下载文档原格式
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。
在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、生物学等。
本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。
一、常系数二阶线性偏微分方程常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二阶线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过特征方程法求解。
二、非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过格林函数法求解。
三、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。
它们可以写成以下形式：$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程在物理学中有广泛的应用，如热传导方程和电场方程等。
四、双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac > 0$，即判别式大于零的方程。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),(),(≠y x D D ηξ化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
二阶线性偏微分方程的分类与小结第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结一两个自变量的二阶线性方程1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成«Skip Record If...»①它关于未知函数«Skip Record If...»及其一、二阶偏导数都是线性的，其中«Skip Record If...»都是自变量«Skip Record If...»的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域«Skip Record If...»内都连续，而且«Skip Record If...»不全为0 。
设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»内给定的一点，考虑在«Skip Record If...»的领域内对方程进行简化。
取自变量变换«Skip Record If...»,«Skip Record If...»其中它们具有二连续偏导数，而且在«Skip Record If...»处的雅可比行列式。
«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»根据隐函数存在定理，在«Skip Record If...»领域内存在逆变换,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»将代入①使其变为«Skip Record If...»经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以«Skip Record If...»不全为0。
并可验证«Skip Record If...»这表明，在可逆变换下«Skip Record If...»与«Skip Record If...»保持相同的正负号。
定理在«Skip Record If...»的领域内，不为常数的函数«Skip Record If...»是偏微分方程«Skip Record If...»之解的充分必要条件是：«Skip Record If...»是常微分方程的«Skip Record If...»通解。
2 方程的类型及其标准形式根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。
为此将特征方程分解成两个方程：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(1)若在«Skip Record If...»的邻域内«Skip RecordIf...»时，方程可以化为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，该式称为双曲线方程的标准形式，其中«Skip Record If...»是自变量«Skip RecordIf...»的已知函数。
(2)若«Skip Record If...»的邻域内«Skip RecordIf...»时，可将方程简化成«Skip Record If...»，该式称为抛物型方程的标准形式，其中«Skip RecordIf...»是自变量«Skip Record If...»的已知函数。
(3)若«Skip Record If...»的邻域内«Skip RecordIf...»时，可将方程简化成«Skip Record If...»，该式称为椭圆型方程的标准形式，其中«Skip RecordIf...»是自变量«Skip Record If...»的已知函数。
总之，根据«Skip Record If...»的正负号能将«Skip Record If...»«Skip Record If...»简化成三种标准形式。
定义若在区域«Skip Record If...»中«Skip Record If...»点处满足«Skip Record If...»(或是=0，或是<0)，则称方程«Skip Record If...»«Skip Record If...»在该点«Skip Record If...»处是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。
二«Skip Record If...»个自变量的二阶线性方程1 方程的分类«Skip Record If...»个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成«Skip Record If...»①其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都是自变量«Skip Record If...»的已知函数，假设它们在«Skip Record If...»维空间中某一区域«Skip Record If...»内连续，而且不全为0。
在区域«Skip Record If...»内某点«Skip Record If...»处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»②其中«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»是«Skip Record If...»阶对称矩阵。
定义2 如果在点«Skip Record If...»的二次型②为非退化且是不定的，即它恰有«Skip Record If...»个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程①在点«Skip Record If...»是双曲线型。
如果其中«Skip Record If...»个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点«Skip Record If...»是狭义双曲线型的。
如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点«Skip Record If...»是超双曲线型的。
定义3 如果在点«Skip Record If...»的二次型②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程①在点«Skip Record If...»是抛物型。
如果只有一个零特征值，而另外«Skip Record If...»个非零特征值同号，则称方程在点«Skip Record If...»是狭义抛物型的。
如果是其它有零特征值的情形，则称方程在点«Skip Record If...»是广义抛物型的。
定义4 如果在点«Skip Record If...»的二次型②为正定或负定的，即它恰有«Skip Record If...»个同号的非零特征值，则称方程在«Skip Record If...»点是椭圆型的。
2 方程的简化当方程①中二阶偏导数项的系数«Skip Record If...»全是常数时，相应的二次型②是常系数实二次型。
根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是可逆矩阵，将二次型«Skip Record If...»化成标准形«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»==«Skip Record If...»=«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»=1或-1或0。
可取转置矩阵«Skip Record If...»构造自变量可逆线性变换«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...»就能将在区域«Skip Record If...»内方程①简化为«Skip Record If...»+«Skip Record If...»。
