九年级数学下册27.2与圆有关的位置关系3《切线(1)》教案(新版)华东师大版

《直线与圆的位置关系》教学设计【教学目标】：根据学生已有的认知的基础及本课的教材的地位、作用、依据教学大纲确定本课的教学目标为（1）知识目标理解直线和圆的三种位置关系，掌握直线和圆的位置关系的性质和判定方法。

（2）能定目标1．探索直线和圆的位置关系及圆心到直线的距离d和圆的半径r 之间的数量关系,体验数学活动充满着探索性和挑战性。

2．经过自主探索和合作交流、敢于发表自己的观点，能从交流中获益。

3．会运用本节知识解决有关问题，提高观察、探究、归纳、概括的能力。

（3）情感目标通过观察、类比，体会事物间相互联系和运动变化的辨证统一思想；培养实事求是的科学态度和协同合作研究问题的精神。

【教学重点】：理解直线和圆的三种位置关系，并能准确的判定。

【教学难点】：利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系。

【教学过程】一、新旧链接.多媒体展示：点和圆的位置关系。

复习提问：平面内一点与圆的位置关系有哪几种？每种位置关系有什么性质？又是怎样判定的？。

【观看动态变化过程，复习旧知识，类比发现研究新问题的方法。

】二、设问导学自主阅读课本40-41页，思考下列问题。

1、活动一：请你画一个圆，上、下移动直尺。

思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？2、根据上面的变化填写下表（教师分别到各小组参与学生讨论，检查并指导学生活动，逐步引导学生得出结论，总结升华新知识,鼓励学生敢于发表自己的观点。

）三、小组合作1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC=3，判断以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？请说明理由。

（1）r=2 (2)r=2.4 (3)r=32、OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切（1、应用所学知识解决问题。

2、讨论并交流方法、体会。

3、学生归纳总结，形成认知结构。

）四、巩固提高1、圆O的直径4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与圆O的位置关系是（）（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交2、直角三角形ABC中，∠C=90º，AB=10，AC=6，以C为圆心作圆C，与AB相切，则圆C的半径为（）（Ａ）8 （Ｂ）4 （Ｃ）9.6 (D)4.83、（2011•杭州）在平面直角坐标系xOy中，以点（-3，4）为圆心，4为半径的圆（）A、与x轴相交，与y轴相切B、与x轴相离，与y轴相交C、与x轴相切，与y轴相交D、与x轴相切，与y轴相离4、（2010•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A、相离B、相切C、相交D、相切或相交5、如图，⊙O的半径为3cm，弦cm，AB=4cm，若以O为圆心，•再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？（学生独立应用所学知识解决问题）【板书设计】直线和圆的位置关系直线和圆相交直线和圆相切直线和圆相离学生板演探究结论由于本节课在初中已有涉及，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直线与圆的三种位置关系以及代数与几何的两种判定方法。

教学设计课题：27.2直线与圆的位置关系（第一课时）（华东师范大学出版社）课型：新授课学习目标：（1）.理解直线与圆相交，相切，相离等概念；会用定义判断直线和圆的位置关系。

（2）.探究直线和圆的位置关系中数量关系并会应用。

能力目标：（1）学生通过观察、动手操作等活动，归纳出直线和圆的三种位置关系，从中体会和感悟数形结合的数学思想方法. （2）学生通过数学活动获得用心体验、观察生活中的数学问题的能力，获得分析和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性.情感态度:（1）学生在探索、交流中感受自主探索、与人合作的快乐，体验成功的乐趣，同时培养学生严谨求实的科学态度以及发现、提出问题的能力.（2）学生在数学学习过程中积累基本经验，帮助学生养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度.教学重点、难点：学生能根据形（直线和圆的公共点的个数）和数（圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系），揭示直线和圆的位置关系.教具：多媒体（PPT）、圆规、直尺。

教法与学法分析：在教学过程中，不仅要让学生掌握数学知识，更重要的应该是让他们经历数学学习的一般过程，感悟和了解数学的基本思想方法.九年级的学生虽然有一定的理解力，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依靠事物的具体直观形象，所以我以学，导，练，教学法为主，整堂课紧紧围绕“情景问题——学生体验——合作交流”的模式，激励学生积极参与，通过观察思考发现其知识的内在联系.这样一方面可激发学生学习的兴趣，提高学生的学习效率，另一方面拓展学生的思维空间，培养学生观察、分析、总结及解决问题的能力. 让不同的学生在数学上得到不同的发展.教学过程：环节教师活动学生活动设计意图创设情境引入新课在学习之前，请大家先欣赏“海上日出”的视频.看了以后，你们发现了什么？这就是我们今天学习的内容：直线和圆的位置关系.观察、猜测、抽象、思考，动手探究.学生从熟悉的“海上日出”视频中观察、抽象出直线和圆的位置关系. 引出课题. 同时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有，符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.体验新知学生自主探索,小组学生通过直线和圆的运动过体验新知 请同学们在纸上画出直线和圆的不同的位置关系. 1、它们有什么特征？如何用语言描述三种位置关系？给出定义：利用直线和圆的公共点个数的情况，引导学生分析、小结三种位置关系：相交、相切和相离.直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.2、练习：从实际生活的图片中找出直线和圆相交、相切、相离的位置.3、练习：看图判断直线和圆的位置关系.当学生得出结论后，通过最后一题公共点的个数不好判断时问学生用什么方法能够精确的判断它们的位置关系呢？ 4、学生阅读课本：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的数量关系 直线和圆相交 0≤d < r直线和圆相切 d=r < 直线和圆相离 d>r（教师层层设问，让学生思维自然发展，教学有序的进入实质部分，学生归纳总结之后教师对提出的问题给予肯定回答.） 讨论交流，并归纳总结直线和圆有三种位置关系和两种判断方法.程，自然而然的得到直线和圆有三种位置关系；用语言描述定义，再通过反例（公共点个数不好判断的问题）安排小组交流合作、展示，体现课堂的开放性.教师通过几何画板演示适时指导，激发学生的探索热情，让学生体会到数学好玩.<通过实例 进行归纳例1 已知Rt △ABC 的直角边BC =4cm ，直角边AC =3cm. 以点C 为圆心作圆，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？ 为什么？（1） r=2cm （2） r=2.4cm （3） r=3cm学生观察图形，积极思考分析，阐述解题思路.在本环节中，充分发挥教师的主导作用，发挥教学评价的激励、调控功能.帮助学生理清思路，规范解题格式,学生明白解题的关键是什么.学生通过例题进一步熟练掌握用“形”和“数”结合起来解决直线和圆的位置关系.畅谈体会 迁移拓展小结 :（小组交流） 1本节课你学到了什么？2.对同学说你有什么收获？（1）知识（2）思想方法3、对老师说你有什么困惑？ 本节课应该掌握：1、三种位置关系：相交、相切、相离2、两个方法：（1）形：公共点的个数（2）数：圆心到直线的距离d 和r 的数量关系 相切：唯一的公共点, 唯一的交点学生回答，同时反思不足.通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力.3、经历了观察、抽象、概括、推理、应用的一个数学过程4、数形结合的思想方法，分类的思想方法作业课本P50 习题1,2,3 通过适量的练习复习巩固课堂知识，另一方面设计提高练习，旨在培优，体现了分层教学的原则和因材施教的原则.充分体现新课标精神.板书设计：直线和圆的位置关系位置关系形< =>数直线和圆相交< =>两个公共点< =>0≤d直线和圆相切< =>唯一公共点< =>d=r直线和圆相离< =>没有公共点< =>d>r。

华师大版数学九年级下册27.2《与圆有关的位置关系》教学设计1一. 教材分析《与圆有关的位置关系》这一节内容，主要让学生了解圆与圆之间的位置关系，包括内含、外切、相交、内含等四种情况。

通过对这些位置关系的探究，培养学生观察、思考、归纳的能力，为后续学习圆的方程和圆的性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的观察和思考能力有一定的基础。

但针对圆与圆之间的位置关系，他们可能还缺乏直观的认识，因此，在教学过程中，需要借助实物模型、图片等教学资源，帮助学生建立起对圆与圆位置关系的直观感知。

三. 教学目标1.让学生了解圆与圆之间的四种位置关系：内含、外切、相交、内含。

2.培养学生观察、思考、归纳的能力，提高他们解决实际问题的能力。

3.通过对圆与圆位置关系的学习，培养学生对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重点：圆与圆之间的位置关系及其判定。

2.难点：对圆与圆位置关系的理解和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、归纳圆与圆之间的位置关系。

2.利用实物模型、图片等教学资源，帮助学生建立直观的认识。

3.采用分组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队协作能力。

4.运用练习题和实践题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.准备实物模型、图片等教学资源。

2.设计好相关的问题和练习题。

3.准备好黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的图片，如圆形的桌面、硬币等，引导学生观察圆与圆之间的关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用实物模型或课件，呈现圆与圆之间的四种位置关系：内含、外切、相交、内含。

引导学生观察并思考，总结出圆与圆位置关系的判定方法。

3.操练（10分钟）分组讨论，每组设计一些关于圆与圆位置关系的题目，让学生运用所学知识解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验他们对圆与圆位置关系的理解和掌握程度。

27.2 与圆有关的位置关系3.切线第1课时切线的判定与性质教学目标1.掌握切线的判定定理与切线的性质定理.2. 能够运用切线的判定方法判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线.3.会运用圆的切线的判定与性质来解决相关问题.教学重难点重点：理解并掌握圆的切线的判定定理与切线的性质定理.难点：能运用圆的切线的判定定理与性质定理解决问题.教学过程导入新课教师提出问题：下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？学生回答：相切.教师：你是怎样判断出图中的直线与圆相切的？如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其他方法．(板书课题)探究新知1.切线的判定定理【做一做】如图，画一个⊙Ｏ及半径OA,经过⊙O的半径OA 的外端A，画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？（师生互动）引导学生动手操作并思考回答.教学反思教学反思学生：从图中可以看出，对直线l 上除点Ａ外的任一点Ｐ,必有OP >OA ， 即点Ｐ位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线l 是圆的切线. 【问题】已知⊙O 上一点A ，怎样根据圆的切线定义过点A 作⊙O 的切线？师生活动：学生尝试作图，教师适时点拨.教师追问：（1）圆心O 到直线AB 的距离与圆的半径有什么数量关系? （2）二者有什么位置关系？为什么？师生活动：（小组讨论，老师点拨）抓好两个条件：①经过半径外端；②垂直于这条半径.【归纳总结】1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.应用格式：OA O BC O BC OA A ⎫⎬⊥⎭是⊙的半径为⊙的切线于点【归纳总结】 判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：1.定义法：直线与圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d ＝r )时，直线与 圆相切；3.判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.教学反思【新知应用】例 1 如图，直线AB 经过⊙O 上的点Ａ，且AB =OA ，∠ＯBA =45°. 求证：直线AB 是⊙O【探索思路】（学生先独立思考，教师适时点拨）由于AB 经过⊙O 上的点Ａ，所以OA 是半径，只要证明OA ⊥AB 即可.【证明】∵AB =OA ，∠ＯBA =45°，∴∠A ＯB =∠ＯBA =45°，∴∠ＯAB =90°. 又∵点Ａ在⊙O 上， ∴OA 是⊙O 的半径， ∴直线AB 是⊙O 的切线． 即学即练已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB . 求证：直线AB 是⊙O 的切线.师生活动：学生先独立思考，教师适时点拨，由于AB 过⊙O 上的点C ，所以连结OC ，只要证明AB ⊥OC 即可.【证明】连结OC .∵ OA ＝OB ,CA ＝CB ,∴ OC 是等腰三角形OAB 底边AB 上的中线.∴ AB ⊥OC .∵ OC 是⊙O 的半径, ∴ AB 是⊙O 的切线.【归纳总结】证明直线AB 是⊙O 的切线，有两种类型：①已知切点,连结切点与圆心，证垂直；②作垂直，证明圆心到垂足的线段长等于半径.此题是类型①，所以连结圆心与切点证垂直.2.切线的性质定理 问题：如图，如果直线l 是⊙O 的切线，点A 为切点，那么OA 与l 垂直吗？师生活动：（小组讨论，老师点拨）直接证明比较困难，可以运用“反证法”.“反证法”分三步证明，即①假设原命题不成立；②在假设成立的条件下，推出矛盾；③得出结论，假设不成立.【解】①假设OA 与l 不垂直,过点O 作一条直线垂直于l ,垂足为M .②则OM <OA ,即圆心到直线l 的距离小于⊙O 的半径, 因此, 直线l 与⊙O 相教学反思交. 这与已知条件“直线l与⊙O相切”相矛盾.③所以⊙O的半径OA与直线l垂直.【归纳总结】1.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.2.应用格式∵直线l是⊙O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.【新知应用】例2如图, △ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.师生活动：学生先独立思考，教师适时引导，根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此只需要证明OE＝OD.【证明】如图，过点O作OE⊥AC,垂足为E,连结OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.∴AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∴AC是⊙O的切线.【归纳总结】证明直线AC是⊙O的切线，有两种类型：①已知切点,连结切点与圆心，证垂直；②作垂直，证明圆心到垂足的线段长等于半径.此题是类型②，所以作OE⊥AC，垂足为E，证明OE等于半径.例3如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连结CD，CE，且CE是⊙O的切线.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若BC＝3，AB＝4，求OABC的面积.教学反思师生活动：(引发学生思考，教师适时点拨)(1)要证明CD是切线的关键是作出正确的辅助线.(2)已知四边形OABC是平行四边形，有底边长，求其面积，还要得到哪个关键量？有切线就有垂直，利用勾股定理能得到哪条边长？(1)【证明】连结OD.∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC＝90°.∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ，∴∠EOC ＝∠A ，∠COD ＝∠ODA .∵OD ＝OA ，∴∠A ＝∠ODA ，∴∠EOC ＝∠DOC .在△EOC 和△DOC 中， ∵ OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△EOC ≌△DOC (SAS)， ∴∠ODC ＝∠OEC ＝90°，∴OD ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线. (2)【解】过点D 作DF ⊥OC 于点F .在Rt △CDO 中，OC ＝AB ＝4，OD ＝OA ＝BC ＝3，由勾股定理，得CD＝42－32＝7.∵S △CDO ＝12CD ·OD ＝12OC ·DF ， ∴DF ＝CD×OD OC ＝7×34＝374，∴S 平行四边形OABC ＝OC ·DF ＝4×374＝37. 【归纳总结】(学生总结，老师点评)有关圆的考查中，切线的判定与性质经常综合运用，在此类问题中，要注意分清是运用判定定理还是性质定理，不能混淆.有时还常常运用判定定理得到切线，再运用性质定理求解，注意解答的逻辑性.课堂练习1.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（ ）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ ） （5）过直径一端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ） 2.如图，AB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切于点A ，DO 交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠ABC ＝21°，则∠ADC 的度数为（ ）A.46°B.47°C.48°D.49°第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD ＝120°，过D点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ）A.40°B.35°C.30°D.45°4.如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12,AC ＝8,则⊙O 的半径长为 .5.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D ＝ .6.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆教学反思心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm/s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过 秒后⊙P 与直线CD 相切.第5题图 第6题图7.如图,在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交边BC 于点P ，PE ⊥AC 于点E . 求证:PE 是⊙O 的切线.第7题图 第8题图8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点P ，E 是BC 边上的中点，连结PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由.参考答案 1.（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√ 2.C 3.C 4. 5 5.40°6.4或87.【证明】如图，连结OP .∵ AB ＝AC ,∴ ∠B ＝∠C .∵ OB ＝OP ，∴ ∠B ＝∠OPB ， ∴ ∠OPB ＝∠C .∴ OP ∥AC . ∵ PE ⊥AC ，∴ PE ⊥OP .∴PE为⊙O 的切线.第7题答图 第8题答图8.【解】PE 与⊙O 相切.证明：如图，连结OP ，BP ，则OP ＝OB ， ∴ ∠OBP ＝∠OPB .∵ AB 为⊙O 的直径，∴ BP ⊥AC . 在Rt △BCP 中，E 为斜边中点，∴ PE ＝12BC ＝BE ，∴ ∠EBP ＝∠EPB .∴ ∠OBP ＋∠PBE ＝∠OPB ＋∠EPB ，即∠OBE ＝∠OPE . ∵ BE 为⊙O 的切线，∴ AB ⊥BC ，教学反思∴ OP ⊥PE ，即PE 是⊙O 的切线. 课堂小结1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式：OA O BC O BC OA A ⎫⎬⊥⎭是⊙的半径为⊙的切线于点2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.应用格式：∵直线l 是⊙O 的切线，A 是切点，∴直线l ⊥OA .布置作业教材52页练习第1－4题.板书设计27.2与圆有关的位置关系3 切线第1课时 切线的判定与性质1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.3.常用的辅助线方法.4.技巧：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径.。

27.2与圆有关的位置关系3.切线第2课时切线长定理教学目标1.了解切线长的概念，并理解切线长定理.2.了解三角形的内切圆、三角形的内心及圆的外切三角形的概念，会画三角形的内切圆.3.能灵活运用切线长定理以及应用内切圆知识发展解决实际问题的能力.教学重难点重点：掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.难点：学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.教学过程导入新课【问题1】上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？【问题2】过圆外一点作圆的切线，可以作几条？探究新知1.切线长(1)切线长的定义：把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．如图，线段P A的长是⊙O的切线长.(2)切线与切线长的区别①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2.切线长定理【问题】在透明纸上画出下图，设P A，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下P A与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？师生活动：学生按要求动手操作，小组交流讨论，并用语言描述发现的结论，教师适时点拨，得出结论：P A＝PB,∠APO＝∠BPO.教师追问：你能用你学过的知识进行证明吗？教学反思教学反思师生活动：学生尝试证明，教师巡视，适时点拨，抽一名学生到黑板板书证明过程.【解】如上图，连结OA，OB，∵P A，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP.又∵OA＝OB,OP＝OP,∴ Rt△AOP≌Rt△BOP，∴P A＝PB,∠APO＝∠BPO.【归纳总结】(1)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.(2)几何语言：P A，PB分别切⊙O于点A，B,.PA PBOPA OPB=⎧⇒⎨∠=∠⎩拓展结论如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.（1）写出图中所有的垂直关系：OA⊥P A，OB⊥PB，AB⊥OP.（2）写出图中与∠OAC相等的角：∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC.（3）写出图中所有的全等三角形：△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形：△APB，△AOB.注意：切线长问题辅助线添加方法：（1）分别连结圆心和切点；（2）连结两切点；（3）连结圆心和圆外一点.3.三角形的内切圆及内心问题：如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？师生活动：学生尝试作图，教师巡视，适时点拨.这样的圆的圆心在三角形内角的角平分线上，将问题转化为作角的平分线.已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：（1）作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O.（2）过点O作OD⊥BC, 垂足为D.（3）以点O为圆心，OD为半径作⊙O，⊙O就是所求作的圆.【概念学习】(1)内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.(2)内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.(3)外切三角形：这个三角形叫做圆的外切三角形.(4)三角形的内心就是三角形的三个内角平分线的交点.教学反思【提示】三角形的内心到三角形的三边的距离相等.如图：⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形,OD＝OE＝OF.师生活动：（学生回答，老师点拨）小组讨论三角形的外心与内心的区别，完成表格.名称确定方法图形性质三角形的外心三角形三边垂直平分线的交点1.OA＝OB＝OC，2.外心不一定在三角形的内部三角形的内心三角形三内角平分线的交点1.到三边的距离相等，2.OA，OB，OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，3.内心在三角形内部【新知应用】例1如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14,CA＝13,求AF，BD，CE的长.【探索思路】师生活动：（引发学生思考）根据切线长定理，我们能得到哪些相等的线段？【解】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC-AE＝13-x，同理BD＝BF＝AB-AF＝9-x,由BD+CD＝BC，可得（9-x）+（13-x）＝14，解得x＝4，∴AF＝4, BD＝5, CE＝9.【归纳总结】利用切线长定理，得到AF＝AE,BF＝BD,CD＝CE,再利用方程思想解决.例2如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长是__________.【探索思路】师生活动：(引发学生思考) AB，AC，BD是⊙O的切线，由切教学反思线长定理可以得到哪些线段相等？求BD的长可以转化为求哪条线段的长？【解】∵AC，AP为⊙O的切线，∴AC＝AP.∵BP，BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB－AP＝AB－AC＝5－3＝2.【归纳总结】(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换.例3如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝________.【探索思路】师生活动：(引发学生思考)三角形内切圆有哪些性质？要求∠DOE的度数，在四边形BDOE中，能否运用四边形内角和定理求解？【解】∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠B＝180°－50°－60°＝70°.∵E，D是切点，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝360°－∠B－∠BDO－∠BEO＝360°－70°－90°－90°＝110°.【归纳总结】(学生总结，老师点评)三角形内切圆问题中，连结切点与圆心，结合切线的性质能产生直角，进而求解.课堂练习1.如图，P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是（）A.∠APO＝∠BPOB.P A＝PBC.AB⊥OPD.P A＝PO2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，若AP＝4, ∠APB＝40 ° ,则∠APO＝, PB＝.第1题图第2题图3.如图，P A，PB是⊙O的两条切线，切点为A，B,∠P＝50 °，点C是⊙O上异于A，B的点，则∠ACB＝.4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D，E，F三点，如图，已知AF＝3,BD+CE＝12, 则△ABC的周长是.教学反思第3题图第4题图5.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝.6.如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝.7.如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B ，C 两点，∠A ＝50°，点P 是优弧BC 上异于B ，C 的一动点，则∠BPC ＝ .第5题图 第6题图 第7题图8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50º，∠ACB ＝75 º,点O 是△ ABC 的内心，求∠BOC 的度数.第8题图 第9题图9.△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积. 参考答案1.D2.20°，43.65°或115°4.305.26.90°7.65°8.解：∵点O 是△ABC 的内心,∴∠OBC ＝21∠ABC ＝21×50º＝ 25º, ∠OCB ＝21∠ACB ＝21×75º＝37.5º.在△OBC 中，∠BOC ＝180º-∠OBC -∠OCB＝180º-25º-37.5º＝ 117.5º.9.如图，设三个切点分别为D ，E ，F .连结OD ，OE ，OF .第9题答图1112221()21.2ABCAOB BOC AOCS S S S AB r BC r AC r AB BC AC r lr ∆∆∆∆=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯= 课堂小结1.切线长定义：把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．教学反思2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.作用：提供了证明线段和角相等的方法.添加辅助线：①分别连结圆心和切点；②连结两个切点；③连结圆心和圆外一点.3.三角形的内切圆应用：运用切线长定理，将等长的线段转化到某条边上，从而建立方程，求线段的长.重要结论：2,2S a b cr ra b c+-==++（只适用于直角三角形）.布置作业教材第55页练习第1，2，3题，第56页习题27.2第8，9，10题.板书设计27.2与圆有关的位置关系3切线第2课时切线长定理1.切线长的定义例12.切线长定理3.三角形的内切圆与圆的外切三角形例24.三角形的内心三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.例3如图，点O是△ABC的内心.。