t＝3，解得：t＝1；③当BP＝PE时，∵BP＝PE，AB＝AC，∠ABC＝∠PBE，∴∠PEB＝∠ACB＝∠ABC，∴△PBE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：t＝；综上所述，当△BPE是等腰三角形时，t的值为或1或；（2）由题意得：C（9+2t，0），∴BC＝12+2t，BD＝CD＝6+t，OD＝3+t，设F为EP的中点，连接OF，作FH⊥AD于H，FG⊥OP于G，如图所示：则四边形FGDH是矩形，FG∥EO，∴FG是△POE的中位线，∴PG＝OG＝OP＝t，FG＝OE＝2，∴F（t，2），∵四边形FGDH是矩形，∴FH＝GD＝OD﹣OG＝3+t﹣t＝3﹣t，∵以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切，∴FH＝EP＝3﹣t，在Rt△POE中，EP2＝OP2+OE2，即：4（3﹣t）2＝（3t）2+42，解得：t＝1或t＝﹣（不合题意舍去），∴C（11，0），∴以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切时，t的值为1，此时点C的坐标为（11，0）．8．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE 的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．9．【操作体验】如图①，已知线段AB和直线1，用直尺和圆规在1上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，小明的作图方法：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点（1）在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B＝30°【方法迁移】（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°（不写作法，保留作图痕迹）；【深入探究】（3）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，求m的取值范围；（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝120°，若点P绕点A逆时针旋转60°到点Q，求PQ的最小值．解：（1）如图②，连接AP1，BP1，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AP1B＝∠AOB＝30°；（2）如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，②作BC的中垂线，连接EC，交于O，③以O为圆心，OE为半径作圆，则上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；（3）如图④，同理作⊙O，∵BE＝BC＝2，∴CE＝4，∴⊙O的半径为2，即OE＝OG＝2，∵OG⊥EF，∴EH＝，∴OH＝，∴GH＝2﹣，∴BE≤AB＜MB，∴3≤m＜2+，故答案为：3≤m＜2+；（4）如图⑤，构建⊙O，使∠COB＝120°，在优弧上取一点H，则∠CHB＝60°∴∠CPB＝120°，由旋转得：△APQ是等边三角形，∴PQ＝AP，∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，在Rt△AFO中，AF＝，OF＝3+1＝4，∴AO＝＝，∴AE＝﹣2＝AP，∴PQ＝AP＝﹣2．10．如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．（1）证明：连接OC，∵C、D是半圆的三等分点，∴＝＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴OC⊥EF，∴FC是⊙O的切线；（2）解：四边形ADCO是菱形，理由如下：连接DC、DO，由（1）知＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝COB＝×180°＝60°，又∵OA＝OD＝OC，∴△OAD与△OCD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD，OD＝OC＝DC，∴OA＝AD＝DC＝OC，∴四边形ADCO是菱形；（3）解：由（1）知，OC∥AE，∴△OCG∽△EAG，△FCO∽△FEA，∠COF＝∠EAF＝60°，∴＝，＝，∴＝，在Rt△OCF中，∠F＝30°，设OC＝r，则OF＝2r，∴＝＝，∴＝，∴OG与GE的比值为．11．已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．解：（1）如图1，连接BD，∵CD为△ABC的外角平分线，∴∠HCD＝∠BCD，∵∠HCD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCD，∵∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BCD；（2）∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，∴＝，∴AB＝BD；（3）如图3，作FG⊥AB于G，EP⊥AF于P，CN⊥AC交AC的延长线于N．在Rt△CDN中，∵∠DCN＝60°，CD＝8，∴∠CDN＝30°，∴CN＝CD＝4，DN＝4，∴AD＝＝＝13，∵AB＝BD，∠B＝60°，∴∠ABC是等边三角形，∴AD＝DB＝BD＝13，∠DAB＝60°，∵∠DMF＝∠ADM+∠MAD＝60°，∠MAE+∠MAD＝60°，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠DAE＝∠B，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，则BE＝13﹣x，BG＝x，EG＝13﹣x，FG＝x，在Rt△EFG中，72＝（13﹣x）2+（x）2，解得x＝5或8（舍弃），∴AE＝BF＝5．12．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．（1）证明：连接OB，如图1所示：∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∵BA⊥PF，∴AD＝BD，即OP垂直平分AB，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠PAB+∠OAB＝∠PBA+∠OBA＝90°，即∠OAP＝90°，∴OA⊥PA，∴直线PA为⊙O的切线；（2）∵∠ADO＝∠OAP＝90°，∠AOD＝∠POA，∴△OAD∽△OPA，∴＝，∴OA2＝OD•OP；（3）解：连接AE，如图2所示：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OD垂直平分AB，∴OD∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝BC＝3，设DE＝x，则OE＝OA＝OF＝3+x，∵OD垂直平分AB，∴＝，∴∠F＝∠DAE，∴tan∠DAE＝tan∠F＝，∴AD＝2DE＝2x，在Rt△ADF中，tan∠F＝＝，∴＝，解得：x＝2，∴AD＝4，BC＝6，OA＝OE＝5，在Rt△ABC中，AC＝2OA＝10，∴cos∠ACB＝＝＝．13．如图1，在矩形ABCD中，AB＝18cm，BC＝24cm．在Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF ＝12cm，GF＝16cm．E，F两点在BC边上，GE，GF两边分别与矩形ABCD对角线BD交于M，N两点．现矩形ABCD固定不动，△GEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以2cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FG﹣GE上以4cm/s的速度向点E运动．⊙G是以G为圆心．GP的长为半径的圆．△GEF与点P同时出发，当点E到达点C 时，△GEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s）．（1）当t＝2s时，PN＝ 5 cm，GM＝cm；（2）当△PGE为等腰三角形时，求t的值；（3）当⊙G与BD相切时，求t的值．解：（1）当t＝2时，BF＝2×2＝4（cm），FP＝2×4＝8（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝18cm，tan∠DBC＝＝＝，∵∠GFE＝90°，∴∠BFN＝90°＝∠C，∴GF∥CD，∴△BFN∽△BCD，∴＝，即＝，解得：FN＝3cm，∴PN＝FP﹣FN＝5cm；GN＝GF﹣FN＝16﹣3＝13（cm），∵Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF＝12cm，GF＝16cm，∴GE＝＝20cm，tan∠G＝＝＝，∴∠DBC＝∠G，∵∠BFN＝180°﹣90°＝90°，∴∠DBC+∠BNF＝90°，∵∠GNM＝∠BNF，∴∠G+∠GNM＝90°，∴∠GMN＝90°，∴△GNM∽△GEF，∴＝，即＝，∴GM＝cm，故答案为：5，；（2）由题意得：当△PGE为等腰三角形时，PG＝PE，如图2所示：设PF＝x，则PE＝PG＝（16﹣x）cm，在Rt△PEF中，由勾股定理得：122+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝，∴PF＝，∴t＝÷4＝（s）；（3）由勾股定理得：BD＝＝30cm，由（1）得：∠GMN＝90°，∴GM⊥BD，∵GP是⊙G的半径，∴当⊙G与BD相切时，GM＝GP，∵∠BME＝∠C＝90°，∠DBC＝∠EBM，∴△BME∽△BCD，∴＝，即＝，解得：ME＝（2t+12），∴GM＝GE﹣ME＝20﹣（2t+12）＝，分两种情况：①当0＜t≤4时，∵GP＝16﹣4t，∴＝16﹣4t，解得：t＝；②当4＜t≤6时，P与M重合，GP＝4t﹣16，∴＝4t﹣16，解得：t＝；综上所述，当⊙G与BD相切时，t的值为s或s．14．如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．（1）证明：如图1，连接OE，OC，在△BCO与△ECO中，，∴△BCO≌△ECO（SSS），∴∠OEC＝∠OBC，∵BN是⊙O的切线，∴AB是⊙O的直径，∴AB⊥BN，∴∠ABC＝90°，∴∠OEC＝90°，∴CD为⊙O的切线；（2）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．15．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．解：（1）A（﹣5，0），B（﹣3，0），∴OA＝5，OB＝3，当t＝1时，AP＝1，∴OP＝OA﹣AP＝4，∵∠CBO＝45°，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，OC＝OB＝3，∴PC＝＝＝5；（2）分两种情况：如图1所示：①当P在点B的左侧时，∵∠CBO＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝45°+15°＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OP＝OC＝3，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣3，②当P在点B的右侧时，∵∠OCB＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB﹣∠BCP＝45°﹣15°＝30°，∴OP＝OC＝，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣；综上所述，当∠BCP＝15°时，t的值为（5﹣3）秒或（5﹣）秒；（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°，得到OP1＝OC＝3，此时AP1Q＝5+3＝8，∴t＝8；②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD，即点P2与点O重合，此时AP2＝5，∴t＝5；③当该圆与AD相切时，设P3（5﹣t，0），则Q（，），半径r2＝（）2+（）2，作QH⊥AD于点H，则QH＝，∵QH2＝r2，∴（）2＝（）2+（）2，解得t＝，综上所述，t的值为8秒或5秒或秒．。

圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm,AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．(2）证明:∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD,CD CP∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13,由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝∵AB•CP＝BD•CD．．∴PC＝16910【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,延长BC 到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．(1）求证：△ABE≌△CDE；(2）填空：①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6，BE=8，则EF的长为．。

【答案】（1)见解析；（2）60；92【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC =60，∴∠AEC =∠AOC =120°,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =30°，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∵∠ACB =∠CAD +∠D ，AC =CD ,∴∠CAD =∠D =30°，∴∠ACE =30°，∴∠OAE =∠OCE =60°，即四边形AOCE 是平行四边形，∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形；②由(1)得：△ABE ≌△CDE ，∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ,由∠CED =∠ABC =∠ACB ，得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC==68, ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ，∴△AEF ∽△BCF ， ∴EF CF AE BC=， 即668EF =，∴EF=9．2【例2】如图，AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1）求证：△CDE≌△CBE;（2）若AB＝4,填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．;2．【答案】(1)见解析；（2)2【解析】（1）证明:延长AD交直线l于点F,∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°,∴∠AFC＝∠OCF＝90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB ＝90°，∴∠OEB ＝90°，∴OC ⊥DB ,∴DE ＝BE ,∠DEC ＝∠BEC ＝90°，∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CBE ；（2)①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°,当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形,∴∠BOE ＝∠OBE =45°，∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ，∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°,∵AB ＝4,∴OD ＝2，∴弧CD 的长=452180π⨯=2π;②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由(1）知，BC ＝DC ，∴BC ＝2.【变式2—1】(2019·河南南阳一模）如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（ ）A. 2πB. π C 。

2020中考数学 专题复习：圆的综合（含答案）类型一 与基本性质有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第1题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°，∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠ABE ＋∠CBE ＝∠ABE ＋∠EAB ＝90°，即CB ⊥AB . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线； (2)证明：∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝ ∠DEA ， ∴∠DEA ＝ ∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ，∴DE DB ＝DF DE， ∴DE 2＝ DF ·DB ；(3)解：如解图，连接OD ，延长ED 交BA 的延长线于点P ，第1题解图∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵BD 平分∠ABE ， ∴∠OBD ＝ ∠EBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴△PDO ∽△PEB ， ∴PD PE ＝POPB， ∵P A ＝AO ， ∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝PD PE ＝23， ∵PD PE ＝PD PD ＋DE ＝23，DE ＝2， ∴PD ＝4.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F . (1)求证：CF ＝BF ；(2)若BE ＝4，EF ＝ 3，求⊙O 的半径．第2题图(1)证明：连接AC ，如解图，∵点C 是BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC ， 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，第2题解图∴∠BCE ＋∠ECA ＝∠BAC ＋∠ECA ＝90°， ∴∠BCE ＝∠BAC ， 又∵C 是BD ︵的中点， ∴∠DBC ＝∠CDB ， ∴∠BCE ＝∠DBC ， ∴CF ＝ BF ；(2)解：∵BE ＝ 4，EF ＝ 3， ∴BF ＝32＋42＝ 5，∴CF ＝ 5，∴CE ＝ 5＋3＝ 8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝ 90°， ∴CE 2＝BE ·AB ， ∴AB ＝CE 2BE ＝ 644＝ 16，∴AO ＝ 8，∴⊙O 的半径为8.3. 如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN;(2)若AB ＝8，ON ＝ 1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CEB ＝ 90°， ∴∠C ＋∠B ＝ 90°， 同理∠C ＋∠CNM ＝ 90°， ∴∠CNM ＝∠B ， ∵∠CNM ＝ ∠AND ， ∴∠AND ＝ ∠B ， ∵AC ︵＝AC ︵， ∴∠ADN ＝ ∠B ， ∴∠AND ＝ ∠ADN ， ∴AN ＝AD ；第3题解图(2)解：设OE 的长为x ，连接OA ， ∵AN ＝AD ，CD ⊥AB ， ∴DE ＝ NE ＝x ＋1，∴OD ＝OE ＋ED ＝x ＋x ＋1＝2x ＋1， ∴OA ＝ OD ＝ 2x ＋1，∴在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝ OA 2， ∴x 2＋42＝(2x ＋1)2，解得x ＝53或x ＝－3(不合题意，舍去)，∴OA ＝ 2x ＋1＝ 2×53＋1＝ 133，即⊙O 的半径为133.4. 如图，A 、B 、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于D 点，PD ＝ OD ，若OB ⊥AC 于E 点．第4题图(1)判断A 是否是PB 的中点，并说明理由； (2)若⊙O 半径为8，试求BC 的长． 解：(1)A 是PB 的中点， 理由：连接AD ，如解图，第4题解图∵CD 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥AC ， ∵OB ⊥AC ， ∴AD ∥OB ， ∵PD ＝ OD ，∴AD 是△PBO 的中位线， ∴P A ＝AB ， ∴A 是PB 的中点； (2)∵AD ∥OB ， ∴△APD ∽△BPO ， ∴AD BO ＝PD PO ＝ 12， ∵⊙O 半径为8， ∴OB ＝ 8， ∴AD ＝4， ∴AC ＝CD 2－AD 2＝ 415，∵OB ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝ 215， ∴OE ＝12AD ＝ 2，∴BE ＝6， ∴BC ＝BE 2＋CE 2＝4 6.5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第5题图(1)求DC 的长； (2)求EC ︵的长．解：(1)如解图，连接BC ，第5题解图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ， ∵AC ︵＝EC ︵， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∴△ABD 为等腰三角形， ∵AB ＝2AC ＝6， ∴DC ＝AC ＝3；(2)如解图，连接OC 、OE ， ∵AB ＝2AC ＝6，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝30°，OC ＝OE ＝3， ∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°∴∠COE ＝2∠DBC ＝60°，∴l EC ︵＝60×π×3180＝π.6. 如图，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .第6题图(1)求证：OF ＝12BD ；(2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积． (1)证明：如解图，连接OC ，第6题解图∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ， ∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ，∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴BC ＝BD ， ∴OF ＝12BD ；(2)解：∵∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°， ∴∠AOC ＝120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝3，由(1)可知OF＝12BC＝1 2，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝BC＝1，∴S△AOC＝12AC ·OF＝12×3×12＝34，S扇形AOC＝120πOA2360＝π3，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝π3－34.7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D，AC、OD的延长线交于点E，连接CD.(1)求证：∠ECD＝∠BCD；(2)当AC＝CD时，求证：CE＝CB.第20题图证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ECB＝90°，∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BCD＝12∠DOB＝45°，∴∠ECD＝∠ECB－∠BCD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD ＝∠BCD ；(2)如解图，连接OC 、BD ，第7题解图∵AC ＝CD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∠ABC ＝∠DBC ， 又∵∠E ＋∠A ＝∠ABC ＋∠A ＝90°， ∴∠E ＝∠ABC ＝∠DBC ， 在△ECD 和△BCD 中⎩⎨⎧∠E ＝∠DBC∠ECD ＝∠BCD CD ＝CD， ∴△ECD ≌△BCD (AAS)， ∴CE ＝ CB .8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且BD 为直径，∠ACB ＝ 45°，过A 点的AC 的垂线交BC 的延长线于点E . (1)求证：BE ＝ DC ； (2)如果AD ＝2，求图中阴影的面积．第8题图解：(1)∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∴∠ADB ＝∠ACB ＝ 45°， ∵AE ⊥AC ，∴△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE ＝ AC ，AB ＝ AD ，∠EAC ＝ ∠BAD ＝ 90°， ∴∠EAB ＝ ∠CAD ， 在△ABE 与△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC∠EAB ＝ ∠CAD AB ＝AD， ∴△ABE ≌△ADC ， ∴BE ＝DC ；第8题解图(2)如解图，连接AO ，则∠AOD ＝ ∠ABD ＝90°， ∵AD ＝ 2， ∴AO ＝ OD ＝ 1， ∴S 阴影＝ S 扇形－S △AOD ＝90 ·π×12360－12×1×1＝ π4－12. 9. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，连接DE ，AD ＝BD ，∠ADE ＝120°. (1)证明：△ABC 是等边三角形； (2)若AC ＝2，求图中阴影部分的面积．第9题图(1)证明：如解图，连接CD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CD ⊥AB ， ∵AD ＝BD ， ∴AC ＝BC ，∵∠ADE ＝120°，∴∠ACE ＝60°， 又∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形；第9题解图(2)解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝∠B ＝60°，∵∠ADE ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝∠B ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴BD ＝ED ， ∵AD ＝BD ，∴DE ＝AD ＝ BE ＝12AB ＝ 12BC ，∴DE ︵＝AD ︵，DE 为△ABC 的中位线，E 为BC 的中点， ∴S 弓形DE ＝S 弓形AD ，∴S 阴影＝S △DEB ＝ 12S △BDC ，∵AC ＝2，∴AD ＝BD ＝1，∴DC ＝3，∴S 阴影＝12×12×1×3＝ 34.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连接BD .第10题图(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝ 12，且AD ∶CD ＝1∶2，求⊙O 的半径． (1)证明：如解图，连接AE ，DE ，第10题解图∵AB 是直径， ∴AE ⊥BC ， ∵AB ＝ AC ， ∴BE ＝ EC ，∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线， ∴DE ＝ EB ， ∴ED ︵＝ EB ︵，即点E 是BD ︵的中点； (2)设AD ＝x ，则CD ＝ 2x ， ∴AB ＝AC ＝3x ，∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD 2＝ (3x )2－x 2＝8x 2， 在Rt △CDB 中， (2x )2＋8x 2＝122， ∴x ＝23， ∴OA ＝ 32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.类型二 与切线有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在AC 上，∠A ＝ 30°，D 为BC ︵的中点．第1题图(1)求证：AB ＝BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由． 解：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA ＝ 90°，∠AOB ＝ 90°－30°＝ 60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∠OCB ＝ ∠A ＝ 30°， ∴AB ＝ BC ；(2)四边形BOCD 为菱形，理由如下：连接OD 交BC 于点M ， ∵D 是BC ︵的中点，第1题解图∴OD 垂直平分BC ， 在Rt △OMC 中， ∵∠OCM ＝ 30°， ∴OC ＝2OM ＝OD ， ∴OM ＝MD ，∴四边形BOCD 为菱形．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l .第2题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ， ∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠OCA ， ∴AD ∥OC ， ∵EF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°，∴∠OCF ＝∠AEC ＝90°， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接OD ，DC .第2题解图∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∠DAC ＝∠OAC ， ∴∠DOC ＝∠BOC ， ∴DC ＝BC ＝2， 在Rt △EDC 中， ∵ED ＝1，DC ＝2， ∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12， ∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝90°－30°＝60°， 又∵OC ＝OD ，∴△DOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD ＝60°，OC ＝2， ∴l ＝60π×2180＝23π. 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .第3题图(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．(1)证明：如解图，连接OD ，第3题解图∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B . 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B . ∴∠ODB ＝∠C . ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°.∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为点G . ∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝25，∴OA ＝225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°. ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.4. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AC＝8，tan∠DAC＝34，求⊙O的半径．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，第4题解图∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，又∵∠C＝90°，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；(2)解：∵AC＝8，tan∠P AC＝CDAC＝34，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝10，如解图，连接DE ，∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝ 90°， ∴∠ADE ＝ ∠C ， ∵∠CAD ＝∠OAD ， ∴△ACD ∽△ADE ， ∴AD AC ＝ AE AD ，即108＝ AE10， ∴AE ＝252，∴⊙O 的半径是254.5. 如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F .(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ； (2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．第5题图(1)证明：∵EF ⊥OG ，BC 是⊙O 的切线， ∴∠CBA ＝ ∠EFC ＝90°，∴∠EOF ＋∠FEB ＝ 90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∵∠EOF ＝ ∠COB ， ∴∠FEB ＝ ∠BCO ， ∵CB ，CD 是⊙O 的切线， ∴∠ECF ＝ ∠BCO ， ∴∠FEB ＝ ∠ECF ；(2)解：如解图，连接OD ，则OD ⊥CE ，第5题解图∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.6. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．第6题图 (1)证明：如解图，连接OB,第6题解图∵OB ＝OC ，∠ACB ＝30°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°，∴∠D ＝60°，∵CB ＝BD ，∴BE ＝BD ，∴△BDE 为等边三角形，∴∠DBE ＝60°，∴∠EBO ＝180°－∠DBE －∠OBC ＝180°－60°－30°＝90°，即OB ⊥BE ，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；(2)解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD ＝BE ＝3，∠ACB ＝30°，∴AB ＝BC ·tan30°＝ 3，AC ＝ 2AB ＝23，∴OA ＝12AC ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝ 12×3×3＝332， ∴S 阴影＝ S 半圆－S △ABC ＝ 12π×(3)2－332＝3π－332. 7. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO .(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝ 8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．第7题图(1)证明：∵BE ∥CO ，∴∠OCB ＝∠EBC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OBC ＝∠EBC ，∴BC 是∠ABE 的平分线；(2)解：∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥CO ，∴∠DCO ＝90°，在Rt △DCO 中，有DC 2＋CO 2＝DO 2，即82＋62＝DO 2，∴DO ＝10，∵CO ∥BE ，∴CE DC ＝BO DO ，即CE 8＝610， ∴CE ＝4.8.8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，BD 是⊙O 的弦，点E 是BC 的中点，连接DE .第8题图(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CD ∶AD ＝1∶3，BC ＝2，求线段BD 的长． （1）证明：如解图，连接OD .第8题解图∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠CDB ＝90°，在Rt △CDB 中，∵点E 是BC 的中点，∴DE 是Rt △CDB 斜边BC 上的中线，∴ED ＝12BC ，EB ＝12BC ， ∴ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：在Rt △CDB 和在Rt △CBA ，∵∠C=∠C ，∠CDB=∠ABC=90°，∴Rt △CDB ≌Rt △CBA.∴CD ：BC= BC ：AC ，∵CD ：AD=1：3，∴设CD 为x ,则AD =3x ，AC=4x ，∴x ：2=2：4x ，解得x 1=1， x 2=-1（舍），∴CD =1，∴BD=222221 3.BC CD -=-=9. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点且∠P ＋12∠AOC ＝90°. (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)cos B ＝45，P A ＝8，求⊙O 的半径．第9题图(1)证明：∵∠B 与∠AOC 所对的弧都为弧AC ，∴∠B ＝12∠AOC ， 又∵∠P ＋12∠AOC ＝90°， ∴∠P ＋∠B ＝90°.在△ABP 中，∠BAP ＝180°－90°＝90°，∴P A ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径，∴P A 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △ABP 中，∵cos B ＝45，P A ＝8，∴AB PB ＝45. ∴设AB ＝4x ，则PB ＝5x ，根据勾股定理得P A 2＋AB 2＝PB 2，∴82＋(4x )2＝(5x )2，化简得：9x 2＝64，解得x ＝83. ∴AB ＝4×83＝323， ∴AO ＝12AB ＝12×323＝163. ∴⊙O 的半径为163.10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝ BC ＝ DC .(1)若∠CDB ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.第10题图(1)解：∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝ 39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝ 39°，∠CAD ＝ ∠CBD ＝ 39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝ 39°＋39°＝ 78°；(2)证明：∵BC ＝ EC ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∵∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝ ∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∴∠1＝ ∠2.。

复习冲刺提分训练：《圆的综合》1．已知：如图，在锐角三角形ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，作BH⊥AC，依次交⊙O于点E，交AC于点G，交⊙O于点H．（1）求证：∠BEC＝∠EDC；（2）若∠ABG+∠DEC＝45°，⊙O的直径等于10，BC＝14，求CE的长．2．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．3．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边CD上的动点P重合（点P不与点C、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上，连结AM、MP、AP，其中，AP与MN 相交于点F．⊙O过点M、C、P（1）若∠AMP＝90°，求证：BM＝CP；（2）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M，又与AD相切于点H，且AB＝4，求CP 的长．4．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，DF为⊙O的切线，（1）如图①，求∠DFC的度数；（2）如图②，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点G，连接CG，当△ABC时等边三角形时，求∠AGC的度数．5．以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q 再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．6．已知：AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，连接AD，OC．（1）如图1，求证：AD∥OC；（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：AD＝2OE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在OC上，且OF＝BE，连接DF并延长交⊙O于点G，过点G作CH⊥AD于点H，连接CH，若∠CFG＝135°，CE＝3，求CH的长．7．如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．（1）如图1，AB是⊙O的直径；（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝AB，EN＝26，求线段CD的长．8．如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若直径AB＝6，填空：①当AD＝时，四边形ACDO是菱形；②过D作DH⊥AB，垂足为H，当AD＝时，四边形AHDE是正方形．9．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM于点C，点E为BC的中点，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若DC＝4，tan∠A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG⊥AD 于G，连接BG，求BG的最小值．10．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AC•BQ；（3）若AC•BQ＝5，且tan∠PCD＝，求⊙O的半径．11．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点P，且∠PAB＝45°．（1）如图1，求∠ACB的度数；（2）如图2，AD是⊙O的直径，AD交BC于点E，连接CD，求证：AC+CD＝BC；（3）如图3，在（2）的条件下，当BC＝4CD时，点F，G分别在AP，AB上，连接BF，FG，∠BFG＝∠P，且BF＝FG，若AE＝15，求FG的长．12．问题探究（1）如图1．在△ABC中，BC＝8，D为BC上一点，AD＝6．则△ABC面积的最大值是．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，AG为BC边上的高，⊙O为△ABC的外接圆，若AG＝3，试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD，AB＝6+12，BC＝6+6，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，AD＝DE，点F在BC上，且CF＝6，点M 在AE上，点N在AB上，∠MFN＝90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．点M是AB边上一点，且∠CMB＝45°．点Q是直线AB上一点且在点B的右侧，BQ＝4，点P从点Q出发，沿射线QA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．以P为圆心，PC长为半径作半圆P，交直线AB 分别于点G，H（点G在点H的左侧）．（1）当t＝1秒时，PC的长为，t＝秒时，半圆P与AD相切；（2）当点P与点B重合时，求半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长；（3）若∠MCP＝15°，请直接写出扇形HPC的弧长为．14．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点A作⊙O的切线与BC的延长线交于点P．（1）求证：∠PAC＝∠ABC；（2）点D为弧AC上一点，点E在射线PD上，连接BE、AE，若AB＝AE，∠BEP＝45°，求证：PA＝AE；＝，AD＝2，求（3）在（2）的条件下，设DE与⊙O交于点F，连接AD、AF，若S△ADF AF的长．15．已知△ABP内接于⊙O，RB为⊙O的切线，RA交⊙O于点J．（1）如图1，求证：∠RBA＝∠APB；（2）如图2，Q为⊙O，上一点，连接JQ交AP于点E，∠PEQ＝∠AJQ+3∠AQJ，求证：∠ABP＝2∠AQJ+2∠AJQ；（3）在（2）的条件下，若AP＝2，JQ＝2，求⊙O的半径．16．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连结CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连结AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BE＝2，DE＝4，求CD的长；（3）在（2）的条件下，连结BC交AD于F，求的值．参考答案1．（1）证明：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB＝90°，∵BH⊥AC，∴∠BGC＝90°，∵∠DAC+∠ACD＝∠GBC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠GBC，又∵∠DAC＝∠DEC，∴∠EBC＝∠DEC，∵∠ECD＝∠BCE，∴△ECD∽△BCE，∴∠BEC＝∠EDC；（2）解：由（1）得：∠EBC＝∠DEC，∵∠ABG+∠DEC＝45°，∴∠ABC＝45°，∠BAD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AD，∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝14，∵∠ADC＝90°，AC＝10，∴AD2+DC2＝AC2，即（14﹣DC）2+DC2＝102，解得：DC＝8或DC＝6，∵∠DAC＝∠GBC＜45°，∴AD＞DC，∴DC＝6，AD＝8，由（1）得：△ECD∽△BCE，∴CE：BC＝CD：CE，∴CE2＝CD×BC＝6×14＝84，∴CE＝2．2．解：（1）连接AD，如图1所示：设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，∵点C为弧ABD中点，∴，∴∠ADC＝∠CAD＝β，∴∠DAB＝β﹣γ，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴γ+β＝90°，∴β＝90°﹣γ，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD＝α；（2）连接BC，如图2所示：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵点C为弧ABD中点，∴，∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，∴∠ACE＝β；（3）连接OC，如图3所示：∴∠COB＝2∠CAB，∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，∴∠COB＝∠ABD，∵∠OHC＝∠ADB＝90°，∴△OCH∽△ABD，∴＝＝，∴BD＝2OH＝10，∴AB＝＝＝26，∴AO＝13，∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，∴△AHE∽△ADB，∴＝，即＝，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝24﹣＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵∠AMP＝90°，∴∠AMB+∠CMP＝90°，∴∠BAM＝∠CMP，由折叠的性质得：MN垂直平分AP，∴AM＝PM，在△ABM和△MPC中，，∴△ABM≌△MPC（AAS），∴BM＝CP；（2）解：∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP＝90°，∴∠CMP+∠AMB＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠CMP＝∠BAM，由折叠的性质得：MN垂直平分AP，∴MA＝MP，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABM≌△MCP，∴MC＝AB＝4设PD＝x，则CP＝4﹣x，∴BM＝PC＝4﹣x，连接HO并延长交BC于J，如图2所示：∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD＝90°，∴HDCJ为矩形，∴OJ∥CP，∴△MOJ∽△MPC，∴OJ：CP＝MO：MP＝1：2，∴OJ＝（4﹣x），OH＝MP＝4﹣OJ＝（4+x），∵MC2＝MP2﹣CP2，∴（4+x）2﹣（4﹣x）2＝16，解得：x＝1，即PD＝1，∴PC＝3．4．解：（1）连接AD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴BD＝DC，又∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线，∴ODF＝90°，∴∠DFC＝90°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴BG⊥AC．∵△ABC是等边三角形，∴BG是AC的垂直平分线，∴GA＝GC．又∵AG∥BC，∠ACB＝60°，∴∠CAG＝∠ACB＝60°．∴△ACG是等边三角形．∴∠AGC＝60°．5．解：（1）如图一，连接AQ．由题意可知：OQ＝OA＝1．∵OP＝2，∴A为OP的中点．∵PQ与⊙O相切于点Q，∴△OQP为直角三角形．∴．即△OAQ为等边三角形．∴∠QOP＝60°．（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．∵∠QOP＝90°，OQ＝1，OP＝2，∴QP＝．∵，∴OC＝＝．∵OC⊥QD，OQ＝1，OC＝，∴QC＝＝．∴QD＝．6．解：（1）如图1，连接OD，∵BC＝CD，∴∠COD＝∠COB＝∠BOD，∵∠DAB＝∠BOD，∴∠DAB＝∠COB，∴AD∥OC．（2）如图2，延长CO交圆O于F，延长CE交圆O于G，连接FG，BD，则∠CGF＝∠BDA＝90°，∵CE⊥AB于E，∴CG＝2CE，∠OEC＝90°，∴∠COE+∠OCE＝90°，∵∠COE＝∠DAB，∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠OCE＝∠DBA，∴AD＝FG∵CO＝FO，∴OE＝FG，∴AD＝2OE．（3）如图3，延长CO交圆O于P，连接BD交OC于N，作PM⊥AD于M，连接BC、BF．则∠ADB＝90°，∵AD∥OC，∴OC⊥BD，∵CE⊥AB于E，∴∠OEC＝∠ONB＝90°，∵OB＝OC，∠COE＝∠BON，∴△COE≌△BON（AAS），∴BN＝CE＝3，ON＝OE，∴DN＝BN＝3，CN＝BE＝OF，∵∠CFG＝135°，∴∠DFC＝∠PFG＝45°，∴FN＝DN＝3，DF＝DN＝3，设BE＝x，则OC＝3+2x，OE＝3+x，在Rt△OCE中：OE2+CE2＝OC2，所以（3+x）2+9＝（3+2x）2，解得x＝1，∴CF＝4，OC＝OB＝5，AB＝CP＝10，PF＝6，∵FM⊥AD，∴∠FMD＝∠FMH＝90°，∵OC∥AD，∴∠MDF＝∠DFC＝45°，∴MF＝DM＝DF＝3，设CP交HG于R，∵HG⊥AD，∴CP⊥HG，∴∠GRF＝∠HRF＝90°，∴RF＝RG，FG＝RF，HR＝MF＝3，又∵CF•PF＝DF•FG，∴24＝6RF，∴RF＝4，∴CR＝CF+RF＝8，在Rt△CHR中：CH2＝HR2+CR2＝9+64＝73，7．解（1）如图1，连接BD．∵＝，∴∠BDC＝∠ADC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴AB是圆O的直径．（2）如图2，连接OG、OD、BD．则OA＝OD＝OB，∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，∵∠FGC＝2∠BAD，∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，∴B、G、O、D四点共圆，∴∠ODE＝∠OBG，∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°＝∠EDB，∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，∴BA平分∠FBE．（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．∵AC＝BC，∴AC＝BC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，∵2∠MAD+∠FBA＝135°，∴∠MOD+∠FBA＝135°，∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，∴2∠MOD+∠DOK＝270°，∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，∴∠AOM＝∠DOM，∴AM＝DM，连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，∵∠ADC＝45°，∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，∴∠BRH＝∠ARH＝45°∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACR＝∠CBE，∴△ACR≌△CBE（AAS），∴CR＝BE＝ED，作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，连接OE，则OE垂直平分BD，∴OE∥AD∥MN，∴四边形OEQM是矩形，∴OM＝EQ，OE＝MQ，延长DB交MN于点P，∵∠PBN＝∠EBD＝45°，∴∠BNP＝45°，∴△EQN是等腰直角三角形，∴EQ＝QN＝EN＝13，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，∴BC＝OC＝26，∵MN＝AB＝20，∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，∴△OER是等腰直角三角形，∴RE＝OE＝14，设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．8．解：如图，（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）①当AD＝3时，四边形ACDO是菱形，理由如下：四边形ACDO是菱形时，OD＝CD＝BD＝OB，∴∠DBA＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠DBA＝6×sin60°＝3．∴当AD＝3时，四边形ACDO是菱形．故答案为：3．②过D作DH⊥AB，垂足为H，当AD＝3时，四边形AHDE是正方形．理由如下：当DH⊥AB，即DH与DO重合时，四边形AHDE是正方形，由勾股定理，得AD＝＝＝3．∴当AD＝3时，四边形AHDE是正方形．故答案为：3．9．（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BC＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD，∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∵DC＝4，tan∠A＝，∴tan∠CBD＝tan∠A＝，∴BD＝8，∴BC＝＝4，∴DE＝，∴AB＝，∴BO＝OD＝4，又∵DE是⊙O的切线，∴∠HDE＝90°，∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，则，∴BH＝2x，在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，即，解得：x＝或x＝0（舍去），∴DH＝；（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，∵FG⊥AD于点G，∴当点D在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，∵AB＝8，点F是弧AB的中点，∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝，∴NG＝NF＝，BN＝＝＝2，∴BG＝BN﹣NG＝2．10．（1）证明：连接OD．∵DC平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴OD⊥AB，∵PQ∥AB，∴OD⊥PQ，∴PQ是⊙O的切线．（2）证明：连接OD，AD、BD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ＝∠DCB＝∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，∴AD＝BD，∵∠BDQ＝∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴，∴BD2＝AC•BQ；（3）连接BD，OB，OD，设OD交AB于点E，∵AC•BQ＝5，由（2）得BD2＝AC•BQ，∴BD2＝5，∴BD＝，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD＝∠ABD，∵tan∠PCD＝，∴tan∠ABD＝＝，∴BE＝2DE，∴DE2+（2DE）2＝BD2＝5，∴DE＝1，∴BE＝2，设OB＝OD＝R，∴OE＝R﹣1，∵OB2＝OE2+BE2，∴R2＝（R﹣1）2+22，解得：R＝∴⊙O的半径为．11．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA为⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，∵∠PAB＝45°，∴∠OAB＝45°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝AOB＝45°；（2）证明：连接BD，过B作BH⊥BC交CA的延长线于H，∵∠H＝90°﹣45°＝45°＝∠HCB，∴BH＝BC，∵∠BCD＝90°﹣45°＝45°＝∠H，∴△ABH≌△DBC（ASA），∴AH＝CD，∴CH＝＝BC，∴AC+AH＝CH＝BC；（3）解：如图3，令CD＝m，则BC＝4m，由（2）知AC＝，作EM⊥AC于M，AN⊥BC于N，GQ⊥AP于R，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝，在Rt△AEM中，tan∠EAM＝＝，令EM＝n，AM＝7n，∴AE＝＝5n＝15，n＝，CM＝EM＝，CM＝EM＝，AM＝，AC＝12＝7m，m＝，BC＝4×＝，∵∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝AC＝12，∴BN＝﹣12＝，在Rt△AEN中，EN＝＝＝9，∵∠EAN＝90°﹣∠PAN＝∠P，∴tan P＝tan∠EAN＝＝＝，在Rt△APN中，tan P＝＝，PN＝16，AP＝＝20，∴PB＝PN﹣BN＝16﹣＝，在Rt△PFR中，tan P＝＝，令FR＝3t，则PR＝4t，PF＝5t，∵∠AFB＝∠QFG+∠BFG，∠AFB＝∠FBR+∠P，∴∠QFG+∠BFG＝∠FBR+∠P，∵∠BFG＝∠P，∴∠QFG＝∠FBR，∵∠FQG＝∠BRF＝90°，FG＝BF，∴△FGQ≌△BFR（AAS），∴GQ＝FR＝3t，∵FQ＝BR，∴20﹣3t﹣5t＝，解得：t＝，∴GQ＝，FQ＝，在Rt△FGQ中，FG＝＝．12．解：（1）当AD⊥BC时，△ABC面积的最大，则△ABC面积的最大值是BC•AD＝＝24，故答案为：24；（2）如图2中，连接OA，OB，OC，作OE⊥BC于E．设OA＝OC＝2x，∵∠COB＝2∠CAB＝120°，OC＝OB，OE⊥CB，∴CE＝EB，∠COE＝∠BOE＝60°，∴OE＝OB＝x，BE＝x，∵OC+OE≥AG，∴3x≥3，∴x≥1，∴x的最小值为1，∵BC＝2x，∴BC的最小值为2；（3）如图3中，连接AF，EF，延长BC交AE的延长线于G，∵∠D＝90°，AD＝DE＝6+6，∴∠DAE＝∠AED＝45°，∵CD＝AB＝6+12，∴CE＝CF＝6，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴∠AEF＝90°，∴EF＝6＝BF，将△EFM顺时针旋转得到△FBH，作△FHB的外接圆⊙O交BC于N，连接ON，∵∠AEF＝∠ABF＝90°，AF＝AF，EF＝BF，∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），∴S△AEF ＝S△ABF，∵∠EFG＝45°，∵∠FEG＝90°，∠EFG＝45°，∴EF＝EG＝6，∴FG＝EF＝12，由（2）可知，当△FHN的外接圆的圆心O在线段BF上时，△FNH的面积最小，此时四边形ANFE的面积最大，设OF＝ON＝r，则OB＝BN＝r，∴r+r＝6，∴r＝6（2﹣），∴NH＝r＝12（2﹣），∴四边形ANFM的面积的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．13．解：（1）当t＝1秒时，PQ＝2，∴BP＝BQ﹣PQ＝2，在Rt△BCP中，BP＝2，BC＝3，∴PC＝＝，设当半圆P与AD相切时，BP＝x，则PC＝PA＝4﹣x，∴x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴PQ＝4+＝，∴当t＝时，半圆P与AD相切；故答案为：；；（2）过点B作BE⊥AC于点E，如图2所示．∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∴BE＝＝．在Rt△BCE中，BC＝3，BE＝，∴CE＝＝，∴半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长为×2＝；（3）分两种情况考虑，如图3所示：①当点P在点M的右侧时，∵∠CMB＝45°，∠MCP＝15°，∴∠MCB＝45°，∠PCB＝30°，∴∠CPB＝60°，CP＝＝＝2，∴扇形HPC的弧长为＝π；②当点P在点M的左侧时，∵∠MCB＝45°，∠MCP＝15°，∴∠PCB＝∠MCB+∠MCP＝60°，∴∠CPB＝30°，CP＝＝＝6，∴扇形HPC的弧长为＝π，综上所述，若∠MCP＝15°，扇形HPC的弧长为π或π，故答案为：π或π．14．（1）证明：如图1，∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝90°，∴∠PAC+∠CAB＝90°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠CAB+∠ABC＝90°．∴∠PAC＝∠ABC；（2）证明：如图2，设∠AEP＝α．PE交直径AB于Q，∵∠PAB＝90°，∠BEP＝45°，∴∠AQE＝∠APQ+∠PAB＝∠ABE+∠PEB，∠AEB＝45°+α，∴∠APQ+90°＝∠ABE+45°，∴∠ABE＝∠APQ+45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠APE+45°＝α+45°，∴∠APE＝α，∴∠APE＝∠AEP，∴AP＝AE；（3）解：如图3，过P作PM⊥AD交AD的延长线于M，PN⊥FA交FA的延长线于N，连接BD，BF，∴∠ANP＝∠PAB＝∠ANP＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AFB＝90°，∴∠AMP＝∠ADB，∠PAM+∠APM＝∠PAM+∠BAD＝90°，∴∠APM＝∠BAD，∴AP＝AB，∴△APM≌△ABD（AAS），∴PM＝AD，∵∠ANP＝∠PAB＝∠AFB＝90°，∴∠PAN+∠FAB＝∠PAN+∠PAN＝90°，∴∠APN＝∠BAF，∵AP＝AB，∴△APN≌△ABF（AAS），∴PN＝AF，∵AD＝2，∴PM＝AD＝2，∴S△APD＝AD•PM＝2×2＝2，∵S△ADF＝，∴S△APF ＝S△APD+S△ADF＝，∴S△APF＝AF•PN＝AF2＝，∴AF＝3（负值舍去）．15．（1）证明：如图1，连接BO并延长交⊙O于另一点M，连接AM，∵RB为⊙O的切线，∴RB⊥BM，∴∠RBO＝90°，∴∠RBA+∠ABM＝90°，∵BM为⊙O的直径，∴∠BAM＝90°，∴∠ABM+∠AMB＝90°，∴∠RBA＝∠AMB，∵＝，∴∠AMB＝∠APB，∴∠RBA＝∠APB；（2）证明：连接PQ，∵＝，∴∠AJQ＝∠APQ，∵∠JQP＝180°﹣∠PEQ﹣∠APQ，∴∠JQP＝180°﹣∠PEQ﹣∠AJQ，∵∠PEQ＝∠AJQ+3∠AQJ，∴∠JQP＝180°﹣（∠AJQ+3∠AQJ）﹣∠AJQ，∴∠JQP＝180°﹣2∠AJQ﹣3∠AQJ，∴∠AQP＝∠AQJ+∠JQP＝∠AQJ+180°﹣2∠AJQ﹣3∠AQJ＝180°﹣2∠AQJ﹣2∠AJQ，∵四边形ABPQ是⊙O的内接四边形，∴∠ABP+∠AQP＝180°，∴180°﹣2∠AQJ﹣2∠AJQ+∠ABP＝180°，∴∠ABP＝2∠AQJ+2∠AJQ；（3）解：如图2，连接BQ，BJ，∵＝，∴∠ABQ＝∠AJQ，∵∠ABP＝2∠AQJ+2∠AJQ，∴∠ABP＝2∠AQJ+2∠ABQ＝2（∠AQJ+∠ABQ）＝2（∠ABJ+∠ABQ）＝2∠JBQ，连接OJ，OQ，OP，过O作OK⊥AP于K，交⊙O于H，连接HP，∴∠POH＝∠ABP＝2∠JBQ，∵∠JOQ＝2∠JBQ，∴∠JOQ＝∠POH，∴JQ＝PH＝2，∵OK⊥AP，∴AK＝KP＝AP＝，在Rt△PKH中，KH＝＝5，设OK＝a，则OH＝OP＝5+a，在Rt△OKP中，OK2+KP2＝OP2，即a2+（）2＝（5+a）2，解得：a＝1，∴OP＝6，∴⊙O的半径为6．16．证明：（1）如图，连接OD，∵AC为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°＝∠ADB，∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠BDO，∵CO∥BD，∴∠AOC＝∠OBD，∠COD＝∠ODB，∴∠AOC＝∠COD，且AO＝OD，CO＝CO，∴△AOC≌△DOC（SAS）∴∠CAO＝∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，且OD是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设⊙O半径为r，则OD＝OB＝r，在Rt△ODE中，∵OD2+DE2＝OE2，∴r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，∴OB＝3，∵DB∥OC，∴即∴CD＝6；（3）由（1）得△CDO≌△CAO，∴AC＝CD＝6，在Rt△AOC中，OC＝＝＝3，∵∠AOG＝∠COA，∴Rt△OAG∽△OCA，∴，即＝，∴OG＝，∴CG＝OC﹣OG＝3﹣＝，∵OG∥BD，OA＝OB，∴OG为△ABD的中位线，∴BD＝2OG＝，∵CG∥BD，∴∴＝．。

2020中考数学一轮专项复习《圆》中考真题能力提升卷一．选择题（每题3分，共36分）1．如图，AB为⊙O的直径，C，D两点在圆上，∠CAB＝20°，则∠ADC的度数等于（）A．114°B．110°C．108°D．106°2．已知一个三角形的三边长分别为5，12，13，则其内切圆的半径为（）A．1B．2C．4D．6.53．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°4．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（）A．59°B．62°C．118°D．124°5．如图，AB是⊙O的直径，点D是半径OA的中点，过点D作CD⊥AB，交〇O于点C，点E为弧BC的中点，连结ED并延长ED交⊙O于点F，连结AF、BF，则（）A．sin∠AFE＝B．cos∠BFE＝C．tan∠EDB＝D．tan∠BAF＝6．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC ＝8，则cos B的值是（）A．B．C．D．8．如图，DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE＝1，以点D为圆心，DE的长为半径画弧，交BD于F，交DC于G，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．C．D．9．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD 边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝4CE；④S＝．其中正确的结论有（）阴影A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5B．4C．3D．211．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．8B．6C．12D．1012．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．二．填空题（每题3分，共24分）13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E连接EB、DE，EC＝2，BC＝6，则⊙O的半径为．14．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，作直线BC，连接AB，AC，若∠P＝80°，则∠C＝°．15．在⊙O中，∠AOB＝120°，P为劣弧AB上的一点，则∠APB的度数是．16．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝，则AB的长是．17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为．18．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为弧AB中点，点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为．19．正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为．20．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．①AD AN（填“＞”，“＝”或“＜”）；②AB＝8，ON＝1，⊙O的半径为．三．解答题（每题8分，共40分）21．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC 的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．22．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，cos C＝，BC＝2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．23．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝18cm，BC＝24cm．在Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF ＝12cm，GF＝16cm．E，F两点在BC边上，GE，GF两边分别与矩形ABCD对角线BD 交于M，N两点．现矩形ABCD固定不动，△GEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以2cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FG﹣GE上以4cm/s的速度向点E运动．⊙G是以G为圆心．GP的长为半径的圆．△GEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△GEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s）．（1）当t＝2s时，PN＝cm，GM＝cm；（2）当△PGE为等腰三角形时，求t的值；（3）当⊙G与BD相切时，求t的值．25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝1，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．参考答案一．选择题1．解：连接BC．∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝20°，∴∠B＝90°﹣20°＝70°，在圆内接四边形ABCD中，∠ADC＝180°﹣70°＝110°．故选：B．2．解：∵AC2+BC2＝25+144＝169，AB2＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，连接OE、OQ，∵圆O是三角形ABC的内切圆，∴AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝∠C＝90°，OE＝OQ，∴四边形OECQ是正方形，∴设OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，∵AF+BF＝13，∴12﹣r+5﹣r＝13，∴r＝2，故选：B．3．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝125°，∴∠C＝55°，故选：B．4．解：连接OA、OB，如图所示：∵P A、PB是⊙O切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠P+∠P AO+∠AOB+∠PBO＝360°，∴∠P＝180°﹣∠AOB，∵∠ACB＝59°，∴∠AOB＝2∠ACB＝118°，∴∠P＝180°﹣118°＝62°，故选：B．5．解：连接OC、OF，作EG⊥AB于G，∵OD＝OC，∴∠OCD＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴∠AFE＝∠BOC＝60°，∴，A错误；∵点E为弧BC的中点，∴∠BOE＝∠BOC＝60°，∴∠BFE＝30°，∴cos∠BFE＝，B错误；设OD＝a，则OC＝2a，由勾股定理得，CD＝＝a，在△COD和△EOG中，，∴△COD≌△EOG（AAS）∴EG＝CD＝a，OG＝OD＝a，∴tan∠EDB＝＝，C正确；∵tan∠EDB＝，∴∠EDB≠60°，则∠BAF≠60°，∴tan∠BAF≠，D错误；故选：C．6．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．7．解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝8．根据勾股定理，得：CD＝．∴cos D＝．∵∠B＝∠D，∴cos B＝cos D＝，故选：B．8．解：∵DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE＝1，∴∠DEC＝90°，DC＝2，∴cos∠DCE＝，DE＝＝，∴∠DCE＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠FDG＝60°，∴图中阴影部分的面积为：＝，故选：B．9．解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF＝AB＝6，∵AD＝BC＝3，∴DF＝＝3，∴F是CD中点；∴①正确；②连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴＝，设OP＝OF＝x，则＝，解得：x＝2，∴②正确；③∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF；∵∠AFE＝90°，∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°，∴EF＝2EC，∴AE＝4CE，∴③正确；④连接OG，作OH⊥FG，∵∠AFD ＝60°，OF ＝OG ，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△；∴∠POG ＝∠FOG ＝60°，OH ＝OG ＝，S 扇形OPG ＝S 扇形OGF ， ∴S 阴影＝（S 矩形OPDH ﹣S 扇形OPG ﹣S △OGH ）+（S 扇形OGF ﹣S △OFG ）＝S 矩形OPDH ﹣S △OFG ＝2×﹣（×2×）＝．∴④正确；故选：D ．10．解：连接AI 、BI ，∵点I 为△ABC 的内心，∴AI 平分∠CAB ，∴∠CAI ＝∠BAI ，由平移得：AC ∥DI ，∴∠CAI ＝∠AID ，∴∠BAI ＝∠AID ，∴AD ＝DI ，同理可得：BE ＝EI ，∴△DIE 的周长＝DE +DI +EI ＝DE +AD +BE ＝AB ＝4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B ．11．解：∵P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，∴P A ＝PB ＝6，AC ＝EC ，BD ＝ED ，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝P A+AC+PD+BD＝P A+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C．12．解：连接OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝2，∴△BOC的面积＝×△ABC的面积＝××2×2＝，扇形BOC的面积＝＝π，则阴影部分的面积＝π﹣，故选：A．二．填空题（共8小题）13．解：连接BE，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵BC＝6，AB＝AC，∴CD＝BD＝3，∵由圆周角定理得：∠CAD＝∠CBE，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴＝，∴＝，解得：AC＝9，∵AB＝AC，∴AB＝9，∴⊙O的半径为＝4.5，故答案为：4.5．14．解：连接OA，∵过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，∴∠C＝AOB＝50°，故答案为：50．15．解：作所对的圆周角∠ACB，如图，∴∠ACB＝∠AOB＝×120°＝60°，∵∠ACB+∠APB＝180°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．16．解：连接OC，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∴AB＝2AC，∵OD＝3，∴OC＝3，∵tan∠OAB＝＝，∴AC＝6，∴AB＝12．故答案为：12．17．解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝，∴CD＝2CH＝2．故答案为：218．解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为弧AB中点，∴OC⊥AB，在Rt△OCK中，∵∠COA＝90°，OC＝2，OK＝AO＝，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝，∴CD＝+，∴CD的最大值为+，故答案为：+．19．解：连接AD，∵⊙A的半径是2，∴⊙A与AC边交于AC的中点F，∵E为CD中点，E点的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的圆，∴当点B，E，F三点共线，此时BE与圆A相切时，BE的值最大，∵AF＝2，AB＝4，∴BF＝2，∵E为CD中点，F是AC的中点，∴EF＝AD＝1，∴BE＝2+1；故答案为2+1．20．解：（1）AD＝AN，证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD，故答案为＝；（2）设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为，故答案为．三．解答题（共5小题）21．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∵OB＝OD，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，在△AOE和△DOE中，∴△AOE≌△DOE（SAS）∴∠ODE＝∠OAE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵DE、AE是⊙O的切线，∴DE＝AE，∵点E是AC的中点，∴AE＝AC＝3，∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，∴图中阴影部分的面积＝2××2×3﹣＝6﹣π．22．（1）解：∵∠BOE＝60°，∴∠A＝∠BOE＝30°．（2）证明：在△ABC中，∵cos C＝，∴∠C＝60°．又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．∴BC是⊙O的切线．（3）解：∵点M是的中点，∴OM⊥AE．在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝BC•tan60°＝2×＝6．∴OA＝＝3，∴OD＝OA＝，∴MD＝．23．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．24．解：（1）当t＝2时，BF＝2×2＝4（cm），FP＝2×4＝8（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝18cm，tan∠DBC＝＝＝，∵∠GFE＝90°，∴∠BFN＝90°＝∠C，∴GF∥CD，∴△BFN∽△BCD，∴＝，即＝，解得：FN＝3cm，∴PN＝FP﹣FN＝5cm；GN＝GF﹣FN＝16﹣3＝13（cm），∵Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF＝12cm，GF＝16cm，∴GE＝＝20cm，tan∠G＝＝＝，∴∠DBC＝∠G，∵∠BFN＝180°﹣90°＝90°，∴∠DBC+∠BNF＝90°，∵∠GNM＝∠BNF，∴∠G+∠GNM＝90°，∴∠GMN＝90°，∴△GNM∽△GEF，∴＝，即＝，∴GM＝cm，故答案为：5，；（2）由题意得：当△PGE为等腰三角形时，PG＝PE，如图2所示：设PF＝x，则PE＝PG＝（16﹣x）cm，在Rt△PEF中，由勾股定理得：122+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝，∴PF＝，∴t＝÷4＝（s）；（3）由勾股定理得：BD＝＝30cm，由（1）得：∠GMN＝90°，∴GM⊥BD，∵GP是⊙G的半径，∴当⊙G与BD相切时，GM＝GP，∵∠BME＝∠C＝90°，∠DBC＝∠EBM，∴△BME∽△BCD，∴＝，即＝，解得：ME＝（2t+12），∴GM＝GE﹣ME＝20﹣（2t+12）＝，分两种情况：①当0＜t≤4时，∵GP＝16﹣4t，∴＝16﹣4t，解得：t＝；②当4＜t≤6时，P与M重合，GP＝4t﹣16，∴＝4t﹣16，解得：t＝；综上所述，当⊙G与BD相切时，t的值为s或s．25．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BCO +∠OCA ＝90°，∵OB ＝OC ，∴∠BCO ＝∠B ，∵∠ACD ＝∠B ，∴∠ACD +∠OCA ＝90°，∵OC 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝∠B ，∠ACB ＝∠ADC ，∴Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∴，∴AC 2＝AD •AB ，AC 2＝1×4＝4，∴AC ＝2，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝42﹣4＝12，∴；（3）解：在Rt △ABC 中∵AC ＝2，AB ＝4，∴∠B ＝30°，∴∠OAC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°，在Rt △ADC 中∵∠ACD ＝∠B ＝30°，AD ＝1，∴CD ＝＝＝，∴S 阴影＝S 梯形ADCO ﹣S 扇形OAC ＝．。

2020年中考数学总复习：《圆的综合》1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC 于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．2．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．3．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．4．△ABC内接于⊙O，D为的中点，连接OD，交BC边于点E，且OE＝DE．（1）如图1，求∠BAC的度数；（2）如图2，作AF⊥BC于点F，BG⊥AC于点G，AF、BG交于点H，求证：AH＝OD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OH，若AC＝4OH，EF＝3，求线段GH的长．5．如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是；点C到直线EF的最大距离是．（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．6．已知，AB、AC为圆O的弦，连接CO并延长，交AB于点D，且∠ADC＝2∠C；（1）如图1，求证：AD＝CO；（2）如图2，取弧BC上一点E，连接EB、EC、ED，且∠EDA＝∠ECA，延长EB至点F，连接FD，若∠EDF﹣∠F＝60°，求∠BDF的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，若CD＝10，EF＝6，求AC的长度．7．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．8．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠B＝30°，OA＝2，求阴影部分的面积．（结果保留π）9．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作⊙O 的切线交AC于点E．（1）证明：DE⊥AC．（2）若BC＝8，AD＝6，求AE的长．10．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上一动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②当的长为多少时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形？11．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．12．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与⊙O交于点D，E为⊙O上一点，且满足∠EAC＝∠ACB，连接BD，BE．（1）求证：∠ABE＝2∠CBD；（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE＝6，BF＝，求⊙O的半径长．13．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（6，0），C（0，3），点D从点A 运动到点B停止，连接CD，以CD长为直径作⊙P．（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半径；（2）当⊙P与AB相切时，求△POB的面积；（3）连接AP、BP，在整个运动过程中，△PAB的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由．15．如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠DAP＝∠PBA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在第（2）问的条件下，若AD＝2，PD＝1，求线段AC的长．16．如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．（1）如图1，AB是⊙O的直径；（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC ＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝AB，EN＝26，求线段CD的长．17．对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于的密切点已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．（1）在点D（2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为．（2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示，①k＝﹣时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．18．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，以点O为圆心，以2为半径作优弧，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧上从点D开始移动，到达点E 时停止，连接AM．（1）当AM＝4时，判断AM与优弧的位置关系，并加以证明；（2）当MO∥AB时，求点M在优弧上移动的路线长及线段AM的长；（3）连接BM，设△ABM的面积为S，直接写出S的取值范围．19．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：△DAF≌△DCE．（2）求证：DE是⊙O的切线．（3）若BF＝2，DH＝，求四边形ABCD的面积．20．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM 于点C，点E为BC的中点，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若DC＝4，tan∠A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG⊥AD 于G，连接BG，求BG的最小值．参考答案1．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG；②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△BDE与Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵D是弧AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE与Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．2．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．3．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．4．解：（1）连接OB，OC，如图所示：∵OE＝DE，∴OB＝2OE，∴，∴∠OBC＝30°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，∴∠BAC＝60°．（2）证明：连接OA，过O做OM⊥AB，垂足为M，连接AD，如图所示：∵∠BAC＝60°．∠AGB＝90°，∴∠ABG＝30°，∴，∵OM⊥AB，∴，∴AM＝AG，∵D为弧中点，∴∠BAD＝∠CAD，∴OD⊥BC，∴OD∥AF，∴∠ODA＝∠OAD＝∠FAD，∴∠OAM＝∠HAG，∴△OAM≌△HAG（AAS），∴AH＝AO＝OD．∴AH＝OD；（3）连接DA，DB，DC，DH，延长AC至N，使AN＝AB，连接DN．如图所示：由（2）可知，DO＝DH，∵∠BAD＝∠NAD，∴△ABD≌△AND（SAS），∴DN＝DB＝DC＝DO＝DH．∴△OBD为等边三角形，∴∠OBD＝∠ODB＝60°，设∠HBF＝α，则∠CAF＝α，∠DAF＝30°﹣α，∴∠ODH＝60°﹣2α，∵四边形ABDC内接于⊙O，∠DCN＝DBA＝∠N＝60°+α，∴∠CDN＝60°﹣2α＝∠ODH，∴△DOH≌△DCN（SAS），∴OH＝CN，∴AC+OH＝AB．设OH＝2a，∵AC＝4OH，∴AC＝8a，AB＝10a，∵∠AGB＝90°，∠ABG＝30°，∴AG＝5a，CG＝3a，∴BG＝＝5a，∴BC＝＝2a，∴，∵△OBD为等边三角形，∴，由勾股定理得：GH＝＝a，∴，∵cos∠HBF＝cos∠HAG，∴＝，∴BF＝×BH＝×4a＝a，又∵EF＝3，∴，解得，∴GH＝×＝．∴线段GH的长为．5．解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC垂直平分AB，∴AG＝AB＝1，∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝＝＝，在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝＝＝2，∴OC＝2﹣；如图2，延长CO交EF于点H，当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，∵OE＝OF，CO⊥EF，∴CO平分∠EOF，∵∠EOF＝120°，∴∠EOH＝∠EOF＝60°，在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，∴cos60°＝＝，∴OH＝，∴CH＝CO+OH＝，∴点C到直线EF的最大距离是．故答案为：2﹣；．（2）如图3，当点B在直线OE上时，由OA＝OB，CA＝CB可知，点O，C都在线段AB的垂直平分线上，过点C作AB的垂线，垂足为G，则G为AB中点，直线CG过点O．∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO∴△OCM∽△OBG，∴＝，∴＝，∴CM＝，∴点C到OE的距离为．（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，∵∠EOF＝120°，∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，∴sin60°＝＝，∴CM＝CO＝（2﹣）＝﹣；如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，∵BC∥OE，∴∠CON＝∠GCB＝30°，∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，∴sin30°＝＝，∴CN＝CO＝（2﹣）＝﹣；综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为﹣或﹣．6．解：（1）如图1，连接AO，则∠DCA＝∠OAC，∵∠DOA＝∠DCA+∠OAC＝2∠C，而∠ADC＝2∠C，∴∠ADC＝∠DOA，∴AD＝AO＝CO；（2）设∠F＝x，则∠EDF＝60°+x，∴∠FED＝180°﹣x﹣（60°+x）＝120°﹣2x，∵∠EDA＝∠ECA，∴∠EBD＝∠EDB＝（180°﹣120+2x）＝30°+x，∴∠BDF＝∠EDF﹣∠EDB＝60°+x﹣30°﹣x＝30°；（3）延长ED交圆于点G，连接OG、OA、AG、BG，作AM⊥OD于点M，作ON⊥BG 于点N，∵∠BEG＝∠BAG＝120°﹣2x，∠ADG＝∠EDB＝∠EBD＝∠AGD＝30°+x，∴AG＝AD＝OG＝OA，∴△OGA为等边三角形，则∠ABG＝AOG＝30°＝∠BDF，∵EB＝ED，∠FED＝∠GEB，∴△FED≌△GEB（AAS），∴EG＝EF＝6，∴NG＝NE＝3，∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG＝60°﹣（120°﹣2x）＝2x﹣60°，AD＝AO，∴∠ADO＝∠AOD＝120°﹣x，∴∠NDO＝180°﹣∠ADO﹣∠ADG＝180°﹣（120°﹣x）﹣（30°﹣x）＝30°，∴ON＝OD＝DM＝OM＝a，∴OC＝OG＝10﹣2a，在Rt△NOG中，由勾股定理得：（10﹣2a）2+a2+（3）2，解得：a＝1或（舍去，此时OC＝10﹣2a＜0），∴CM＝10﹣1＝9，AM＝3，则AC＝＝12．7．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝2，∴，∴EF＝4．8．（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，∵OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM ＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝．9．解：（1）如图，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AC＝BC，∴∠OBD＝∠A，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠DEC＝90°，即DE⊥AC．（2）连接CD，∵BC为直径，∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∴∠DEA＝∠CDA＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，即＝，∴AE＝．10．（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，即∠OCB+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵PE⊥AB，∴∠B+∠BPE＝90°，而∠BPE＝∠DPC，∴∠OCB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠BCD，∴DC＝DP，∴△DCP是等腰三角形；（2）解：①如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝6，Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，∴PE＝，PB＝2，∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴CD＝PC＝4；②当F是弧BC的中点，即弧FB所对的圆周角为60°时，此时的长：＝2π，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形；理由如下：如图2，连接OF，AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CBA＝30°，∴∠A＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴∠BOC＝120°，当F是弧BC的中点时，∠BOF＝∠COF＝60°，∴△BOF与△COF均为等边三角形，∴OB＝OC＝CF＝BF，∴四边形OCFB为菱形，则当的长为2π时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形．11．（1）证明：连接OC，交AE于点H．∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE．∵GC是⊙O的切线，∴OC⊥GC，∴∠OHA＝∠OCG＝90°，∴GC∥AE；（2）解：OC⊥AE，CD⊥AB，∴∠OCD＝∠EAB．∴．在Rt△CDO中，OD＝3，∴OC＝5，∴AB＝10，连接BE∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，∵，∴BE＝6，∴AE＝8．12．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠DBA＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，即∠CBD+∠DBA＝90°，∴∠DAB＝∠CBD，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAC，∵∠EAC＝∠ACB，∴∠EAC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣（∠EAC﹣∠BAE），∴∠BAE＝2∠EAC﹣90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（2∠EAC﹣90°）＝2（90°﹣∠EAC）＝2（90°﹣∠ACB）＝2∠CAB＝2∠CBD．∴∠ABE＝2∠CBD；（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，∵∠DOB＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CAB，∴∠DOB＝∠ABE，∴DG∥BE，∴∠AGO＝∠AEB＝90°，∴AG＝EG＝AE＝3，∠AOG＝∠DOF，OA＝OD，∴△AOG≌△DOF（AAS）∴DF＝AG＝3，又OF＝OB﹣BF＝OD﹣，在Rt△DOF中，根据勾股定理，得OD2＝DF2+OF2，即OD2＝32+（OD﹣）2，解得OD＝．答：⊙O的半径长为．13．（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中点，∴AE＝AB．∵CD是⊙O的直径，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四边形AECO为平行四边形．（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF ∴△AOD≌△AOF（SAS）．∴∠ADO＝∠AFO．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵点F在⊙O上，∴AH是⊙O的切线．（3）∵CD为⊙O的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD，BC为⊙O的切线，又∵AH是⊙O的切线，∴CH＝FH，AD＝AF，设BH＝x，∵CH＝2，∴BC＝2+x，∴BC＝AD＝AF＝2+x，∴AH＝AF+FH＝4+x，在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2，∴62+x2＝（4+x）2，解得x＝．∴．故答案为：．14．解：（1）如图1，∵A（0，8），B（6，0），C（0，3），∴OA＝8，OB＝6，OC＝3，∴AC＝5，∵△ACD∽△AOB，∴，∴∴CD的＝，∴⊙P的半径为；（2）在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝6，∴＝＝10，如图2，当⊙P与AB相切时，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，即，∴AD＝4，CD＝3，∵CD为⊙P的直径，∴CP＝，过点P作PE⊥AO于点E，∵∠PEC＝∠ADC＝90°，∠PCE＝∠ACD，∴△CPE∽△CAD，∴，即，∴，∴，∴△POB的面积＝＝；（3）①如图3，若⊙P与AB只有一个交点，则⊙P与AB相切，由（2）可知PD⊥AB，PD＝，∴△PAB的面积＝．②如图4，若⊙P与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF，可得∠CFD＝90°，由（2）可得CF＝3，过点P作PG⊥AB于点G，则DG＝，则PG为△DCF的中位线，PG＝，∴△PAB的面积＝＝．综上所述，在整个运动过程中，△PAB的面积是定值，定值为．15．（1）证明：先作⊙O的直径AE，连接PE，∵AE是直径，∴∠APE＝90°．∴∠E+∠PAE＝90°．又∵∠DAP＝∠PBA，∠E＝∠PBA，∴∠DAP＝E，∴∠DAP+∠PAE＝90°，即AD⊥AE，∴AD是⊙O的切线；（2）PA+PB＝PC，证明：在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，∵PF＝PB，∠BPC＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝BF，∠BFP＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠BPA＝∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA＝FC，AB＝CB，∴PA+PB＝PF+FC＝PC；（3）过点D作DH⊥AB于H，由已知可得，∠DAB＝∠ACB＝60°．在Rt△ADH中，可求得AH＝1，DH＝．在Rt△BDH中，由BD＝4，DH＝，可求得BH＝，所以AC＝AB＝AH+BH＝1+．16．解（1）如图1，连接BD．∵＝，∴∠BDC＝∠ADC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴AB是圆O的直径．（2）如图2，连接OG、OD、BD．则OA＝OD＝OB，∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，∵∠FGC＝2∠BAD，∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，∴B、G、O、D四点共圆，∴∠ODE＝∠OBG，∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°＝∠EDB，∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，∴BA平分∠FBE．（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．∵AC＝BC，∴AC＝BC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，∵2∠MAD+∠FBA＝135°，∴∠MOD+∠FBA＝135°，∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，∴2∠MOD+∠DOK＝270°，∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，∴∠AOM＝∠DOM，∴AM＝DM，连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，∵∠ADC＝45°，∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，∴∠BRH＝∠ARH＝45°∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACR＝∠CBE，∴△ACR≌△CBE（AAS），∴CR＝BE＝ED，作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，连接OE，则OE垂直平分BD，∴OE∥AD∥MN，∴四边形OEQM是矩形，∴OM＝EQ，OE＝MQ，延长DB交MN于点P，∵∠PBN＝∠EBD＝45°，∴∠BNP＝45°，∴△EQN是等腰直角三角形，∴EQ＝QN＝EN＝13，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，∴BC＝OC＝26，∵MN＝AB＝20，∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，∴△OER是等腰直角三角形，∴RE＝OE＝14，设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．17．解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时，∵⊙O的半径为2，点P（4，0）．∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，＝，∵，∴＝，设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∴＝，∴|2+x|＝3|2﹣x|，∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，∴x＝1，或x＝4，∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点．故答案为：E．（2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0），∵k＝﹣∴将P（4，0）代入y＝﹣x+b得：0＝﹣×4+b，∴b＝，∴y＝﹣x+．如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，设M（x，﹣x+），由OM＝2得：x2+＝4，∴5x2﹣4x﹣10＝0，则M，N两点的横坐标x M，x N是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根，解得x M＝，x N＝，∴AB＝，PA＝，PB＝，∵，∴＝，＝，∴＝，∴HA＝，∴OH＝OA﹣HA＝﹣＝1，∴Q（1，1）．②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．18．解：（1）结论；AM与优弧相切．理由如下：∵AO＝6，OM＝2，AM＝，∴OM2+AM2＝OA2，∴∠AMO＝90°，∴AM与优弧相切．（2）在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，∴tan∠OAB＝，∴∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，当MO∥AB时，M点位置有两种情况：Ⅰ．如解图1，过M点作MF⊥AO，交AO于F，∴∠FOM＝60°，∵OM＝2，∴OF＝OM•cos60°＝2×＝1，MF＝OM•sin60°＝＝，∴AF＝OA﹣OF＝5，∴AM＝＝＝．的弧长＝，Ⅱ．如解图2，过M点作MF⊥AO，交AO延长线于F，同理可得：∠MOF＝60°，OF＝1，MF＝，AM＝7，∴AM＝＝＝．∴.的弧长＝，综上所述：当MO∥AB时，点M在优弧上移动的路线长为时，线段AM的长＝；点M在优弧上移动的路线长为时，线段AM的长＝；（3）由（2）可知∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，AB＝12．如解图3，Ⅰ．由图可知，△ABM的AB边最小高为M在D时，∵OD＝2，AO＝6，∴AD＝4∴DH1＝AD•sin∠OAB＝，∴△ABM的面积为S的最小值为＝＝．Ⅱ．M在过O垂直于AB的直线上，△ABM的AB边的高最大，OH2＝OA•sin∠OAB＝，∴△ABM的AB边的高最大值为OM+OH2＝2+3，∴△ABM的面积为S的最大值为＝＝＝12+18．∴△ABM的面积为S取值范围为：．19．（1）证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS）；（2）由（1）知，△DAF≌△DCE，则∠DFA＝∠DEC．∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA ＝90°，∴∠DEC ＝90° ∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠DEC ＝90°， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：如图，连接AH ， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AHD ＝∠DFA ＝90°， ∴∠DFB ＝90°， ∵AD ＝AB ，DH ＝， ∴DB ＝2DH ＝2，在Rt △ADF 和Rt △BDF 中，∵DF 2＝AD 2﹣AF 2，DF 2＝BD 2﹣BF 2， ∴AD 2﹣AF 2＝DB 2﹣BF 2，∴AD 2﹣（AD ﹣BF ）2＝DB 2﹣BF 2， ∴AD 2﹣（AD ﹣2）2＝（2）2﹣22，∴AD ＝5． ∴AH ＝＝＝2∴S 四边形ABCD ＝2S △ABD ＝2וAH ＝BD •AH ＝2×2＝20．即四边形ABCD 的面积是20．20．（1）证明：如图，连接OD ，BD ，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BC＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD，∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∵DC＝4，tan∠A＝，∴tan∠CBD＝tan∠A＝，∴BD＝8，∴BC＝＝4，∴DE＝，∴AB＝，∴BO＝OD＝4，又∵DE是⊙O的切线，∴∠HDE＝90°，∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，则，∴BH＝2x，在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，即，解得：x＝或x＝0（舍去），∴DH＝；（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，∵FG⊥AD于点G，∴当点D在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，∵AB＝8，点F是弧AB的中点，∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝，∴NG＝NF＝，BN＝＝＝2，∴BG＝BN﹣NG＝2．。

2020年中考数学一轮复习培优训练：《圆》1．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F 为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．2．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．3．（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结PA、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．4．感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．5．已知：AB是⊙O直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，∠F＝∠BAD；（1）求EF与AC的位置关系．（2）连接CE交⊙O于G，连接BD，若2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，求证：AC＝CE．（3）在（2）的条件下，延长AB、EF交于K，EK＝2AC，AK＝10，△AEK的面积＝18，求线段EK的长度．6．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．7．（2019秋•如皋市期中）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若∠BAO＝30°，CD＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若点P在上运动，设点P到直线BC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．8．如图：已知△ADC内接于⊙ O，AO是 ⊙O的半径．点E是CD上一点，连接AE，∠DAE ＝∠CAO．（1）求证：AE⊥CD；（2）如图2，延长AO交CD于点G，交 ⊙O于点B，过B作BF⊥CD于F．求证：CF＝DE；（3）如图3，M是弧CD的中点，连接CM交AB于点H，连接AM交CD于点N，连接DM．若CN＝DM，AD＝，tan∠CGB＝，求 ⊙O的半径．9．已知，如图△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，BD＜DC，过点A、D、C三点的⊙O交AB于点F，点E在上，连接DF、AE、DE、CE．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）若，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．如图1，在⊙O中，弦AB与半径OC交于点E，连接AC、OB，∠BOE＝2∠OEB．（1）求证：AC＝EC；（2）如图2，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，垂足为M，连接CB，求证：CD＝CB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DO并延长DO交AB于点F，连接CF、BD，过点M 作MP⊥DB于点P，交DF于点Q，连接OP，若∠DFC＝90°，QO＝1时，求线段OP的长度．11．已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E为弧AC上一点，连接BE．（1）如图1，求证：∠CEB＝∠DEB；（2）如图2，若弦CD经过圆心O，过点A作AF⊥AE交DE于，求证：CE＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交ED、EB于点H、G，连接BF，若CG＝2，AH＝3，求BF的长．12．已知，△ABC内接于 O，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点D．（1）如图1，求证：AD⊥BC；（2）如图2，过点B作AC的垂线，交AD于点E，交⊙O于点F，垂足为点G，连接CF，求证：CF+FG＝BG；（3）如图3，在（2）的条件下，P为弧AC上一点，弧PF＝弧CF，连接PA、PB、PC，PB 交AD于点M，交AC于点N，若PB＝16，PC＝10，求△AMN的面积．13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB 边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点P为⊙O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP．①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP，求∠BDP的度数；②若Q是BP的中点，当BE＝4时，直接写出CQ长度的最小值．14．如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，C是切点，EA交弦BC于点D、交⊙O于点F，连接CF：（1）如图1，求证：∠ECB＝∠F+90°；（2）如图2，连接CD，延长BA交CE于点H，当OD⊥BC、HA＝HE时，求证：AB＝CE；（3）如图3，在（2）的条件K在EF上，EH＝FK，S△ADO＝，求WE的长．15．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦且与AB交于点E（E不与O重合），CE ＝DE，点F在弧AD上，连接AD、CF、DF，CF交AB于点H，交AD于点G．（1）如图1，求证：∠CFD＝2∠BAD；（2）如图2，过点B作BN⊥CF于点N，交⊙O于点M，求证：FN＝CN+DF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CF至点Q，连接QA并延长交BM的延长线于点P，若∠Q＝∠ADF，HE＝BE，AQ＝2DG＝10，求线段PN的长．参考答案1．（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．2．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．3．解：（1）①PA+PB＝PC，理由如下：∵线段PC经过点O，∴PC是⊙O的直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∴PA＝PC，PB＝PC，∴PA+PB＝PC；②PA+PB＝PC，理由如下：在PC上截取PD＝PA，连接AD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠APD＝∠ABC＝60°，∵PD＝PA，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠PAB，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（SAS），∴DC＝PB，∴PA+PB＝PD+DC＝PC；（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA＝∠CDG．∵∠PAD＝∠G．∴∠CDG＝∠G，∴CG＝CD，又∵PA平分∠FAC，∴∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG．∴∴，∴AB＝CG．∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3，∴AE＝．4．（1）①证明：如图1中，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠AB D＝90°，∴△ABD为“类直角三角形”．②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°，∴∠ABE+2∠A＝90°，∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°∴∠A＝∠CBE，∴△ABC∽△BEC，∴＝，∴CE＝＝，（2）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝6，AB＝10，∴BD＝＝＝8，①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD，∴∠CAD+∠DAF＝180°，∴C，A，F共线，∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°∴∠C＝∠ABF，∴△FAB∽△FBC，∴＝，即＝，∴AC＝．②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，∴∠C+2∠ABC＝90°，∵∠CAD＝∠CBF，∠C＝∠C，∴△DAC∽△FBC，∴＝，即＝，∴CD＝（AC+6），在Rt△ADC中，[（ac+6）]2+62＝AC2，∴AC＝或﹣6（舍弃），综上所述，当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．5．解：（1）如图1，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD＝∠ABD，且∠F＝∠BAD，∴∠HCD+∠F＝90°，∴∠H＝90°，∴AC⊥EF；（2）如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD＝∠ABD，∵2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，且∠HCD＝∠CAE+∠ADC，∴∠CAE+∠ADC＝2∠CAE+∠DAG，∴∠ADC＝∠CAE+∠DAG，且∠AGC＝∠ADC，且∠AGC＝∠AEC+∠GAD，∴∠CAE+∠DAG＝∠GAD+∠AEC，∴∠AEC＝∠CAE，∴AC＝CE；（3）如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，∵∠H＝∠AMK＝90°，∠AEH＝∠MEF，∴∠HAE＝∠MKE，且∠HAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠MKE，∵PA⊥AE，∠HAE＝∠CEA，∴∠CPA＝∠CAP，∴PC＝AC，且AC＝CE，∴PE＝2AC，且EK＝2AC，∴PE＝EK，且∠PAE＝∠KME＝90°，∠CEA＝∠MKE，∴△PAE≌△EMK（AAS）∴AE＝MK，∵AK＝10，△AEK的面积＝18，∴AK×EN＝×10×EN＝18， AE×MK＝×AE2＝18，∴EN＝，AE＝6，∴AN＝＝＝，∴KN＝AK﹣AN＝，∴EK＝＝＝2．6．（1）证明：连接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴＝3，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，在RT△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9，∴CD＝＝＝3．7．解：（1）连结OB，如图，∵AB、CD是⊙O的切线，∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA，∴∠ABO＝∠ACD＝90°，∵∠BAO＝30°，∴AD＝2CD＝2BD，∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6，∴OB＝AB＝2，即⊙O的半径为2；（2）∵∠BAO＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点P到直线BC的距离为x，∴△PBC的面积为×2×x＝x，弓形BC的面积＝扇形COB的面积﹣△COB的面积＝＝2，∴y＝x+2，当点P到BC的垂线经过圆心O时，其值最大，即2+3，∴自变量x的取值范围是0≤x≤2+3．8．（1）证明：如图1中，延长AO交⊙O于M，连接CM．∵AM是直径，∴∠ACM＝90°，∴∠CAM+∠M＝90°，∵∠CAO＝∠DAE，∠D＝∠M，∴∠DAE+∠D＝90°，∴∠AED＝90°，∴AE⊥CD．（2）证明：如图2中，连接BC，延长AE交⊙O于H，连接DH．∵∠CAO＝∠DAE，∴＝，∴DH＝BC，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°＝∠ACB，∴∠ACD+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACD＝∠CBF，∵∠H＝∠ACD，∴∠H＝∠CBF，∵∠DEH＝∠BFC＝90°，∴△BFC≌△HED（AAS），∴CF＝DE．（3）解：如图3中，作GM⊥AD于M，作NJ⊥AB于J，连接BC．∵∠CGB＝∠AGE，AE⊥CD，∴tan∠CGB＝tan∠AGE＝＝，设AE＝4k，EG＝3k，则AG＝5k，∵＝，∴DM＝CM，∠DAM＝∠MAC，∵CN＝DM，∠ACN＝∠AMD，∴△ACN≌△AMD（AAS），∴AN＝AD，∵AE⊥DN，∴DE＝EN，∠DAE＝∠NAE＝∠CAB＝∠MAB，∵NE⊥AE，NJ⊥AB，∴NE＝NJ，∵＝＝＝＝，∴EN＝EG＝k，∴DN＝k，DG＝k，∴AD＝＝＝k，∵•AD•GM＝•DG•AE，∴GM＝＝，∴AM＝＝＝k，∵∠GAM＝∠CAE，∠AMG＝∠AEC＝90°，∴△AEC∽△AMG，∴＝，∴＝，∴AC＝k，∵△ACB∽△AED，∴＝，∴＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．9．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝∠C，∵四边形AFDC是圆内接四边形，∴∠AFD+∠C＝∠BFD+∠AFD＝180°，∴∠BFD＝∠C，∴∠BFD＝∠B，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；（2）如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，则四边形ABDE是平行四边形是假命题；∵＝，∴DE＝AC，∵AB＝AC，∴AB＝DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠E，∴∠B＝∠E，﹣＝﹣，∴＝，∴AE＝CD＞BD，但四边形ABDE不是平行四边形，∴“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．（1）证明：如图1中，延长CO交⊙O于T，连接BT．∵OT＝OB，∴∠T＝∠OBT，∵∠EOB＝∠T+∠OBT＝2∠T，∠EOB＝2∠OEB＝2∠AEC，∴∠T＝∠AEC，∵∠A＝∠T，∴∠A＝∠AEC，∴CA＝CE．（2）证明：如图2中，作OH⊥BC于H，OF⊥CD于F．∵OC＝OB，OH⊥BC，∴∠COH＝∠BOH，∵∠EOB＝2∠OEB＝2∠CEM，∴∠COH＝∠CEM，∴∠CEM+∠OCF＝90°，∠OCH+∠OCH＝90°，∴∠OCH＝∠OCF，∵OF⊥CD，OH⊥CB，∴OF＝OH，∵OC＝OC，∠OFC＝∠OHC＝90°，∴Rt△COF≌Rt△COH（HL），∴CF＝CH，∵DF＝CF，CH＝BH，∴CD＝CB．（3）延长CO交BD于T，连接TF，TM．∵CD＝CB，∠DCO＝∠BCO，∴CT⊥BD，DT＝BT，∵OC＝OD，∴∠FDC＝∠TCD，∵∠DFC＝∠CTD＝90°，CD＝DC，∴△CDT≌△DCF（AAS），∴DT＝CF，∠TDC＝∠FCD，DF＝CT，∴∠TDF＝∠FCT，∵△TDF≌△FCT（SAS），∴∠DFT＝∠CTF，∵∠DOC＝∠FOT，∴∠OCD＝∠OTF，∴CD∥TF，∴∠BTF＝∠BDC＝∠FCM，∵CF＝BT，∠CMF＝∠TFB，∴△CMF≌△TFB（AAS），∴FT＝CM，∴四边形FTMC是平行四边形，∴TE＝EC，EM＝EF，∵DF＝CT，OD＝OC，∴OT＝OF，∴∠OTF＝∠OFT，∵∠OTF+∠FET＝90°，∠OFT+∠OFE＝90°，∴∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF＝OT，∵OE∥MO，EF＝EM，∴OQ＝OF＝1，∴ET＝EC＝2，∴OD＝OC＝3，∴DQ＝2，∵QP∥OT，∴＝＝，∴＝＝，∴PQ＝，∴DP＝＝＝，DT＝2，∴PT＝DT﹣DP＝2﹣＝，∴OP＝＝＝．11．解：（1）如图1中，∵CD⊥AB，AB是直径，∴＝，∠CEB＝∠DEB．（2）如图2中，连接AC、AD，∵AB⊥CD，OC＝OD，∴AC＝AD，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵AE⊥AF，∠EAF＝∠AOD＝45°，∴∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠FAD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴CE＝DF．（3）过点A作AS⊥CE交CE的延长线于S，AT⊥ED于T，过点E作EN⊥AC于N．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠DEG＝90°，∠SEA+∠CEB＝90°，∵∠CEG＝∠DEG，∴∠AES＝∠AED，∵AS⊥ES，AT⊥ET，∴AS＝AT，∴＝＝，∴＝，同法可证＝∴，设HG＝x，，∴x＝1，∴AC＝6，tan∠ECA＝，tan∠EAC＝，AE＝，EF＝，BE＝BF＝＝＝．12．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴＝，∵AD经过圆心O，∴AD⊥BC．（2）如图2中，设BF交AD于H，连接CH．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴HB＝HC，∵BF⊥AC，∴∠AGH＝∠BDH＝90°，∴∠HAG+∠AHG＝90°，∠DBH+∠BHD＝90°，∵∠AHG＝∠BHD，∴∠HAG＝∠DBH，∵∠GAF＝∠DBH，∴∠GAF＝∠GAH，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠AHG＝∠AFG，∴AH＝AF，∵AC⊥FH，∴GH＝FG，∴CH＝CF＝BH，∴BG＝BH+GH＝CF+FG．（3）如图3中，作MK⊥AB于K，MJ⊥AC于J．∵＝，∴∠PBF＝∠CBF，∴∠PBC＝2∠PBF＝2∠CAD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝2∠DAC，∴∠CBP＝∠CPB，∴CB＝CP＝10，∵∠BCN＝∠CBA＝∠CBN+∠ABN，∠CNB＝∠ABN+∠BAN，∠BAN＝∠CBN，∴∠BCN＝∠BNC，∴BN＝BC＝10，∵PB＝16，∴PN＝16﹣10＝6，∵∠BCN＝∠BCA，∠CBN＝∠CAB，∴△CBN∽△CAB，∴＝，设CN＝x，∴＝，∴AC＝，∵∠ABN＝∠PCN，∠ANB＝∠PNC，∴△ANB∽△PNC，可得AN•NC＝BN•PN，∴（﹣x）＝10×6，∴x＝2（负根已经舍弃），∴CN＝2，AC＝AB＝5，AN＝3，在Rt△ADC中，AD＝＝＝15，∴S△ABC＝•AD•BC＝75，∵AN：CN＝3：2，∴S△ABN＝×75＝45，∵MJ⊥AC，MK⊥AB，∠MAB＝∠MAC，∴MJ＝MK，∴＝＝＝＝∴S△AMN＝×45＝．13．（1）证明：如图1中，连接OC．∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵OD垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝∠OCD＝30°，∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC（AAS），∴OD＝OB，∴AC是⊙O的切线．（2）①解：如图1中，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠DBC，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴BD＝DC＝AD，∵∠DCB＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠BDP＝60°．②解：如图2中，连接OP，取OB的中点J，连接JQ．∵BE＝4，∴OB＝OE＝OD＝OP＝2，JO＝JB＝1，∵∠OBC＝90°，∠OCB＝30°，∴BC＝OB＝2，∴JC＝＝＝，∵QP＝QB，JO＝JB，∴JQ＝OP＝1，∵CQ≥JC﹣JQ，∴CQ≥﹣1，∴CQ的最小值为﹣1．14．解：（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC ∴∠OCB＝∠B∵＝∴∠F＝∠B∴∠OCB＝∠F∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE∴∠OCE＝90°∵∠ECB＝∠OCB+∠OCE∴∠ECB＝∠F+90°；（2）证明：如图2，过点C作CG⊥EF于G，连接BF，则∠CGE＝∠CGD＝90° ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°＝∠CGE＝∠CGD∵OD⊥BC∴BD＝CD在△BDF和△CDG中，∴△BDF≌△CDG（AAS）∴BF＝CG∵HA＝HE∴∠EAH＝∠E∵∠BAF＝∠EAH∴∠BAF＝∠E在△ABF和△ECG中，∴△ABF≌△ECG（AAS）∴AB＝CE；（3）如图3，过点C作CG⊥EF于G，连接AC，OC，OF，BF，由（2）知：AB＝CE，∠BAF＝∠E∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC∵AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，∴∠ACB＝∠ECO＝90°，即∠ECA+∠OCA＝∠ABC+∠OAC∴∠ECA＝∠ABC∴△ABD≌△ECA（ASA）∴BD＝AC∵BD＝CD∴AC＝CD∴△ACD为等腰直角三角形∴∠ADC＝45°∴∠EDF＝45°∴△DEF是等腰直角三角形设FK＝a，BF＝b，则DF＝b，BD＝CD＝AC＝b，AD＝AC＝2b，BC＝2b，∵BD＝CD，OA＝OB∴OD＝AC＝b，∵∠BDO＝90°∴OB＝＝＝b∴AB＝CE＝b∵S△ADO＝，∴S△BOD＝S△COD＝，S△BOC＝1∴BC•OD＝1，即×2b×b＝1∴b＝1∴AB＝CE＝，BF＝1，AC＝，BC＝2∴AF＝＝＝3过点C作CT⊥AB于T，则CT＝＝＝，∴OT＝＝＝，∵tan∠COH＝＝，∴CH•OT＝CT•OC，即： CH＝×∴CH＝，∵EH＝FK＝a，∴CH＝CE﹣EH＝﹣a，∴﹣a＝，解得：a＝，∴FK＝，EH＝，∵△AEH∽△AFO∴＝，即AE•OA＝AF•EH，AE×＝3×，∴AE＝2，EK＝AE+AF﹣FK＝2+3﹣＝过W作WR⊥EF于R，易证：△BFK∽△WRK∴＝＝＝，设KR＝m，WR＝2m∵＝tan∠WER＝tan∠BAF＝＝∴＝，即ER＝6m，∴EK＝7m＝，解得：m＝∴ER＝6×＝，WR＝2×＝∴WE＝＝＝．15．（1）证明：如图1中，连接AC．∵AB是⊙O直径，CE＝DE，∴AB⊥CD，∴，∴∠BAC＝∠BAD，∵∠CFD＝∠CAD，∴∠CFD＝2∠BAD．（2）如图2中，连接BC，BD，在FC上截取FK＝FD，连接BK．∵，∴BC＝BD，∠B FD＝∠BFK，∵FK＝FD，FB＝FB，∴△BFD≌△BFK（SAS），∴BK＝BD，∴BC＝BK，∵BN⊥CK，∴CN＝NK，∴FN＝FK+KN＝DF+CN．（3）如图3中，连接AC，AF．∵HE＝BE，∴设HE＝16a，EB＝27a，由题意知点H是△ACD重心，∴AH＝32a，AE＝48a，连接BD，由射影定理知DE2＝AE•EB，解得DE＝36a，∵AD＝10，DE＝36a，AE＝48a，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得a＝，∴DE＝6，EB＝，AE＝8，CE＝6，CB＝，HE＝，∴tan∠QCD＝＝，∵EB＝，∴CR＝4，∴tan∠QCD＝，∴CN＝，∵tan∠ACE＝＝，∴tan∠ACQ＝＝，∴AK＝10×＝，则CQ＝2CK＝，∵CN＝，∴NQ＝，在Rt△PNQ中，∠PNQ＝90°，tan∠Q＝＝，∴NP＝NQ×＝．。

2020中考数学一轮专项复习《圆》大题综合提升卷1．（10分）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．2．（10分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．3．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E 作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．4．（10分）如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD 的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．5．（10分）已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．6．（10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．7．（10分）如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．8．（10分）如图，在▱ABCD中，以AB为直径的圆O交BC于点E，已知AB＝2，BE ＝2，若DE是圆O的切线，（1）求证：∠B＝∠AED；（2）求AD的长；（3）点F为线段DE上一点，并且AE＝AF．①求证：△ADF∽△DEC；②求DF的长．9．（10分）△DLA内接于⊙O，AL＝2，连接OD，∠ADL＝n∠ODA．（1）如图1，当n＝2，∠DAL＝45°时，求DL的长；（2）如图2，当n＝3，∠DAL＝30°时，求DL的长；（3）如图3，当n＝4时，点B在AD上，且DB＝DL，连接OB，3∠DAL+5∠OBD＝270°，求DL的长．10．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；（3）求证：BC2＝4CE•AB．11．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．12．（10分）如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD＝2，求BC的长；（3）如图②，在（2）的条件下，连接AE，延长AE和BC，交于点G，求GE的长．13．（10分）（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结P A、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．14．（10分）如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD ∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．15．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，延长AB至点E，使得BE＝2，点D是上的一个动点，连结AD，BD，ED．（1）当DE∥BC时，求证：∠ADB＝∠E；（2）若BC＝6，则：①求⊙O的半径；②当△ABD为直角三角形时，求DE的长．参考答案1．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．2．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CD⊥AB，∴∠OBC+∠BCD＝90°，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①线段CF与CD之间满足的数量关系是：CF＝2CD，理由如下：如图2，过O作OH⊥CF于点H，∴CF＝2CH，∵∠FCE＝2∠ABC＝2∠OCB，且∠BCD＝∠BCE，∴∠OCH＝∠OCD，∵OC为公共边，∴△COH≌△COD（AAS），∴CH＝CD，∴CF＝2CD；②∵CD＝4，BD＝2，∴BC＝＝2，由①得：CF＝2CD＝8，设OC＝OB＝x，则OD＝x﹣2，在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即OB＝5，∵OC⊥GE，∴∠OCF+∠FCG＝90°，∵∠OCD+∠COD＝90°，∠FCO＝∠OCD，∴∠GCF＝∠COB，∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形，∴∠GFC＝∠ABC，∴△GFC∽△CBO，∴＝，∴＝，∴FG＝．3．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．4．如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．（1）证明：连接OC，∵C、D是半圆的三等分点，∴＝＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴OC⊥EF，∴FC是⊙O的切线；（2）解：四边形ADCO是菱形，理由如下：连接DC、DO，由（1）知＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝COB＝×180°＝60°，又∵OA＝OD＝OC，∴△OAD与△OCD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD，OD＝OC＝DC，∴OA＝AD＝DC＝OC，∴四边形ADCO是菱形；（3）解：由（1）知，OC∥AE，∴△OCG∽△EAG，△FCO∽△FEA，∠COF＝∠EAF＝60°，∴＝，＝，∴＝，在Rt△OCF中，∠F＝30°，设OC＝r，则OF＝2r，∴＝＝，∴＝，∴OG与GE的比值为．5．已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．解：（1）如图1，连接BD，∵CD为△ABC的外角平分线，∴∠HCD＝∠BCD，∵∠HC D＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCD，∵∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BCD；（2）∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，∴＝，∴AB＝BD；（3）如图3，作FG⊥AB于G，EP⊥AF于P，CN⊥AC交AC的延长线于N．在Rt△CDN中，∵∠DCN＝60°，CD＝8，∴∠CDN＝30°，∴CN＝CD＝4，DN＝4，∴AD＝＝＝13，∵AB＝BD，∠B＝60°，∴∠ABC是等边三角形，∴AD＝DB＝BD＝13，∠DAB＝60°，∵∠DMF＝∠ADM+∠MAD＝60°，∠MAE+∠MAD＝60°，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠DAE＝∠B，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，则BE＝13﹣x，BG＝x，EG＝13﹣x，FG＝x，在Rt△EFG中，72＝（13﹣x）2+（x）2，解得x＝5或8（舍弃），∴AE＝BF＝5．6．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．（1）证明：连接OB，如图1所示：∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∵BA⊥PF，∴AD＝BD，即OP垂直平分AB，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠P AB+∠OAB＝∠PBA+∠OBA＝90°，即∠OAP＝90°，∴OA⊥P A，∴直线P A为⊙O的切线；（2）∵∠ADO＝∠OAP＝90°，∠AOD＝∠POA，∴△OAD∽△OP A，∴＝，∴OA2＝OD•OP；（3）解：连接AE，如图2所示：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OD垂直平分AB，∴OD∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝BC＝3，设DE＝x，则OE＝OA＝OF＝3+x，∵OD垂直平分AB，∴＝，∴∠F＝∠DAE，∴tan∠DAE＝tan∠F＝，∴AD＝2DE＝2x，在Rt△ADF中，tan∠F＝＝，∴＝，解得：x＝2，∴AD＝4，BC＝6，OA＝OE＝5，在Rt△ABC中，AC＝2OA＝10，∴cos∠ACB＝＝＝．7．如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．（1）证明：如图1，连接OE，OC，在△BCO与△ECO中，，∴△BCO≌△ECO（SSS），∴∠OEC＝∠OBC，∵BN是⊙O的切线，∴AB是⊙O的直径，∴AB⊥BN，∴∠ABC＝90°，∴∠OEC＝90°，∴CD为⊙O的切线；（2）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AO D∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC ﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．8．如图，在▱ABCD中，以AB为直径的圆O交BC于点E，已知AB＝2，BE＝2，若DE是圆O的切线，（1）求证：∠B＝∠AED；（2）求AD的长；（3）点F为线段DE上一点，并且AE＝AF．①求证：△ADF∽△DEC；②求DF的长．解：（1）连接OE，∵D E是圆O的切线，∴∠OED＝90°，∴∠AEO+∠AED＝90°，∵AB为圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B＝∠AED；（2）∵∠AEB＝90°，AB＝2，BE＝2，∴AE＝＝＝4，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB＝90°，∵∠B＝∠AED，∴△ABE∽△DEA，∴＝，∴＝，∴AD＝8；（3）①∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，∵∠AFE+∠AFD＝∠C+∠B＝180°，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；②∵∠EAD＝90°，AE＝4，AD＝8，∴DE＝＝＝4，∴CD＝AB＝2，∵△ADF∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DF＝．9．△DLA内接于⊙O，AL＝2，连接OD，∠ADL＝n∠ODA．（1）如图1，当n＝2，∠DAL＝45°时，求DL的长；（2）如图2，当n＝3，∠DAL＝30°时，求DL的长；（3）如图3，当n＝4时，点B在AD上，且DB＝DL，连接OB，3∠DAL+5∠OBD＝270°，求DL的长．解：（1）如图1，连接LO并延长交⊙O于C，连接AC，∵∠DAL＝45°，∴∠DOL＝2∠DAL＝90°，∵OD＝OL，∴∠ODL＝∠OLD＝45°，∵∠ADL＝2∠ODA，∴∠ADL＝30°，∴∠C＝∠ADL＝30°，∵CL是⊙O的直径，∴∠CAL＝90°，∵AL＝2，∴CL＝2AL＝4，∴OD＝2，∴LD＝OD＝2；（2）如图2，连接LO并延长交⊙O于C，连接AC，∵∠DAL＝30°，∴∠DOL＝2∠DAL＝60°，∴△ODJ是等边三角形，∴∠ODL＝∠OLD＝60°，∵∠ADL＝3∠ODA，∴∠ADL＝45°，∴∠C＝∠ADL＝45°，∵CL是⊙O的直径，∴∠CAL＝90°，∵AL＝2，∴CL＝2AL＝2，∴OD＝，∴LD＝OD＝；（3）如图3，连接OA，OL，设∠ODB＝α，则∠BDL＝4α，∠DOL＝180°﹣10α，∠DAL＝＝90°﹣5α，∵3∠DAL+5∠OBD＝270°，∴∠OBD＝3α，∵DB＝DL，将△BOD绕着点D顺时针旋转得到△LCD，∴∠DLC＝∠DBO＝3α，∠CLO＝∠DLO﹣∠DLC＝2α＝∠AOB，∵CL＝OB，OL＝OA，∴△CLO≌△BOA（SAS），∴∠LOC＝∠OAB＝α＝∠ODB，∴∠OCD＝∠OLD+∠LOC+∠DLC＝5α+2α＝7α，∵OD＝CD，∴∠DOC＝∠DCO＝7α，∵∠ODC＝4α，∴7α+7α+4α＝180°，∴α＝10°，∴∠ADL＝40°，∴∠DAL＝90°﹣5α＝90°﹣50°＝40°，∴∠ADL＝∠DAL，∴DL＝AL＝2．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；（3）求证：BC2＝4CE•AB．解：（1）EF与⊙O相切，理由如下：连接AD，OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∴EF与⊙O相切．（2）解：由（1）知∠ADC＝90°，AC＝AB＝10，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×8×6＝×10×DE．∴DE＝．（3）证明：由（1）得：CD＝BC，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵EF⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠ADC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴＝，∴CD2＝CE•AB，∵AB＝AC，∴BC2＝CE•AB，∴BC2＝4CE•AB．11．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，即∠OCB+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵PE⊥AB，∴∠B+∠BPE＝90°，∵∠BPE＝∠DPC，∴∠OCB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠BCD，∴DC＝DP，∴△DCP是等腰三角形；（2）解：①连接AC，如图2，∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝AC＝6，Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，∴PE＝BE＝，PB＝2 PE＝2，∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴DC＝CP＝4；②连接OF，如图3所示：，∵四边形OCFB是菱形，∴OB＝OC＝CF＝BF，OF⊥BC，∠BOF＝∠COF，∵∠CBA＝30°，∴∠BOF＝∠COF＝60°，∴的长＝＝2π．12．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD＝2，求BC的长；（3）如图②，在（2）的条件下，连接AE，延长AE和BC，交于点G，求GE的长．（1）证明：如图①，连接OE、OC，∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC＝90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC＝90°，∴BC为⊙O的切线；（2）作DF⊥BC于F，则四边形ABFD为矩形，∴BF＝AD＝2，DF＝，由切线长定理得，DE＝AD＝2，设BC＝x，则CE＝x，CF＝x﹣2，CD＝x+2，在Rt△DFC中，CD2＝DF2+FC2，即（x+2）2＝（2）2+（x﹣2）2，解得，x＝，即BC＝；（3）如图②，连接BE，作DF⊥BC于F，∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED，∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝，∴BG＝5，∴AG＝＝＝3，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠GEB＝∠GBA，又∠G＝∠G，∴△GEB∽△GBA，∴＝，∴BG2＝GE•GA，∴GE＝＝＝．13．（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结P A、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．解：（1）①P A+PB＝PC，理由如下：∵线段PC经过点O，∴PC是⊙O的直径，∴∠P AC＝∠PBC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∴P A＝PC，PB＝PC，∴P A+PB＝PC；②P A+PB＝PC，理由如下：在PC上截取PD＝P A，连接AD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠APD＝∠ABC＝60°，∵PD＝P A，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠P AD＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠P AB，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（SAS），∴DC＝PB，∴P A+PB＝PD+DC＝PC；（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE，∴P A＝PD，∴∠P AD＝∠PDA＝∠CDG．∵∠P AD＝∠G．∴∠CDG＝∠G，∴CG＝CD，又∵P A平分∠F AC，∴∠BAC＝180°﹣2∠P AD＝180°﹣（∠P AD+∠PDA）＝∠APG．∴∴，∴AB＝CG．∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3，∴AE＝．14．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．解：（1）A（﹣5，0），B（﹣3，0），∴OA＝5，OB＝3，当t＝1时，AP＝1，∴OP＝OA﹣AP＝4，∵∠CBO＝45°，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，OC＝OB＝3，∴PC＝＝＝5；（2）分两种情况：如图1所示：①当P在点B的左侧时，∵∠CBO＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝45°+15°＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OP＝OC＝3，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣3，②当P在点B的右侧时，∵∠OCB＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB﹣∠BCP＝45°﹣15°＝30°，∴OP＝OC＝，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣；综上所述，当∠BCP＝15°时，t的值为（5﹣3）秒或（5﹣）秒；（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°，得到OP1＝OC＝3，此时AP1Q＝5+3＝8，∴t＝8；②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD，即点P2与点O重合，此时AP2＝5，∴t＝5；③当该圆与AD相切时，设P3（5﹣t，0），则Q（，），半径r2＝（）2+（）2，作QH⊥AD于点H，则QH＝，∵QH2＝r2，∴（）2＝（）2+（）2，解得t＝，综上所述，t的值为8秒或5秒或秒．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，延长AB至点E，使得BE＝2，点D 是上的一个动点，连结AD，BD，ED．（1）当DE∥BC时，求证：∠ADB＝∠E；（2）若BC＝6，则：①求⊙O的半径；②当△ABD为直角三角形时，求DE的长．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠E，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，由圆周角定理得，∠ADB＝∠C，∴∠ADB＝∠E；（2）解：①连接AO并延长交BC于F，连接OC，∵AB＝AC，∴＝，∴AF⊥BC，∴BF＝FC＝BC＝3，在Rt△AFC中，AF＝＝＝4，设⊙O的半径为r，则OF＝4﹣r，在Rt△OCF中，OF2+FC2＝OC2，即（4﹣r）2+32＝r2，解得，r＝，即⊙O的半径为；②当∠ABD＝90°时，AD＝2r＝，∴BD＝＝＝，∴DE＝＝＝，当∠BAD＝90°时，BD＝2r＝，∴AD＝，∴DE＝＝＝．。

提分专练以圆为背景的综合计算与证明|类型1| 圆与平行四边形结合的问题1.如图T7-1,AB是☉O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为☉O的切线.(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.图T7-12.[2019·长春]如图T7-2,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连接AE交☉O于点F,连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.⏜的长.(结果保留π)(2)若∠AEB=55°,OA=3,求BF图T7-23.[2018·河南]如图T7-3,AB是☉O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交☉O于点C,过点C作☉O的切线交DO 于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF.(2)连接AF并延长,交☉O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.图T7-3|类型2| 圆与三角函数结合的问题4.[2019·镇江]如图T7-4,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.(1)求证:直线AB与☉O相切;(2)若AB=5,☉O的半径为12,则tan∠BDO=.图T7-45.[2019·随州]如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF.(1)求证:BF是☉O的切线;,求BC和BF的长.(2)若☉O的直径为3,sin∠CBF=√33图T7-56.[2018·成都]如图T7-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;,求DG的长.(3)若BE=8,sin B=513图T7-6|类型3| 圆与相似三角形结合的问题7.[2018·日照]如图T7-7所示,☉O的半径为4,点A是☉O上一点,直线l经过点A.P是☉O上的一个动点(不与⏜的中点.点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交☉O于点E,直径PD的延长线交直线l于点F,点A是DE(1)求证:直线l是☉O的切线;(2)若P A=6,求PB的长.图T7-78.[2019·大庆]如图T7-8,☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与☉O相交于E,F两点,P是☉O外一点,且P在直线OD上,连接P A,PC,AF,满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:P A是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8,tan∠AFP=2,求DE的长.3图T7-8【参考答案】1.解:(1)证明:如图,连接OD,∵点C,D为半圆O的三等分点,∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.∵OA=OD,∴△AOD为等边三角形,∴∠DAO=60°,∴AE∥OC.∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴CE为☉O的切线.(2)四边形AOCD为菱形.理由:∵OD=OC,∠COD=60°,∴△OCD为等边三角形,∴CD=CO.同理:AD=AO.∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC,∴四边形AOCD为菱形.2.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,AB 为☉O 的直径, ∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,AB=BC , ∴∠BAF +∠ABF=90°,∠ABF +∠EBF=90°, ∴∠EBF=∠BAF , 在△ABE 与△BCG 中,{∠BAF =∠EBF ,AB =BC ,∠ABE =∠BCG ,∴△ABE ≌△BCG (ASA). (2)连接OF ,∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°, ∴∠BAE=90°-55°=35°, ∴∠BOF=2∠BAE=70°. ∵OA=3, ∴BF⏜的长=70×π×3180=7π6.3.解:(1)证明:连接OC.∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°.∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠DCF=90°.∴∠DCE+∠ECF=90°,∠D+∠EFC=90°.由(1)得∠ECF=∠CFE,∴∠D=∠DCE.∴ED=EC.∴ED=EC=EF.即点E为线段DF的中点.①四边形ECFG为菱形时,CF=CE.∵CE=EF,∴CE=CF=EF.∴△CEF为等边三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°.故填30°.②四边形ECOG为正方形时,△ECO为等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D+∠DCE,∴∠D=∠DCE=22.5°.故填22.5°.4.解:(1)证明:连接OB,如图所示.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠OCD,∴∠ABC=∠OCD.∵OD⊥AO,∴∠COD=90°,∴∠D+∠OCD=90°.∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,∴∠OBD+∠ABC=90°,即∠ABO=90°,∴AB⊥OB,∵点B在☉O上,∴直线AB与☉O相切.(2)∵∠ABO=90°,∴OA=√AB2+OB2=√52+122=13,∵AC=AB=5,∴OC=OA-AC=8,∴tan∠BDO=OCOD =812=23.故答案为:23.5.解:(1)证明:连接AE,∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC.∵AB=AC,∴BE=EC,∠BAE=∠CAE.∵∠BAC=2∠CBF,∴∠BAE=∠CBF.∵∠BAE+∠ABE=90°,∴∠CBF+∠ABE=90°,∴AB⊥BF,∴BF是☉O的切线.(2)由(1)得∠BAE=∠CBF,∴sin∠CBF=sin∠BAE=√33,∵∠AEB=90°,AB=3,∴BE=AB sin∠BAE=√3,∴BC=2BE=2√3.过点C作CH⊥BF于H点,在Rt△CBH中,CH=BC sin∠CBF=2,BH=2√2,∵CH⊥BF,AB⊥BF,∴AB∥CH,∴△FCH∽△F AB,∴FHBF =CH AB,∴BF-2√2BF =2 3 ,∴BF=6√2.6.[解析](1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角,证明∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而证明△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,证明△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长.解:(1)证明:连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC,∴∠DAC=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.(2)连接EF ,DF .∵AE 为☉O 的直径,∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,∴EF ∥BC ,∴∠B=∠AEF .∵∠ADF=∠AEF ,∴∠B=∠ADF .又∵∠OAD=∠DAC ,∴△ABD ∽△ADF ,∴AB AD =AD AF ,∴AD 2=AB ·AF ,∴AD=√xy .(3)设☉O 半径为r ,在Rt △DOB 中,sin B=OD OB =513, ∴r r+8=513,解得r=5,∴AE=10.在Rt △AFE 中,sin ∠AEF=sin B=AF AE, ∴AF=10×513=5013, ∴AD=√18×5013=30√1313. ∵∠ODA=∠DAC ,∠DGO=∠AGF ,∴△OGD ∽△FGA ,∴DG AG =OD AF =1310,∴DG AD -DG =1310,∴DG=3023√13.7.解:(1)证明:连接OA.∵OA=OP,∴∠OAP=∠OP A.∵点A是DE⏜的中点,∴DA⏜=AE⏜,∴∠DP A=∠APB,∴∠OAP=∠APB.∴OA∥PB.∵PB⊥l,∴OA⊥l,∴直线l是☉O的切线.(2)连接AD,∵PD是直径,∴∠P AD=90°,∴∠P AD=∠PBA.又∵∠DP A=∠APB,∴△P AD∽△PBA,∴PDPA =PAPB,即86=6PB,∴PB=92.8.解:(1)因为点D是AC中点,所以OD⊥AC,所以P A=PC,所以∠PCA=∠P AC,因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,所以∠ABC+∠BAC=90°,因为∠PCA=∠ABC,所以∠P AC=∠ABC,所以∠P AC+∠BAC=90°,所以P A⊥AB,所以P A是☉O的切线.(2)因为∠P AO=∠ADO=90°,∠AOD=∠POA,所以△P AO∽△ADO,所以AOPO =OD OA,所以AO2=OD·OP,所以EF 2=AB 2=(2AO )2=4AO 2=4OD ·OP .(3)因为tan ∠AFP=23,所以设AD=2x ,则FD=3x ,连接AE ,易证△ADE ∽△FDA , 所以ED AD =AD FD =2x 3x ,所以ED=23AD=43x ,所以EF=133x ,EO=136x ,DO=56x , 在△ABC 中,DO 为中位线, 所以DO=12BC=4,所以56x=4,x=245,所以ED=43x=325.。