2019届高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第二节 参数方程教师用书 理 选修4-4.doc

第 2 课时参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不一样形式．一般地，能够经过消去参数从参数方程获得一般方程．(2)假如知道变数 x， y 中的一个与参数 t 的关系，比如 x＝ f ( t )，把它代入一般方程，求出y ＝ (x＝ f t，另一个变数与参数的关系) ，那么就是曲线的参数方程．g t y＝ g t2．常有曲线的参数方程和一般方程点的一般方程参数方程轨迹直线圆椭圆抛物线y－ y0＝tanα (x－x0)x2＋ y2＝ r 2x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)y2＝2px ( p>0)x＝ x0＋ t cosα，y＝ y0＋ t sin( t为参数 )αx＝ r cosθ，( θ为参数 )y＝ r sinθx＝ a cosφ，( φ为参数 )y＝ b sinφx＝2pt 2，( t为参数 )y＝2pt1．直线l的参数方程为x＝1＋t ，( t为参数 ) ，求直线l的斜率．y＝2－3t解将直线 l 的参数方程化为一般方程为y－2＝－3( x－1)，所以直线 l 的斜率为－ 3.2．已知直线l x＝1－2t ，( t为参数 ) 与直线l：x＝ s，( s为参数 ) 垂直，求k ：＝ 2＋＝1－21y kt2y s的值．k4＋k k解直线 l 1的方程为 y＝－2x＋2，斜率为－2；直线 l 2的方程为 y＝－2x＋1，斜率为－ 2.∵ l 1与 l 2垂直，kk＝－1.∴(－ )×(－ 2)＝－1?23．已知点P(3 ，m) 在以点F为焦点的抛物线x＝4t 2，( t为参数 ) 上，求 | PF|的值．＝ 4ty解将抛物线的参数方程化为一般方程为2＝ 4x ，则焦点(1,0) ，准线方程为x＝－ 1，又y FP(3， m)在抛物线上，由抛物线的定义知| PF|＝ 3－( －1) ＝4.4．(2016 ·北京东城区模拟 ) 已知曲线C的极坐标方程是ρ＝ 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，直线 lx＝－1＋4t ，的参数方程是( ty＝3t为参数 ) ，求直线l与曲线 C订交所截的弦长．解曲线 C的直角坐标方程为 x2＋ y2＝1，直线 l 的一般方程为3x－ 4y＋ 3＝0.|3 ×0－4×0＋ 3|3圆心到直线的距离d＝32＋ 42＝5.∴直线 l 与曲线 C订交所截的弦长为2328 1－5＝5.题型一参数方程与一般方程的互化例 1 (1) 如图，以过原点的直线的倾斜角θ 为参数，求圆x2＋y2－ x＝0的参数方程．(2)在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为x＝1＋ s，( s为参数 ) ，曲线C的参y＝1－ sx＝t ＋2，t 为参数 ) ，若l C两点，求 |数方程为(与订交于，的长．y＝t 2 A B AB|1111解(1) 圆的半径为2，记圆心为C(2，0)，连结 CP，则∠ PCx＝2θ，故x P＝2＋2cos 2θ＝cos 2θ，1y P ＝ 2sin 2 θ ＝ sin θcos θ( θ 为参数 ) ．x ＝ cos 2θ， ( θ 为参数 ) ．所以圆的参数方程为 θcos θy ＝ sin(2) 直线 l的一般方程为 x ＋ y ＝ 2，曲线 C 的一般方程为 y ＝( x － 2) 2( y ≥0) ，联立双方程得x 2－ 3x ＋ 2＝ 0，求得两交点坐标为 (1,1) ， (2,0) ，所以 | AB|＝ 2.思想升华消去参数的方法一般有三种：(1) 利用解方程的技巧求出参数的表示式，而后辈入消去参数； (2) 利用三角恒等式消去参数；(3) 依据参数方程自己的构造特点，灵巧的采用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为一般方程时，要注意防备变量 x 和 y 取值范围的扩大或减小，一定依据参数的取值范围，确立函数f ( t ) 和 ( t ) 的值域，即x 和 y 的取值范围．g(1) 求直线x ＝2＋ t ， 为参数 ) x ＝ 3cos α，y ＝－ 1－ t ( t 与曲线( α 为参数 ) 的交y ＝ 3sin α点个数．(2) 在平面直角坐标系xOy 中，若直线 l ：x ＝ t ，x ＝ 3cos φ， y ＝ t －a( t 为参数 ) 过椭圆 C ：φy ＝ 2sin( φ 为参数 ) 的右极点，求常数a 的值．x ＝ 2＋ t ，解 (1) 将＝－ 1－消去参数 t 得直线 x ＋y － 1＝ 0；yt将x ＝ 3cos α，消去参数 α 得圆 x 2＋ y 2＝ 9.y ＝ 3sin α2又圆心 (0,0) 到直线 x ＋ y － 1＝ 0 的距离 d ＝ 2 <3. 所以直线与圆订交，故直线与曲线有2 个交点．(2) 直线 l 的一般方程为 x － y － a ＝ 0，x 2 y 2椭圆 C 的一般方程为 9＋ 4＝1，∴椭圆 C 的右极点坐标为 (3,0) ，若直线 l 过 (3,0) ，则 3－a ＝ 0，∴ a ＝ 3.题型二 参数方程的应用例 2x ＝ a － 2t ， ( t 为 参 数 ) ， 圆 C 的 参 数 方 程 为已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为y ＝－ 4tx ＝4cos θ， ( θ 为参数 ) ．y ＝4sin θ(1) 求直线 l 和圆 C 的一般方程；(2) 若直线 l 与圆 C 有公共点，务实数a 的取值范围．解 (1) 直线 l 的一般方程为 2x －y － 2a ＝0，圆 C 的一般方程为 x 2＋ y 2＝ 16.(2) 由于直线 l 与圆 C 有公共点，| － 2 |≤4，故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ＝5解得－ 2 5 ≤a ≤2 5.思想升华已知圆、圆锥曲线的参数方程解决相关问题时， 一般是把参数方程化为一般方程，经过互化解决与圆、圆锥曲线上动点相关的问题，如最值、范围等．在平面直角坐标系x ＝ 5cos θ，xOy 中，曲线 C 和 C 的参数方程分别为12y ＝ 5sinθx ＝ 1－ 2t ，π2(t 为参数 ) ，求曲线 1与 2的交点坐标．θ为参数， 0≤ θ≤和22C Cy ＝－ 2 t解 曲线 C 1 的一般方程为 x 2＋ y 2＝ 5( x ≥0， y ≥0) ．曲线2的一般方程为x － －1＝0.Cyx －y － 1＝ 0，x ＝2，解方程组x 2＋y 2＝ 5 x ≥0， y ≥0 ，得y ＝ 1.∴曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为 (2,1) ．题型三极坐标方程和参数方程的综合应用＝ cos α ，例 3(2015 ·课标全国Ⅱ ) 在直角坐标系 t( t 为参数，t ≠0) ，xOy 中，曲线 C ：1αy ＝ t sin此中 0≤α＜π，在以为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2：ρ＝ 2sinθ，OC3ρ＝ 2 3cosθ.曲线 C ：(1) 求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标；(2) 若 C 1 与 C 2 订交于点 A ， C 1 与 C 3 订交于点 B ，求 | AB|的最大值．解(1) 曲线 C 2 的直角坐标方程为x 2＋y 2－ 2y ＝ 0，曲线 C 3 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－2 3x ＝0.x ＝3x 22x ＝ 0，， 联立 ＋ y － 2y ＝0，解得或2x 2＋ y 2－ 2 3x ＝ 0， y ＝ 0，3y ＝2.所以 C 2 与 C 3 交点的直角坐标为3 3(0,0) 和 2 ，2 .(2) 曲线 C 1 的极坐标方程为 θ＝ α( ρ∈ R ， ρ≠0) ，此中 0≤ α＜π.所以 A 的极坐标为 (2sin α， α) ，B 的极坐标为 (23cos α， α) ．所以 |＝ |2sin－ 2 3cos| ＝ 4 sinπααα－.AB|35π当 α＝ 6 时， | AB|获得最大值，最大值为4.思想升华 在对坐标系与参数方程的考察中，最能表现坐标法的解题优势，灵巧地利用坐标法能够使问题获得简捷的解答．比如，将题设条件中波及的极坐标方程和参数方程等价转变为直角坐标方程，而后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常有的解题方法，对应数学识题求解的“化生为熟”原则，充足表现了转变与化归的数学思想．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，圆 C 的极πx ＝t ，坐标方程为 ρ＝ 22cos( θ＋ 4 ) ，直线 l 的参数方程为y ＝－ 1＋ 2 2t( t 为参数 ) ，直线 l 和圆 C 交于 A ， B 两点， P 是圆 C 上不一样于 A ， B 的随意一点．(1) 求圆心的极坐标；(2) 求△ PAB 面积的最大值．解 (1) 由圆 C 的极坐标方程为ρθπ＝ 2 2cos( ＋4)，得ρ2＝ 22( 22ρcos θ－ 22ρsinθ ) ，x ＝ ρ cos θ， x 2＋ y 2－ 2x ＋ 2y ＝ 0，把y ＝ρ sin代入可得圆 C 的直角坐标方程为θ即 ( x －1) 2＋ ( y ＋1) 2＝ 2.∴圆心坐标为 (1 ，－ 1) ，7π ∴圆心的极坐标为(2， 4) ．(2) 由题意，得直线l的直角坐标方程为2 2x － y － 1＝ 0.|2 2＋ 1－ 1| 2＝2 22 2∴圆心 (1 ，－ 1) 到直线 l的距离 d ＝22 2 ＋－ 13 ，∴ | AB|＝ 2 r － d ＝8 2 1022－＝.93点 P 到直线 lr ＋d ＝ 22 5 2 的距离的最大值为2＋3 ＝3 ，1 2 105 2 10 5 ∴ S max ＝ 2× 3 × 3 ＝9.x ＝ 1－1，2tx ＝ cos θ，1．求直线3 ( t 为参数 ) 被曲线( θ 为参数 ) 所截得的弦y ＝y ＝ 3sinθt2长．解直线方程可化为3x ＋ y － 3＝ 0，22y 曲线方程可化为 x ＋ ＝ 1.y ＝－ 3x ＋ 3，由 2y 2得 x 2－ x ＝ 0，x ＋ 3＝1，∴ x ＝0 或 x ＝ 1.可得交点为 A (0 ， 3) ， B (1,0) ．∴ AB ＝ 1＋ 3＝ 2.∴所截得的弦长为2.2．直线x ＝4＋ at ， ( t 为参数 ) 与圆x ＝ 2＋ 3cos θ， ( θ 为参数 ) 相切，求切线的y ＝bty ＝ 3sin θ倾斜角．解 直线的一般方程为 bx － ay －4b ＝ 0，圆的一般方程为 ( x － 2) 2＋ y 2＝ 3，直线与圆相切，则|2 b －a ·0－ 4b |222圆心 (2,0) 到直线的距离为3 ，进而有 3＝a 2＋b 2，即 3a ＋ 3b ＝ 4b ，∴ b ＝± 3a ，bπ 2π而直线的倾斜角的正切值为tan α＝ a ，∴ tanα＝±3，所以切线的倾斜角为 3或3.23．已知直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程：x ＝ 2 t －2，2( t 为参数 ) ，以直y ＝ 2 t角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系， 求以极点为圆心且与直线 l相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线 l 的直角坐标方程为 x －y ＋ 2＝ 0.∴原点到直线的距离 r ＝2＝ 1.2∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为 ρ＝ 1.4．(2015 ·湖北 ) 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已1知直线 l 的极坐标方程为ρ(sin θ－ 3cos θ) ＝ 0，曲线 C 的参数方程为x ＝ t － t ，1y ＝ t ＋ t( t 为参数 ) ， l 与 C 订交于 A ， B 两点，求 | AB|的长．解 直线 l 的极坐标方程ρ(sin θ－ 3cos θ ) ＝ 0 化为直角坐标方程为3x －y ＝ 0，曲线 C1x ＝ t － ，的参数方程t两式经过平方相减，化为一般方程为y 2 － x 2 ＝ 4，联立1y ＝ t ＋t223 －＝ 0，x ＝－2 ，x ＝ 2 ，x y解得或y 2－ x 2＝ 43 23 2y ＝－ 2y ＝ 2 .所以 A －2 3 2 3 22，－ 2， B 2，.2 2所以 | AB|＝2223 2 3 2 2 ＝2 5.－2－2＋ － 2－ 2x ＝ 2t ，5．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 y ＝ 2t 2( t 为参数 ) ，在以O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2的方程为ρsin(θC＋π 2，求曲线1与曲线2的交点个数．) ＝24CC解曲线 12别为2＝ 2y ， x ＋ y － 4 ＝ 0 ，联 立C ， C 化为一般 方程和 直角坐 标方程分xx 2＝ 2y ，消去 y 得 x 2＋ 2x － 8＝ 0，由于鉴别式>0，所以方程有两个实数解．故曲x ＋y － 4＝ 0，线1与曲线2的交点个数为2.CC6．(2016 ·全国甲卷 ) 在直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 ( x ＋ 6) 2＋ y 2＝ 25.(1) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2) 直线 l 的参数方程是x ＝ t cos α， 与 C 交于 A 、B 两点， | AB | ＝ 10，y ＝ t sin ( t 为参数 ) ， lα求 l 的斜率．解 (1) 由 x ＝ρcos θ， y ＝ ρsin θ 可得圆 C 的极坐标方程 ρ2＋ 12ρcos θ ＋11＝ 0.(2) 在 (1)中成立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝ α( ρ∈ R) ．设 A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋ 12ρcosα＋ 11＝ 0.于是 ρ1＋ ρ2＝－ 12cos α ，ρ1ρ2＝ 11.| AB | ＝| ρ1－ ρ2| ＝ρ1＋ ρ 22－ 4ρ1ρ 2＝ 144cos 2α－ 44.由| AB |＝231510得 cos α＝8， tanα＝± 3 .1515所以 l 的斜率为 3 或－ 3 .1x ＝ 3＋2t ，7．(2015 ·陕西 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为( t 为参数 ) ．以3y ＝ 2 t原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为 ρ＝2 3sin θ.(1) 写出⊙ C 的直角坐标方程；(2) P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．解 (1) 由 ρ ＝2 3sin θ，得 ρ2＝ 2 3ρ sin θ，进而有 x 2＋ y 2＝ 2 3y ，所以 x 2＋ ( y － 3) 2＝ 3.1 3(2) 设 P 3＋ 2t ， 2 t ，又 C (0 ， 3) ，则 ＝ 3＋ t ＋ 3＝＋ ，| PC|1 2 2 t －2t 21223故当 t ＝ 0 时， PC 获得最小值，此时， P 点的直角坐标为 (3,0) ．8．(2016 ·全国乙卷 ) 在直角坐标系xOyx＝ a cos t，(t中，曲线 1 的参数方程为为参Cy＝1＋ a sin t数，a >0) ．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2：ρ＝ 4cosθ.C(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为θ＝α0，此中α0知足tanα0＝2，若曲线 C1与 C2的公共点都在C上，求 .3解(1) 消去参数t获得C1的一般方程x2＋ ( y－1) 2＝a2，C1是以 (0,1)为圆心， a 为半径的圆．将x ＝ρcosθ，＝ρsinθ代入 1 的一般方程中，获得 1 的极坐标方程为ρ2－ 2ρsinθy C C＋1－a2＝ 0.(2)曲线 C1， C2的公共点的极坐标知足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝ 0，进而 1－a2＝ 0，解得a＝－ 1( 舍去 ) ，a＝1.a＝1时，极点也为C1， C2的公共点，在C3上．所以 a＝1.1x＝1＋2t ，9．(2016 ·江苏 ) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 l 的参数方程为( t3y＝2t ，x＝cosθ，为参数 ) ，椭圆C的参数方程为( θ为参数 ) ．设直线l与椭圆C订交于A，By＝2sinθ两点，求线段 |的长．AB|解直线 l 的方程化为一般方程为3x－y－3＝ 0，22y椭圆 C的方程化为一般方程为x ＋＝1，43x－y－ 3＝ 0，联立方程组得x 2y2＋4＝1，1x1＝1x2＝－，7解得或83 y1＝0y2＝－7，∴A(1,0)， B －1，－8 3. 77故 | AB|＝128 3 216 1＋7＋0＋7＝7 .10．(2016 ·全国丙卷 ) 在直角坐标系x＝3cosα ，xOy中，曲线 C1的参数方程为( αy＝sinα为参数 ) ，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线 2 的极坐标方C程为ρsinπ＝ 2 2.θ＋4(1)写出 C1的一般方程和 C2的直角坐标系方程；(2)设点P 在 1 上，点Q在2上，求|| 的最小值及此时P的直角坐标．C C PQ解1x22＝1.2x＋ y－4＝0.(1) C 的一般方程为＋ C 的直角坐标方程为3(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cosα，sinα)．由于 C2是直线，所以| PQ|的最小值即为P 到| 3cos α＋sinα－4|d(α)＝＝2sin2C2距离πα＋3d(α)的最小值，－ 2 .当且仅当α＝2kπ＋π6 ( k∈ Z) 时，d( α) 获得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为3 1 2，2 .。

第2课时 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．解 将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k的值．解 直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2. ∵l 1与l 2垂直，∴(－k2)×(－2)＝－1⇒k ＝－1.3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，求|PF|的值．解 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.4．(2016·北京东城区模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t(t为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长． 解 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1， 直线l 的普通方程为3x －4y ＋3＝0. 圆心到直线的距离d ＝|3×0－4×0＋3|32＋42＝35. ∴直线l 与曲线C 相交所截的弦长为21－352＝85.题型一 参数方程与普通方程的互化例1 (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB|的长．解 (1)圆的半径为12，记圆心为C (12，0)，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，曲线C 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝ 2.思维升华 消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3. 题型二 参数方程的应用 例2 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.思维升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标．解 曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)． 曲线C 2的普通方程为x －y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋y 2＝x ≥0，y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1)． 题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标； (2)求△PAB 面积的最大值． 解 (1)由圆C 的极坐标方程为 ρ＝22cos(θ＋π4)，得ρ2＝22(22ρcos θ－22ρsin θ)， 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ∴圆心坐标为(1，－1)， ∴圆心的极坐标为(2，7π4)．(2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0.∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|22＋－2＝223，∴|AB|＝2r 2－d 2＝22－89＝2103. 点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523，∴S max ＝12×2103×523＝1059.1．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝32t (t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长．解 直线方程可化为3x ＋y －3＝0， 曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0，∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)． ∴AB ＝1＋3＝2. ∴所截得的弦长为2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．解 直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.3．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. ∴原点到直线的距离r ＝22＝1.∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB|的长．解 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322. 所以|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数． 解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.6．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 7．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．8．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.9．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段|AB|的长．解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－837.故|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167.10．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.。

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坐标系与参数方程第1课坐标系[过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′(x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．2．极坐标系的概念（1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角:以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ。

③极坐标：有序数对（ρ，θ）叫做点M的极坐标，记作M（ρ，θ）．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x，y)，极坐标是（ρ，θ），则它们之间的关系为：错误!错误!4．常见曲线的极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程ρ＝r(0≤θ〈2π）圆心为错误!，半径为r的圆的极坐标方程ρ＝2r sin θ（0≤θ<π）过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a，0),与极轴垂直的直线的极坐标ρcos θ＝a错误!方程过点错误!，与极轴平行的直线的极坐标方ρsin θ＝a(0〈θ〈π)程1．点P的直角坐标为(1，－错误!)，则点P的极坐标为________．解析:因为点P（1，－错误!)在第四象限,与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－错误!，所以点P的极坐标为错误!。

第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程考点一 极坐标与直角坐标的互化例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 3，－52. (2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6. 因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6方法引航](1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π 解析：选C.因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3. 答案：3考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1. 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4， 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程考点一 参数方程与普通方程的互化及应用例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12， 记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．方法引航] 1.由普通方程求参数方程，要根据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到普通方程的思路是消参，消去参数的方法要视情况而定，一般有三种情况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参；(2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，r ＝12.设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ， y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos α，y4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1.而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点．考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用例2] (1)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2)(2016·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的普通方程f (x ，y )＝0再应用.如果直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2017·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9.所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根， 则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4(cos α－sin α)2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4＝27.所以|P A |＋|PB |的最小值为27.高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同． tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为x 24＋y 2＝1. 当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。

高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程学案文含解析新人教A 版选修440729156第二节 参数方程2019考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )。

①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．直线的参数方程过定点P 0(x 0，y 0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则参数t 的几何意义是有向线段P 0P →的数量。

3．圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r ，以圆心为顶点且与x 轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)α∈[0,2π)。

4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)θ∈[0,2π)。

1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围。

2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离。

一、走进教材1．(选修4－4P 26T 4改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________。