线性代数与解析几何 序言

线性代数结课论文论文题目：浅谈线性代数与空间解析几何学员姓名：娃哈哈学号：9090980学院：xxx专业班级：xxx指导老师：xxx二零一一年十二月摘要：在我们的学习过程中，可以发现线性代数和空间解析几何中有很多相似之处。

确切的说是线性代数中的一些理论是从空间解析几何中发展和改进而来的。

比如说通过空间解析几何中多元一次方程组的解法线性代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。

也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。

又比如在线性代数中先后提出来线性空间、欧氏空间。

线性空间也将向量做了推广，使向量抽象化。

欧氏空间也在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。

总体来说线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的。

可以更确切一点的说是空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广和并使之抽象化。

关键词：线性代数解析几何欧氏空间联系促进ABSTRACTIn our study process, we can find linear algebra and space analytic geometry have much in common. Exactly linear algebra theory from some of the space analytic geometry in development and improvement. For example, by space analytic geometry in a multiple linear algebra equations solution method proposed determinants, make the determinant with geometric meaning, at the same time, is the determinant direct. Also through the determinants, multiple equations solution more convenient, fast. For instance in linear algebra and linear space, has brought out the Euclidean space. The linear space will also vector do promotion, make vector abstraction. Euclidean space in linear space is put forward based on the dot product, make the geometry of space vector of the some measure properties of promotion, and so on.Key words：Linear Algebra; Analytic Geometry; Euclidean Space; Contact;Promotion一.引言在十七世纪, 笛卡尔及费马在几何空间中引入了坐标系, 从而在几何与代数间建立了一座桥梁, 用代数方法解决空间的几何问题, 产生了解析几何. 解析几何的产生, 可以说是数学发展史上的一次飞跃.恩格斯曾经这样评价[1]: 数学中的转折点是笛卡尔的变数, 有了变数, 运动进入了数学, 有了变数, 辩证法进入了数学, 有了变数, 微分和积分也就成了必要的了.从代数与几何的发展历史来看，线性代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。

《线性代数与解析几何》课程教学大纲一,课程基本信息二,课程简介《工程数学基本(1)(代数与几何)》是大学阶段最重要地数学基本课程之一。

本课程依据教育部数学基本课程教学指导委员会对工科院校相关课程教学地基本要求开展教学。

课程着重介绍线性代数与空间解析几何地基本知识,包含行列式,矩阵与线性方程组地理论,二次型,向量代数,空间坐标系,平面与空间直线地方程,常见二次曲面地标准方程和其图形基本知识,并以矩阵为基本工具,围绕矩阵间地价,相似,合同关系,介绍线性代数地基本理论与基本方法。

作为大学生数学知识结构地重要组成部分,本课程着重培养学生严密地逻辑推理能力与分析问题,解决问题地能力,为今后学习其它学科知识打下基本;同时,该课程地理论与方法在科学研究与工程技术领域都有着广泛地应用;此外,该课程对于培养学生地抽象思维能力,空间想象能力也具有重要地作用。

考虑到线性代数与空间解析几何地内在联系,将线性代数与空间解析几何作为一门课程来教学,但基本要求地具体内容还是相对独立地,并且不要求所有专业都遵循这一模式。

三,课程教学目标线性代数与空间解析几何是高学校非数学类专业理工科类本科生地重要工程数学课程之一,是学生必修地重要基本理论课。

通过该课程地学习,应使学生获得向量代数与空间解析几何,线性代数方面地基本知识,基本概念,基本理论,基本方法,并接受基本运算技能地训练,为今后学习相关后继课程奠定必要地数学基本,培养学生自主学习,综合运用所学知识分析与解决问题地能力。

此外,在该课程中开设与理论教学相配套地数学实验,培养学生利用数学软件解决实际问题地能力。

（一）具体目标目标1：掌握行列式,矩阵与线性方程组地理论,二次型,向量代数,空间坐标系,平面与空间直线地方程,常见二次曲面地标准方程和其图形基本知识,掌握矩阵间地价,相似,合同关系线性代数地基本理论与基本方法,为今后学习相关后继课程奠定必要地数学基本。

目标2：培养学生严密地逻辑推理能力,抽象思维能力与空间想象能力能以向量代数矩阵为基本工具,具有一定地分析与解决问题地能力目标3：了解数学软件Matlab地基本功能与使用方法,具备利用该软件求解线性代数与解析几何地基本计算与绘图地能力。

《线性代数与解析几何》课程教学大纲课程性质：学科基础课英文名称：Geometry and Algebra课程代码：080210学时：56 （讲课时数：52 课内实践时数：4 ）学分：3.5适用专业：理工类本科各专业一、课程教学基本要求《线性代数与解析几何》课是我校理工类本科各专业必修的、重要的基础理论课，通过本课程的学习，要使学生较系统地理解和掌握有关的基本概念、基本理论、基本方法。

在讲解本课程内容的同时通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、空间想象能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，也为后继课打下良好的数学基础。

二、课程教学大纲说明在分级教学中，本课程是与《高等数学A》相配套的系列课程。

其内容是以往高等数学中空间解析几何的内容与线性代数向量部分有机的结合。

几何向量就是有限维向量空间的实际背景，是抽象的线性代数理论的具体解释。

这种安排使线性代数内容更加丰富、具体，也缩减了课时，这是数学课的一项改革。

大纲对概念与基本技能的要求与《高等数学A》课程的要求一致，这里不在重复。

第七章内容不在基本要求之列，视学生情况，由教师决定讲与不讲。

三、各章教学内容结构与具体要求（一）第一章彳亍列式1、教学目的和要求：目的：使学生掌握行列式的概念与性质、计算方法。

要求：（1）理解行列式的概念，理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念。

（2）掌握行列式的性质，按行、列展开定理，Cramer法则。

2、教学内容与要点：内容：彳亍列式及性质；计算方法；Cramer法则。

要点：行列式的定义与性质。

（二）第二章矩阵1、教学目的与要求：目的：使学生掌握矩阵代数的内容、矩阵的初等变换、秩的概念。

要求：（1）理解矩阵的概念，熟悉单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念及其性质。

（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、以及它们的运算规律。

（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的充要条件与计算方法；掌握伴随矩阵的构成与性质。

《线性代数与空间解析几何》课程教学大纲课程编号：11100340适用专业：理、工、经、管各专业学时数：54 学分数： 4 开课学期：第一学期先修课程：执笔者：蒲和平编写日期：2010.1 审核人（教学副院长）：高建一、课程性质和目标授课对象：本科一年级学生课程类别：公共基础课教学目标：《线性代数与空间解析几何》是理工科大学的基础理论课，是我校培养方案中各专业必修的公共基础课程。

由于线性问題广泛存在于科学技术的各个领域, 其些非线性问題在一定条件下可以转化为线性问題, 尤其是计算机飞速发展的今天, 解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等问题已经成为科学技术人员经常遇到的问題, 因此，本课程所介绍的内容和方法，广泛应用于各个学科，这就要求学生具备有关本课程的基本理论知识，并熟练地掌握它的方法。

通过本课程的学习使学生获得本课程的基本理论和基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、熟练运算能力、空间想象能力、创造性思维能力和自学能力，以及综合运用所学知识解决一些实际问题的能力，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

二、课程内容安排和要求（一）教学内容、要求及教学方法第一章矩阵及其初等变换1.教学内容：（1）矩阵及其运算（2）高斯消元法与矩阵的初等变换（3）逆矩阵（4）分块矩阵2. 教学要求：（1）理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。

（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解矩阵多项式的概念。

（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质。

（4）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。

（5）了解分块矩阵及其运算。

第二章行列式1. 教学内容：（1）n阶行列式的定义（2）行列式的性质与计算（3）Laplace展开定理（4）克拉默法则（5）矩阵的秩2. 教学要求：(1) 了解行列式的概念。

1. 线性代数发展简史线性代数是高等代数的一大分支。

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。

在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意, 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。

向量的概念, 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合, 然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。

向量用于梯度, 散度, 旋度就更有说服力。

同样, 行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx 在数学上不过是一个符号, 表示包括△y/△x的极限的长式子, 但导数本身是一个强有力的概念, 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。

因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。

然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“ 解行列式问题的方法” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。

欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz ，1693 年）。

1750 年克莱姆（Cramer ）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer 克莱姆法则）。

1764 年, Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。

对给定了含n 个未知量的n 个齐次线性方程, Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。

Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述( 即把行列' 式理论与线性方程组求解相分离) 的人。

英文名称：Linear Algebra and Geometry I课程编号：MATH 1037课内学时：66（理论学时：62，上机学时：4）学分：4适用对象：电气、电信、软件、理学、钱学森班等专业先修课程：高等数学使用教材及参考书：(1) 魏战线、李继成编,《线性代数与解析几何》二版，高等教育出版社，2010年。

(2) 李继成编，《数学实验》，高等教育出版社，2006年。

(3) 魏战线编,《线性代数辅导与典型题解析》,西安交大出版社, 2001年。

一、课程性质和目的性质：本课程是理工科院校各专业教学计划中的一门基础理论课。

本课程力求将线性代数与解析几何融为一体，与数学分析的内容相互渗透，并为数学分析的多元部分提供必要的代数与几何基础。

目的：通过本课程的教学，要使学生系统地获取线性代数与空间解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，提高运用所学知识分析和解决问题的能力，并为学习相关课程及进一步学习现代数学奠定必要的数学基础。

课堂教学中，注重将数学建模思想融入理论课教学，培养学生应用线性代数课程知识解决实际问题的应用能力和创新能力，加强应用数学软件进行科学计算能力的培养。

二、课程内容简介本课程的内容主要包括：行列式、矩阵、几何向量及其应用、维向量与线性方程组、线性空间与欧氏空间、特征值与特征向量、二次曲面与二次型、线性变换、Matlab数学软件数值实验等。

同时注重培养学生利用本门课程内容进行数学建模和科学计算能力。

三、教学基本要求通过教学，使得学生系统地掌握行列式、矩阵、几何向量及其应用、n维向量与线性方程组、线性空间与欧氏空间(初步)、特征值与特征向量、二次曲面与二次型、线性变换(初步)的基本知识、基本理论与基本方法，具有较熟练的运算能力，一定的逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力，并且能运用所获取的知识去分析和解决问题。

第1章、行列式了解行列式的定义和性质, 掌握2、3阶行列式的计算, 会计算较简单的n阶行列式,掌握Cramer法则。

《线性代数与解析几何》课程教学大纲课程编号：20811824总学时数：64（理论64）总学分数：4课程性质：学科基础课程适用专业：工程力学一、课程的任务和基本要求：本课程的主要任务是介绍行列式和矩阵的基础概念、基本性质及其运算，并以行列式和矩阵为工具，介绍齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件及如何求解线性方程；介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求矩阵的特征值与特征向量的方法，并利用矩阵特征值与特征向量研究二次型的性质和如何将二次型化为标准形，简单介绍线性空间与线性变换的基本概念。

为其它课程打下一定的代数基础。

空间解析几何是一门理工科学生必须掌握的基础理论课程，本课程主要以向量为工具，讨论空间的平面、直线、曲面与曲线的特性，介绍并求平面、直线、曲面与曲线的方程。

二、基本内容和要求：（一）行列式基本内容：1、行列式的定义与性质2、行列式的计算3、Cramer法则基本要求：理解n阶行列式的基本概念，熟悉n阶行列式基本性质，掌握行列式的基本计算方法，会计算简单的n阶行列式。

掌握Cramer法则及其应用。

（二）矩阵基本内容：1、矩阵的定义与运算、逆矩阵的概念与计算、分块矩阵2、矩阵的初等变换与初等矩阵、矩阵的秩基本要求：了解矩阵的概念，掌握矩阵的加法、数乘矩阵及矩阵的乘法运算。

并掌握矩阵运算与实数运算的区别。

理解逆矩阵的概念并会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵。

理解分块矩阵的概念，会分块矩阵的运算。

理解矩阵的初等变换的概念，掌握矩阵的初等变换，并会用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。

理解矩阵秩的概念，并会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。

（三）向量空间基本内容：1、n维向量的概念，n维向量的概念的线性相关与线性无关的概念2、向量组的极大线性无关组与向量组的秩3、n维向量的空间及向量空间的基、维数、向量的坐标基本要求：理解n维向量的概念，理解向量组的线性相关与线性无关及向量组的极大线性无关组的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的秩和向量组的极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组表示。

线性代数与空间解析几何(Linear Algebra and Analytic Geometry)课程教学大纲一、课程编号：040429二、课程类型：必修课课程学时：48适用专业：理工科（除信息与计算科学外）各专业先修课程：中学数学三、课程性质与任务线性代数与空间解析几何是高等工科院校的一门重要的基础理论课，也是代数学中应用最广泛的部分。

实际上它广泛应用于数学的其他分支以及物理化工、工程技术、社会科学等各个领域，特别是近若干年来，随着各种科学量化研究的深入以及计算机的普遍应用，对于线性代数知识的应用需求日益增长，这就要求学生必须具备线性代数和解析几何的各种方法。

四、教学主要内容及学时分配1、向量代数与空间解析几何（6学时）；2、行列式（5学时）；3、矩阵；4、n维向量（9学时）；5、线性方程组（5学时）；6、矩阵的特征值与特征向量（7学时）；7、二次型（6学时）；8、线性空间和线性变换（3学时）。

五、基本要求和基本内容1、向量代数与空间解析几何理解向量概念以及向量的加法、减法和向量与数的乘法（线性运算），了解向量在空间有向线段上的投影、空间直角坐标系、两点间的距离公式与线段的定比分点公式、向量的分解、基本单位向量、向量的坐标、方向余弦与方向数、夹角。

理解两向量的数量积和两向量的向量积，了解两向量垂直的条件和两向量平行的条件，了解曲面方程的概念、球面方程、旋转面（包括旋转轴为坐标轴的圆锥面）方程、母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线方程的概念、空间曲线的参数方程和空间曲线在坐标平面上的投影曲线及其方程，掌握平面的点法式、一般式和截距式方程以及空间直线的参数式、一般式和对称式方程，了解两平面的夹角和平行、垂直的条件、两直线的夹角和平行、垂直的条件、直线与平面的夹角、交点和互相平行、垂直的条件。

2、行列式知道n阶排列和它的逆序数，理解n阶行列式的定义。

掌握行列式的性质，以及行列式的基本计算方法，知道拉普拉斯展开定理。

解析几何序言课解析几何序言课今天非常有幸来听课，徐老师非常勇敢的选择了《解析几何序言课》这个主题，由于前一阶段我们已经参加了很多次关于解析几何序言课的听课和评课活动，再来看这节课，有些记忆犹新的感觉，序言解析几何课到底要解决什么问题呢？我想主要是三个方面吧，什么是解析几何？为什么学习解析几何？怎样学习解析几何？一，什么是解析几何？解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。

平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。

17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。

在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。

解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的`一次重大突破。

高中课本上的解析几何主要解决的是代数和几何的对应关系。

上课的老师借助了伟大的数学家笛卡尔的“苍蝇”故事引入了点和坐标的关系，清晰、明确、直接的切入正题，及不累赘也不突兀，非常自然，水到渠成。

徐老师还用了综合几何法、向量几何法和解析几何法的比较来突显解析几何的优越性，以及解析几何不同于其他几何的特质。

二，为什么学习解析几何？学习解析几何的目的是什么，这是一直困扰着学生的问题，能否不学习这个教学内容吗？国外的教材就有很多是没有这个教学内容的。

但我个人的观点是：不需要每位学生学习这个内容，但是将来要研究理工科的学生还是需要掌握的，解析几何主要是一种代数和几何的切换和链接，从两个角度来诠释一个系统，采用了两种研究方法，如果学生都能掌握好的话，看问题会更深刻，更全面。

几何发展的需要也推动了解析几何的发展，用代数的方法也可以解决很多纯几何解决起来比较累的问题，这样大大简化了数学研究者的工作。