高考二项式定理题汇总

二项式定理历年高考试题荟萃1、(1+2x)5的展开式中x2的系数是10.2、已知展开式为，求a+b=2+3=5.3、已知展开式为，求n=6.4、(1+2x2)(1+x8)的展开式中常数项为1.5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为63.6、(1+2x2)(x-1)8的展开式中常数项为-256.7、(1+x)8的二项展开式中常数项是1.8、(x2+1)6的展开式中常数项是1.9、若展开式中系数为5，则n=3.10、若(2x3+1)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于3.11、(x+1)9展开式中x3的系数是84.12、若展开式的各项系数之和为32，则n=5，其展开式中的常数项为1.13、(1+2x)6的展开式中的系数为1,12,48,96,80,32,6,1.14、a1=-32,a2=80,a3=-80,a4=40,a5=-10.15、(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为-12.16、展开式为1+7x+21x2+35x3+35x4+21x5+7x6+x7，常数项为1，各项系数之和为119.17、(x+1)5的二项展开式中x2的系数是10.18、(1+x3)(x+1)6展开式中的常数项为1.19、若x＞0，则(2+x)(2-x)-4(x-1)=0.20、已知展开式中x8的系数小于120，则k=2.21、b3=2b4，n=7.22、(x+1)5的二项展开式中x3的系数为10.23、已知(1+x+x2)(x+1)n的展开式中没有常数项，n=4.24、展开式中x的系数为0，∴(1+2x)2展开式中常数项为-4.解析：1.将数字和符号之间加上空格，使得文章更加清晰易读。

2.删除明显有问题的第3段，因为其中的公式无法正确显示。

3.对每段话进行小幅度改写，使得表达更加准确简洁。

改写后的文章如下：3、-256解析：$(1-x)^5=a_2^3+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$。

二项式定理历年高考试题荟萃(一)一、选择题 ( 本大题共 58 题)1、二项式的展开式中系数为有理数的项共有………（）A.6项B.7项C.8项D.9项2、对于二项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（）①存在n∈N，展开式中有常数项；②对任意n∈N，展开式中没有常数项；③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N，展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与①3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，154、（2x3－）7的展开式中常数项是………………………………………………………（）A.14B.－14 C.42 D.－425、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………()(A)28 (B)38 (C)1或38 (D)1或286．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（）A.8B.9C.10D.127 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………()A.6B.12C.24D.488、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（）A.15B.－15 C.20 D.－209、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（）A.14B.－14 C.42 D.－4210、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（）A.8B.9C.10D.1211、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于A．4 B．6 C．8D．1012、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A.4项B.3项C.2项D.1项13.(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是（A）840 （B）-840 （C）210 （D）-21014.的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项 B．3项 C．2项 D．1项15、若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）A.5B.7C.9D.1116、3.若的展开式中的系数是( )A B C D17、在的展开式中的系数是（）A.－14B.14C.－28 D.2818、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）19、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）20、设k=1,2,3,4,5,则（x+2）5的展开式中x k的系数不可能是（A）10 （B）40 （C）50 （D）8021、7.在()n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于A.3B.6C.9D.1222、已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(A)-1 (B)1 (C)-45 (D)4523、的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B．4项 C．5项 D．6项24、在二项式(x+1)6的展开式中，含x3的项的系数是(A)15 (B)20 (C)30 ( D)4025、(若多项式,则（A）9 （B）10 （C）-9 （D）-1026、(的值为（）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63Ｄ．6427、在(x-)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于A．23008B．-23008C．23009D．-2300928.在（）24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B.4项 C.5项 D.6项29、的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0 （B）2 （C）4 （D）630、在（x-）的展开公式中，x的系数为（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）1531、（2x-3）5的展开式中x2项的系数为（A）-2160 （B）-1080 （C）1080 （D）216032．若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是A．-2 B．2 C．D．233、的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（A）－540 （B）－162 （C）162 （D）54034、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-，其中i2＝-1，则展开式中常数项是(A)-45i (B)45i (C)-45(D)4535.若对于任意的实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a2的值为A.3B.6C.9D.136、在的二项展开式中，若只有的系数最大，则A.8B. 9C.10 D.1137、.的展开式中，常数项为15，则n=A.3B.4C.5D.638、若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为A.10B.20C.30D.12039、.已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于A.4B.5C.6D.740、设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为A.－2B.－1 C.1 D.241、展开式中的常数项是(A) -36 (B)36 (C) -84 (D) 8442、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.3B.5C.6D.1043、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.10B.6C.5D.344、((2x+1)6展开式中x2的系数为(A)15 (B)60 (C)120(D)24045、（-）12展开式中的常数项为（A）-1320 （B）1320 （C）-220 (D)220 46、在的展开式中，含的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 47、展开式中的常数项为A．1 B．C．D．48、在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27449、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4D．550、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1251、展开式中的常数项为A．1 B．46 C．4245 D．424652、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D ．453、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1254、的展开式中的系数为（）A．10 B．5 C．D．155、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D ．456、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4D．557、若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为( )A.6B.7C.8D.958、的展开式中常数项是A.210B.C.D.-105二项式定理历年高考试题荟萃(二)一、填空题 ( 本大题共 55 题)1、在二项式（x－1）11的展开式中，系数最小的项的系数为.（结果用数值表示）2、展开式中的常数项是.3、在二项式（x－1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .（结果用数值表示）4、在代数式(4x2－2x－5)(1+)5的展开式中，常数项为______________.5、在(x－)6的二项展开式中，常数项为 .6、.(x+1)10的二项展开式中x3的系数为.7、若在（）n的展开式中，第4项是常数项，则n= .8、（x2+1）（x－2）7的展开式中x3项的系数是.12、（x2－）9展开式中x9的系数是.17.若（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）= .（用数字作答）18、已知a为实数，（x+a）10展开式中x7的系数是－15，则a= .19、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为－80，则a= .20、的展开式中各项系数的和是128,则展开式中x5的系数是 .(以数字作答)21.（x2+）9的展开式中的常数项为（用数字作答）.22、若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .(结果用分数表示)23、（x－）8展开式中x5的系数为 .24、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为－80，则a= .25、若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n= .26、若(x＋－2)n的展开式中常数项为－20,则自然数n＝.27、（x－）8展开式中x5的系数为 .28、如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.29、.在（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6的展开式中，x2项的系数是.（用数字作答）30、二项式的展开式中常数项为__________（用数字作答）.31、. 若，且，则.32、（展开式中的常数项是（用数字作答）.33、的展开式中，常数项为。

高考二项式定理题汇总1. 求1523)x1x (-的展开式中的常数项。

[-5005] 2. 求82)x 2(+的展开式中10x 的系数。

[448] 3.83)x1x (-的展开式中，x 的一次项的系数是___________。

[28]4. 8)x1x (-的展开式中，4x 的系数与4x 1的系数之差是_________。

[0]5.n )x 1(+的展开式中，若第三项与第六项的系数相等，则=n _____。

[7]6. 在202)x 1(-的展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，（1）求r 的值；（2）写出展开式中的第4r 项和第2r +项。

[4r =；3016x 15504T -=，106x 15504T -=] 7. 已知7)a x (+的展开式中，7x 的系数是280-，则实数=a __________。

[34-] 8. 62)x1x 2(-的展开式中的常数项为______________。

[60]9.8)x1x (+的展开式中2x 1的系数是_______________。

[56]10. 9)1x (-按x 降幂排列的展开式中，系数最大的项是（ ）（A ）第4项和第5项（B ）第5项（C ）第5项和第6项（D ）第6项[B]11. 523)x2x (-的展开式中5x 的系数是_______________。

[40]12. 若)N n (1bx ax x )1x (23n n ∈+++++=+ ，且1:3b :a =，那么=n _______。

[11] 13. 在46)x 1()x 1(-+的展开式中，3x 的系数是__________。

[-8]14. 若)N n ()1x 3(n ∈+的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数是__________。

[54]15. 设n 是一个自然数，n )n x1(+的展开式中3x 的系数为161，则=n ______。

[4]16. 在523)x2x (+的展开式中，含5x 项的系数为_______________。

3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在 2x2-⎪的二项展开式中，x的系数为（D）5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）⎛x+1⎫⎪的展开式中常数项为(B)(A)35精选全文完整版（可编辑修改）学习好资料欢迎下载二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同(1+x)7的展开式中x2的系数是（D）（A）42（B）35（C）28（D）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x)5的展开式中，x2的系数等于（B）（A）80（B）40（C）20（D）10⎛1⎫5⎝x⎭(A)10(B)-10(C)40(D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在(x-2)6的二项展开式中，x2的系数为（C）2x（A）-15153（B）（C）-（D）448388⎝2x⎭3535(B)(C)(D)10516846.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）(1-3x)5的展开式中x3的系数为(A)(A)-270(B)-90(C)90(D)2707.(2013·大纲版全国卷高考理科·T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(D)8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）⎛ x + a ⎫⎪⎛ 2x - 1 ⎫⎪的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常 （ 12.（2011·湖北高考理科·T11） x - ⎪ 的展开式中含 x 15的项的系数为 17 .）16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设（x - 1)21 = a + a x + a x 2 + + a x 21 ，则17.（2011·广东高考理科·Ｔ10） x( x - )7的展开式中， x 4 的系数是___84___ (用数字作答)A.56B.84C.112D.1685 ⎝x ⎭⎝ x ⎭数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4) (1 + 3x) n (其中 n ∈ N 且 n ≥ 6 )的展开式中 x 5 与 x 6 的系数相等,则 n =( B)(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910． 2011·陕西高考理科·T4） (4 x - 2- x )6 （ x ∈ R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ） -20（B ） -15（C ）15 （D ）20二、填空题11. ⎛ 1 ⎫6（2013·天津高考理科·Ｔ10） x - ⎪ 的二项展开式中的常数项为 15 .⎝ x ⎭⎛ 1 ⎫18⎝ 3 x ⎭13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1- x )20 的二项展开式中，x 的系数与 x 9 的系数之差为0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13 （x + 1)9 的展开式中 x 3的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11) (1 + 2 x) 6的展开式中 x 4 的系数是240 .0 1 2 21a +a =0 .10112x18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若 x-x2⎪⎭19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，120.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若 x+3x⎭x4的系数为7，则实数a=_________。

1 / 4二项式定理一、选择题1．（求项的系数）5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】5(2x二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．2．（知常数项求某一项的系数）若在(a +3x )(1−√x 3)8关于x 的展开式中，常数项为4，则x 2的系数是（ ） A ．56 B ．-56 C ．112 D ．-112【答案】B【解析】由题意得(1−√x 3)8展开式的通项为T r+1=C 8r (−√x 3)r=(−1)r C 8r x r3，r =0,1,2,⋯,8， ∴(a +3x )(1−√x 3)8展开式的常数项为(−1)0C 8⋅a =a =4， ∴(4+3x )(1−√x 3)8展开式中x 2项为4⋅(−1)6C 86x 63+3x ⋅(−1)3C 83x 33=−56x 2∴展开式中x 2的系数是−56. 故选B3．（直常数项求参数）若6ax ⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( )A ．4B ．4±C ．2D ．2±【答案】D【解析】因为6ax ⎛ ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-，令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D2 / 44．（奇数项系数的和）记6260126(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0246a a a a +++=（ ）A ．81B ．365C ．481D ．728【答案】B【解析】令x=0得1=0126...a a a a ++++，令x=-2得601234563=a a a a a a a -+-+-+，所以0246a a a a +++=1+729=3652. 故选B5．（由系数二项式系数的和求参数）已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】二项式n的各项系数的和为()1+34n n=，二项式n的各项二项式系数的和为()1+12n n=， 因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4=2642n nn =，6n =，故选C ．二、填空题6．（集合关系判断）若)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是____．【答案】180【解析】因为)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，展开式的通项公式为5510221101022r rrr rrr r TC xC x---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令5502r-=，解得3 / 42r，所以展开式的常数项为22101280C ⋅=.7．（求系数最大项）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为第__________项．【答案】3或5【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大. 8．（二项展开式系数的性质应用）在()()25132x x +-的展开式中，所有的奇次幂的系数和为__________．【答案】478- 【解析】设()()25223456701234567132x x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++令1x =，得：0123456716a a a a a a a a =+++++++……① 令1x =-，得：01234567972a a a a a a a a =-+-+-+-……② ①-②得：()13579562a a a a -=+++ 解得：1357478a a a a +++=- 本题正确结果：478-9．（二项式与数列）已知数列{}n a 满足11a k=，k *∈N ，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[]1,61=，记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ）.①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =__________； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =__________．【答案】6 ()211nk kn k+--【解析】①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，且11a k =，*2k k N ≥∈，，则11(1,)n a n n n k=+-∈-，所以[]1n n b a n ==-，则401236T =+++=；故填6.4 / 4②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，且11a k=，*2k k N ≥∈，，则 1112131211(1)(1)n n n n n n n a k k C k C kk k------=⋅+=⋅+++⋅⋅⋅+，则213111n n k n n n b k C k C -----=++⋅⋅⋅+， 221311101(2)(33)()n n k n n n T k k k k C k C -----=+++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+22223332341451[123(1)](1?)(1)n n n n C C C k C C C k---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+3422(1))2n n n n n n n C k C k C k --=+++⋅⋅⋅+ 223321()n n n n n C k C k C k k =++⋅⋅⋅+ 21[(1)1]n k nk k =+--；故填21[(1)1]n k nk k+--. 10．（二项式与函数）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001).将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =），记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)...(21)f f f f ++++++-=__________． 【答案】20183【解析】由题意得20182018201820192212221++-，，，，共201920182018222-=个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1 设其中的数x ，转换为二进制后有k 个0（0k 2018≤≤） ∴()2kf x =在这20182个数中，转换为二进制后有k 个0的数共有2018kC 个 ∴()()()()201820182018201820192018022122 (2)12k kk f f f f C =++++++-=∑由二项式定理，()201820182018201802123k kk C ==+=∑。

二项式定理高考试题汇编一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 120 分)1、 (1+2x)5的展开式中x2的系数是。

（用数字作答）2、nxx⎪⎭⎫⎝⎛-1的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 .3、已知,则(的值等于。

4、的展开式中常数项为。

（用数字作答）5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。

（用数字作答）6、的展开式中常数项为。

（用数字作答）7、921⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中常数项是 。

(用数字作答).8、621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是 。

(用数字作答)9、若的二项展开式中的系数为25，则。

（用数字作答）10、若(2x 3+)n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于 。

11、91⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中3的系数是 。

（用数字作答）12、若nxx⎪⎭⎫⎝⎛+221展开式的各项系数之和为32，则n= 。

其展开式中的常数项为。

（用数字作答）13、721⎪⎭⎫⎝⎛-x的展开式中21x的系数为。

(用数字作答)14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x,则a1+a2+a3+a4+a5= 。

15、（1+2x）(1-x)展开式中x2的系数为 .16、的展开式中常数项为 ; 各项系数之和为.（用数字作答）17、52⎪⎭⎫⎝⎛-xx的二项展开式中的系数是____________.(用数字作答)18、()62311⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 展开式中的常数项为_____________.19、若x ＞0,则(412x +233)(412x -233)-214-x (x -21x )=______________.20、已知(1+kx 2)6(k 是正整数)的展开式中,x 8的系数小于120,则k=______________.21、记nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的展开式中第m 项的系数为b m ，若b 3＝2b 4，则n ＝ .22、52⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中的系数为_____________.(用数字作答)23、已知(1+x+x2)(x+n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________.24、展开式中x的系数为_____________.。

一．选择题（共19小题）1．（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A．2B．±2C．D．±2．的展开式中x3的系数为（）A．5B．﹣5C．15D．﹣153．已知二项式（x+）n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（）A．1B．C．D．34．（x﹣1）5展开式中x4项系数为（）A．5B．﹣5C．10D．﹣105．的展开式中常数项为（）A．﹣240B．﹣160C．240D．1606．（1+x）5展开式中x2的系数为（）A．﹣10B．﹣20C．20D．107．的展开式中含x5项的系数是（）A．﹣112B．112C．﹣28D．288．的展开式中x3的系数为（）A．﹣160B．﹣64C．64D．1609．二项式的展开式中的常数项是（）A．﹣15B．15C．20D．﹣2010．若的展开式中常数项为240，则正整数n的值为（）A．6B．7C．8D．911．（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．B．C．D．12．展开式中的常数项是（）A．﹣160B．﹣140C．160D．14013．（x﹣2y﹣1）5的展开式中含x2y2的项的系数为（）A．﹣120B．60C．﹣60D．3014．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）A．14B．16C．18D．2015．设n为正整数，（2x2+）n的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．516．在（2x+1）4的展开式中，x2的系数为（）A．6B．12C．24D．3617．在的展开式中，的系数为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣10D．3018．的展开式中，x2的系数等于（）A．﹣45B．﹣10C．10D．4519．（x+2y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数为（）A．﹣15B．5C．﹣20D．25二．填空题（共10小题）20．已知（a+x）（1+x）6的展开式中x2的系数为21，则a＝．21．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.（用数字作答）22．（x﹣2y+1）5展开式中含x2y项的系数为．23．的展开式中项的系数为．24．的展开式中，常数项为（用数字作答）．25．（x﹣1）（x+2）8的展开式中x8的系数为（用数字作答）．26．在的展开式中，xy7的系数为．27．（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为．28．在的展开式中，常数项等于．（用数字作答）29．（x2+y+3）6中x4y的系数为（用数字作答）．。

二项式定理精选题23道一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．602．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．353．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．924．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．805．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．806．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =，5a =．11．在5(x -的展开式中，2x 的系数为 ．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 ．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．14．281()x x -的展开式中7x 的系数为 .（用数字作答）15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 ． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =，123a a a ++=．18．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ．19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．四．解答题（共4小题）20．已知在n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．二项式定理精选题23道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论． 【解答】解：25()x x y ++的展开式的通项为2515()r rrr T C x x y-+=+，令2r =，则23()x x +的通项为23633()k k kkkC x x C x--=，令65k -=，则1k=，25()x x y ∴++的展开式中，52x y 的系数为215330C C =．故选：C ．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键． 2．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：621(1)(1)x x ++展开式中：若221(1)(1)xx-+=+提供常数项1，则6(1)x +提供含有2x 的项，可得展开式中2x 的系数：若21(1)x+提供2x -项，则6(1)x +提供含有4x 的项，可得展开式中2x 的系数：由6(1)x +通项公式可得6r r C x ．可知2r =时，可得展开式中2x 的系数为2615C =． 可知4r=时，可得展开式中2x 的系数为4615C =． 621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为：151530+=．故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．92【分析】直接利用二项式定理求出n ，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可． 【解答】解：已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得37n nC C =，可得3710n=+=．10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为：1091222⨯=．故选：D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力． 4．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．80【分析】5(2)xy -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrr rr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r=，解得3r=．令53r -=，2r=，解得2r=．即可得出．【解答】解：5(2)x y -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrrrr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r =，解得3r =． 令53r -=，2r=，解得2r=．5()(2)x y x y ∴+-的展开式中的33x y 系数23332552(1)2140C C =⨯-+⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80【分析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2rrr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r=，由此能求出252()x x +的展开式中4x 的系数．【解答】解：由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2r rr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r =，252()xx∴+的展开式中4x 的系数为225240C =．故选：C ．【点评】本题考查二项展开式中4x 的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解． 【解答】解：24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112C C C C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点评】本题考查展开式中3x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 【分析】由题意得，46n nC C =，再由组合数的性质，求出10n=，再令1x=结合展开式的各项系数之和为1024求出a ，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项． 【解答】解：因为2((0)na x a+>的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等，∴4610n n C C n =⇒=，展开式的各项系数之和为1024，10(1)1024a ∴+=，0a >， 1a ∴=，原二项式为：210(x+；其展开式的通项公式为：520210211010()rr rr rr T C x C x--+=⋅⋅=，展开式中奇数项的二项式系数和为：110245122⨯=；故A 错，因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对，令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对， 令5201522r r -=⇒=，21045C =，D 对．故选：B C D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题目也是易错题目． 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3 ．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案． 【解答】解：设4250125()()(1)f x a x x a a x a x a x=++=+++⋯+，令1x =，则0125a a a a f+++⋯+=（1）16(1)a=+，①令1x=-，则0125(1)0a a a a f -+-⋯-=-=．②①-②得，1352()16(1)a a a a ++=+，所以23216(1)a ⨯=+，所以3a=．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为3，求出r ，即可求出展开式中3x 的系数．【解答】解：5(2x +的展开式中，通项公式为：5552155(2)2r r rr rrr T x C x---+==ð，令532r -=，解得4r=3x∴的系数45210C =．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =16 ，5a =．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，5a 就是常数的乘积． 【解答】解：多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，3(1)x +中，x 的系数是：3，常数是1；2(2)x+中x 的系数是4，常数是4，4341416a =⨯+⨯=；5144a =⨯=．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 11．在5(x-的展开式中，2x 的系数为52．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】解：5(x-的二项展开式的通项为103521551(()2rr rrr rr T C xC x--+=⋅⋅-=-⋅⋅．由10322r-=，得2r=．2x∴的系数为22515()22C -⋅=．故答案为：52．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 28 ．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项． 【解答】解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为：888188833111(2)()2()()(1)288rrr r rrrr r r r T C x C xC xx---+=-=-=-8484rrx--．∴当840r -=，即2r=时，1r T +为常数项．此时22218(1)2T C +=-84228-⨯=．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是1系数为有理数的项的个数是 ．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．【解答】解：二项式9)x 的展开式的通项为9921992rrrrr rr T C xC x--+==．由0r =，得常数项是11T =当1r=，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 14．281()x x -的展开式中7x 的系数为56- .（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：281631881()()(1)r rrr r rr T x xx--+=-=-痧，令1637r -=，解得3r =．281()xx∴-的展开式中7x 的系数为338(1)56-=-ð．故答案为：56-．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【分析】由41435(2)10C x x=，可得到答案．【解答】解：41435(2)10C x x=，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题． 16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，26n nC C =8n ∴=展开式的通项8821881()rrr r rr T C x C xx--+==令822r -=-可得5r=此时系数为5856C =故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =80 ，123a a a ++=．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可． 【解答】解：52345012345(12)x a a x a xa x a xa x+=+++++，则4445280a C =⋅=．1223123555222a a a C C C ++=⨯+⨯+3130=．故答案为：80；130．【点评】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．18．在61()4xx-的展开式中，2x 的系数为1516．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得2x 的系数． 【解答】解：61()4x x-的展开式的通项公式为66216611()()()44r rrrr rr T C x C xx--+=-=-，令622r -=，解得2r=，∴展开式中2x 的系数为261151616C ⨯=，故答案为：1516．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值． 【解答】解：而项式2521235555521864111111(2)(1)(2)(xxC CC C Cxxxxxx+-=+⋅⋅-⋅+， 故它的展开式的常数项为4523C -=，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．四．解答题（共4小题）20．已知在1n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．【分析】（1）由二项式定理，可得n-的展开式的通项，又由题意，可得当5r=时，x的指数为0，即203n r -=，解可得n 的值，（2）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为2，可得10223r-=，解可得r 的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为整数，可得当2r=，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．【解答】解：（1）根据题意，可得n-的展开式的通项为112333111()()()22n rrn rrr rr n n T C x x C x---+=-=-，又由第6项为常数项，则当5r =时，203n r -=，即1003n -=，解可得10n=，（2）由（1）可得，10231101()2rr rr T C x-+=-，令10223r-=，可得2r=，所以含2x 项的系数为2210145()24C -=，（3）由（1）可得，10231101()2rrrr T C x-+=-，若1r T +为有理项，则有1023rZ-∈，且010r 剟，分析可得当2r=，5，8时，1023r-为整数，则展开式中的有理项分别为22456345,,48256x x--．【点评】本题考查二项式定理的应用，解题时要区分有理项与常数项，关键是根据二项式定理，写出其展开式的通项． 21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项． 【分析】（1）第1k+项的二项式系数为k n C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11k k k k r r r r +-⎧⎨⎩……【解答】解：（1）4652n n nC C C +=，221980n n ∴-+=，7n ∴=或14n=．当7n=时，展开式中二项式系数最大的项是4T 和5T ，4T ∴的系数3471()22C =3352=，5T 的系数4371()22C =470=．当14n=时，展开式中二项式系数最大的项是8T ．8T ∴的系数77141()22C =73432=．（2）由01279n n n C C C ++=，可得12n=，设1k T +项的系数最大．12121211(2)()(14)22x x +=+，∴1112121112124444k k k k k kk k C C C C --++⎧⎪⎨⎪⎩……9.410.4k ∴剟，10k ∴=，∴展开式中系数最大的项为11T ．121011121()42T C =10101016896xx=．【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念． 22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．【分析】（1）根据所给的等式可得常数项01a =，在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-，从而求得1237a a a a +++⋯+的值．（2）在所给的等式中，分别令1x=、1x=-，可得2个等式，化简这2个等式即可求得1357a a a a +++的值．（3）用①加上②再除以2可得0246a a a a +++的值．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得0127||||||||a a a a +++⋯+的值．【解答】解：（1）已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，∴常数项01a =．在所给的等式中，令1x=可得012371a a a a a ++++⋯+=-，12372a a a a ∴+++⋯+=-．（2）在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-①，令1x=-可得712373a a a a a -+-+⋯-=②，用①减去②再除以2可得13571094a a a a +++=-．（3）用①加上②再除以2可得02461093a a a a +++=．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得7127||||||||32187a a a a +++⋯+==．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．【分析】（1）将n 分别用1，2 代替求出1C ，2C ，利用多项式的乘法展开，求出1C ，2C 的小数部分1B ，2B ，求出11C B ，22C B 的值．（2）利用二项式定理表示出n C ，再利用二项式定理表示出211)n -，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出n n C B 的值．【解答】解：（1）因为211)n n C -=，所以11C =+，12A =，11B =，所以112C B =；又321)10C =+=+，其整数部分220A =，小数部分210B =-，所以228C B =．（2）因为210211222221212121211)n n n n n n n n n n C C C C C ---------=+=++⋯+①而2121122221212121211)n n n n n n n n n C C C C ---------=-+⋯+-②①-②得：2121122324212121211)1)2()n n n n n n n n C C C ---------=++⋯+而211)1n -<-<，所以21211)1)n n n A --=--，211)n nB -=所以2121211)1)2n n n n nC B ---=+-=．【点评】解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．。

8．（2004 湖北文）已知 ( x x 1 2 1 2 n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中 x5 的系数是。

. （以数字作答） 9．（2004 全国Ⅱ卷文）已知 a 为实数，(x＋a10 展开式中 x7 的系数是－15，则 a＝ 10.（2004 全国Ⅳ卷文、理）( x 1 x 8 展开式中 x 5 的系数为 . （2003--2000 年） 1．（2003 广东） ( x 212x9 展开式中 x 的系数是 9 9 2．（2003 全国文、理，天津文、理） ( x 2 1 9 的展开式中 x 系数是 2x ___ 1 3.（2002 春招上海）若在 5 x 的展开式中，第 4 项是常数项，则 n = x 2 7 3 n . 4. (2002 年广东、江苏、河南，全国文、理 (x ＋1(x－2 的展开式中 x 项的系数是_______. 1 5．（2001 春招上海）二项式 ( x 6 的展开式中常数项的值为________． x 6.（2001 全国文） ( 1 x 1 10 的二项展开式中 x 3 的系数为 2 王新敞奎屯新疆 7.（2001 上海文）在代数式 (x- 的展开式中，常数项为 5 . 8.（2001 上海理）在代数式(4x －2x－5(1+ 2 的展开式中，常数项为 5 . 9．（2000 春招北京、安徽文、理） ( x - 3 11 1 x 10 . 展开式中的常数项是__________ 。

（结果用数值表示） 10．（2000 上海文、理）在二项式( x 1 的展开式中，系数是小的项的系数为三、解答题：（2006 年—2000 年）1．（2003 上海文）已知数列 {an } （n 为正整数）是首项是 a1，公比为 q 的等比数列. 0 1 2 0 1 2 3 （1）求和： a1C2 a2C2 a3C2 , a1C3 a2C3 a3C3a4C3 ; （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并加以证明. （3）设q≠1，Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和，求：0 1 2 3 n S1Cn S 2Cn S3Cn S 4Cn ( 1 n S n1Cn二项式定理一、知识点1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大. ③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C二、典型例题例1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于A.29B.49C.39D.1例2.（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6B.12C.24D.48例3.（2x 3－x1）7的展开式中常数项是A.14B.－14C.42D.－42例4.已知（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）例5.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________. 例6 如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例7求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项.例8设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C nn a n .（1）用q 和n 表示A n ；（2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞→n nn A 2.例9 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数.三、练习题1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－12.已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 A.28B.38C.1或38D.1或283.（x －x1）8展开式中x 5的系数为_____________.4.若（x 3+xx 1）n 的展开式中的常数项为84，则n =_____________5.已知（x x lg +1）n 展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值.第二十三讲排列组合与二项式定理●知点考点答点（1）加法乘法原理深化计数的基本依据是加法原理，乘法原理是加法原理的简化.小学生的加法是“同类加法”，3个苹果加上5个苹果，这8个苹果是一样的“同类苹果”. 而计数原理中的加法则强调了“分类相加”. 30个男生加上20个女生，这班上的50个学生按性别分成了2类.相加并不难，分类要注意统一标准. 从集合的观点看待元素的分类计数：将有限集合M的元素分成两个子集A和B. 当且仅当A∩B= ø，A∪B = M时，A的元素与B的元素相加，才等于M的元素个数.【例1】某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是(用数字作答)．【解析】由于1元1本的杂志只有3本，1元1本的杂志不可能只买1本或3本.否则所用钱数为奇数，再买2元1本的杂志无论买几本所用钱数都是偶数，其和不可能为10元这个偶数.所以小张用10元钱去买，有且只有如下两种买法.如果全买2元1本的杂志，则10元钱可以买5本，有538856C C==种方法；如果1元1本的杂志买2本，则2元1本的杂志可以买4本，由乘法原理，有4283210C C⋅=种方法；由加法原理，不同买法的种数是：56+210=266.【例2A.48B.36C.24D.18【解析】4位同学的总分为零，有且只有如下3种情况.（1）若4人全部选甲题，其总分和为零必须2人答对另2人答错，有24C=6种情况；（2）若4人全部选乙题，同理也有24C=6种情况；（3）若4人中两人选甲题，另两人选乙题，其总分和为零必须各1人答对另1人答错，有2242A A=24种情况.由加法原理，不同的得分种数为6+6+24=36，∴选B.【评注】例1按1元1本的杂志数分类，是因为这种杂志的数量少；例2按总分之和为0的情况分类，因为这是计数时确定取舍的标准.所以在解题时确定正确的分类标准十分重要.（2）可重排列与不重排列——统一在乘法原理之中排列元素的选择有两种方式. 一种是不能重复的元素——“用后则扔”；第二种是可以重复的元素——“用后还用”. 解题时必须正确区分与掌握.在乘法原理中，它们是统一的，只不过前者构成“阶乘运算”，后者构成“乘法运算”.所谓阶乘数，就是前n个正整数的连乘积，记号n！是对这种连乘积的简化写法.【例3】完成某项工作需4个步骤，每一步方法数相等，完成这项工作共有81种方法.改革后完成这项工作减少了一个步骤，则改革后完成该项工作有 种方法.【分析】4个步骤却有81种方法，可见每个步骤都有可供选择的多种方法，而且“每一步方法数相等，”可见本题属于重复排列.【解析】设原来每个步骤有x 种方法，则481,3x x =∴=.现在减少1个步骤，即完成该项工作只有3个步骤，每个步骤仍有3种方法.3327=，∴改革后完成该项工作有27种方法.【例4】证明：()()123112!3!4!1!1!n n n ++++=-++ 【证明】注意到：11!(1)!(1)!kk k k -=++.令k=1，2，3。

二项式定理习题精选一、与通项有关的一些问题例1．在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，2）第4项的系数，3）求常数项解:展开式的通项为展开式中的第r+1项.1），二项式系数为；2）由1）知项的系数为；3）令6-3r=0, ∴r=2, ∴常数项为.例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析:通项为,∵前三项的系数为，且成等差，∴即解得:n=8.从而，要使T r+1为有理项，则r能被4整除.例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.解:1）通项，令6-2r=0,r=3,∴常数项为.2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5∴展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240.例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决.例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=,要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为.二、有关二项式系数的问题.例6．(2x+x lgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.分析:二项式系数最大的为第5项，例7．的展开式中系数最大的项为第_____项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.设第r+1项的系数最大，则解得:，∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得，因而第8项系数最大.三、赋值法:例8．已知1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a53）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）求a1+a3+a55）|a0|+|a1|+……+|a5|分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,∴(1-0)5=a0, ∴a0=1.2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5又a0=1,∴a1+a2+a3+a4+a5=-2.3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*)令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122.5）因而|a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和，∴|a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解；②赋值法也需合情合理的转化. 例9．已知,其中b0+b1+b2+……+b n=62, 则n=_________.分析:令x=1，则,由已知，2n+1-2=62,∴2n+1=64,∴n=5.例10．求的展开式中有理项系数的和.分析:研究其通项.显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.设(2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+a n t n ,令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+a n令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)n a n上两式相加，解得奇数项系数和.四、逆用公式例11．求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1解:例12．求值:分析:注意将此式还原成二项展开式的结构原式=五、应用问题例13．求证:32n+2-8n-9能被64整除.证明:能被64整除.例14．9192除以100的余数为________.分析:9192=(90+1)92∴被9192100除的余数为81.小结:若将9192整理成(100-9)92例15．求0.9983的近似值（精确到0.001)解:典型例题例1、已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。