(一)模糊控制的发展历史
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模糊控制发展和应用1、引言模糊控制理论是智能控制理论的一种。
模糊控制早在1965年由美国著名的控制专家扎德教授首先提出模糊集理论,是建立数学模型设计控制器的新型理论[1]。
在1974年Mamdani 成功地将模糊理论应用于锅炉和汽轮机的过程控制,自此模糊控制迅速发展并得到广泛应用,就是模糊控制算法[2]。
它主要是用来解决用人的思维模拟无法构造出数学模型的对象进行控制。
目前,模糊控制已成为智能控制的一个主要分支。
模糊控制的发展在控制领域分为三个阶段。
第一阶段(1965~1974)是萌芽阶段主要是模糊数学的发展成型阶段,主要代表人物是扎德和Mamdani。
第二阶段(1974~1979)是简单的模糊控制器的设计和发展阶段其自适应和鲁棒性能力有限。
第三阶段(1979~至今)是高新能模糊控制器发展阶段是因简单控制器应用的不足而发展起来的,并提出了许多高性能的模糊控制策略[3]。
给模糊控制器增加了学习功能使其适应控制对象的变化,不断获取控制对象新的信息,提高控制性能。
特别是1979年由T.J.Proeky 和E.H.Maodani共同提出给模糊控制器增加学习功能,使之能在控制过程中不断获取新的信息[4]。
并对控制量作适当的调整,系统性能大为改善。
2、模糊控制理论的应用2.1、模糊控制理论在锅炉方面的应用Mamdani将模糊理论应用于锅炉和汽轮机的过程控制,自此模糊控制迅速发展,因此本文首先介绍锅炉的模糊控制。
锅炉是利用燃料燃烧释放出的热能或其他能量将中间载热体加热到一定参数的设备[5]。
锅炉是国民经济中重要的热能供应设备。
电力、机械、冶金、化工、纺织、造纸、食品等行业,以及工业和民用采暖都需要锅炉供给大量的热能。
因此对于锅炉的安全使用以及科学控制对工业生产,国民生活方面具有重大意义。
近年来我听到不少关于锅炉爆炸的消息,锅炉爆炸是由于其它原因导致锅炉承压负荷过大造成的瞬间能量释放现象,锅炉缺水、水垢过多、压力过大等情况都会造成锅炉爆炸,一旦出现锅炉爆炸事故,对周围建筑、人员等损伤极大[6]。
模糊控制理论及应用模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法,它能够应对现实世界的不确定性和模糊性。
本文将介绍模糊控制的基本原理、应用领域以及未来的发展趋势。
一、模糊控制的基本原理模糊控制的基本原理是基于模糊逻辑的推理和模糊集合的运算。
在传统的控制理论中,输入和输出之间的关系是通过精确的数学模型描述的,而在模糊控制中,输入和输出之间的关系是通过模糊规则来描述的。
模糊规则由模糊的IF-THEN语句组成,模糊推理通过模糊规则进行,从而得到输出的模糊集合。
最后,通过去模糊化操作将模糊集合转化为具体的输出值。
二、模糊控制的应用领域模糊控制具有广泛的应用领域,包括自动化控制、机器人控制、交通控制、电力系统、工业过程控制等。
1. 自动化控制:模糊控制在自动化控制领域中起到了重要作用。
它可以处理一些非线性和模糊性较强的系统,使系统更加稳定和鲁棒。
2. 机器人控制:在机器人控制领域,模糊控制可以处理环境的不确定性和模糊性。
通过模糊控制,机器人可以对复杂的环境做出智能响应。
3. 交通控制:模糊控制在交通控制领域中有重要的应用。
通过模糊控制,交通信号可以根据实际情况进行动态调整,提高交通的效率和安全性。
4. 电力系统:在电力系统中,模糊控制可以应对电力系统的不确定性和复杂性。
通过模糊控制,电力系统可以实现优化运行,提高供电的可靠性。
5. 工业过程控制:在工业生产中,许多过程具有非线性和不确定性特点。
模糊控制可以应对这些问题,提高生产过程的稳定性和质量。
三、模糊控制的发展趋势随着人工智能技术的发展,模糊控制也在不断演进和创新。
未来的发展趋势主要体现在以下几个方面:1. 混合控制:将模糊控制与其他控制方法相结合,形成混合控制方法。
通过混合控制,可以充分发挥各种控制方法的优势,提高系统的性能。
2. 智能化:利用人工智能技术,使模糊控制系统更加智能化。
例如,引入神经网络等技术,提高模糊控制系统的学习和适应能力。
3. 自适应控制:模糊控制可以根据系统的变化自适应地调整模糊规则和参数。
控制理论发展历史综述一:20世纪40年代末-50年代的经典控制理论时期,着重解决单输入单输出系统的控制问题,主要数学工具是微分方程、拉氏变换、传递函数;主要方法是时域法、频域法、根轨迹法;主要问题是系统的稳、准、快.二:20世纪60年代的现代控制理论时期,着重解决多输入多输出系统的控制问题,主要数学工具是以此为峰方程组、矩阵论、状态空间法主要方法是变分法、极大值原理、动态规划理论;重点是最优控制、随即控制、自适应控制;核心控制装置是电子计算机。
三:20世纪70年代之后的先进控制理时期,先进控制理论是现代控制理论的发展和延伸。
先进控制理论内容丰富、涵盖面最广,包括自适应控制、鲁棒控制、模糊控制、人工神经网络控制等。
经典控制理论经典控制理论适用于单输入、单输出的线性定常(参数不随时间而变)系统.发展过程1.原始阶段中国,两千年前我国发明的指南车:一种开环自动调节系统,它利用差速齿轮原理,利用齿轮传动系统,根据车轮的转动,由车上木人指示方向.不论车子转向何方,木人的手始终指向南方,“车虽回运而手常指南”.2.起步阶段人类社会发展,有一个点把人类社会的发展分成两大部分,那就是工业革命。
18世纪中叶之前,不管你什么怎么划分人类社会也好(农业牧业手工业),社会的发展始终离不开人力,就是必须得有人亲自去做.18世纪中叶之后,机器的出现,使得以机器取代了人力,所以称之为革命。
然后机器的出现变革了人类的整个历史,直至现代社会文明的如此进步.工业革命的开始的标志为哈格里夫斯发明的珍妮纺纱机,而工业革命的标志是瓦特改良蒸汽机,为什么扯这么多?如果机器不能控制,那和工具又有什么区别?所以工业革命的标志是瓦特改良蒸汽机.钱学森也在最新一版的工程控制论中提到技术革命。
1769年,控制思想首次应用于工业控制的是瓦特,发明用来控制蒸汽机转速的飞球离心控制器。
以后人们曾经试图改善调速器的准确性,却常常导致系统产生振荡。
1868年以前,这一百年来,自动控制装置的设计还出于“直觉"阶段,没有系统的理论指导,因此在控制系统的各项性能(稳、准、快)的协调方面经常出现问题.实践中出现的问题,促使科学家们从理论上进行探索研究。
模糊控制理论的基础和发展历程模糊控制理论是一种基于模糊逻辑和模糊集合的控制方法,它最早由日本学者山中伸彦于1965年提出,随后发展成熟并得到广泛应用。
模糊控制理论在现代控制领域占据重要地位,本文将探讨其基础和发展历程。
一、模糊控制理论的基础模糊控制理论的基础是模糊逻辑和模糊集合。
模糊逻辑是模糊控制理论的核心基础,它扩展了传统二进制逻辑,允许不确定性的表达和推理。
模糊逻辑中的概念和推理规则基于模糊集合的理论,模糊集合是对现实世界中模糊、不确定性和模糊性的数学上的描述。
二、模糊控制理论的发展历程1. 初期研究(1965-1980年)最早的模糊控制理论由山中伸彦提出,并于1965年发表在《计算机硬件及其应用》杂志上。
他提出了模糊集合和模糊逻辑的基本概念,并应用于水蒸气发生器的控制。
随后,日本学者田中秀夫在1969年进一步发展了模糊控制的理论框架和数学推理方法。
2. 理论完善与应用推广(1980-1990年)在上世纪八九十年代,模糊控制理论得到了进一步的完善和推广。
日本学者松井秀树于1985年提出了基于模糊推理的模糊PID控制器,极大地推动了模糊控制在实际应用中的发展。
同时,国外学者也开始关注和研究模糊控制理论,如美国学者Ebrahim Mamdani和Jerome H. Friedman等人。
3. 理论拓展与应用拓宽(1990年至今)进入21世纪,随着计算机技术和人工智能的发展,模糊控制理论得到了进一步的拓展和应用拓宽。
研究者们提出了各种新的模糊控制方法和算法,如模糊神经网络控制、模糊遗传算法控制等。
同时,模糊控制理论在各个领域得到了广泛应用,如工业控制、交通管理、机器人控制等。
总结模糊控制理论基于模糊逻辑和模糊集合,提供了一种处理不确定性和模糊性问题的有效方法。
经过多年的发展和完善,模糊控制理论在现代控制领域得到了广泛应用。
未来,随着人工智能和自动化技术的不断发展,模糊控制理论将继续发挥重要作用,并不断拓展其应用范围和理论框架。
1.模糊控制的相关理论和概念1.1 模糊控制的发展模糊控制理论是在美国加州伯克利大学的L. A.Zadeh教授于1965年建立的模糊集合论的数学基础上发展起来的。
之后的几年间Zadeh又提出了模糊算法、模糊决策、模糊排序、语言变量和模糊IF-THEN规则等理论,为模糊理论的发展奠定了基础。
1975年, Mamdan和Assilian创立了模糊控制器的基本框架,并用于控制蒸汽机。
1978年,Holmblad和Ostergaard为整个工业过程开发出了第一个模糊控制器——模糊水泥窑控制器。
20世纪80年代,模糊控制开始在工业中得到比较广泛的应用,日本仙台地铁模糊控制系统的成功应用引起了模糊领域的一场巨变。
到20世纪90年代初,市场上已经出现了大量的模糊消费产品。
近30 年来, 因其不依赖于控制对象的数学模型、鲁棒性好、简单实用等优点, 模糊控制已广泛地应用到图像识别、语言处理、自动控制、故障诊断、信息检索、地震研究、环境预测、楼宇自动化等学科和领域, 并且渗透到社会科学和自然科学许多分支中去, 在理论和实际运用上都取得了引人注目的成果。
1.2 模糊控制的一些相关概念用隶属度法来定义论域U中的集合A,引入了集合A的0-1隶属度函数,用A(x) 表示,它满足:A(x)用0-1之间的数来表示x属于集合A的程度,集合A等价与它的隶属度函数A(x)模糊系统是一种基于知识或基于规则的系统。
它的核心就是由所谓的IF-THEN规则所组成的知识库。
一个模糊的IF-THEN规则就是一个用连续隶属度函数对所描述的某些句子所做的IF-THEN形式的陈述。
例如:如果一辆汽车的速度快,则施加给油门的力较小。
这里的“快”和“较小”分别用隶属度函数加以描述。
模糊系统就是通过组合IF-THEN规则构成的。
构造一个模糊系统的出发点就是要得到一组来自于专家或基于该领域知识的模糊IF-THEN规则,然后将这些规则组合到单一系统中。
不同的模糊系统可采用不用的组合原则。
模糊逻辑与模糊控制算法的发展趋势在当今信息时代,人工智能(AI)和自动化技术的迅速发展已经改变了许多行业的面貌。
模糊逻辑和模糊控制算法作为人工智能的重要分支之一,在处理不确定性和模糊性方面发挥着关键作用。
随着科技的不断进步和需求的变化,模糊逻辑和模糊控制算法也在不断地发展和创新。
本文将探讨模糊逻辑与模糊控制算法的发展趋势,并对其未来发展方向进行展望。
一、模糊逻辑的发展趋势模糊逻辑是一种能够处理不确定性和模糊性的数学逻辑,它可以更好地模拟人类的思维方式和推理过程。
近年来,随着人工智能技术的广泛应用,模糊逻辑在各个领域展现出了其独特的优势。
1. 智能系统中的应用:随着物联网、大数据和云计算等技术的发展,智能系统在各个领域得到了广泛的应用,而模糊逻辑在智能系统中的应用也越来越广泛。
例如,在智能交通系统中,模糊逻辑可以用于交通信号灯控制、车辆自动驾驶等方面,从而提高交通系统的效率和安全性。
2. 自然语言处理方面的研究:模糊逻辑在自然语言处理领域也有着重要的应用。
它可以帮助计算机更好地理解自然语言中的模糊性和不确定性,从而提高自然语言处理系统的准确性和智能化程度。
3. 医疗诊断与治疗:在医疗领域,模糊逻辑可以用于医学诊断和治疗方面,特别是在处理不确定性较大的疾病诊断时,如癌症诊断、糖尿病管理等。
它可以帮助医生更准确地判断疾病的发展趋势和制定个性化治疗方案,从而提高医疗服务的质量和效率。
二、模糊控制算法的发展趋势模糊控制算法是一种基于模糊逻辑原理的控制方法,它可以应用于各种复杂系统的控制和优化。
随着工业自动化和智能化程度的提高,模糊控制算法在工程控制领域具有重要的应用前景。
1. 工业自动化中的应用:在工业生产过程中,模糊控制算法可以用于控制系统的优化和性能提升。
例如,在自动化生产线上,模糊控制算法可以帮助调节生产过程中的温度、压力等参数,从而提高生产效率和产品质量。
2. 机器人技术领域的发展:随着机器人技术的发展,模糊控制算法在机器人控制和路径规划方面也有着广泛的应用。
模糊控制技术发展现状及研究热点一、引言模糊控制技术是一种基于模糊逻辑的控制方法,它能够处理不确定性和模糊性的问题,广泛应用于各个领域。
本文将对模糊控制技术的发展现状进行概述,并介绍当前的研究热点。
二、模糊控制技术的发展现状1. 历史回顾模糊控制技术最早由日本学者松原英利于1973年提出,随后逐渐发展起来。
在过去的几十年中,模糊控制技术在工业控制、机器人、交通系统等领域得到了广泛应用,并取得了显著的成果。
2. 应用领域模糊控制技术被广泛应用于以下几个领域:(1) 工业控制:模糊控制技术在工业自动化中起到了重要的作用,能够处理复杂的控制问题,提高生产效率和产品质量。
(2) 机器人:模糊控制技术在机器人控制中广泛应用,能够使机器人具备自主决策和适应性。
(3) 交通系统:模糊控制技术在交通信号控制、智能交通系统等方面有着广泛的应用,能够提高交通效率和减少交通事故。
(4) 医疗领域:模糊控制技术在医疗设备控制、疾病诊断等方面有着广泛的应用,能够提高医疗效果和患者生活质量。
3. 发展趋势随着科技的不断进步,模糊控制技术也在不断发展。
目前,模糊控制技术的发展趋势主要体现在以下几个方面:(1) 模糊控制算法的改进:研究者们正在不断改进模糊控制算法,提高控制系统的性能和鲁棒性。
(2) 模糊控制与其他技术的结合:模糊控制技术与神经网络、遗传算法等其他智能控制技术的结合,能够进一步提高控制系统的性能。
(3) 模糊控制系统的优化:研究者们正在研究如何优化模糊控制系统的结构和参数,以提高系统的控制性能。
(4) 模糊控制技术在新领域的应用:模糊控制技术正在拓展到新的应用领域,如金融、环境保护等。
三、模糊控制技术的研究热点1. 模糊控制系统的建模与设计(1) 模糊控制系统的建模方法:研究者们正在研究如何准确地建立模糊控制系统的数学模型,以便更好地进行控制系统设计和分析。
(2) 模糊控制系统的设计方法:研究者们正在研究如何设计出性能优良的模糊控制系统,以满足不同应用领域的需求。
(一)模糊控制的发展历史1.模糊集合理论•问题的提出:多变量大系统中复杂性和精确性的矛盾•借鉴:人具有总体粗略、局部精确的认识能力•计算机如何模仿:1965年美国California大学L A Zadeh提出模糊集合理论“Fuzzy Sets”,建立数学新分支2.模糊控制•1972:Zadeh提出“A rationale for Fuzzy Control”•1974:英国伦敦大学E H Mamdani设计模糊控制器,用于锅炉和汽轮机的运行控制•1985:日本在家电实用化•目前:应用到复杂系统、智能系统、人类与社会系统、自然系统,出现专用芯片硬件(二)模糊控制的总体思想1.基于专家知识和经验,模仿人类对于模糊现象进行不精确决策推理的能力,采用数学方法对系统实施控制2.主要特点:1)不依赖精确模型,适于复杂系统与模糊性现象(精确模型很难得到或无模型)2)智能性和自学习性:知识表示、规则、推理是基于专家知识或经验,并通过学习可更新3)形式上利用规则进行推理,同时基于数学方法表示、处理知识→可用VLSI实现硬件芯片3.与专家控制的区别:1)针对模糊现象/精确量2)基于数学方法(模糊数学)/符号方法处理知识(三)模糊控制的数学基础-模糊集合理论1.模糊概念1)“转速很高”等表示事物量的不确定性2)量确定性————经典数学不确定性、随机性——统计数学:概率、数理统计等模糊性——模糊数学:Fuzzy Sets 3)随机性与模糊性的区别:a) 模糊性是人对客观事物认识的不确定性,事物本身确定,如“转速(确定)很高(不确定)”b) 随机性是客观事物本身的不确定性或发生的偶然性,个案偶然无意义,大量个案服从统计规律,掷骰子 4)模糊的必要性:a) 日常人的智能常常是模糊的b) 复杂大系统必须,用模糊性降低精确引起的复杂程度 2.模糊概念的数学表示——模糊集合FS • 概念的表示 内涵法:描述本质属性•外延法:本质属性确定的对象总和,集合法如小于10的正整数 <10,>0,整数 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}• 集合的特点:研究的对象x 要么属于、要么不属于某集合A ,必居其一,集合的边界明确、突变,x ∈A 或 x ∉A •模糊集合FS :对象x 可以既属于又不属于集合A ,亦此亦彼,集合的边界模糊、渐变,x 无绝对的∈A 或∉A ,只有属于A 的程度—隶属度函数μA (x),取值[0,1] • FS 定义:给定论域X ,X 到[0,1]闭区间的任一映射μA : μA :X → [0,1] x → μA (x)都确定X 的一个模糊子集A , μA 称为A 的隶属函数,μA (x)称为x 对于A 的隶属度,模糊子集A 也称为模糊集合 a)FS 的表示方法• 序偶(成对出现且有次序的客体(x,y)≠(y,x))表示法: A={(x,μA (x))|x ∈X}例:论域{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中,设A 表示模糊集合“几个”,各元素的隶属度依次为μA (x)={0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0},则A={(1,0),(2,0),(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1),(7,0.7),(8,0.3),(9,0)}• Zadeh 表示法: •A= X 连续⎰XA xx )(μ= X 离散上例A =0/1+0/2+0.3/3+0.7/4+1/5+1/6+0.7/7+0.3/8+0/9 b)FS 的基本运算• 相等A=B μA (x)=μB (x)对所有x ∈X • 包含A ⊆B μA (x)≤ μB (x) • 空集A=Φ• 并C =A ∪B μC (x)=∨(μA (x),μB (x))=max(μA (x),μB (x)) • 交C =A ∩B μC (x)=∧(μA (x),μB (x))=min(μA (x),μB (x)) • 补集B=A ’ μB (x)=1-μA (x)对所有x ∈X • 直积A ×B c)FS 运算的基本性质• 分配律,结合律,交换律,吸收律,幂等律,同一律等 • 普通集合中的排中律、矛盾律不成立,即 A ∪A ’ ≠X ,A ∩A’ ≠ Φ3.模糊概念向多维空间推广——模糊关系 1)例如:“Ud 与设定值差不多”,“A 与B 很象”2)定义:n 元模糊关系R 是定义在直积P1×P2×…×Pn 上的模糊集合,可表示为 R P1×P2×…×Pn ={((p1,p2, …,pn),μR (p1,p2, …,pn))| (p1,p2, …,pn)∈ P1×P2×…×Pn} =∫P1×P2×…×Pn μR (p1,p2, …,pn)/ (p1,p2, …,pn) 模糊集合 → 模糊关系论域X P1×P2×…×Pn 的直积空间 元素x 多元序偶(p1,p2, …,pn ) 模糊集合A 模糊关系R隶属度μA (x) 隶属度μR (p1,p2, …,pn)表示p1,p2, …,pn 具 有关系R 的程度 序偶(x, μA (x)) 复合序偶((p1,p2, …,pn),μR (p1,p2, …,pn)) 3)常用的二元模糊关系表示—— 模糊矩阵当X={x1,x2, …,xn), Y={y1,y2, …, yn}为有限集合时,定义在X×Y 上的模糊关系R X×Y 可表示为矩阵形式:∑=ni ii A x x 1)(μR 即为模糊矩阵,其元素为隶属度函数∈〔0,1〕 4)模糊关系的合成设X 、Y 、Z 为论域,R 是X 到Y 的一个模糊关系,S 是Y 到Z 的一个模糊关系,则R 对S 的合成T 是X 到Z 的一个模糊关系,记为T =R ○S ,其隶属度为其中V 为并运算,对所有元素取极大值; *为二项积运算,可用交、代数积等运算。
最常用的合成形式——最大最小合成V 为并运算, *为交运算,即4.模糊规则的表示及运算——模糊蕴含关系 1)语言变量经典数学 模糊数学转速nd 很高A1 →电压ud 大幅降低B1nd=ni → ud=ui 转速nd 偏高A2 →电压ud 适当降低B2变量 变量的值 语言变量 语言变量的值FS 值域:FS 的集合 2)模糊蕴含关系对于一条规则:“如果x 是A ,则y 是B”表示了A 与B 之间的模糊蕴含关系,表示为A →BA →B 的运算方法有:最小,积,最大最小等集合运算),(),(),(),(),(),(),(),(),(R R 2R 1R 2R 22R 12R 1R 21R 11R ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n n n m m y x y x y x y x y x y x y x y x y x μμμμμμμμμ)),(*),((),(z y y x z x S R Yy S R μμμ∈∨= )),(),((),(z y y x z x S R T S R Yy S R μμμ∧∨=↔=∈其中模糊蕴含关系最小运算为:例:nd =A1=“转速很低”=1/200+0.8/400+0.6/600+0.4/800+0.1/1000ud=B1=大幅升高=0.2/5V+0.4/6V+0.6/7V+0.8/8V+1/9V当X={x1,x2, …,xn), Y={y1,y2, …, yn}为有限集合时,定义在X×Y 上的模糊关系R X×Y 可表示为矩阵形式:5.模糊推理——关系的合成1)运用上面蕴含关系,前面例子可表示为规 R1:如x 是A1则y 是B1 即 A1 → B1 则 R2:如x 是A2则y 是B2 A2 → B2 库 ┇ ┇R Rn :如x 是An 则y 是Bn An → Bn 推理:输入x 是A ’,则输出y 是B ’ B ’=A ’○R 规则库R=∪Ri2)模糊推理:由输入(模糊集合A ’)和模糊蕴含关系A → B 的合成推出结论(模糊集合B’),即B ’= A ’○ (A → B )=A ’○R 3)推理的2种方法: •广义肯定式:如x 是Ai 则y 是Bi x 是A ’则y 是B ’),/()()(y x y x B A B A R B A YX c μμ∧⎰=⨯=→=⨯[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧=∧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯=2.02.02.02.02.04.04.04.04.02.06.06.06.04.02.08.08.06.04.02.018.06.04.02.012.08.02.06.02.04.02.02.02.014.08.04.06.04.04.04.02.04.016.08.06.06.06.04.06.02.06.018.08.08.06.08.04.08.02.08.0118.016.014.012.0118.06.04.02.02.04.06.08.01B A Rc•广义否定式:如x是Ai则y是Bi y是B’则x是A’•对于每一种方法,○与→运算符采用不同的运算,又可组合出多种推理运算方法•广义肯定式推理的最大最小合成、最小蕴含法:○取最大最小法,→取最小运算法例:A’=A1,R=Rc,则[][]18.06.04.02.02.02.02.02.02.04.04.04.04.02.06.06.06.04.02.08.08.06.04.02.018.06.04.02.02.04.06.08.01''=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==RcAB。