数学理科高考模拟汇编卷(五)

高考数学模拟试卷复习试题高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．62．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A3．（5分）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．234．（5分）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．29．（5分）若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF 的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D 到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=．12．（5分）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为．16．若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．18．（13分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．21．（12分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．22．（12分）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A【分析】直接利用集合的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．【解答】解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．6．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A．【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．2【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．9．（5分）若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF 的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D 到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D 在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=||＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．【分析】将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．【解答】解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；故答案为：3．【点评】本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．12．（5分）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．【分析】利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．【解答】解：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．故答案为：2．【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．故答案为：（2，π）．【点评】本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．16．若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．【分析】分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f （x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．18．（13分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．（12分）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．【分析】（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．【解答】解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．【点评】本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．22．（12分）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．【分析】（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析an≠0后可得an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到=，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．【解答】（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（ n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，an≠0．从而an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{an}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞an＞an+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选：D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：|z|===．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n。

高考数学第五次模拟考试数学试卷（理科）A 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1． 计算：=+-ii i 1)1( （ ）A ．i -B ．iC ．1D ．-12．已知集合{}{}=>-=≤+-=B A x x B x x x A 则集合,312,0652（ ）A ．{}32≤≤x xB ．{}32<≤x xC ．{}31<<-x xD ．{}32≤<x x 3．设随机变量服从正态分布,)1(),1,0(p p N =>ξ则=<<-)11(ξP（ ）A ．P 21B ．P -1C ．P 21-D ．P -214．01)12(1=+-+-=y m mx m 是直线和直线033=++my x 垂直的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．地球半径为R ，在北纬30°的圆上，A 点经度为东经120°，B 点的经度为西经60°， 则A 、B 两点的球面距离为 （ ）A ．R 3πB ．R π23C ．R π21D ．R π326．函数)2)(1ln(>-=x x y 的反函数是（ ）A ．)0(>+=x e y xB ．)0(1>-=x e y xC ．)(1R x e y x∈+=D ．)(1R x e y x∈-=7．直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 上的点的最近距离是 （ ）A ．22B ．12-C ．122-D ．18．将函数∈+=x x y )(6sin(πR ）的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ）A ．))(1252sin(R x x y ∈+=πB ．))(1252sin(R x x y ∈+=πC ．))(122sin(R x x y ∈-=πD ．))(2452sin(R x x y ∈+=π9．若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．34≥a B ．10≤<aC ．341≤≤a D ．3410≥≤<a a 或 10．以知函数)32(log )(22--=x x x f ，则使)(x f 为减函数的区间是（ ）A ．（1,∞-）B ．)0,1(-C ．（1，2）D ．（1,3--）11．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有 （ ）A ．168个B ．174个C ．232个D ．238个 12．已知向量)sin 2,cos 2(θθ=a ，)1,0(),,2(-=∈b ππθ，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．θπ-23 B ．θπ+2C ．2πθ-D ．θB 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．10)2(y x -的展开式中，含46y x 项的系数 .14．抛物线2ax y =的准线方程是1=y ，则a 的值为 .15．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21,632==S a 则公比=q . 16．关于正四棱锥ABCD P -，给出下列命题：○1异面直线PA 与BD 所成的角为直角； ○2侧面为锐角三角形； ○3侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角； ○4相邻两侧面所成的二面角为钝角。

2020届数学理科高考模拟汇编卷（五）1、已知复数z abi(a,bR)，若z3 4 i ，则a( )z 5 5 bA.2 1 C. 21 B.D.22 2、若集合A1,2,3,4,5,集合Bx|x(4 x)0，则图中阴影部分表示（ ）A.1,2,3,4B. 1,2,3C. 4,5D. 1,43、若a 、b 均为实数，则“a0,b b a 2”的（ ）0”是“b aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、若函数gx 22x 3，则g3的值为()A ．9B ．7C ．5D ．3 5、若tan3 ,则cos 22sin2()64 4 4816 B. C.1D. A.252525uuur uuuruuur()6、如图所示,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,则OAOC OE版权所有?正确教育侵权必纠！r B.0uuur uuur A.0C.AED.EA7、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 ,例如:他们研究过图 (1)中的 1,3,6,10,·,由·于这些数能表示成三角形 ,将其称为三角形数 ;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,·这·样的数称为正方形数 .下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.289B.1024C.1225D.13781 1 π 8 a ln2， 2 ，则a,b,c 的大小关系（ ）2 ，b 5 c 0 cosxdx 、若2 A. abcB.bacC.cbaD.bca9、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（）版权所有?正确教育侵权必纠！2 3C．5D．2A．B．22 210、已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝1，CP2，点D是PB的中点，且CD7，则球O的表面积为（）27πB. 7π7 21πD.7 21πA.6 C.21 54311、若a b0,0 c 1,则()A.log a c log b cB. log c alog c bC.a c b cD. c a c b12、已知A,B是过抛物线22px(p0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，yuuur uuur,SOAB 2且满足AF2FB|AB|,则抛物线的标准方程为（）322 1 2 2 1A．y4x B．y x C．y8x D．y x4 813、若不等式x2ax 4 0对一切x 0,1 恒成立，则a的取值范围是___________________14、某学生对函数 f x xsinx进行研究后，得出如下四个结论：版权所有?正确教育侵权必纠！①函数f x 在 2 , 上单调递增；2②存在常数M0，使|fx| M|x|对一切实数x 都成立；③函数f x 在0, 上无最小值，但一定有最大值；④点,0 是函数yf x 图象的一个对称中心，其中正确的是__________.15、已知函数f xx,x m 0.若存在实数b,使得关于x 的方程22mx 其中mx 4m,xmf(x) b 有三个不同的根,则m 的取值范围是__________. 16、已知x 与y 之间的一组数据如下表所示：x 0 y1当m 变化时，回归直线1 2 3 35 2m 7 2m$bxa 必经过定点________.ya,b,c ，且满足acosB 2 2 217、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为b c 2 a 3cosA. c 2c(1)如sinC c，求a.2 (2)若△ABC 2 ，bc3，求△ABC 外接圆的面积.S 18、某城市 100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)， [220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300] 分组的频率分布直方图如图．版权所有?正确教育侵权必纠！（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？19、如图,在多面体ABCDEF中,ABDEEF 2AD,平面CDE 平面ABCD,四边形2 2ABABCD为矩形,BC//EF,点G在线段CE上,且EG2GC3(1)求证DE平面ABCD(2)求二面角E DGF的正弦值是椭圆C:x 2y220、已知F1,F2221(ab0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．a b版权所有?正确教育侵权必纠！（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.21、已知函数f(x) ax2bx 1e x．（Ⅰ）当a b 1时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）若f 1 1，且方程f(x) 1在区间0,1 内有解，求实数a的取值范围．22、已知曲线C1:x5cos( 为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐y si n标系,曲线C2的极坐标方程为sin2cos．（1）写出曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程（2）若过点P2,0 的直线l与曲线C CAB交于点A、B,与曲线2交于点C、D,求的取1PCPD 值范围．23、[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)2x 1x(1)作出函数f(x)的图象；(2)若不等式f(x) m x的解集为非空集合A,且A ( ,1]，求m的取值范围.版权所有?正确教育侵权必纠！答案以及解析1答案及解析：答案：B版权所有?正确教育侵权必纠！解析：由z a bi ，得z abi ，所以abi 3 4 i,a bi 5 52 2a 2b 23b2ab3 42 2 a 1即 a a b5 a 2 b 2 a 2 b 2 i i ，由复数相等，得 ,得 ，故选B.5 5 2ab4 b 22 2 5a b2 答案及解析：答案：A解析：解：图中阴影部分表示的集合是 C A (AIB)， ∵B{x|（x4 x ）＜0}，即B {x|x ＜0或x ＞4}，∴AIB5，∵集合A {1，2，3，4，5}， ∴CA(AI B) 1,2,3,4. 故选A.3答案及解析： 答案：A解析：若a0,bb a⋯2ba 20,则abab，故充分性成立，版权所有?正确教育侵权必纠！ba b a ba 2若a0,b 0,满足a0, 0 ⋯20不成立，b满足abab，但a0，ba 0,b 0 b a⋯2a b故“ ”的充分不必要条件”是“4 答案及解析：答案：C解析：令x 2 3,解得x 1代入gx22x 3，即g35.故选C.5 答案及解析：答案：A解析：由tan 33 ,cos 434 ,得sin5 或sin ,cos ,所以 4 555cos 22sin2 16 4 12 64 ,故选A.25 25 256 答案及解析：答案：Auuu r uuu ruuuruuur uuuruuur uuu r uuur uuu r uuu r r解析：∵OA OCOB,OB OE,∴OAOC OEOB OE0,故选A.7 答案及解析：答案：C版权所有?正确教育侵权必纠！解析：由图形可得三角形数构成的数列通项a n n(n1), 2 同理可得正方形数构成的数列通项 b n n 2, 而所给的选项中只有1225满足a 49 4950 b 353521225。

数学高考模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·天津) 设集合，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数z= （i为虚数单位），则z的虚部是（）A . ﹣1B . 1C . ﹣iD . i3. （2分）在正项等比数列中，，则的值是（）A .B .C .D .4. （2分）给出以下命题：（1）函数f（x）=与函数g（x）=|x|是同一个函数；（2）函数f（x）=ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，1）；（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（x）=有负数根，则实数m的取值范围是（1，+∞）；（4）若f（x）=为奇函数，则f（f（﹣2））=﹣7；（5）设集合M={m|函数f（x）=x2﹣mx+2m的零点为整数，m∈R}，则M的所有元素之和为15．其中所有正确命题的序号为（）A . （1）（2）（3）B . （1）（3）（5）C . （2）（4）（5）D . （1）（3）（4）5. （2分）执行右图的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最大值是（）A . 15B . 14C . 7D . 66. （2分） (2016高一下·浦东期末) 将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A . y=sin（2x﹣）B . y=sin（2x﹣）C . y=sin（ x﹣）D . y=sin（ x﹣）7. （2分）设不等式组所表的平面区域为D，现向区域D内随机投一点，且该点又落在曲线与围成的区域内的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·集宁月考) 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B . +12C . +10D . 24π9. （2分）随着市场的变化与生产成本的降低，每隔4年计算机的价格降低，则2000年价格为8100元的计算机到2016年价格应为（）A . 3000元B . 2400元C . 1600元D . 1000元10. （2分）用直线y=m和直线y=x将区域x2+y2分成若干块。

高考模拟试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数21i z =+，z 与z 共轭，则z z ⋅等于（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．02．已知集合{}21M x x =<，{}2log ,2N y y x x ==>，则下列结论正确的是（ ）A ．M N N =IB ．()M N =∅R I ðC ．M N U =ID ．()M N ⊆R ð 3．某学校为了更好地培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（ ）A ．60B ．90C ．150D ．1204．下列命题中的假命题为（ ）A ．设α、β为两个不同平面，若直线l 在平面α内，则“αβ⊥”是“l β⊥”的必要不充分条件B ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=-C ．要得到函数()πcos 23fx x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度D ．π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，sin x x <5．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ） A ．2014n ≤ B ．2015n ≤ C ．2016n ≤ D ．2018n ≤ 6．在平面直角坐标系中，若不等式组221210x y x ax y +⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≤≤≥（a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124y =- B ．124x =- C ．32x =- D ．32y =- 7．函数()20164cos 2016e x y x =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ） 8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（ ） A ．2 B ．2 C ．12 D ．22 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号9．若11n x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[]0,π和0,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．1210．函数()()ln 1e x f x x -=++的单调递增区间为（ ）A ．()1,-+∞B ．()0,+∞C ．()e,+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有()7,16λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ⋅=u u u r u u u r 成立的点P 有（ ）个A ．2B ．4C ．6D ．012．已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为1 A 、2 A ，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为()111,P x y ，()222,P x y ，则21x x -的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．4D ．32第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且()136n n n S a a =+，则数列{}n a 的通项公式为________．14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表；x 165 160 175 155 170y 58 52 62 43根据上表可得回归直线方程为ˆ0.9296.8y x =-，则表格中空白处的值为________．15．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =，则m 的最小值为________． 16．若函数()()()2ln 0f x x x a a =++>与()()21e 02x g x x x =+-<的图象上存在关于y 轴对称的点，则关于x 的方程22ln 20x a x ax +-=解的个数是________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知ABC △的面积为S ，且3AB AC S ⋅=u u u r u u u r ，3AC AB -=u u u r u u u r ． （1）若()()()2cos 0f x x B ωω=+>的图象与直线2y =相邻两个交点间的最短距离为2，且116f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ABC △的面积S ； （2）求33cos cos S B C +的最大值． 18．（本小题满分12分） 如图：已知平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABE ⊥平面BCE ，AB CD P ，4AB BC ==，2CD =，BEC △为等边三角形，P 是线段CD 上的动点． （1）求证：平面ABE ⊥平面ADE ； （2）求直线AB 与平面APE 所成角的最大值； （3）是否存在点P ，使得AP BD ⊥？请说明理由．19．（本小题满分12分）2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，他们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：家庭月收入（单位：元）2千以下2千~5千5千~8千8千~1万1万~2万2万以上调查的总人数 5 10 15 10 5 5有二孩计划的家庭数1 2 9 7 3 4（1）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．收入不高于8千的家庭数收入高于8千的家庭数合计有二孩计划的家庭数无二孩计划的家庭数合计（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为12，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千~1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有X个，求X的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>2，直线y x=被椭圆C截得的线段长为33．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l是圆222:O x y r+=的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出AB的取值范围．21．（本小题满分12分）已知()lnf x x x mx=+，且曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设()()()22ag x f x x x a a=--+∈R在其定义域内有两个不同的极值点1x，2x，且12x x<，已知0λ>，若不等式112e x xλλ+<⋅恒成立，求λ的范围．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为13232x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为23ρθ=．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）在圆C上求一点D，使它到直线l的距离最短，并求出点D的直角坐标．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c∈R，且1ab bc ac++=．（1）求证：3a b c++≥（2）若x∃∈R使得对一切实数,,a b c不等式()211m x x a b c+-++++≤恒成立，求m的取值范围．答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】1i z =-，1i z =+，()()1i 1i 2z z ⋅=-+=，2z z ∴⋅=．2．【答案】D【解析】{}11M x x =-<<，{}1N y y =>，{}1N y y ∴=R ≤ð，()M N ∴⊆R ð．3．【答案】B【解析】12543C C 90⋅=．4．【答案】D【解析】l l ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭，反之不成立，故A 为真命题；()0,1N ξQ :，()0P p ξ∴<=，()1112P p ξ-<<=-，从而()1102P p ξ-<<=-，故B为真命题；函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度得π4g x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πππππsin 2sin 2cos 243233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故命题C 为真命题；设()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=->，()f x ∴单调递增，()()00f x f >=，即sin x x >，故命题D 为假命题．5．【答案】A【解析】前6步的执行结果如下：0,1s n ==；3,2s n ==；0,3s n ==；0,4s n ==；3,5s n ==；0,6s n ==；观察可知，s 的值以3为周期循环出现，所以判断条件为2014n ≤？时，3s =符合题意．6．【答案】D【解析】作可行域：由题知：()2,21A a +，()1,1B a +，11,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0D ，12112112a a s +++-=⨯=，16a ∴=，抛物线26x y =，即：26x y =，准线方程为：32y =-． 7．【答案】A 【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B 、D ，又()04130f =-=>，故选A ． 8．【答案】B 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则()000A ，，，()002E ，，，()024D ，，，()200C ，，，()022DE =--u u u r ，，，()202CE =-u u u r ，，．设平面DEC 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即：220220y z x z --=⎧⎨-+=⎩，()1,1,1n =-r ，又()002AE =u u u r ，，为平面ABC 的法向量， 设所求二面角为θ，则3cos 323n AE n AE θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ，从而tan 2θ= 9．【答案】B 【解析】由题意知，381n =，解得4n =，0πx ∴≤≤，01y ≤≤．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积π1πS=⨯=，满足siny x≤的点构成区域的面积为：ππ10sin cos cosπcos02S xdx x==-=-+=⎰，则满足siny x>的概率为121πS SPS-==-．10．【答案】A【解析】函数定义域为()1,-+∞，()()()e11exxxf xx-+'=+，令()()e1xm x x=-+，()1x>-，则()e1xm x'=-，由()0m x'=，得0x=，则()1,0x∈-时，()0m x'<；()0,x∈+∞时，()0m x'>，所以()m x在()1,0-上是减函数，在()0,+∞上是增函数，所以()()00e10m x m=-=≥，即()f x'≥0，所以()f x在()1,-+∞上是增函数，即()f x的增区间为()1,-+∞．11．【答案】B【解析】若P在AB上，()()[]5,4PE PF PA AE PB BF PA PB AE BF⋅=++=⋅+⋅∈-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；若P在CD上，()()[]7,16PE PF PD DE PC CF PD PC DE CF⋅=++=⋅+⋅∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；若P在AE上，()[]0,4PE PF PE PA AB BF PE PA PE BF⋅=⋅++=⋅+⋅∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；同理，P在BF上时也有[]0,4PE PF⋅∈u u u r u u u r；若P在DE上，()[]0,16PE PF PE PD DC CF PE PD PE CF⋅=⋅++=⋅+⋅∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；同理，P在CF上时也有[]0,16PE PF⋅∈u u u r u u u r；所以，综上可知当()7,16λ∈时，有且只有4个不同的点P使得PE PFλ⋅=u u u r u u u r成立．12．【答案】A【解析】lQ与圆相切，211mk∴=+，221m k∴=+．由221y kx mx y=+⎧⎨-=⎩，得()()2221210k x mkx m---+=，()()()22222222122104411418011km k k m m kmx xk⎧⎪-≠⎪⎪∴∆=+-+=+-=>⎨⎪+⎪⋅=<⎪-⎩，21k∴<，11k∴-<<，故k的取值范围为()1,1-．由于12221mkx xk+=-，()2211212222222411x x x x x xkk∴-=+-==--，201k<Q≤，∴当20k=时，21x x-取最小值22第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】3na n=【解析】当1n=时，()1111136S a a a==+，解得13a=；当2n≥时，()()1111336n n n n n n na S S a a a a---=-=+-+⎡⎤⎣⎦，整理得()()1130n n n na a a a--+--=．因为0na>，所以130n na a---=，即13n na a--=，所以{}n a是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313na n n=+-=，即3na n=．14．【答案】60【解析】根据回归直线经过样本中心(),x y可得，表格中空白处的值为60．15．【答案】22 【解析】如图所示，()0,1A -，()0,1F ，过P 作准线的垂线，垂足是H ，由对称性，不妨令P 在第一象限，sin PFPHm PAH PA PA ∴===∠，∴问题等价于求PAH ∠的最小值，而211111114tan 2144x y PAH x x x x x x ++∠===+⋅=≥，当且仅当1124x x x =⇒=时等号成立，所以2sin 2m PAH =∠≥，即：min 22m =．16．【答案】1【解析】若函数()()()2ln 0f x x x a a =++>与()()21e 02x g x x x =+-<图象上存在关于y轴对称的点，则等价为()() g x f x =-，在 0x <时，方程有解， 即()221e ln 2x x x x a +-=+-+，即()1e ln 02x x a ---+=在(),0-∞上有解，令()()1e ln 2x m x x a =---+，则()m x 在其定义域上是增函数，且x →-∞时，()0m x <，0a >Q ，()1e ln 02x x a ∴---+=在(),0-∞上有解可化为：()01e ln 02a -->，即()1ln 2a <，故0e a <<令()22ln 2h x x a x ax =+-，()()22222a h x x a x ax a x x '=+-=-+，240a a -<Q ，()0h x '∴>，()h x 单调递增，0x →时，()h x →-∞，x →+∞时，()h x →+∞．()0h x ∴=有一个解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 【答案】（1）33ABC S =△；（2）33 【解析】（1）()()()2cos 0f x x B ωω=+>Q 的图象与直线2y =相邻两个交点间的最短距离为 T ， 2T ∴=，即：2π 2ω=，解得 πω=，()()2cos πf x x B =+， 1π2cos 166f B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：π1cos 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，B Q 是ABC △的内角，π 6B ∴=， 3AB AC S ⋅=u u r u u u r ，设ABC △的三个内角的对边分别为,,a b c ， 31cos sin 22bc A bc A =， tan 3A =π 3A =，从而ABC △是直角三角形， 由已知3AC AB -=u u u r u u u r 得3BC a ==u u u r ，从而3b =13322ABC S ab ==△． （2）由（1）知π 3A =，3a =， 设ABC △的外接圆半径为R ，则23sin 3a R A ===3R = ()1333cos sin 33cos 33cos 2433sin 33cos 33S B C bc A B C B C B C B C B C ∴+=+=+=+=-， 故33cos S B C +的最大值为33 18．（本小题满分12分） 【答案】（1）见解析；（2）π4；（3）不存在． 【解析】（1）Q 平面ABCD I 平面BCE BC =，在平面ABCD 内作AM BC ⊥，则AM ⊥平面BCE ， 同理，在平面ABE 内作AN BE ⊥，则AN ⊥平面BCE ， AM AN ∴P ，即AM ，AN 重合，AB ⊥平面BCE ， 取 BE AE 、中点O F 、，连结 O C OF 、， 以 O 为原点，OE OC OF 、、为x y z ，，轴正方向建立坐标系，则()2,0,4A -，()2,0,0B -，()0,23,0C ，()0,23,2D ，()2,0,0E ， 可得平面ABE 的法向量为()3,0OC =u u u r ，设面ADE 的一个法向量为(),,m x y z =u r ， 则44022320m AE x z m DE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ur u u u r u r u u u r ，可得()1,0,1m =u r，从而0m OC ⋅=u r u u u r ，平面ABE ⊥平面ADE ．（2）设CP d =，则()0,23,P d ，设面APE 的一个法向量为(),,n m n k =r ， 则440230n AE m k n PE m n dk ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩r u u u r r u u u r ，可得23n ⎛⎫=⎪⎝⎭r ．设直线AB 与面APE 所成角为θ， 则()2sin 241112AB n AB n d θ⋅==⋅-++uu u r r u u u r r ，所以()max 2sin 2θ=，从而直线AB 与平面APE 所成角的最大值为π4．（3）由（2）知()0,23,P d ，则()3,4AP d =-u u u r ，()2,23,2BD =u u u r ，40AP BD d ⋅=+=u u u r u u u r ，40d =-<，故不存在点P ，使得AP BD ⊥．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）()13322E X =⨯=；．【解析】（1）依题意得：12a =，18b =，14c =，6d =； 收入不高于8千的家庭数 收入高于8千的家庭数 合计有二孩计划的家庭数 12 14 26 无二孩计划的家庭数 18 6 24合计 30 20 50 ()22501261814225 4.327 3.8413020262452K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关． （2）由题意知，13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，X 的可能取值为0，1，2，3； ()311028P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2131131C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231132C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 18 38 38 18 ()13322E X =⨯=． 20．（本小题满分12分） 【答案】（1）22184x y +=；（2）圆O 的方程为2283x y +=，AB 的取值范围是46,233⎡⎢⎣． 【解析】（1）22c e a ==Q ，222a b ∴=， 设直线与椭圆交于P ，Q 两点．不妨设P 点为直线和椭圆在第一象限的交点， 又Q 弦长为33，6633P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，2288133a b ∴+=，又222a b =， 解得28a =，24b =，∴椭圆方程为22184x y +=． （2）（i ）当切线l 的斜率不存在时，设x r =（或x r =-），代入椭圆方程得：282r y -=282r A r ⎛-∴ ⎝，28,2r B r ⎛- ⎝， Q 以AB 为直径的圆恒过原点，OA OB ∴⊥u u u r u u u r ，22802r r -∴-=，283r ∴=， ∴圆O 的方程为2283x y +=，此时AB ==．（同理当x r =-时，上述结论仍然成立）（ii ）当切线l 的斜率存在时，设l 方程为：y kx m =+， l Q 与圆O相切，r =，即()2221m k r =+，将直线方程代入椭圆方程并整理得：()22222124280840k x kmx m k m ⎧+++-=⋅⋅⋅⋅⎪⎨∆=+->⋅⋅⋅⋅⎪⎩①②设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 是方程①的两个解，由韦达定理得： 122412kmx x k +=-+，21222812m x x k -=+，()()()222212121212812m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴=++=+++=+， Q 以AB 为直径的圆恒过原点，OA OB ∴⊥u u u r u u u r ，12120x x y y ∴+=，222228801212m m k k k --∴+=++， 223880m k ∴--=，()22381m k ∴=+，又()2221m k r =+Q ，()()2223181k r k ∴+=+， 283r ∴=，此时()22813m k =+，代入②式后成立，∴圆O 的方程为2283x y +=，此时：22133AB k =====+==i ）若 0k =，则AB =ii ）若 0k ≠，则AB =⎝综上，圆O 的方程为2283x y +=，AB的取值范围是⎣．21．（本小题满分12分）【答案】（1）0m =；（2）1λ≥． 【解析】（1）()1ln f x x m '=++， 由题意知()11f '=，即：11m +=，解得0m =． （2）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+． 由题意可知1x ，2x 分别是方程()0g x '=即ln 0x ax -=的两个根， 即11ln x ax =，22ln x ax =， 所以原式等价于()12121ax ax a x x λλλ+<+=+， 因为0λ>，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+． 又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，()1122ln x a x x x =-，即1212ln x x a x x =-． 所以原式等价于121212ln 1x x x x x x λλ+>-+， 因为120x x <<，原式恒成立，即()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立． 令12x t x =，()0,1t ∈，则不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立． 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，又()()()()()()2222111t t h t t t t t λλλλ+--'=-=++， 当21λ≥时，可见()0,1t ∈时，()0h t '>，所以()h t 在()0,1t ∈上单调增，又()10h =， ()0h t <在()0,1t ∈恒成立，符合题意． 当21λ<时，可见()20,t λ∈时，()0h t '>，()2,1t λ∈时()0h t '<， 所以()h t 在()20,t λ∈时单调增，在()2,1t λ∈时单调减，又()10h =， 所以()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以1λ≥． 选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【答案】（10y --=，(223x y +=；（2）122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）消去参数t 得，直线l0y --=；由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +=； （2）因为点D 在圆C上，所以可设点()[)()cos sin 0,2πD ϕϕϕ∈， 所以点D 到直线l的距离为πsin 3d ϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 因为[)0,2πϕ∈，所以当11π6ϕ=时，min 1d =．此时122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点D的坐标为122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲【答案】（1）见解析；（2）1m ≤．【解析】（1）()22222223333a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++=≥，所以a b c ++a b c ==时等号成立；（2）由题意得()()2min min 11m x x a b c +-++++≤， 由（1）知()2min 3a b c ++=， 又()()11112x x x x -++--+=≥，23m ∴+≤，m 的取值范围为：1m ≤．。

绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）本试题卷共18页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2020·菏泽期末]已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =I （ ） A ．{}1- B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-【答案】D【解析】{}{}2|5|05A x x x x x x ==Q ＜或＞＞，{}=1,3,7B -，{}1,7A B ∴=-I ． 故选D ．2．[2020·宁波期末]已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当210a b c ==⎧⎨=⎩＞时，ac bc ＞不成立，所以充分性不成立，当 ac bca b ⎧⎨⎩＞＞时0c ＞成立，0c ≥也成立，所以必要性成立，所以“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的必要不充分条件，选B ． 3．[2020·赣州期末]元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）A ．34B ．78C ．1516D ．3132【答案】C 【解析】1i =， （1）21,2x x i =-=，（2）()221143,3x x x i =--=-=， （3）()243187,4x x x i =--=-=， （4）()28711615,5x x x i =--=-=， 所以输出16150x -=，得1516x =，故选C ． 4．[2020·四川联考]已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的弦长为3b ，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．34D ．32【答案】B【解析】过点1F 倾斜角为30︒的直线方程为：()3y x c =+，即30x y c -+=，则圆心班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封()0,0到直线的距离：2c d ==，由弦长公式可得：=，整理可得：22b c =，222a c c ∴-=，222a c =，则：21,22e e ==．本题选择B 选项． 5．[2020·吕梁一模]示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,0【答案】C【解析】由题意得A =()26282ωωππ=⨯+⇒=，把点(2,-代入方程可得34ϕπ=-，可得函数()g x 的一个对称中心为()10,0，故选C ．6．[2020·南宁二中]()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．-5B ．7C ．-11D ．13【答案】C【解析】611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭Q1x为，故()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是C ．7．[2020·铜仁四中]四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π【答案】C【解析】将四面体A BCD -置于一个长方体中，所以四面体A BCD -的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则根据图形可有222222136164100a b b c ac ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，则外接球的直径2R ===，所以R =，则球的表面积为24200S R =π=π，故选择C ．8．[2020·晋城一模]已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=对称，）A ．725-B ．34-C ．725D ．34【答案】C【解析】2,1232k k ϕπππ∴⨯-+=π+∈Z故选C ．9．[2020·衡水金卷]如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】取线段1B A中点为N ，计算得：同理，当N 为线段AC 或1CB 的中点时，C 项的图象特征．故选C ． 10．[2020·闽侯四中]在ABC △中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则()221t λμ=-+的最小值是（ ） AB．C ．910D ．418【答案】C【解析】如图，存在实数m使得()01AE mAD m =≤≤u u u r u u u r，()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，434m m λμ⎧==⎪⎪⎨⎪⎪⎩，当25m =时，函数取得最小值910，故选C ．11．[2020·台州期末]()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞【答案】A【解析】函数()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，等价于()y f x =与()1y k x =+的图象恰有两个不同的交点，画出函数()1y k x =+的图象是过定点()1,0-斜率为k 的直线，当直线()1y k x =+经过点()1,2时，直线与()y f x =的图象恰有两个交点，此时，1k =，当直线经过点()0,3时直线与()y f x =的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与()y f x =的图象恰有两个交点，斜率在[)1,3内变化，所以实数k的取值范围是[)1,3．12．[2020·湖北联考]如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆(222x y-+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】0l(222x y-+=，；当AB x ⊥当AB 的斜率存在且不为0，设AB(222280k x x k -++=，∴8A D x x =当且仅当4A D x x =，即122A D x x ==，时取等号， 综上所述4AB CD +C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高考数学模拟题复习试卷高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7C．k≤8D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选：D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：|z|===．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．【解答】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种间接法：﹣﹣﹣+1=590故答案为：590．【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），则|AB|=16．故答案为：16．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=【点评】本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求圆Q的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．【分析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．【解答】解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}=Pn={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时Pn中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可得，n的最大值为14．【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。