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一、基本等差数列等差数列及其变式【例】1，4，7，10，l 3，l 6，19，22，25，… 1、二级等差数列一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。
解题模式：（1）观察数列特征。
大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
（2） 尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、 （3） 测测规律 （4） 检验。
（5） 重复步骤（2）~（4）直至规律吻合。
【例 1】(2007 黑龙江，第 8 题)11，12，15，20，27，( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．38 【解题关键点】原数列：11 12 15 20 27 （36）做一次差： 1 3 5 7 （9）等差数列 【答案】C 【例 2】(2002 国家，B 类，第 3 题)32，27，23，20，18，( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．1 7 【解题关键点】原数列：32 27 23 20 18 （17）做一次差：5 4 3 2 1 等差数列 【答案】D 【例 3】(2002 国家，B 类，第 5 题)－2，1，7，16，( )，43 A ．25 B ．28 C ．31 D ．35【解题关键点】原 数 列：-2 1 7 16 （z ） 43做一次差： 3 6 9 x y 猜 测：一个公差为 3 的等差数列。
尝 试：x=9+3=12，（ z ）=16+12=28 检 验：y=12+3=15, ( z )=43-15=28【答案】B【例】3，6，11，( )，27 A ．15 B ．18 C ．19 D ．24 【解题关键点】二级等差数列。
3 6 11 (18) 273 5 7 9 【答案】 B 3、二级等差数列变式 （1） 相邻两项之差是等比数列 【例】0，3，9，21，( )，93 A ．40 B ．45 C. 36 D ．38【解题关键点】二级等差数列变式 0 3 9 21 (45)93求差3 6 12 (24) (48) 公比为2 的等比数列【答案】B（2）相邻两项之差是连续质数【例】11，13，16，21，28，( )A．37 B．39 C.41 D.47【解题关键点】二级等差数列变式11 13 16 21 28 （39）求差2 3 5 7 （11）质数列【答案】B（3）相邻两项之差是平方数列、立方数列【例】1，2，6，15，（）A．19 B．24 C．31 D．27【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。
选讲1 等差数列求和一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项＋(项数－1)×公差项数公式：项数=(末项－首项)÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
练习3：计算下面各题。
(1)1＋2＋3＋…＋49＋50 (2)6＋7＋8＋…＋74＋75(3)100＋99＋98＋…＋61＋60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习4：计算下面各题。
(1)2＋6＋10＋14＋18＋22 (2)5＋10＋15＋20＋…＋195＋200(3)9＋18＋27＋36＋…＋261＋270【例题5】计算(2＋4＋6＋...＋100)－(1＋3＋5＋ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。
(1)(2001＋1999＋1997＋1995)－(2000＋1998＋1996＋1994)(2)(2＋4＋6＋...＋2000)－(1＋3＋5＋ (1999)(3)(1＋3＋5＋...＋1999)－(2＋4＋6＋ (1998)三、课后作业1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈(一圈套一圈)做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？选讲2 三阶幻方的性质一、知识点整理：性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；性质2：幻方的中心数为数列的中间数；性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。
初三数学等差级数求和计算步骤详解等差级数是初中数学中的一个重要概念，在数学的学习中，我们经常会遇到等差级数求和的问题。
本文将详细介绍关于初三数学等差级数求和计算的步骤。
一、什么是等差级数？等差级数是指一个数列，其中每一个项与它前一项的差值都相等。
我们用a表示等差级数的首项，d表示公差，n表示项数，那么等差级数的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d。
例如，2，5，8，11，14就是一个等差级数，其中首项a=2，公差d=3，共有5项。
二、等差级数求和的计算步骤对于等差级数的求和，一般有两种方法，分别是直接相加法和公式法。
1. 直接相加法直接相加法是一种逐项将等差级数的每一项相加求和的方法。
具体步骤如下：（1）计算等差级数的首项a、公差d和项数n。
（2）使用等差级数的通项公式an = a + (n-1)d计算出最后一项an。
（3）使用求和公式S = (a+an) * n / 2计算出等差级数的和S。
例如，求解等差级数2，5，8，11，14的和。
（1）首项a=2，公差d=3，项数n=5。
（2）最后一项an = a + (n-1)d = 2 + (5-1)3 = 14。
（3）和S = (a+an) * n / 2 = (2+14) * 5 / 2 = 80。
所以，等差级数2，5，8，11，14的和为80。
2. 公式法公式法是一种通过等差级数的数学公式来直接计算等差级数的和的方法。
具体步骤如下：（1）计算等差级数的首项a、公差d和项数n。
（2）使用求和公式S = (2a + (n-1)d) * n / 2计算出等差级数的和S。
例如，求解等差级数2，5，8，11，14的和。
（1）首项a=2，公差d=3，项数n=5。
（2）和S = (2a + (n-1)d) * n / 2 = (2*2 + (5-1)*3) * 5 / 2 = 80。
所以，等差级数2，5，8，11，14的和为80。
三、等差级数求和计算的应用等差级数求和的概念和计算方法在实际应用中有着广泛的应用。
连分数的基本概念与运算连分数是一种特殊的数学表达形式，它将一个有限或无限的数列表示为一个分数的形式，并且这个分数的分母也是一个连分数的形式。
连分数不仅在数学中具有重要的应用价值，而且在物理、工程等领域也有着广泛的应用。
本文将介绍连分数的基本概念与运算方法。
一、基本概念连分数可以用以下形式表示：\[a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 +\cfrac{1}{\cdots}}}}\]其中，$a_0$为整数部分，$a_1,a_2,a_3,...$为连分数的部分分数。
如果连分数的部分分数有限个，则称其为有限连分数；如果连分数的部分分数无限个，则称其为无限连分数。
二、最简连分数最简连分数是指在连分数中，分子与分母没有公约数的连分数。
求解最简连分数通常使用欧几里得算法，具体步骤如下：1. 将连分数的最后一个部分分数进行倒数运算，得到一个新的部分分数；2. 将新的部分分数与倒数之前的部分分数相加；3. 重复以上两步，直到得到的部分分数的分子与分母没有公约数为止。
三、连分数的逼近连分数可以逼近实数或者无理数。
对于实数$x$，将其展开为一个连分数的形式，则有：\[x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 +\cfrac{1}{\cdots}}}}\]其中$a_0,a_1,a_2,a_3,...$为$x$的连分数的部分分数。
当$n$趋近于正无穷的时候，连分数的部分和$\cfrac{1}{a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{\cdots+\cfrac{1}{ a_n}}}}}$趋近于$x$。
四、连分数的四则运算1. 连分数的加法设有连分数$A$和$B$，记作$A=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}}$和$B=b_0+\cfrac{1}{b_1+\cfrac{1}{b_2+\cfrac{1}{b_3+\cdots}}}$，则它们的和$S=A+B$为：\[S = (a_0+b_0) +\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} +\cfrac{1}{b_1+\cfrac{1}{b_2+\cfrac{1}{b_3+\cdots}}}\]其中，$a_0,b_0,a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,...$分别为连分数$A$和$B$的部分分数。
数列数表规律知识点精讲等差数列：逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
例如：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。
1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。
寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。
2考虑此项与它前一项之间的关系。
3考虑此项与它前两项之间的关系。
4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
课堂例题与练习练习1)（1＋4＋7＋10＋......＋100）－（2＋5＋8＋ (98)2)6、10、14、18、……最后一项是86，问数列共有几项？3)1至100之间能被7整除的数之和？4)6、10、14、18、……第40项是几？例题1.下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项：(1)1，5，11，19，29，( )，55；(2)1，2，6，16，44，( )，328。
练.1 , 4 , 9 , 16 , ( ) , ( )例题2.添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律，确定出A= B = C= ；练.添在图中的三个五边形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律，确定出A= B= C= D= ；例题3.在图所示的数表中，第100行左边第一个数是多少?2 3 4 第1行7 6 5 第2行8 9 10 第3行13 12 11 第4行 14 15 16 第5行┆ ┆ ┆ ┆ … … … … ‘9 1 2 3 20 2 3 4 A 3 B C1题练.在下面的数表中2008在第行？第列？第1列第2列第3列第4列第5列2 4 6 第1行14 12 10 8 第2行16 18 20 第3行28 26 24 22 第4行30 32 34 第5行42 40 38 36……………………练.将偶数2、4、6、8、…按右图中格式排列，那么2006出现在表格中第行，第列，那么第2006行第3列的数是；例题4.如图17—3所示的数阵中的数字是按一定规律排列的那么这个数阵中第100行左起第5个数字是多少?1 2 3 4 5 6 78 9 1 0 1 1 12 13 14 1 51 6 1 7 1 8 19 2 0 2 1 2 22 3 2 4 2 5 2………………例题5.1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…。
课程主题 等差数列【知识点】 1． 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差．2． 通项公式与前n 项和公式（1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差． （2）前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=． 3． 等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列．4． 等差数列的常用性质（1）d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(b a ,是常数)；bn an S n +=2(b a ,是常数，0≠a )．（2）若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+．（3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列．5． 等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1）若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值．（1）若已知通项n a ，则n S 最大⇔10n n a a +≥⎧⎨≤⎩；（2）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最大； 2）若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值．（1）若已知通项n a ，则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩；（2）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小．6． 等差数列的判定与证明课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程（1）定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； （2）中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列； （3）通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；（4）前n 项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列． 【课堂演练】 题型一 基本量计算例1 已知数列{}n a 为等差数列，若24113=+a a ，34=a ，则数列{}n a 的公差等于（ B ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7例2 已知等差数列{}n a ，41=a ，公差2=d ，若4012=n a ，则n 等于（ B ） A ．2004 B ．2005 C ．2006 D ．2007例3 已知列{}n a 中，11=a ，21+=-n n a a （2n ≥），则10a =（ C ） A ．17 B ．18 C ．19 D ．20例4 等差数列89-，87-，85-，⋅⋅⋅，1的项数是（ B ） A ．45 B ．46 C ．47 D ．92练1 已知等差数列{}n a 中，1,16497==+a a a ，则16a 的值是（ B ） A ．15 B ．22 C ．31 D ．64练2 已知数列{}n a 满足01,211=+-=+n n a a a ,则数列的通项n a 等于（ D ） A ．12+n B ．1+n C ．n -1 D ．n -3练3 等差数列20,17,14,11…中第一个负数项是（ B ） A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项例5 已知数列{}n a 满足,2,13321==-+a a a n n 则{}n a 的前9项和等于（ C ） A ．25B ．26C ．27D ．28例6 (2015全国1 7)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ B ） A ．172B ．192C ．10D ．12例7 设n S 是等差数列{}n a *N n ∈的前n 项和，且7,141==a a ，则5S ＝ ．【25】练4 (2014福建 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（ C ） A ．8 B ．10C ．12D ．14练5 (2013安徽文7）设n S 为等差数列{}n a 的前项和，134S a =，22a =-，则9a =（ A ） A ．5 B ．4C ．2-D ．2练6 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ C ） A ．13 B ．35C ．49D ．63练7 （2014浙江文19）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=． （1）求d 及n S ； 【解】练8 已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； 【解】题型二 等差数列的性质例1 a b c 、、都是实数，那么“2b a c =+”是a b c 、、成等差数列的（ C ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件练1 等差数列的前三项依次是1,1,23x x x -++，则其通项公式为 ．【A n ＝2n －3】练2 在ABC ∆中，角A B C 、、成等差数列，则B = ．60°例2 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S （ B ） A ．36 B ．72C ．18D ．114练3 （2015全国2）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ A ）A ．5B ．7C ．9D ．11练4 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且==++131272,24S a a a 则（ C ） A ．52 B ．78 C ．104 D ．208练5 （2015广东10）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．【10】练6 （2014重庆2）在等差数列{}n a 中,10,2531=+=a a a ，则=7a （ B ） A ．5 B ．8C ．10D ．14练7 在等差数列{}n a 中：24-321=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列201a a +等于 ．【18】练8 已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则)cos(73a a +的值为（ D ）A ． 3B ． 3C ．12D ． 12-例3 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ D ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6练9 若数列{}n a 满足191=a ，)(31*+∈-=N n a a n n ，而数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值为（ B ）A ．6B ．7C ．8D ．9练10 设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ C ） A ．1011S S = B ．1011S S > C ．910S S = D ．910S S <题型五 证明等差数列例4 在数列}{n a 中，11=a ，n n n a a 221+=+．设12-=n nn a b ，证明：数列}{n b 是等差数列； 【解】证明：因为11=a ，n n n a a 221+=+，所以12211+=-+n n n n a a ，即数列}{n b 是以111a =为首项，1为公差的等差数列例5 在数列{}n a 中，12a =，121nn n a a +=++；(1)求证：数列{}nn a 2-为等差数列；【解】(1)证明(A n ＋1－2n ＋1)－(A n －2n )＝A n ＋1－A n －2n ＝1(与n 无关)，故数列{A n －2n }为等差数列，且公差d ＝1．练1 在数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=-（*2,n n N ≥∈），数列{}nb 满足：11n n b a =-（*n N ∈）．求证：数列{}n b 是等差数列 【解】∵112n n a a -=-，∴1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111n n b a--=-，∴11111111n n n n n a b b a a -----=-=--（n ∈N +）．故数列{}n b 是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列．练2 （安徽 18）数列{}n a 满足*111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈．证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；证明：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+，所以{}n a n 是以111a=为首项，1为公差的等差数列．练3 在数列}{n a 中，11=a ，1133n n n a a ++=+．设3nn na b =，证明：数列}{n b 是等差数列； 【解】证明：因为11=a ，1133n n n a a ++=+，所以11133n n n na a ++=+，即数列}{nb 是以1133a =为首项，1为公差的等差数列【课后巩固1】1．（福建卷（理3））等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（ C ） A ．8 B ．10C ．12D ．142．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若===432,3,1S a a 则（ C ） A ．12 B ．10C ．8D ．63．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若357=S ，则=4a （ D ） A ．8 B ．7C ．6D ．54．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d =（ C ） A ．7 B ．6C ．3D ．25．等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为（ C ） A ．48B ．49C ．50D ．516．（重庆卷（文2））在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ B ） A ．5 B ．8C ．10D ．147．已知数列}{n a 中，11=a ，21+=-n n a a （2n ≥），则10a =（ C ） A ．17 B ．18C ．19D ．208．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若6321=++a a a ,则5S =（ D ） A ．5 B ．7C ．9D ．109．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ B ） A ．30尺 B ．90尺C ．150尺D ．180尺10．数列{}n a 的通项公式为233-=n a n ，当n S 取到最小时，=n （ C ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【课后巩固2】1．（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 ．【27】2．在等差数列{}n a 中，已知2452,10a a a =+=，求数列{}n a 的通项公式 ．【7276+=n a n 】3．设数列{}n a 的首项17a =-，且满足12n n a a +=+则1217a a a +++=L ．【153】4．（2016年北京高考）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S ．【6】5．已知数列的通项25a +-=n n ,则其前n 项和为n S = ．【25n n2--】6．已知数列的通项a 32n n =-+,则其前n 项和为10S = ．【-145】7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ ．【54】8．已知数列{}n a 为等差数列，且21423a a π+=，则()313cos a a +的值为 ．【12-】9．已知等差数列{}n a 中，253=+a a ，则=++642a a a ．【3】10．（2015年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a + ．【10】【课后巩固3】1．数列{}n a 的前n 项和为n n S n 1722-=，则当n S 取得最小值时n 的值为（ C ）A ．54或B ．65或C ．4D ．52．已知数列{}n a 为等差数列，且34131π=+a a ，则()122tan a a +的值为（ A ） A ．3- B ．3C ．3±D ．33-3．(2013全国卷．文)等差数列}{n a 中，91972,4a a a == （1）求}{n a 的通项公式 【解】12n n a +=4．已知等差数列}{n a ，n S 为其前n 项和，56,1075==S a ．（1）求数列}{n a 的通项公式； 【解】5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243S S =,122-=n n a a （1）求数列{}n a 的通项公式； 【解】6．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，.20,552-=-=S a 且 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使不等式n n a S ＞成立的正整数n 的最小值． 【解】7．已知数列{}n a 是一个等差数列，且5,1a 52-==a 。
一个无穷乘积的寻求和思考黄之 (上海智启教育培训有限公司 上海 200000)【摘要】通过把一个可在复平面上展开为多项式的整函数通过其零点展开为无穷乘积的思想寻求一个无穷乘积，并运用一些方法得到一些恒等式，展开一些思考. 【关键词】无穷乘积；无穷级数；连分数；复函数本文用一种简单方法寻求∏∞=++-12424))(1(n m m n x π并展开一些思考（m 为非负整数，x 为复变量）. 现在从无穷乘积∏∞=+13)11(n n 出发.考虑函数∏∞=+=133))(1()(n n x x f π,通过它的零点来将它展开为线性因子的乘积，它的零点是：,...3,2,,,2,3...,,...3,2,,,2,3...,,...3,2,,,2,3...,121212121212111111111111πδπδπδπδπδπδπδπδπδπδπδπδππππππ---------------------=x 其中2,1δ是方程013=+t 的两个虚根，事实上121=δδ.由此，考虑通过三个正弦的乘积来描述这个函数，即考虑x x x x g 21sin sin sin )(δδ=，它的零点为：,...3,2,,0,,2,3...,,...3,2,,0,,2,3...,,...3,2,,0,,2,3...,121212121212111111111111πδπδπδπδπδπδπδπδπδπδπδπδππππππ---------------------=x 其中0是三重零点.现在将这三个零点合起来考虑：0,,,1211≠-=--k k k k x πδπδπ .于是g(x)将包含这个因式：)1)(1)(1(1211πδπδπ----+k xk x k x 也即： )1(333πk x +所以得到∏∞-∞=+=n n x xx x x ）3333211(sin sin sin πδδ. 将它的正负零点合起来，进一步又得到：∏∞=-=16663211(sin sin sin n n x xx x x ）πδδ.由此可以得到很多恒等式，比如取it i x ,,2ππ=等等.可是还是未能得到∏∞=+13)11(n n.为此，先求出∏∞=-2611(n n ），不能在g(x)的乘积式中直接取π=x ，因为这样，将会一无所获. 所以，先将为0的因式移到左边的分母下：∏∞=-=-2666663211()1(sin sin sin n n x x x x x x ）ππδδ 两边令π→x ，有：πδπδππ21326sin sin 21611(=-∏∞=n n ） 计算πδπδ21sin sin ：)cos 3(cosh 21))cos()(cos(21sin sin 212121x x x x x x x x -=+--=δδδδδδ 所以)13(cosh 12111(226+=-∏∞=ππn n ）. (注：其中cosh(x)双曲余弦函数: 2cosh xx e e x -+=,以下还将用到双曲正弦函数sinh(x)：2sinh xx e e x --=，由欧拉公式，容易得到：coshix=cosx,sinhix=isinx.)显然∏∏∏∞=∞=∞=-+=-223326)11()11(11(n n n n n n ），为了得到右边两个无穷乘积，需要得到它们之间的某种关系.令∏∏∞=∞=-=+=223231)11(),11(n n n P n P ，此二者的比值正好能简单的算出： ∏∏∏∞=∞=∞=+-+++-=+-+++-=+-=222222233123)12(3)12(11111111n n n n n n n n n n n n n n n P P ∞→+-+++++++++--=n n n n n n n ),3)12(3)12(...373935373335)(112...7564534231(22222222 32]123)12()1(2[lim 2=+++=∞→n n n n . 故有)13(cosh 121,3222112+==ππP P P P .所以得到22221423cosh 813cosh ππππ=+=P ，所以ππ223cosh 1=P .最后得到：∏∞==+1323cosh 1)11(n n ππ. 在这个探索的过程中，可以得到很多恒等式，比如：1，∏∞=-=+136662)3cos (cosh sinh )1(n x x x x n x π 2，在1中将x 换为ix ，∏∞=-=-136662)cos 3(cosh sin )1(n x x x x n x π 3，在1中取2π=x ，有∏∞=-=+136)23cos2(cosh2sinh4))2(11(n n ππππ4，在2中取2π=x ，有∏∞==-13623cosh 4))2(11(n n ππ 5，用3除以4，可以得到)23cos 2(cosh 23cosh2sinh1)2(1)2(166ππππ-=-+∏∞=n n n6，用21P 除以4，得到∏∞=--=--+12334)2(1)12(1n n n π，此结论也可以由沃利斯公式得到. 等等.7，再借助ln(1+x)的幂级数展开∑∞=+-=+11)1()1ln(n nn n x x (x 在收敛域内)，得到另一个结果.由上述1中的结论可以得到∏∞=-=+1362)3cos (cosh sinh )11(n n ππππ.两边取对数，得： ∑∞=-=+1362)3cos (cosh sinh ln)11ln(n n ππππ 左边的无穷级数即：∑∑∞=∞=+-1161)1(n m mm n ，交换求和顺序后可化为 ∑∑∑∞=+∞=∞=+-=-111161)6()1()1(m m m n mm m m mn ζ所以得到)2ln()3cos ln(cosh sinh ln )6()1(311ππππζ--+=-∑∞=+m m m m .另外还可有：∑∞=-=-1)23ln(cosh)3ln(1)3(m mm ππζ ∑∞=+-=-11ln )23ln(cosh )3()1(m m m m ππζ 其中∑∞==11)(n xnx ζ为黎曼Zeta 函数.还能用某种方法将上式展开为一个漂亮的无穷连分数 ππζζζζζζζζζζln )23ln(cosh......)9(3)12(4)9(9)6(2)9(3)6(4)3(1)6(2)3()3(11222-=+-+-+-+--- (22))(()(--=x x ζζ)还能对别的结果取对数，如此等等.用各种联系还能得到很多别的级数，在此不再继续.现在再进一步，求∏∞=++-12424))(1(n m m n x π，m 为非负整数. 112=+m x的所有根为m k eex m k im k i,...,2,1,,,1122122==+-+ππ，记122+=m k ik eπδ，则所有这些零点可以表示为m k x k k ,...2,1,,,1==δδ. 考虑函数)sin (sin sin )(1x x xx g k k mk δδ∏==，g(x)的零点为πδπδπ1-1-,,k k n n n x =，这里n 取遍从负无穷到正无穷的一切整数，0为2m+1重零点，所以有：)1)(1)...(1)(1)(1()(11111112πδπδπδπδπ---∞-∞=-+-----=∏m m n m n x n x n x n x n x xx g 简化后有 )1()(12121212∏∞-∞=++++-=n m m m m n x x x g π 计算: )]cos()[cos(21sin sin x x x x x x k k k k k k δδδδδδ+--=)]122cos 2cos()122sin 2[cosh(21+-+=m k x m k x ππ最后得到])122cos 2cos()122sin 2[cosh(sin 2)1(1124242412∏∏=-∞=+++++-+=-mk mn m m m m m k x m k x x n x xπππ 注：1，取m=1就得到一开始的结论.将x 换为ix 又可以得到另一个无穷乘积.2，当m=0时，得到x n x x n sin )1(1222=-∏∞=π，在这里可以得到21)11(22=-∏∞=n n ，这个极限用初等方法也容易得到，取πi x =得到ππsinh )11(12=+∏∞=n n .等等…… 事实上用这种方法可以得到)1(122∏∞=-n m m n x ，m 为正整数.可是在尝试得到)1(1∏∞=-n q qn x 时会遇到问题，这是因为当q 为奇数的时候所考虑的函数(一些正弦的乘积)零点包含了从负无穷到正无穷的整数，这样，将他们合起来后，包含正负零点的因式就会变为一个二次因式，所以永远只能得到q 为偶数的情形.为了克服这一点，必须要找出一个这样的函数，它的零点只包含一半的整数(1,2,3,…..).事实上，通过欧拉gamma 函数)(x Γ可以找到这样的一种函数. 通俗地说，)(1x Γ的零点就是x=0,-1,-2,-3,……，所以)1(1x -Γ的所有零点就是x=1,2,3,……作为一个例子，可以得到：)1()1()1(1)1(1211133x x x n x n --∞=-Γ-Γ+Γ=+∏δδ 其中2,1δ是012=+-t t 的两个根.由此结合之前的结论，就得到：23cosh1)()(1)11(3313ππππ=ΓΓ=+-∞=∏i i n ee n 这一系列的无穷乘积或者级数是多么美妙，还能通过一个似乎是架在空中的桥梁欧拉gamma 函数联系起来，这一切难道不给人一种难以言表的感受吗？后记：1， 利用函数零点将函数展开为无穷乘积.通过考虑)sin()(t x x f -=的零点(注意保证常数项相等)，可以得到∑∑∞=∞=+-1221221,1n n x n x n 这两个级数的值.只要再将无穷乘积展开为多项式，比较两边x 一次项的系数(用f(x)的泰勒展开)即可，显然还可以深化，比如考虑更多的正弦的乘积.或者通过比较系数来得到所有零点的立方的倒数和，这样就能得到下面这个无穷级数32......7151311133333π=+-+- 还可以得到更高的幂，而且分母中的整数可以变为其他的，可是离全体正整数的反立方和还是差得远(Zeta(3)).另外，上面的交错级数可以展开为一个漂亮的无穷连分数32......5753531311136333363π=+-+-+-+对于∑∑∞=∞=+-1221221,1n n xn x n 这两个级数的值我一开始是通过考虑)2,0[,)(π∈=x e x f tx周期延拓后的傅里叶展开得到的，但是后来发现欧拉在无穷分析引论上卷里早已通过无穷乘积的方法得到的，我相信那是这个级数第一次来到这个世界上，在那之前，欧拉发现了他的欧拉公式，联系了复变量的三角函数，所以欧拉能从第一个级数轻松转化为第二个级数，而且欧拉还说这种方法他更喜欢，因为它还告诉我们怎么把虚弧化为实指数.在书里他还用他深刻的洞察力得到许多漂亮的结果，运算如呼吸般自然不做作，不得不敬佩欧拉！2，令 (1)41413131212+-+-+-=m m m m mm m Q ，m 是正整数. 显然∏∏∞=∞=+-=22)11()11(n n mm n n Q ，由文中的结论，可以得到：32,sinh ,0321===Q Q Q ππ，)3cos (cosh sinh 3)13(cosh ,2cos 2cosh sinh 64πππππππππ-+=-=Q Q ，…… (∏∏∞=∞==-=-24124444sinh )11(,sinh sin )1(n n n x x x n x πππ， ∏∏∞=∞=-=+-=+2241244442cos 2cosh )11(,22cos 2cosh )1(n n n x x x n x ππππ) 对于所有的偶数m ，Q 都可以用e 和圆周率来表示，而对于奇数m ，除了m=1是平凡的外，只有m=3可以表示，其余的只可能通过欧拉gamma 函数来表示.这些无穷乘积，无穷级数，无穷连分数在无穷处如此严整而美妙，同时又冷酷无情，如诗歌又如音乐，让人感动，让人不住地想探寻，在无穷处，它在发生着什么. 参考文献[1]欧拉.无穷分析引论。
