2.2.2事件的独立性

学案48 §2.2.2事件的独立性一、基础知识1、相互独立的概念设A 、B 是两个事件，如果=)|(A B P _______，则称事件A 与事件B 相互独立。

把这两个事件叫做相互独立事件 2、相互独立的性质（1）若事件A 与事件B 独立，那么=)|(A B P ____________，=)|(B A P __________，=⋂)(B A P ___________。

（2）如果事件A 与事件B 相互独立，那么_________与__________，_________与__________，_________与__________也都相互独立。

3、相互独立事件与互斥事件的区别二、例题分析例1 在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。

例2 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算： （1） 两人都投中的概率；（2） 其中恰有一人投中的概率； （3） 至少有一人投中的概率。

例3在一段线路中并联着三个独立自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。

假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

三、巩固练习1、袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回的摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是 （ ）A 、互斥事件B 、相互独立事件C 、对立事件D 、不相互独立事件2、两人打靶，甲击中的概率是0.8，乙击中的概率是为0.7，若两人同时射击同一目标，则他们都中靶的概率是 （ ）A 、0.56B 、0.48C 、0.75D 、0.63、某射手射击一次，击中目标的概率是0.8，他重复射击三次，且各次射击是否击中相互之间没有影响，那么他第一、二次未击中，第三次击中的概率___________。

2．2.2事件的独立性主备人：高萌审核人：雒荣军唐艳学生姓名：__________ 小组编号：___________自我评价:___________ 小组评价:_____________ 教师评价:_______________类型一、事件独立性的判断[例1]判断下列各对事件是否是相互独立事件：1、甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；2、容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”3、掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”[思路点拨] 利用相互独立事件的定义判断．[一点通]判断两个事件是否相互独立的方法：变式训练1：一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A，B事件的相互独立性与互斥性．(1)A：取一个球为红球，B：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A：取出的两球为一白球一红球；B：取出的两球中至少一个白球．类型二、相互独立事件同时发生的概率[例2]面对H7N9流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率．[思路点拨] 明确已知事件的概率及其关系，把待求事件的概率表示成已知事件的概率，再选择公式计算．[一点通]1．公式P (A ∩B )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩…∩A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．2．求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件发生的概率，再求其积注意：在求事件概率时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义变式训练2、 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13，14求：（1）两个人都译出密码的概率 （2）两个人都译不出密码的概率（3）恰有一人译出密码的概率（4）至多一人译出密码的概率（5）至少一人译出密码的概率类型三、相互独立事件的实际应用[例3]红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.求(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；（2）红队至少两名队员获胜的概率．变式训练3：三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．[思路点拨] 记三个元件T 1，T 2，T 3正常工作分别为事件A 1，A 2，A 3，再把不发生故障的事件表示为(A 2∪A 3)∩A 1，最后由相互独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式求概率．[一点通]解决此类问题应注意：(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件；(2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．.1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别：2.。

2.2.2 事件的独立性教学过程：一、复习引入：1.事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.4.概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件.6.等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件. 7.等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n =. 8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法.9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的.10 .互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-.12.互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++.探究：(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上.(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球 问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响） 思考：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B | A ）=P (B ），P （AB ）=P ( A ) P ( B |A ）=P （A ）P (B ).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A , B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅.问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+.三、讲解范例：例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A , “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： ()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合， 从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1 如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦. 变式题2 如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.解：方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=； 方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与B J 至少有1个开的情况. []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=.例4 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解：（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k =1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅． ∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54(， ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤， 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈-， ∵n +∈N ，∴11n =.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机.点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便.四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) A.320 B.15 C.25 D.9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） A.2个球都是白球的概率 B.2个球都不是白球的概率C.2个球不都是白球的概率D.2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）A.0.128B.0.096C.0.104D.0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ） A.35192 B.25192 C.35576 D.651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？【答案】1. C2. C3. B4. A5.(1) 132(2)0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P =220.790.810.404⨯≈.8. P =0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈.9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅=. 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本练习1、2、3第60页；习题 2. 2A 组4，B 组1.七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念.2. 能进行一些与事件独立有关的概率的计算.3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.。

2.2.2事件的相互独立性一．教学目标（一）教学知识点1.相互独立事件的意义.2.相互独立事件同时发生的概率乘法公式.（二）能力训练要求1.理解相互独立事件的意义，注意弄清事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概率.2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式.（三）德育渗透目标1.培养学生分析问题、解决问题的能力.2.提高学生的科学素质.二．教学重点1.相互独立事件的概念：若事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.2.事件之间的“互斥”与“相互独立”的区别：互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.A与也是相互独立事件.3.若事件A与B是相互独立事件，那么A与B，A与B，B4.相互独立事件同时发生的概率乘法公式：如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P（A1·A2·……·A n）=P（A1）·P（A2）·…·P（A n）三．教学难点事件的“相互独立性”的判定.四．教学过程1.复习回顾请同学回忆一下有关互斥事件的主要内容.互斥事件：不可能同时发生的事件.对立事件：不可能同时发生，且必有一事件发生.若A与B为互斥事件，则A、B中有一个发生的概率P（A+B）=P(A)+P（B）.若A与A为对立事件，则P(A)+P（A）=1.2.讲授新课现在，请同学们来看这样一个问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，若从这两个坛子里分别摸出1个球，则它们都是白球的概率是多少？（引导学生分析）首先，我们发现，这一试验与我们前面所研究的试验有所不同的是：这里有两个坛子，从中分别取一球；可视为做一次试验，需分两步完成，且从一个坛子中取一球是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出一球是白球还是黑球没有任何影响.若记：“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”为事件A，记：“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”为事件B，则事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，也就是说事件A（或B）的发生是独立的，不受事件B（或A）的发生与否的限制.那么，我们不妨将象这样的事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件.例如，在上述问题中，事件A是指“从甲坛子中摸出1个球，得到黑球”，事件B是指“从乙坛子中摸出1个球，得到黑球”，不难判断，事件A与B，A与B，A与B也都是相互独立的.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都是相互独立的.看来，若记：“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件，那么它的发生，就是事件A、B同时发生，不妨记作A· B.于是想要研究事件A·B发生的概率P（A· B），则需研究上述两个相互独立事件A、B同时发生的概率.请同学们根据我们所掌握的知识，试着分析……（也可分组讨论）从甲坛子中摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子中摸出1个球，有4种等可能的结果.于是从两个坛子里各摸出1个球，根据分步计数原理，可知共有5×4种等可能的结果,表示如下（其中每个结果的左、右分别表示从甲、乙坛子里取出的球的颜色）：（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）在上面的5×4种结果中，从甲坛子里摸出白球的结果有3种，从乙坛子里摸出白球的结果有2种，同时摸出白球的结果有3×2种.因此，从两坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率P （A ·B ）=4523⨯⨯. 而，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P (A )=53，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率P （B ）=42. 不难发现，32534523⨯=⨯⨯.即：P （A ·B ）=P (A )·P （B ）. 也就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.进而可知：一般地，如果事件A 1，A 2，…,A n 相互独立，那么这几个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A 1·A 2·…·A n ）=P （A 1）·P （A 2）·…·P （A n ）例如，在上面的问题中，“从两个坛子里分别摸出1个球，都是黑球”这一事件的发生，就是事件A ，B 同时发生，可记作A ·B ，其概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）512152=⨯=. “从甲坛子里摸出1个球，得到黑球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”同时发生的概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=512152=⨯. “从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到黑球”同时发生的概率 P （A ·B ）=P (A )·P （B ）=1032153=⨯ “从两个坛子里分别摸出1个球，得到1个白球和1个黑球”的概率为：P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得到两个白球或两个黑球”的概率为： P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得不到两个白球”的概率为 P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）1075110351=++=或1－P （A ·B ）=1－107103=. 3.课堂练习（回答）.“在先摸出白球的情况下，再摸出白球”，是从装有1个白球，2个黑球的口袋中摸出1个白球，这时事件B 的概率为31；“在先摸出黑球的情况下，再摸出白球”，是从装有2个白球，1个黑球的口袋中摸出1个白球，这时事件B 的概率为32. 这就是说，事件A 发生与否对事件B 发生的概率有影响，因此事件A 与B 不相互独立.4.课堂小结要学会对事件的“相互独立性”的判定.要会用相互独立事件同时发生的概率公式求一些事件的概率.5.课后作业（一）课本P 134习题10.7 1、2、3（二）1.预习：课本P 130~P 132五．板书设计六．教后记：。

2.2.2 事件的独立性目标：独立事件概念的理解及相互独立事件同时发生的概率计算一. 事件的独立性实例1.三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有方回地抽取，设 A:第一名同学没有抽到中奖的奖券；B:第三名同学抽到中奖的奖券；AB:第一名同学没有中奖而第三名同学中奖.试问：事件A 的发生，对事件B 发生的概率会有影响吗？?)(=AB P分析：因为是有放回地抽取奖券，所以最后一名同学和第一名同学一样也都是从原来的三张奖券中任抽一张，第一名同学抽奖的结果对第三名同学的抽奖结果没有影响，即：)()|(B P A B P = 而：)()()()|(B P A P AB P A B P ==， 所以有：)()()(B P A P AB P ⋅= 因为：32)(=A P ，1)(=B P ，所以：212)()()(=⋅=⋅=B P A P AB P .实例1抛掷一枚硬币2次. 求：①求第一次出现正面向上的概率；②求第二次出现正面向上的概率；③求在第一次出现正面向上的条件下第二次出现正面向上的概率.解：设“第一次出现正面向上”的事件为A ；“第二次出现正面向上”的事件 为B ； 那么AB 表示“第一次和第二次都是正面向上”的事件；而B|A 则 表示在第一次出现正面向上的条件下第二次出现正面向上的事件. 21)(=A P ； 212212)(=⨯⨯=B P ； 41221)(=⨯=AB P ； 所以：212141)()()|(===A P AB P A B P ； 所以：)(21)|(B P A B P ==. 事件A 发生的条件下事件B 发生的概率与事件B 单独发生的概率相等，这说明事件A 的发生对于事件B 的发生没有影响！实例3.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，求：①.先摸出1个白球不放回，再摸出一个白球的概率；[)|(A B P ] ②.先摸出1个白球后放回，再摸出一个白球的概率；[)|(A B P ]解：①设“先摸出1个白球不放回”为事件A ；“再摸出一个白球”为事件B ；则“先后两次摸到白球”为AB ；而“先摸出1个白球不放回，再摸出一个白球”为A B |.21)(=A P ； 2123)(4=⨯=A B P ； 61)(2422==A A AB P ， 所以：31)()()|(==A P AB P A B P . 所以：)()|(B P A B P ≠.事件A 发生的条件下事件B 发生的概率与事件B 单独发生的概率不相等，这说明事件A 的发生对于事件B 的发生产生了影响！②设“先摸出1个白球放回”为事件E ；“再摸出一个白球”为事件F ；则“先后两次摸到白球为EF ”；而“先摸出1个白球放回，再摸出一个白球”为E F |.2142)(==E P ； 214424)(=⨯⨯=F P ； 414422)(=⨯⨯=EF P ； 所以：1)()|(==EF P E F P . 所以：)(21)|(F P E F P ==.事件E 发生的条件下事件F 发生的概率与事件F 单独发生的概率相等，这说明事件E 的发生对于事件F 的发生没有影响！定义：一般地，若事件A 、B 满足)()|(B P A B P =，则称事件A 、B 独立.分析：若事件A 、B 独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则：)()|(B P A B P = 由：)()()()|(A P AB P B P A B P == 得：)()()(B P A P AB P =得：)|()()()(B A P A P B P AB P == 所以有：)()|(A P B A P = 这说明事件B 、A 也是独立的.结论：若事件A 、B 独立.则事件B 、A 也是独立，这时我们也称事件 A 、B 相互独立.理解：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，那么这样的两个事件就叫做相互独立事件.二.相互独立事件同时发生的概率如果我们认为，必然事件与任何事件相互独立，不可能事件与任何事 件也相互独立，那么由上面的推理过程，我们有如下定理.定理：两个事件A ，B 相互独立的充要条件是)()()(B P A P AB P =.一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么我们可以证明事件A 与B ，A 与B ， A 与B ，也都是相互独立的 .（事件A 发生与否与事件B 发生与否没有关系，事件的独立，从本质来看，实际上是样本空间的独立）对上面的定理做进一步的推广，我们有下面的结论：定理：一般地，如果事件n A A A ,,,21 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：=⋅)(21n A A A P )()()(21n A P A P A P ⋅注：相互独立事件的判断可以从以下几个方面考虑①.由两个事件相互独立的充要条件)()()(B P A P AB P =加以判断. ②.有些事件不必通过概率的计算就能判断其独立性. 比如有放回的两次抽取，抛掷同一枚骰子若干次等等， 这些由事件本身的性质就可以直接判断事件之间是否相互影响，从而得出它们是否相互独立.③.注意互斥、对立、独立事件的区别：若A ，B 互斥，则0)(=AB P ；若A ，B 对立，则1)()(=+B P A P若A ，B 独立，则)()()(B P A P AB P =三.典型例题1.下面给出的事件A 与事件B 相互独立的是 （ ）A.抛掷一枚骰子，事件A:“出现1点”，事件B:“出现2点”B.在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一球，观察颜色后放回袋中，事件A:“第一次取得绿球”，事件B:“第二次取得绿球”C.在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，从中不放回摸球，事件A:“第一次取得绿球”，事件B:“第二次取得绿球”D.甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A:“甲、乙两人中至少一人击中目标”，事件B:“甲乙两人都没有击中目标”2.先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为 （ ）A.21B.61C.121D.413.某道路A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某汽车在这段路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为 （ ） A.19235 B.19225 C.57635 D.192214.甲、乙两同学同时解一道数学题，设事件A:“甲同学做对”，事件B:“乙同学做对”，试用事件A 、B 表示下列事件.①.甲做错，乙做对；②.甲、乙都做错；③.甲、乙中至少一人做对；④.甲、乙中至多一人做对；⑤.甲、乙中恰有一人做对.5.若事件A，B相互独立，求证事件A与事件B也是相互独立的.6.用X、Y、Z三类不同的元件连接成系统N，当元件X、Y、Z都正常工作时，系统N正常工作. 已知元件X、Y、Z正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N正常工作的概率.7.某一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作。

2.2.2 事件的相互独立性整体设计教材分析概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支．它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛．而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型．将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法．因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材．在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用．课时分配1课时教学目标知识与技能理解两个事件相互独立的概念，能进行与事件独立性有关的概率的计算．过程与方法通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观通过对实例的分析，问题的探究，学会合作，提高学习数学的兴趣．重点难点教学重点：独立事件同时发生的概率．教学难点：有关独立事件发生的概率计算．教学过程引入新课我们知道求事件的概率有加法公式：若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．那么怎么求A与B的积事件AB呢？回顾旧知：1．事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件，记为A∪B(或A＋B)；2．事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件，记为A∩B(或AB)；如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 提出问题：甲果盘里有3个苹果，2个橙子，乙果盘里有2个苹果，2个橙子，从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率是多少？活动结果：不妨设事件A ：“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”；事件B ：“从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果”．“从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作AB .(简称积事件)从甲果盘里摸出1个水果，有5种等可能的结果；从乙果盘里摸出1个水果，有4种等可能的结果．于是从这两个果盘里分别摸出1个水果，共有5×4种等可能的结果．同时摸出苹果的结果有3×2种．所以从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率P (AB )＝3×25×4＝310. 探究新知提出问题：大家观察P (AB )与P (A )、P (B )有怎样的关系？活动结果：从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P (A )＝35，从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P (B )＝24.显然P (AB )＝P (A )P (B )． 继续探究：事件A 、B 是否互斥？(不互斥)可以同时发生吗？(可以)事件A 是否发生对事件B 发生的概率有无影响？(无影响)探究结果：显然，事件A “从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”对事件B “从乙果盘里摸出1个球水果，得到苹果”没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是：P (B |A )＝P (B )，又P (B |A )＝P (AB )P (A )，易得：P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (A )P (B )． 将上述问题一般化，得出如下定义：1．相互独立事件的定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)．理解新知事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫做相互独立事件．若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立．简证：若A与B是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)．所以P(A B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B)；P(A B)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝(1－P(A))P(B)＝P(A)P(B)；P(A B)＝P(A)－P(A B)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B)；即A与B，A与B，A与B也相互独立．教师指出：定义表明如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，反之亦然．2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)．即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．类比：若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．提出问题：该结论能否推广到一般情形？P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．活动结果：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．运用新知例1已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？设计意图：题目富有趣味性，激发学生兴趣，使其创造力得到进一步发挥．解：设“臭皮匠老大解出问题”为事件A，“老二解出问题”为事件B，“老三解出问题”为事件C，“诸葛亮解出问题”为事件D，则三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为1－P(A B C)＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P(D)．所以，合三个臭皮匠之力解出问题的把握就大过诸葛亮．例2 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A 与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为：P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，∴2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26，∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1)：“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”两种情况，其概率为P ＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(法2)：“2人至少有一个射中”与“2人都未射中”为对立事件，2人都未射中目标的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，∴2人至少有1人射中目标的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)(法1)：“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为：P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.(法2)：“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.72＝0.28.变练演编在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(A B C)＝1－0.027＝0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.变式1：如图添加第四个开关J D与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．([1－P(A B C)]·P(D)＝0.973×0.7＝0.681 1)变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．方法一：P(A B C)＋P(A BC)＋P(A B C)＋P(ABC)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.847.方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除J C开且J A与J B至少有1个开的情况．则1－P (C )[1－P (AB )]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.达标检测已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率．解：(1)设“敌机被第k 门高炮击中”为事件为A k (k ＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，∴敌机未被击中的概率为P (A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)P (A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5. ∴敌机未被击中的概率为(45)5. (2)设至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机，仿照(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ，∴令1－(45)n ≥0.9.∴(45)n ≤110. 两边取常用对数，得n ≥11－3lg2≈10.3. ∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．点评：逆向思考方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便．课堂小结1．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)2．解决概率问题的关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件．补充练习基础练习1．袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率是( ) A.12 B.25 C.35 D.1102．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( )A.160B.25C.35D.59603．两个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每人投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是________．【答案】1.D 2.C 3.0.190 512拓展练习某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3.(1)第3次才接通电话可表示为A 1A 2A 3，于是所求概率为P (A 1A 2A 3)＝910×89×18＝110； (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。

大同机车中学 高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2013,4第 1 页 共 2 页 课题 2.2.2事件的独立性 课型：概念课 主备人：李元春 审核：备课组【学习目标】了解两个事件相互独立的概念，会用相互独立的事件同时发生的概率乘法公式计算简单的概率问题，能区分互斥和相互独立两种不同的关系。

【学习过程】一、学习探究目标一.相互独立事件1.概念：如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率，且事件B 的发生不会影响事件A 发生的概率，则事件A 与B 叫做 。

2.当事件A 、B 独立时，()/P B A = ，根据()()()P AB P B A P A =可以得到()P AB =()()/P A P B A ⋅= ， 即为独立事件A 、B 同时发生的概率公式.3.互斥事件、对立事件、独立事件的区别一次试验中，对于事件A 、B ，如果不能同时发生，则称A 、B ，此时()P AB = ； 如果A 、B 互斥且A 、B 中必然有一个发生，则称A 、B ，此时()()P A P B += ； 而A 、B 相互独立时，()P AB = ，可见它们是不同的概念。

4.若事件A 、B 相互独立，则A 与__B 与__A 与B __A 与__B 也 。

推广：如果事件12,,n A A A ⋅⋅⋅相互独立，则n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的 概率的积，即12()n P A A A ⋅⋅⋅⋅= 。

目标二. 独立事件的概率问题1. 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）其中恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率。

2. 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响，求：（1）至少有一人面试合格的概率大同机车中学 高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2013,4第 2 页 共 2 页 （2）签约人数ξ的分布列二、学习测评1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是 。